第5章 第3节 第3课时 几何问题和行程问题-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

台进价是y元.由题意，得 10x+20y=3000, 解 15×(1+30%)x+10×(1+20%)y=4500, 酸 x=200: 即第一次购进A型台灯每台进价是200元，B型 y=50, 台灯每台进价是50元.(2)①设A型台灯每台售价是 m元，B型台灯每台售价是n元.由题意，得 10(m-200)+20(1-50)=2800, 15[m-200×(1+30%)]+10n-50×(1+20%)=1800, m=340, 得 即A型台灯每台售价是340元，B型台灯每台 n=120. 售价是120元.②第二次购进A型台灯每台的价格为 200×(1十30%)=260（元），B型台灯每台的价格为50× (1十20%)=60（元）.设购进A型台灯a台，B型台灯b台. 由题意，得(340一260)a十(120一60)b=1000.整理，得 a=2, 4a+3b=50.因为a,b均为自然数，所以 或 b=14 a=5,/a=8,a=11, 6=10或6=6或6=2. 所以有4种购进方案：①购进 A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型 台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进 A型台灯11台，B型台灯2台， 第3课时几何问题和行程问题 1.A设小明骑自行车的速度为xkm/min,小伟步行的速 24x-24y=4.8, 度为ykm/min.根据题意，得 解得 24x+24y=30x, 4 x=15' 所以30x=30X号=8，即A,B两地间的距离为 y=151 8 km. 2.B设小地砖的长边长xcm,短边长ycm.由题意，得 x+y=40, x=32, 解得 即小地砖短边长8cm. 2x=x+4y, y=8, 1 2 3a=5b, {a=54, 3.99根据题意，得 解得 所 (1-号)a+6=81, b=45, 以a十b=99: 4.设甲的速度是xkm/h,乙的速度是ykm/h.根据题意， (2+0.5)x+2y=20. x=4, 得 解得”即甲的速度是4km/ x+y+11=20, y=5, h,乙的速度是5km/h. 3 5.C设A,B两地之间的距离为s,甲的速度为x,乙的速度 /0.5x+0.5y=s,,0.5x+0.5y=s, 为y.根据题意，得 或 解得 2x-2y=s 2y-2x=5, 一言或-专即甲从A到B地需要号或号 6.B设8路公交车的行驶速度是am/min,小王沿街匀 速行走的速度是bm/min.由题意，得 (12(a-b)=1200, a=200, 解得 所以8路公交车的行驶 4(a+b)=1200, b=100. 速度为200m/min. 7.60里/时、30里/时戴宗顺风行走的速度为180÷2= 90(里/时)，戴宗逆风行走的速度为180÷6=30（里/时）. 设戴宗的速度为x里/时，风速为y里/时.由题意，得 x十y=90, x=60, 解得 所以戴宗的速度为60里/时，风 x一y=30, y=30. 速为30里/时 8.(一6,12)设长方形的长为x,宽为y.依题意，得 2x=16, x=8, 解得 所以2x-x-y=2×8-8-2= x+y=10, y=2. 6,x+2y=8+2×2=12.所以点A的坐标为(-6,12). 9.15设小长方形的长为xcm,宽为ycm.依题意，得 a+3y=7, x=4, 解得 即小长方形的长为4cm,宽为 x+y=5, y=1, 1cm,则涂色部分的总面积为7×5-5×4×1=15(cm2). 10.设楼梯有xm,平地有ym.由题意，得 易+高= 解得 x=40, 所以楼梯有40m,平地有 品+-6， y=120. 120m. 方法归纳 寻找等量关系的策略 列二元一次方程组解决实际问题，关键在于找出两 个等量关系.一般地，寻找等量关系有以下两种方法： (1)按情况寻找：如存在两种情况，便可根据这两种 情况找到两个等量关系。 (2)按量寻找：如问题中存在不同的量，便可按照不 同的量寻找 寻找等量关系要注意关键字词句，明确关键字词句 的数学含义；要明确一些基本的数量关系，会运用这些数 量关系将不同的量联系在一起，甚至直接作为等量关系列 方程：要注意变化中的不变量，善于挖掘隐含的等量关系. 1.80mm=号h.1计号2（.设汽车的速度是xk如 h,拖拉机的速度是ykm/h.根据题意，得 信x+v0-10 {x=90, 得 所以汽车行驶的路程是 13 y=30. 2x=2y, (停+)×90=165(km),拖拉机行驶的路程是 (号+号）×30=85km. 12.设小王的实际乘车时间为x分，小张的实际乘车时间 为y分.(1)根据题意，得1.8×6+0.3x=1.8×8.5+ 0.3y十0.8×(8.5一7).所以x-y=19,即他们的实际乘 车时间相差19分.(2)根据题意，得 x-y=19, x=37, 。解得 所以小王的实际乘车时 2x+8.5," y=18. 间为37分，小张的实际乘车时间为18分. 4二元一次方程与一次函数 第1课时二元一次方程与一次函数 1.D方程组的解可利用图象的交点坐标求解，根据题图， x=-8, 可知方程组的解为 y=-4. x=2, 2. 因为直线1：y=x十2和l2:y=kx十b相交 y=4 于点P(m,4),所以4=m十2，解得m=2.所以方程组的解 {x=2, 是 y=4. 3.一由题意，得k=3k十1，解得k=-号，所以y 、1 2x一2，则一次函数y=一之x一2的图象不经过第一 象限 3x-2y=8, 4.(1)可以看成方程组 的解.(2)解方程 5x+3y=7 3x-2y=8,mx=2, 组 得 5x+3y=7,y=-1. 所以这两个一次函数图象的 交点坐标为(2，一1). K=-3或任 .x=1, 5. 由题图可知，两个函数图象有两 y=-1 y=3 个交点，其坐标分别为（一3，一1），(1,3)，所以方程组 (2lx+y=5, x=-3, x=1, 的解为 或 y一x=2 y=-1y=3. 3 x=一3， 6. y=1 设点A的坐标为a,.在y=号x十3中， 当x=0时y=3.所以C(0,3》.当y=0时，号r十3=0，解 得x=-号所以B(-号小因为Sam:Sam=1: 2.所以2×号×6=合×2×3x(-a.所以a=-6 1 1 .2 所以A(-36,b).将A(-3b,b)代人y=3x+3,得6- 一2b+3,解得b=1.所以A(-3,1).所以方程组 kx一y=0, =-3, 的解为 2x-3y+9=0 y=1. 7.(1)因为一次函数y=kx十b的图象与y轴交于 b=2, 点A(0,2),与x轴交于点B(4,0),所以 解得 4k+b=0, k=一 '所以一次函数的表达式为y=一x十2 b=2. 1 (2)因为一次函数y=一2x十2的图象过点C(2,a),所 以a=一2 ×2+2=1.所以C(2,1).所以方程组 mx-y=0, x=2, 的解为 kx-y=一b y=1. 8.(1)设直线l,对应的函数表达式为y=kx十b.根据题 5 0解得8·所以直线1，对应的函数 8k十b=0,. 意，得 b=-5 b=-5. 表达式为=名1-5因为B(0,-5),所以0B=5.因为 C(0,-1),所以OC=1.所以BC=5-1=4.设D(x,y), 则△DCB的面积=之X4X1z-8解得x=4或x=-4 5 (不合题意，舍去).所以x=4把x=4代入y=8x一5， 得y=音×4一5=一号所以点D的坐标为，名)】 (2)设直线l2对应的函数表达式为y=Qx十c.根据题意， 5 3 4a十c= a=- 2’解得 8’所以直线l2对应的函数 c=-1, c=-1. 表达式为y=一 8x一1.因为1l,相交于点D,所以点D 3 5 y=8x-5, 的坐标是二元一次方程组 的解. 3 y=- 82x1第五章二元一次方程组 第3课时几何问题和行程问题 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2025天津河东期未]小明和小伟分别从A,B两地同时出发，小明骑自行车，小伟步行，沿同一道 路匀速相向而行，出发24min后两人相遇.相遇时小明比小伟多行4.8km,相遇后6min小明到 达B地，则A,B两地间的距离为 () A.8 km B.12 km C.6 km D.9 km 2.[2025自贡中考]某小区人行道地砖铺设图案如图所示.用10块相同的小平行四边形地砖拼成 一个大平行四边形，若大平行四边形短边长40cm,则小地砖短边长 () A.7 cm B.8 cm C.9 cm D.10 cm -acm- -81cm (第2题) (第3题) 3.[2025河北中考]甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为acm,bcm.如图，将甲纸条的。与乙纸 条的2叠合在一起，形成长为81cm的纸条，则a十b一 4.数形结合思想甲、乙两人分别从相距20km的A,B两地同时出发，匀速相向而行.下图为甲、乙两 人两次运动的示意图，求甲、乙两人的速度 甲走0.5h甲走2h 乙走2h 的路程的路程相遇的路程 第一次A地厂T B地 甲走1h 乙走1h 的路程 相距11km 的路程 第二次A地[ B地 A,B两地相距20km (第4题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.甲、乙两人分别在A,B两地，以各自的速度同时出发，若相向而行，则0.5h后相遇；若同向而行， 则2h后相遇.甲从A地到B地需要 () A.h E.gh C号h或h D.h或h 6.小王沿街匀速行走，发现每隔12min从背后驶过一辆8路公交车，每隔4min迎面驶来一辆8路 公交车.已知每辆8路公交车的行驶速度相同，且每相邻的两辆8路公交车相距1200，则8路 公交车的行驶速度为 () A.100 m/min B.200 m/min C.300 m/min D.400 m/min 7.舒境学科融合《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：“程途八百里，朝去暮还来.”某 日，戴宗去180里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了6小时.戴宗的 速度和风速分别为 79 拔尖特训·数学（北师版）八年级上 8.数形结合思想如图，5个完全相同的长方形在平面直角坐标系中，点B的坐标为（一16,10），则 点A的坐标为 0元 (第8题) (第9题) 9.[2025深圳期末]如图，在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中 AB=5cm,BC=7cm,则涂色部分的总面积为 cm2. 10.★从教室到食堂需先走楼梯下楼，再走一段平地.假定人在平地上行走的速度始终是60m/min, 下楼梯时的速度始终是20m/min,上楼梯时的速度始终是l0m/min,则从教室到食堂需要 4min,从食堂回教室需要6min.求楼梯和平地各有多少米. 11.甲、乙两地相距160km,一辆汽车和一辆拖拉机同时从甲、乙两地分别出发相向而行，80min后 相遇，相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1h后调转车头按原速原路返回，出发。h 后追上拖拉机.求汽车、拖拉机在第二次相遇时各自行驶的路程. ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 12.某出租车的计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 价格 1.8元/千米 0.3元/分 0.8元/千米 已知车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按乘车的实际里程计算，时长费按 乘车的实际时间计算，远途费的收取方式为乘车里程7千米及以内不收远途费，超过7千米的 部分，每千米收0.8元.小王与小张分别乘坐出租车，在同一地点约见.当到达约见地点时，他们 的实际乘车里程分别为6千米与8.5千米，两人付给出租车司机的乘车费相同， (1)他们的实际乘车时间相差多少？ (2)实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点等候已知他等候 另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分，求 两人各自的实际乘车时间. 80 “答案与解析”见P36