第5章 第4节 专题特训九 二元一次方程组与一次函数的综合-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

7.(1)由题意，可知点B(2,m)在直线l2:y=2x上，所以 m=2×2=4.所以B(2,4).设直线l1对应的函数表达式 16k+b=0, 为y=kx+b.将A(6,0),B(2,4)代入，得 解得 2k+b=4, k=一1， 所以直线，对应的函数表达式为y=一x十6. b=6. (2)由(1)，知直线1，对应的函数表达式为y=一x十6.令 x=0,得y=6.所以C(0,6).由题意，可设过动点P(0,n) 且平行于l2的直线对应的函数表达式为y=2x十”.当直 线y=2x十n过点A(6,0)时，0=12十n,解得n=-12.当 直线y=2x十n过点C(0,6)时，n=6.因为直线y=2x十n 与线段AC有交点，所以n的取值范围是一12≤n≤6. &.(D慢车的速度为180÷（号-2） =60(km/h).因为 慢车的速度是快车速度的一半，所以快车的速度为60× 2=120(km.2)快车停留的时间为子-贸×2= 2（h,2+器-2，所以点C的坐标为(2,180.设快 车返回过程中y关于x的函数表达式为y=kx十b.将 180=2k+b, C2,180,D(30代人，得 7 2k+6, 解得 0= k=一120， 所以快车返回过程中y关于x的函数表达式 b=420. 为y=-120x+420(2≤r<2) .(3)设出发后经过th 两车相距90km.相遇之前：120t十60t+90=180,解得t= 2相遇之后：120十601一90=180，解得：=号快车从甲 地到乙地需要180÷120=号（(h).快车返回之后：601= 90+120(-之-2），解得4一号综上所述，出发后经过 2h或gh或号h两车相距90km 专题特训九二元一次方程组 与一次函数的综合 1.(1)因为点P(-1,a)在直线l2:y=2x十4上，所以a= 2×(一1)+4=2.所以点P的坐标为（一1,2）.设直线1，对 应的函数表达式为y=kx十b(k≠0).将B(1,0),P(一1， k+b=0, k=一1， 2)代人，得 -k十b=2, 解得 所以直线，对应的 b=1. 函数表达式为y=一x十1.(2)因为直线l1与y轴交于 点C,所以易得点C的坐标为(0,1).因为直线l2与x轴交 于点A,所以易得点A的坐标为（一2,0）.所以AB=3.所 以Sa情we=5m-5e=号X3X2-合X1X 1=2 2.(1)把x=1代入y=3x,得y=3,所以点C的坐标为 (1,3).将A(-2,6),C(1,3)代人y=bx+b,得 -2k+b=6, 得k=一1，（2)由(1)，得一次函数的 解 k+b=3, b=4. 表达式为y=一x十4.把y=0代人，解得x=4.所以点B 的坐标为(4,0).设点D的坐标为(0，m)(m<0).因为 11 1 SAn3S△x,所以2m=3×7X4X3,解得m 一4.所以点D的坐标为(0，一4). 3.(1)设直线AB对应的函数表达式为y=kx十b(k≠0). k十b=一2， k=2, 把(1，-2)，(2,0)代入，得 解得 所以 {2k+b=0, b=一4. 直线AB对应的函数表达式为y=2x一4.当x=0时，y= 一4，所以点B的坐标为(0，一4).(2)①当直线1经过 点B时，如图①.因为直线AB关于y轴对称的直线BC交 x轴于点C,点A的坐标为(2,0)，所以OA=OC=2,点C 的坐标为（一2,0）.因为P为OC的中点，所以点P的坐标 为(-1,0).所以AP=3CP.所以S△cP:SAp=1:3.设 此时直线l对应的函数表达式为y=mx十n,(m1≠0).将 P(-1,0),B(0,-4)代入，得 厂m+,=0, 解得 n1=-4, m=-4, 所以此时直线l对应的函数表达式为y=一4x一 21=-4. 4.②当直线l与AB的交点D在第四象限时，如图②.因 为A(2,0),C(-2,0),B(0,-4),P(-1,0),所以AP=3, AC=4,0B=4所以5=2AC.0B=号X4X4=8 因为直线1将△ABC的面积分为1：3的两部分，所以 Sa0w=sx=2所以号·AP.1nl=2即号×3× n=2,解得m=一号（正值舍去，.将y=-专代入 4 4 y=2x一4，得-3=2x-4,解得x=3所以 D(令，一).设此时直线1对应的函数表达式为y= mx+:(m:≠0以将P(-1.0,D(停-号)代入，得 4 -m2十n2=0, n2= 7 44 4解得 所以此时直线（对 4 3 2=-7 应的函数表达式为y=一一x一，综上所述，所有符合条 件的直线l对应的函数表达式为y=一4x一4或y= 4 ① ② (第3题) 4.(1)设一辆燃油汽车每千米产生的二氧化碳排放量是 x克，一辆新能源汽车每千米产生的二氧化碳排放量是 /10.x+10y=2600 x=186, y克.根据题意得 解得 所以 5x+6y=1374 (y=74, 一辆燃油汽车每千米产生的二氧化碳排放量是186克，一 辆新能源汽车每千米产生的二氧化碳排放量是74克. (2)由题意，得购买的冷杉为(100一a)棵，则=172a+ 111(100一a)=61a+11100,所以关于a的函数表达式 为=61a+11100(0≤a≤100).(3)由61>0，可知 随a的增大而增大，因为a≤30，所以当a=30时，w的值 最大，100一30=70（棵.所以最优采购方案是购买30棵杨 树和70棵冷杉. 5.（(①由题图，可知校车的速度为3÷4=子（m/mim,所 以m=子×(8-2》=号、(2)因为m=号，所以易得 点B的坐标为(10，号)因为9÷ =12(min),所以易得 点C的坐标为(16,9)，点E的坐标为(15,9).设线段BC 对应的函数表达式为y=k1x十b,(10≤x≤16).根据题 9 3 意，得 0,+6,=之解得，=产'所以线段BC对应 16k1+b1=9, b,=一3. 的圈数表达式为y=子一3(10<：≤16.根据题查，得 点F的坐标为(9,0).设线段FE对应的函数表达式为y= 15k2+b2=9, k2x十b2(9≤x≤15).由题意，得 解得 {9k2+b2=0, k2= 3 27 所以线段FE对应的函数表达式为y= 2- b2= y= 4x3, /x=14, 号（9≤≤15.联立 解得15因为 327 y= 2x-2 y=21 14-9=5(mim).9一5-号km,所以小刷乘坐出租车出 2 发后经过5min能追上小强乘坐的校车，此时他们距学校 的路程为号km *5三元一次方程组 1.C由方程组中各方程的系数的特点，若消去未知数， 则变形可以为②一①，②一③ x=3, x-x-2=0, 3 2.3 根据题意，得3x-6y一7=0，解得y=弓，所以 3y+3x-4=0, z=1, +y+= 3 x一y十x=7①， 3.(1)记x十y=-1②，由③，得2x-y-之=0④.①+ 2x=y+z③， ④，得3x一2y=7⑤.②X2十⑤，得5x=5,解得x=1.将 x=1代人⑤，得3-2y=7,解得y=-2.将x=1,y=一2 代人④，得2十2一之=0，解得之=4.所以原方程组的解为 x=1, 3x-y+z=10①， y=-2,(2)记x+2y-z=6②，①十②，得4x+y= x=4. x+y+x=12③ 16④.①-③，得2x-2y=-2,即x-y=-1⑤.④+⑤， 得5x=15,解得x=3.把x=3代入⑤，得3-y=一1，解 得y=4.把x=3,y=4代入③，得3十4+z=12,解得x= x=3, 5.所以原方程组的解为 y=4, =5. 方法归纳 解方程组的基本思路 解二（三）元一次方程组的基本思路是消元，因此应 围绕怎样消元来选择解题的切入点，重点应考虑两个方 面：一是根据方程组的特点分析代入消元法与加减消元 法哪个更方便些；二是在利用代入消元法与加减消元法 之前需要思考对方程组应进行怎样的变形.第五章二元一次方程组 专题特训九二元一次方程组与一次函数的综合 类型一几何问题 1.如图，过点B(1,0)的直线11与直线l2:y=2x十4相交于点P(一1，a). (1)求直线1对应的函数表达式. (2)若直线L1与y轴交于点C,直线l2与x轴交于点A,求四边形PAOC的面积. (第1题) 2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx十b的图象经过点A(一2,6)，且与x轴相交于 点B,与正比例函数y=3x的图象相交于点C,点C的横坐标为1. (1)求k,b的值 (2②》若点D在y轴的负半箱上，且满起Sm5r求点D的坐标 =3 -201 B y=kx+b (第2题) 3.如图，直线AB经过点(1，一2)，且与x轴交于点A(2,0),与y轴交于点B,作直线AB关于y轴 对称的直线BC,交x轴于点C,P为OC的中点. (1)求直线AB对应的函数表达式和点B的坐标， (2)若经过点P的直线1将△ABC的面积分为1：3的两部分，求所有符合条件的直线L对应的 函数表达式 (第3题) 85 拔尖特训·数学（北师版）八年级上 类型二实际问题 4.【素材呈现】 素材一：在对A城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现10辆燃油汽车 与10辆新能源汽车每千米共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油汽车与6辆新能 源汽车每千米的总排放量则为1374克， 素材二：为了中和排放的二氧化碳，我们可以采取植树造林等绿化措施.根据相关换算标准，每棵 成年的阔叶树木（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树木（例如冷 杉)每年大约吸收111千克二氧化碳. 【问题解决】 (1)一辆燃油汽车和一辆新能源汽车每千米分别产生的二氧化碳排放量是多少克？ (2)某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树α棵，这100棵树木一年内吸收 的二氧化碳总量为心千克.求w关于a的函数表达式. (3)杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过30棵，请设计一个最优的采购方案，使 得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大 5.小强与小刚住在同一个小区，他们在同一所学校上学.某天早上，小强7：30从小区乘坐校车去学 校，途中需停靠两个站点才能到达学校，且每个站点停留2min,校车始终保持匀速行驶.当天早 上，小刚7：39从小区乘坐出租车沿相同路线出发，出租车也匀速行驶，结果比小强乘坐的校车早 1min到学校，他们乘坐的车辆从小区出发所行驶的路程y(单位：km)与校车行驶的时间x(单 位：min)之间的关系如图所示 (1)求点A的纵坐标m的值. (2)小刚乘坐出租车出发后经过多久能追上小强乘坐的校车？请求出此时他们距学校的路程 ↑y/km EC G B 3 0 468F x/min (第5题) 86 >“答案与解析”见P39