5.5 三元一次方程组（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

第5章 二元一次方程 *5.5 三元一次方程组 【素养目标】 1. 掌握三元一次方程组的概念和三元一次方程组的解法.(重点) 2. 在学习三元一次方程组的过程中,感受消元转化的思想. (难点) 【情境导入】 1. 解二元一次方程组有哪几种方法? 2. 解二元一次方程组的基本思路是什么? 思考: 若含有3个未知数的方程组如何求解? 【合作探究】 探究点一:三元一次方程(组)的概念 今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗；上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗； 上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上中下禾实一秉各几何？(选自《九章算术》) 题目大意:有上禾 3 束,中禾 2 束,下禾 1 束,可得米 39 斗;上禾 2 束,中禾 3 束,下禾 1 束,可得米 34 斗;上禾 1 束,中禾 2 束,下禾 3 束,可得米 26 斗。 上、中、下禾每束各可得米多少斗? 问题1:题中有未知量? 你能找出哪些等量关系？将每一个未知量都用一个字母表示出来. 未知量：上禾产量，中禾产量，下禾产量 等量关系：三种情况下得到大米的量. 设上禾产量为x斗，中禾产量 y斗，下禾产量 z斗. 等量关系: 用方程表示等量关系. (1) 3 上禾+ 2中禾 +下禾= 39 ① (2) 2 上禾+ 3中禾 +1下禾= 34 ② (3) 1 上禾+ 2中禾 +3下禾= 26 ③ 问题2: 观察列出的三个方程, 对比原来学过的二元一次方程你有什么发现? ① ② ③ 因这三个数必须同时满足上述三个方程,故将三个方程联立在一起. 总结:像这样,共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程, 叫作三元一次方程组. 练习1: 下列方程组不是三元一次方程组的是 ( ) 三元一次方程组中各个方程的公共解,叫作这个三元一次方程组的解. 问题3: 如何解这个方程组呢? 思考: 如何在三元一次方程组中进行消元? 1. 代入消元法 【思考与提升】 (1) 解上面的方程组时,你能用代入消元法先消去未知数 (或 ),从而得到方程组的解吗? (2) 你还有其他方法吗? 与同伴进行交流. 2. 加减消元法 【反思与提升】回顾二元一次方程组和三元一次方程组的求解过程,说说求解三元一次方程组的基本思路。 例1在等式 中,当 时, ; 当 时, ; 当 时; . 求 的值. 练习2: 今年小新一家三口的岁数总和是80岁, 爸爸比妈妈大3岁,妈妈的岁数恰好是小新岁数的5倍.问: 今年爸爸、妈妈和小新分别几岁? 当堂反馈 1. 下列方程组中是三元一次方程组的是( ) A. B. D. 2. 解方程组 若要使运算简便, 消元的方法应选取 ( ) A. 先消去 B. 先消去 C. 先消去 D. 以上说法都不对 3. 三元一次方程组 的解是_____________ . 4．有甲、乙、丙三种商品,如果购甲 3 件,乙 2 件, 丙 1 件共需 420 元钱；购甲 1 件,乙 2 件,丙 3 件共需 380 元钱,那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 ___________元. 参考答案 1. 代入消元法和加减消元法 2. 将二元一次方程组消元成一元一次方程 思考: 可以通过消元法来求解. 探究点一:三元一次方程(组)的概念 练习1: C 探究点二: 三元一次方程组的解法 问题3: 1. 代入消元法 解: 由 ①,得 ④ 把④分别代入②③并化简,得 解由⑤⑥组成的二元一次方程组,得 将 的值代入④,得 。 所以原方程组的解是 【思考与提升】 (1) 可以用代入消元法先消去未知数 (或 ),从而得到方程组的解。 (2) 可以用加减消元法先消去未知数 ,得到关于 的二元一次方程组,再进行求解。 2. 加减消元法 解得 将 的值代入①中得解: 由 ①-②得 ④ 由 ②-③ 得 ⑤ 联立得 联立得 ⑤-④ 得 . 解得 将 x，y 的值代入①中得 所以原方程的解为 【反思与提升】 三元一次方二元一次方 一元一次方程组 核心思路:消元思想. 例1解: 根据题意, 得三元一次方程组 ②-①,得 .④ ，③-①,得 . ⑤ 联立④与⑤ 解这个方程组,得 把 代入①,得 .因此 练习2: 等量关系: ( 1 )爸爸年龄 + 妈妈年龄 + 小新年龄 = 80 ； (2)爸爸年龄 = 妈妈年龄 + 3; ( 3 )妈妈年龄 = 小新年龄×5. 解: 设爸爸年龄 岁、妈妈年龄 岁、小新年龄 岁. 由题意得 将③代入②,得 ；④ 将③④代入①,得 ； 将 代入③④得 当堂反馈 1. B 2. B 3. . 4．200元 . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $