5.3 二元一次方程组的应用 导学案 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

5.3 二元一次方程组的应用 导学案 · 2026—2027学年 北师大版数学八年级上册 第五章 二元一次方程组 · 3 课时 · 教材 P120—P127 姓名：__________ 班级：__________ 日期：__________ 一、学习目标与重难点 【学习目标】 • 能说出列二元一次方程组解应用题的一般步骤：审题、设元、列式、求解、检验、作答。 • 会把古算题里的文言先译成现代文，弄清每个量表示什么，再找出两组等量关系。 • 会用表格把经济问题里的量按时间排成行、按类别排成列，从表格里读出等量关系。 • 会画线段图看清行程问题与几何图形问题中各段之间的关系，把车长、桥长这类容易漏掉的量找出来。 • 会独立完成审题到作答的全过程，并检验求出的解是否符合实际：人数、只数、件数必须是正整数，钱数不能是负数。 • 能按问题的类型挑一种理清等量关系的工具：古算题先译后算，经济问题用表格，行程与几何问题用线段图。 【重点】列二元一次方程组解应用题的一般步骤，以及从题目里找出两组等量关系。 【难点】把题目里藏着的等量关系找出来——尤其是增长率、打折率这类要用乘法表示的关系，以及火车过隧道时路程与隧道长、车长之间的关系。 【我的预习安排】 教材页码 预习内容 我要做到 完成 P120 鸡兔同笼与尝试·思考 会把文言译成现代文，找出两组等量关系 ○ P121 例1 怀钱问题与随堂练习 会照着六步写出完整的解答过程 ○ P122 增收节支与例2 营养品配制 会用表格把同一类量排在一行 ○ P123—P124 随堂练习与例3 火车过隧道 会画线段图看清各段之间的关系 ○ P125—P126 里程碑上的数与思考·交流 会用两位数、三位数的代数式表示一个数 ○ P125—P127 《习题5.3》第 1—11 题 先独立完成，再对照参考答案 ○ 二、课前自主学习 上一节我们学会了用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，这一节要把这套本领用到实际问题上去。实际问题里的数量关系藏在文字里，先要把它读出来、写成两个方程，再解出来，最后还要回到实际问题里检查一遍。这一节按三程走：第一程看古算题，第二程看经济问题，第三程看行程与几何图形问题。 • 1. 填空：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1 的整式方程叫做____方程；把两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，就组成了一个____。 我写： • 2. 填空：鸡有 2 只脚，兔有 4 只脚。若设有鸡 x 只、兔 y 只，则鸡的脚数是____只，兔的脚数是____只。 我写： • 3. 填空：一个两位数，十位上的数字是 a，个位上的数字是 b，这个两位数可以表示成____；把这个两位数的两个数字交换位置，得到的新数可以表示成____。 我写： • 4. 填空：某厂去年的总收入是 x 万元，今年的总收入比去年增加了 20%，则今年的总收入是____万元；若去年的总支出是 y 万元，今年的总支出比去年减少了 10%，则今年的总支出是____万元。 我写： • 5. 填空：一列火车长 y 米，以每秒 v 米的速度行驶，则它 60 秒行驶的路程是____米；火车完全通过一座长 x 米的桥，行驶的路程是____米。 我写： ◆ 课前速记 • 二元一次方程组的解是两个方程的公共解；解方程组的基本思路是消元，把两个未知数变成一个未知数。 • 用方程组解应用题，一般要经过审题、设元、列式、求解、检验、作答六个步骤；设元时一般设题目直接问的两个量，设元越直接，方程越好列。 • 方程两边必须是同类量，同类量的单位要统一；找出「谁和谁相等」是列方程的关键。 • 有些量要用乘法表示：比原来增加百分之几，就是原来的 (1 + 百分之几) 倍；比原来减少百分之几，就是原来的 (1 - 百分之几) 倍。 温馨提示：预习时先把思路理一遍——实际问题先变成方程组，方程组解出来以后再回到实际问题。这一节的第一件事不是动笔算，而是把题目读清楚，找出两组等量关系。 三、课中合作探究 这一节分三程走：第一程看古算题，先把文言译成现代文，再照着六个步骤列方程组；第二程看经济问题，用表格把同一类量排在一行，从表格里读出等量关系；第三程看行程问题与几何图形问题，用线段图看清各段之间的关系。三程走完，再回过头看这三类问题各自该用哪一种工具。整节的思路可以用图1来记。 图1 列方程组解应用题的基本思路 ( 实际问题 二元一次方程组 方程组的解 ) 两端都是实际问题：一头把它写成方程组，另一头用方程组的解回答它 图1 先把实际问题写成二元一次方程组，解出方程组的解，再回到实际问题作答 温馨提示：走任何一程，都先问自己三句话——题目里有哪些量？哪两个量之间有什么关系？这两条关系能不能各写成一个方程？ ◆ 第一程 古算题：先把文言译成现代文 课本 P120 从《孙子算经》里的一道古算题接着往前走。这道题流传很广，原文是：「今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？」（课本 P120） 雉就是鸡。这段话的意思是：笼子里有鸡和兔，从上面数共有 35 个头，从下面数共有 94 只脚，问鸡和兔各有多少只。古算题里的数量关系并不难，难的是先把文言读通——把文言译成现代文以后，每个量表示什么就清楚了（如图2）。 图2 古算题的翻译三步 ( 先把文言译成现代文 弄清每个量表示什么 找出两组等量关系 ) 读古算题的顺序：先译文言，再认量，最后找关系 图2 古算题先译成现代文，再弄清每个量表示什么，最后找出两组等量关系 译完以后找等量关系。头是鸡头加兔头，脚是鸡脚加兔脚，于是有两组等量关系：鸡的只数与兔的只数加起来是 35；鸡的脚数与兔的脚数加起来是 94。设鸡有 x 只、兔有 y 只，把两组等量关系各写成一个方程，联立起来： 用加减消元法解这个方程组。把第一条式子的两边都乘 2，得 2x + 2y = 70；用第二条式子减去它，得 2y = 24，解得 y = 12。把 y = 12 代进第一条式子，得 x + 12 = 35，解得 x = 23。所以方程组的解是 x = 23，y = 12。答：笼子里有鸡 23 只，兔 12 只。 把这一整套动作固定下来，就得到列二元一次方程组解应用题的六个步骤：第一步审题、第二步设元、第三步列式、第四步求解、第五步检验、第六步作答（如图3）。审题是弄清题意，找出题目中的两组等量关系；设元是用字母表示题目中的两个未知数；列式是根据两组等量关系写出两个方程，联立成方程组；求解是解这个方程组；检验是看求出的解是否符合实际；作答是写出完整的答句，写上单位。 图3 列方程组解应用题的六个步骤 ( 第一步 审题 第二步 设元 第三步 列式 第四步 求解 第五步 检验 第六步 作答 ) 六步里最要紧的是第一步审题：两组等量关系找不出来，后面的式子就无从写起 图3 列二元一次方程组解应用题按审题、设元、列式、求解、检验、作答六步走 • 练一练：（1）鸡兔同笼这道题里，如果设兔有 x 只、鸡有 y 只，方程组该怎样列？解出的结果和上面一样吗？（2）把 x = 23、y = 12 分别代进原方程组的两条方程，左右两边都相等吗？（3）补充：甲、乙两人各有若干钱币。若甲从乙处得到 10 个钱币，则甲的钱币数是乙的 2 倍；若乙从甲处得到 10 个钱币，则两人的钱币数相等。设甲原有 x 个钱币、乙原有 y 个钱币，列方程组求两人原有的钱币数。 我写： 温馨提示：设元时一般设题目直接问的那两个量，设元越直接，等量关系越好写。设完之后回头看一眼——设的这两个字母，能不能把题目里出现的每一个量都表示出来？ 再看课本 P121 的例1，这也是一道古算题，出自《张丘建算经》：「今有甲、乙怀钱，各不知其数。甲得乙十钱，多乙余钱五倍。乙得甲十钱，适等。问甲、乙怀钱各几何？」（课本 P121 例1） 题目的意思是：甲、乙两人各自带了若干钱，数目都不知道。如果甲得到乙的 10 钱，那么甲的钱数比乙剩下的钱数多 5 倍；如果乙得到甲的 10 钱，那么两人的钱数正好相等。问甲、乙两人各带了多少个钱。 设甲带了 x 个钱、乙带了 y 个钱。甲得到乙的 10 钱，甲变成 x + 10，乙剩下 y - 10，甲的钱数比乙剩下的多 5 倍，也就是甲的钱数等于乙剩下的钱的 6 倍，写成 x + 10 = 6(y - 10)；乙得到甲的 10 钱，乙变成 y + 10，甲剩下 x - 10，两人相等，写成 y + 10 = x - 10。两条方程联立起来： 由第二条式子移项，得 x = y + 20。把这个式子代进第一条式子，得 (y + 20) + 10 = 6(y - 10)。整理左边得 y + 30，展开右边得 6y - 60，于是 y + 30 = 6y - 60，移项得 30 + 60 = 6y - y，也就是 5y = 90，解得 y = 18。把 y = 18 代回 x = y + 20，得 x = 38。所以 x = 38，y = 18。答：甲带了 38 个钱，乙带了 18 个钱。 算完别忘了检验：甲得到乙的 10 钱以后，甲有 48 个钱，乙剩下 8 个钱，48 正好是 8 的 6 倍，也就是比乙剩下的多 5 倍；乙得到甲的 10 钱以后，乙有 28 个钱，甲剩下 28 个钱，两人正好相等。两个条件都满足。 • 练一练：（1）例1 里「多乙余钱五倍」为什么写成 x + 10 = 6(y - 10)，而不是 x + 10 = 5(y - 10)？（2）用加减消元法再解一遍例1 的方程组，看看结果一样吗？（3）课本 P121 的随堂练习：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。问牛、羊各直金几何？请设牛每头值 x 两、羊每头值 y 两，列方程组求解。 我写： 温馨提示：「多 5 倍」和「是 5 倍」差着一个本身，这类说法要先在草稿纸上把关系翻译成一句话再动笔：甲的钱数是乙剩下的钱的 6 倍。 ◆ 第二程 经济问题：用表格理清数量关系 课本 P122 的引例是一道关于工厂经营的问题：某工厂去年的利润（总收入减总支出）为 200 万元。今年总收入比去年增加了 20%，总支出比去年减少了 10%，今年的利润为 780 万元。去年的总收入、总支出各是多少万元？（课本 P122） 这道题里的量比较多：有去年和今年两个时间，每个时间又有总收入、总支出、利润三个量。把量按时间排成行、按类别排成列，题里的关系就一目了然了（如图4）。 图4 用表格理清数量关系 ( 总收入 总支出 利润 去年 今年 ) 表格法的要点是分类：同一类量排在一行，同一个时间的量排在一列 图4 把去年、今年的总收入、总支出、利润排成行和列，同一行同一列的量对得上 设去年的总收入是 x 万元、总支出是 y 万元。利润是总收入减总支出，于是去年的利润写成 x - y，题里说去年利润是 200 万元，得 x - y = 200。今年的总收入比去年增加 20%，就是去年的 1.2 倍，写成 1.2x；今年的总支出比去年减少 10%，就是去年的 0.9 倍，写成 0.9y；今年的利润是 780 万元，得 1.2x - 0.9y = 780。两条方程联立起来： 由第一条式子移项，得 x = y + 200。把这个式子代进第二条式子，得 1.2(y + 200) - 0.9y = 780。去括号得 1.2y + 240 - 0.9y = 780，合并同类项得 0.3y + 240 = 780，移项得 0.3y = 540，解得 y = 1800。把 y = 1800 代回 x = y + 200，得 x = 2000。所以 x = 2000，y = 1800。答：去年的总收入是 2000 万元，总支出是 1800 万元。 检验一遍：去年的利润是 2000 - 1800 = 200 万元；今年的总收入是 1.2 × 2000 = 2400 万元，今年的总支出是 0.9 × 1800 = 1620 万元，今年的利润是 2400 - 1620 = 780 万元。两个条件都满足。 再看课本 P122 的例2：医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品。每克甲原料含 0.5 单位蛋白质和 1 单位铁质，每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质。若病人每餐需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？（课本 P122 例2） 这里的量是「两种原料各自的蛋白质和铁质含量」与「需要的总量」。设每餐用甲原料 x 克、乙原料 y 克。蛋白质的总量等于甲原料里的蛋白质加上乙原料里的蛋白质，写成 0.5x + 0.7y = 35；铁质的总量写成 x + 0.4y = 40。两条方程联立起来： 把第一条式子的两边都乘 2，得 x + 1.4y = 70。用这个式子减去第二条式子，得 (1.4y - 0.4y) = 70 - 40，也就是 y = 30。把 y = 30 代进第二条式子，得 x + 12 = 40，解得 x = 28。所以 x = 28，y = 30。答：每餐用甲原料 28 克、乙原料 30 克，恰好满足病人的需要。 检验一遍：28 克甲原料含蛋白质 14 单位、含铁质 28 单位；30 克乙原料含蛋白质 21 单位、含铁质 12 单位。合起来蛋白质 35 单位、铁质 40 单位，与题目要求一致。 • 练一练：（1）引例里的表格如果按「总收入、总支出、利润」三行、「去年、今年」两列来排，和课本上的排法相比，读起来有什么不同？（2）例2 里「甲原料含的铁质」为什么可以直接写成 x，而不用乘一个系数？（3）课本 P123 的随堂练习：一、二两班共有 100 名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为 81%。如果一班学生的体育达标率为 87.5%，二班学生的体育达标率为 75%，那么一、二两班各有多少名学生？ 我写： 温馨提示：写增长率、减少率的式子时，先把「比谁」「增还是减」写清楚：比去年增加 20% 就是去年的 1.2 倍，比去年减少 10% 就是去年的 0.9 倍。做成表格以后，每一格里的式子都要能说清是哪两个量算出来的。 ◆ 第三程 行程与几何问题：用线段图看清等量关系 有些问题里的量看不见、摸不着，画一条线段把它们的位置关系摆出来，关系就清楚了。先看课本 P124 的例3：一列火车以 40 m/s 的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时 30 s，其中火车整个车身都在隧道里的时间是 20 s，求隧道的长度和火车的长度。（课本 P124 例3） 这道题里有两个容易看漏的量：隧道长和车长。画两条线段，把它们摆在一起就能看清楚（如图5）。火车从车头进到车尾出，车走过的路程正好是隧道长加上车长；火车的整个车身都在隧道里的那段时间里，车走过的路程正好是隧道长减掉车长。 图5 用线段图看清行程问题 ( 从车头进到车尾出 隧道长 车长 整个车身都在隧道 隧道长 车长 ) 线段图把看不见的行程摆成看得见的线段，车长这一截就不会再漏掉 图5 从车头进到车尾出时路程是隧道长加车长，整个车身在隧道时路程是隧道长减车长 设隧道的长是 x 米、火车的长是 y 米。第一种情形，车 30 s 走了隧道长加车长，路程等于 40 × 30，得 x + y = 40 × 30；第二种情形，车 20 s 走了隧道长减车长，得 x - y = 40 × 20。两条方程联立起来： 先算出右边的数：40 × 30 = 1200，40 × 20 = 800，于是 x + y = 1200，x - y = 800。把两条式子相加，得 2x = 2000，解得 x = 1000；把 x = 1000 代进第一条式子，得 1000 + y = 1200，解得 y = 200。所以 x = 1000，y = 200。答：隧道的长是 1000 米，火车的长是 200 米。 检验一遍：火车 30 s 走 40 × 30 = 1200 米，正好是隧道长 1000 米加车长 200 米；火车 20 s 走 40 × 20 = 800 米，正好是隧道长 1000 米减车长 200 米。两个条件都满足。 课本 P125 的「里程碑上的数」也是一道行程题：小明每隔 1 小时看到一次里程碑上的数。12:00 看到的是一个两位数，它的两个数字之和是 7；13:00 看到的数与 12:00 看到的数相比，十位数字与个位数字刚好颠倒；14:00 看到的数比 12:00 看到的数中间多了个 0。求小明在 12:00 时看到的里程碑上的数。（课本 P125） 设 12:00 看到的数的十位数字是 x、个位数字是 y。那么 12:00 看到的数是 10x + y，13:00 看到的数是 10y + x，14:00 看到的数是 100x + y。每隔 1 小时走的路程相同，所以 12:00 到 13:00 的路程与 13:00 到 14:00 的路程相等。由「两个数字之和是 7」得 x + y = 7；由「两段路程相等」得 (10y + x) - (10x + y) = (100x + y) - (10y + x)。两条方程联立起来： 先把第二条式子整理一下。左边去括号得 9y - 9x，右边去括号得 99x - 9y，于是 9y - 9x = 99x - 9y，两边都加上 9x 再加 9y，得 18y = 108x，两边都除以 18，得 y = 6x。把 y = 6x 代进 x + y = 7，得 7x = 7，解得 x = 1。把 x = 1 代人 y = 6x，得 y = 6。所以 x = 1，y = 6，12:00 看到的两位数是 16。 检验一遍：12:00 看到 16，13:00 看到 61，14:00 看到 106。12:00 到 13:00 走了 61 - 16 = 45，13:00 到 14:00 走了 106 - 61 = 45，两段路程相等，符合匀速行驶的条件。答：小明在 12:00 时看到的里程碑上的数是 16。 • 练一练：（1）例3 里如果只设一个未知数，能不能把这道题做出来？试一试并与同伴交流。（2）里程碑上的数里，14:00 看到的数为什么是 100x + y，而不是 10x + y？（3）补充：用一根长 60 cm 的铁丝围成一个长方形，已知长比宽的 2 倍少 3 cm，求这个长方形的长和宽。 我写： 温馨提示：凡遇到行程问题，先在草稿纸上画一条线段图，把每个量对应的那一截标出来，再找「哪两段路程相等」。数字问题里，两位数写成 10x + y、三位数写成 100x + y，这个代数式是解题的第一步。 三程走完，回头看这三类问题，各有一样趁手的工具（如图6）：古算题先把文言译成现代文；经济问题用表格理清数量关系；行程与几何问题用线段图看清各段的关系。工具不同，做法其实是同一套——都是找出两组等量关系，再列方程、解方程。 图6 按问题的类型挑一种理清等量关系的工具 ( 古算题 先把文言译成现代文 经济问题 用表格理清数量关系 行程与几何问题 用线段图看清各段的关系 ) 三类问题三样工具，都指向同一件事：把两组等量关系找出来 图6 古算题先译后算，经济问题用表格，行程与几何问题用线段图 • 练一练：（1）古算题、经济问题、行程与几何问题这三类里，哪一类最容易把「车长」这样的量漏掉？为什么？（2）把本节三道引例的等量关系各用一句话说出来。（3）下面几个问题各该用哪一种工具？① 甲、乙两人带钱若干，甲给乙 5 钱后两人相等；② 某商品去年和今年的销售额变化；③ 一列火车完全通过一座桥。 我写： 温馨提示：工具只是帮忙看清关系，最后都要落到同一套六步上。走完每一程都回头对一遍：题目的答案有没有写单位？检验有没有做？ 四、当堂达标检测 下面 A、B、C 三组题请独立完成，把过程写在作答区，写完再对照后面的参考答案。 温馨提示：A 组考六步里的列式与求解，B 组考表格法与线段图，C 组要把设元、列式与检验合起来用。做完回头检查三点——设的未知数有没有用上；方程两边是不是同类量；求出的解符不符合实际。 ◆ A 组（基础） • 填空：笼子里有鸡和兔共 12 只，共有 32 只脚。设有鸡 x 只、兔 y 只，由「共 12 只」得方程____，由「共 32 只脚」得方程____。 • 选择：某工厂去年的利润为 100 万元，今年的总收入比去年增加 10%，总支出比去年减少 10%，今年的利润为 220 万元。设去年总收入为 x 万元、总支出为 y 万元，由题意列出的方程组是（ ）A. x - y = 100 与 1.1x - 0.9y = 220 B. x - y = 100 与 1.1x + 0.9y = 220 C. x + y = 100 与 1.1x - 0.9y = 220 D. x - y = 100 与 0.9x - 1.1y = 220 • 甲、乙两数的和是 20，甲数比乙数的 2 倍少 1。求甲、乙两数。 我写： ◆ B 组（提高） • 甲、乙两人共带了 60 个钱币，若甲给乙 5 个钱币，则两人的钱币数相等。求甲、乙两人各带了多少个钱币。 • 一列火车以 20 m/s 的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道共用 40 s，其中整个车身都在隧道里的时间是 20 s。求隧道的长度和火车的长度。 • 某商店把甲、乙两种商品共 100 件全部售出，甲种商品每件盈利 10 元，乙种商品每件盈利 15 元，共盈利 1250 元。求甲、乙两种商品各售出多少件。 我写： ◆ C 组（拓展） • 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大 3，把这个两位数的两个数字交换位置后所得的新数与原数的和是 121。求这个两位数。 • 某校八年级共 200 名学生参加植树活动，男生每人植 3 棵，女生每人植 2 棵，共植树 510 棵。求男、女生各有多少人。 • 甲、乙两地相距 420 km，一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，2 小时后相遇；若两车从同一地点同时同向出发，客车 6 小时后追上货车。设客车的速度为 x km/h、货车的速度为 y km/h，列方程组求两车的速度。 我写： 温馨提示：B 组第 2 题先画线段图，看清 40 s 与 20 s 各对应哪一段路程；C 组第 1 题先把原数写成 10x + y、新数写成 10y + x；C 组第 3 题两个条件分别是「相向而行两车路程之和等于全程」和「同向而行两车路程之差等于全程」。 五、课堂归纳总结 ◆ 知识梳理 • 列二元一次方程组解应用题，一般要经过审题、设元、列式、求解、检验、作答六个步骤。审题是弄清题意，找出题目中的两组等量关系；设元是用字母表示题目中的两个未知数。（课本 P120） • 古算题先要把文言译成现代文，弄清每个量表示什么，常用的是鸡兔同笼、和差倍分、盈不足这几类。 • 经济问题里的量比较多，把量按时间排成行、按类别排成列做成表格，从表格里读出等量关系最省事。增长率、减少率要用乘法表示：比去年增加 20% 就是 1.2x，比去年减少 10% 就是 0.9y。（课本 P122） • 行程与几何图形问题先画线段图。火车完全通过一个隧道时，路程等于隧道长加车长；火车的整个车身都在隧道里时，路程等于隧道长减车长。（课本 P124） • 数字问题里，两位数写成 10x + y，三位数写成 100x + y；交换两个数字的位置，就是把十位与个位对调。 把六个步骤要做的事摆在一起对照着记： 步骤 要做的事 本节里对应的做法 审题 弄清题意，找出两组等量关系 古算题先把文言译成现代文 设元 设两个未知数 一般设题目直接问的那两个量 列式 根据等量关系写出两个方程 经济问题用表格，行程几何用线段图 求解 解二元一次方程组 代入消元法或加减消元法都能用 检验 看解是否符合实际 只数、人数、件数必须是正整数 作答 写出结果，写上单位 有两问就分两句答 ◆ 易错清单 • 误：只设一个未知数，却要求列两个方程。正：二元一次方程组要有两个未知数，一般设题目直接问的那两个量。 • 误：方程两边不是同类量，或者单位不统一。正：方程两边表示的是同类量，同类量的单位要统一，比如一边用「万元」另一边就不能混用「元」。 • 误：把「比去年增加 20%」写成 x + 20%。正：应写成 (1 + 20%)x，也就是 1.2x。 • 误：路程问题里把车长漏掉。正：先看清是「完全通过」还是「整个车身在隧道里」，前者是隧道长加车长，后者是隧道长减车长。 • 误：算出未知数的值就交卷，不检验。正：还要检验解是否符合实际，只数、人数、件数必须是正整数。 • 误：答句只写结果，不写单位，也不分问作答。正：作答要写清结果和单位，有几问就答几句。 ◆ 思想方法 • 建模：把实际问题里的数量关系写成二元一次方程组，再用数学的办法求出结果，最后回到实际问题里作答。 • 化归：解应用题最后都落到解二元一次方程组上；把新问题化归成学过的问题，是这一节最常用的一条路。 • 数形结合：经济问题借表格，行程与几何问题借线段图，把藏在文字里的关系摆到纸面上来。 把从读题到作答的路线整理成一张表： 环节 要做的事 本节里对应的一步 读题译文 把古算题的文言译成现代文 读通以后每个量表示什么就清楚了 找关系 找出两组等量关系 头与脚、收入与支出、路程与长度 设与列 设两个未知数，写出两个方程 设元越直接，方程越好写 解与验 解方程组，再检验是否符合实际 解完把两个值代回原方程组 写出答句 写出结果，写上单位 一个问题有几问就答几句 我写： 六、课后巩固训练 课后先独立完成 A、B、C 三组题，再做课本上的《习题5.3》。做题时先读题、再找等量关系、然后设元列式，算完把解代回原方程组检验，最后写上答句。 ◆ A 组（基础巩固） • 填空：列二元一次方程组解应用题，一般要经过审题、设元、____、求解、____、作答六个步骤。 • 笼子里有鸡和兔共 30 只，共有 88 只脚。求鸡和兔各有多少只。 • 甲、乙两数的和是 36，甲数是乙数的 3 倍。求甲、乙两数。 我写： ◆ B 组（能力提升） • 某工厂去年的总收入比总支出多 300 万元，今年的总收入比去年增加 10%，总支出比去年减少 5%，今年的总收入比总支出多 600 万元。求去年的总收入和总支出。 • 用甲、乙两种原料配制一种饮料，每克甲原料含 0.5 单位维生素和 0.2 单位矿物质，每克乙原料含 0.3 单位维生素和 0.6 单位矿物质。要配制含 34 单位维生素和 28 单位矿物质的饮料，甲、乙两种原料各需多少克？ • 甲、乙两人从相距 36 km 的两地同时出发相向而行，3 小时后相遇；若两人同时同向出发，9 小时后甲追上乙。求甲、乙两人的速度。 我写： ◆ C 组（综合拓展） • 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是 12，把这个两位数的两个数字交换位置后所得的新数比原数小 18。求这个两位数。 • 某车间有 40 名工人，每人每天平均生产螺栓 9 个或螺母 12 个，1 个螺栓要配 2 个螺母。应安排多少人生产螺栓、多少人生产螺母，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ • 某旅行社组织游客若干人乘车外出，若每辆客车坐 40 人，则有 10 人没有座位；若每辆客车坐 45 人，则恰好坐满，并且少用 1 辆客车。设有客车 x 辆、游客 y 人，列方程组求客车数与游客数。 我写： 温馨提示：C 组第 2 题的配套关系是「螺栓总数的 2 倍等于螺母总数」；第 3 题的两个条件分别是「40 人一辆车时游客比座位多 10 人」和「45 人一辆车时座位与游客刚好相等」。 ◆ 《习题5.3》（课本 P125—P127） • 第 1—4 题（课本 P125）：这四题是古算题与和差倍分问题，题面见课本 P125 的《习题5.3》第 1—4 题，请照课本题面作答。做法与本节第一程完全相同：先把文言译成现代文，弄清每个量表示什么，找出两组等量关系，再设两个未知数、列方程组求解，最后检验并写上答句。 • 第 5 题（课本 P126）：《九章算术》中记载：今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻。一雀一燕交而处，衡适平。并燕、雀重一斤。问燕、雀一枚各重几何？设每只雀重 x 斤、每只燕重 y 斤，列方程组求解。 • 第 6 题（课本 P126）：甲、乙两人各带了若干钱。若甲给乙 10 钱，则两人的钱数相等；若乙给甲 10 钱，则甲的钱数是乙的 2 倍。设甲带了 x 钱、乙带了 y 钱，列方程组求两人各带了多少个钱。 • 第 7 题（课本 P126）：某宾馆的客房有单人间和双人间两种，单人间每间每天的住宿费是 300 元，双人间每间每天的住宿费是 360 元。一个 30 人的旅行团到该宾馆住宿，住了若干间客房，且每间客房正好住满，一天共花去住宿费 6600 元。这个旅行团分别住了多少间单人间和双人间？ • 第 8 题（课本 P126）：某商店准备用两种单价分别为 36 元/kg 和 20 元/kg 的糖果混合成杂拌糖果出售，混合后糖果的单价是 28 元/kg。现在要配制这种杂拌糖果 100 kg，需要两种糖果各多少千克？ • 第 9 题（课本 P126）：某一天，蔬菜经营户花 90 元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共 40 kg，到菜市场去卖。黄瓜的批发价是 2.4 元/kg，零售价是 3.6 元/kg；茄子的批发价是 2 元/kg，零售价是 2.8 元/kg。他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少元？ • 第 10 题（课本 P127）：相传阿基米德在洗澡时发现了著名的阿基米德原理，并据此鉴定了纯金皇冠是否掺假。假设皇冠浸没在水中时排开的水的体积为 60 mL，皇冠的质量是 1114 g。这个皇冠是纯金的吗？如果掺入了白银，你知道皇冠中到底有黄金多少立方厘米、白银多少立方厘米吗？（1 mL = 1 立方厘米，1 立方厘米黄金的质量约为 19.3 g，1 立方厘米白银的质量约为 10.5 g。） • 第 11 题（课本 P127）：某环形道路长 400 m，甲、乙两人从同一地点出发，分别以一定的速度练习长跑和骑自行车。如果反向而行，那么他们每隔 25 s 相遇一次；如果同向而行，那么他们每隔 80 s 相遇一次。设甲的速度是 x m/s、乙的速度是 y m/s，且乙比甲快，列方程组求两人的速度。 ◆ 中考真题小练 • (2026年·浙江杭州) 笼子里有鸡和兔共 20 只，共有 56 只脚。设有鸡 x 只、兔 y 只，由题意列出的方程组是（ ）A. x + y = 20 与 2x + 4y = 56 B. x + y = 20 与 4x + 2y = 56 C. x + y = 56 与 2x + 4y = 20 D. x + y = 20 与 2x + 2y = 56 • (2026年·江苏南京) 某工厂去年的利润为 200 万元，今年的总收入比去年增加 15%，总支出比去年减少 5%，今年的利润为 400 万元。设去年的总收入为 x 万元、总支出为 y 万元，先列出关于 x、y 的方程组，再求去年的总收入和总支出。 • (2026年·福建厦门) 用甲、乙两种原料配制一种营养品，每克甲原料含 0.6 单位蛋白质和 0.5 单位铁质，每克乙原料含 0.4 单位蛋白质和 0.8 单位铁质。要配制含 40 单位蛋白质和 45 单位铁质的营养品，甲、乙两种原料各需多少克？ • (2026年·辽宁沈阳) 一列火车以 30 m/s 的速度通过一座桥，从车头上桥到车尾离桥共用 50 s，整个车身都在桥上的时间是 30 s。设桥长为 x m、火车长为 y m，先列出关于 x、y 的方程组，再求桥长和火车长。 • (2026年·四川成都) 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是 11，把这个两位数的两个数字交换位置后所得的新数比原数大 27。求这个两位数。 • (2026年·湖北武汉) 某校租用甲、乙两种客车组织学生参加社会实践活动。租 3 辆甲种客车和 2 辆乙种客车共需 1900 元；租 2 辆甲种客车和 3 辆乙种客车共需 2100 元。求每辆甲种客车和每辆乙种客车的租金。 七、学后反思与建模六步小结 ◆ 我的收获 • 我知道了列二元一次方程组解应用题要经过审题、设元、列式、求解、检验、作答六步。 • 我学会了读古算题：先把文言译成现代文，弄清每个量表示什么，再找出两组等量关系。 • 我学会了用表格理清经济问题里的量，同一类量排在一行，同一个时间的量排在一列。 • 我学会了用线段图看行程与几何问题，知道了火车完全通过隧道时路程是隧道长加车长。 • 我知道了算完以后还要检验，只数、人数、件数必须是正整数，算出负数或小数要回头检查。 ◆ 我的疑问 • 如果一道题里的量特别多，表格要怎样排才最省事？我打算拿课本上的题试一试不同的排法。 • 设元的时候，除了设题目直接问的两个量，还有没有别的设法？我打算把例3 用另一种设法再做一遍，比一比哪一种更省事。 ◆ 建模六步小结 把六步各自最容易出问题的地方整理成一张表： 步骤 一句话记法 最容易出错的地方 审题 先把题意读明白 两组等量关系只找出一组 设元 设题目问的两个量 设的未知数用不上 列式 两条关系各写一个方程 方程两边不是同类量 求解 消元解方程组 相减时漏项、乘数时漏乘常数 检验 代回去看是否符合实际 算出负数或不合理的结果不回头 作答 写清结果和单位 漏单位、漏答一问 我写： 八、参考答案 ◆ （一）课前自主学习 1. 一元一次；二元一次方程组。 2. 2x；4y。 3. 10a + b；10b + a。 4. 1.2x；0.9y。 5. 60v；x + y。 ◆ （二）课中合作探究 第一程 引例：练一练——（1）设兔 x 只、鸡 y 只，方程组是 x + y = 35 与 4x + 2y = 94，解出的结果完全一样，仍是兔 12 只、鸡 23 只，只是设的字母换了名字。（2）都相等：把 x = 23、y = 12 代进 x + y = 35，左边 = 23 + 12 = 35，右边 = 35；代进 2x + 4y = 94，左边 = 2 × 23 + 4 × 12 = 46 + 48 = 94，右边 = 94。（3）设甲原有 x 个钱币、乙原有 y 个钱币。甲得乙 10 个后，甲有 x + 10，乙剩 y - 10，由「甲的钱币数是乙的 2 倍」得 x + 10 = 2(y - 10)；乙得甲 10 个后，乙有 y + 10，甲剩 x - 10，由「两人相等」得 y + 10 = x - 10。由第二条得 x = y + 20，代进第一条得 y + 20 + 10 = 2(y - 10)，即 y + 30 = 2y - 20，解得 y = 50；把 y = 50 代回 x = y + 20，得 x = 70。所以甲原有 70 个钱币，乙原有 50 个钱币。 第一程 例1：练一练——（1）因为「多乙余钱五倍」是说甲的钱数比乙剩下的钱多出的部分是乙剩下的钱的 5 倍，所以甲的钱数是乙剩下的钱的 (1 + 5) 倍，即 6 倍，应写成 x + 10 = 6(y - 10)；写成 5(y - 10) 就漏掉了乙剩下的那一份。（2）把第一条式子整理得 x - 6y = -70，第二条式子整理得 x - y = 20；两式相减得 -5y = -90，y = 18；把 y = 18 代入 x - y = 20，得 x = 38。结果与上面完全一样。（3）设牛每头值 x 两、羊每头值 y 两，由「牛五、羊二，直金十两」得 5x + 2y = 10，由「牛二、羊五，直金八两」得 2x + 5y = 8。把第一条式子的两边都乘 5，得 25x + 10y = 50；把第二条式子的两边都乘 2，得 4x + 10y = 16；两式相减得 21x = 34，x = 。把 x = 代进第一条式子，得 5 × + 2y = 10，即 + 2y = 10，2y = ，y = 。所以牛每头值 两，羊每头值 两。 第二程 引例：练一练——（1）两种排法都行。按「时间排成行、类别排成列」时，同一行里的量属于同一个时间；按「类别排成行、时间排成列」时，同一行里的量属于同一类。看题里时间多还是类别多，哪一种排法让单元格里的式子更好读就用哪一种。（2）因为每克甲原料含 1 单位铁质，「1 单位」乘上 x 克还是 x，所以可以直接写成 x，不必再写系数 1。（3）设一班有 x 名学生、二班有 y 名学生。由「共 100 名学生」得 x + y = 100；由「体育达标率为 81%，即达标人数是 81 人」得 0.875x + 0.75y = 81。把第一条式子的两边都乘 0.75，得 0.75x + 0.75y = 75；用第二条式子减去它，得 0.125x = 6，解得 x = 48。把 x = 48 代进 x + y = 100，得 y = 52。所以一班有 48 名学生，二班有 52 名学生。 第二程 例2：练一练见上（例2 的检验见正文）。本节例2 的答案是每餐甲原料 28 克、乙原料 30 克。 第三程 例3 与里程碑：练一练——（1）可以只设一个未知数，比如设火车的长为 y 米，则隧道长为 (1200 - y) 米，再用「车 20 s 走的路程是隧道长减车长」列出 1200 - y - y = 800，解得 y = 200，隧道长为 1000 米。设两个未知数时两条关系各写一个方程，思路更直，不容易漏掉某一个量。（2）因为 14:00 看到的数是「比 12:00 看到的两位数中间多了个 0」，也就是三位数，百位上的数字还是 x、个位上的数字还是 y，十位上是 0，所以写成 100x + y。（3）设这个长方形的长是 x cm、宽是 y cm。由「长比宽的 2 倍少 3 cm」得 x = 2y - 3；由「铁丝长 60 cm 是长方形的周长」得 2(x + y) = 60，即 x + y = 30。把 x = 2y - 3 代进 x + y = 30，得 2y - 3 + y = 30，3y = 33，解得 y = 11；把 y = 11 代回 x = 2y - 3，得 x = 19。所以这个长方形的长是 19 cm，宽是 11 cm。 第三程 三程小结：练一练——（1）行程与几何问题最容易把「车长」这样的量漏掉，因为它藏在图形里，不画线段图就不容易看见。（2）鸡兔同笼的等量关系是「头的总数」和「脚的总数」；增收节支的等量关系是「去年的利润」和「今年的利润」；火车过隧道的等量关系是「完全通过时的路程」和「整个车身在隧道时的路程」。（3）① 用线段图（两人的钱数一增一减的关系也适合先画出来看），② 用表格，③ 用线段图。 ◆ （三）当堂达标检测 A：1. x + y = 12；2x + 4y = 32。 2. A（今年总收入是去年的 1.1 倍，写成 1.1x；今年总支出是去年的 0.9 倍，写成 0.9y，利润关系得 1.1x - 0.9y = 220）。 3. 设甲数为 x、乙数为 y。由「两数的和是 20」得 x + y = 20；由「甲数比乙数的 2 倍少 1」得 x = 2y - 1。把 x = 2y - 1 代进 x + y = 20，得 2y - 1 + y = 20，3y = 21，解得 y = 7；把 y = 7 代回 x = 2y - 1，得 x = 13。所以甲数是 13，乙数是 7。 B：1. 设甲带了 x 个钱币、乙带了 y 个钱币。由「共带 60 个」得 x + y = 60；由「甲给乙 5 个后两人相等」得 x - 5 = y + 5，即 x - y = 10。把两式相加得 2x = 70，x = 35；把 x = 35 代进 x + y = 60，得 y = 25。所以甲带了 35 个钱币，乙带了 25 个钱币。 2. 设隧道的长是 x m、火车的长是 y m。由「从车头进入隧道到车尾驶出隧道共用 40 s」得 x + y = 20 × 40 = 800；由「整个车身都在隧道里的时间是 20 s」得 x - y = 20 × 20 = 400。把两式相加得 2x = 1200，x = 600；把 x = 600 代进 x + y = 800，得 y = 200。所以隧道的长是 600 m，火车的长是 200 m。 3. 设甲种商品售出 x 件、乙种商品售出 y 件。由「共 100 件」得 x + y = 100；由「共盈利 1250 元」得 10x + 15y = 1250。把 y = 100 - x 代进第二条式子，得 10x + 15(100 - x) = 1250，整理得 -5x + 1500 = 1250，解得 x = 50；把 x = 50 代进 x + y = 100，得 y = 50。所以甲、乙两种商品各售出 50 件。 C：1. 设十位上的数字是 x、个位上的数字是 y。原数是 10x + y，新数是 10y + x。由「十位上的数字比个位上的数字大 3」得 x - y = 3；由「新数与原数的和是 121」得 (10y + x) + (10x + y) = 121，整理得 11(x + y) = 121，即 x + y = 11。把两式相加得 2x = 14，x = 7；把 x = 7 代进 x + y = 11，得 y = 4。所以这个两位数是 74。 2. 设男生有 x 人、女生有 y 人。由「共 200 名学生」得 x + y = 200；由「共植树 510 棵」得 3x + 2y = 510。把 y = 200 - x 代进第二条式子，得 3x + 2(200 - x) = 510，整理得 x + 400 = 510，解得 x = 110；把 x = 110 代进 x + y = 200，得 y = 90。所以男生有 110 人，女生有 90 人。 3. 由「相向而行 2 小时后相遇」得 2(x + y) = 420，即 x + y = 210；由「同向出发 6 小时后客车追上货车」得 6(x - y) = 420，即 x - y = 70。把两式相加得 2x = 280，x = 140；把 x = 140 代进 x + y = 210，得 y = 70。所以客车的速度是 140 km/h，货车的速度是 70 km/h。 ◆ （四）课后巩固训练 A：1. 列式；检验。 2. 设鸡有 x 只、兔有 y 只。由「共 30 只」得 x + y = 30；由「共 88 只脚」得 2x + 4y = 88。把 y = 30 - x 代进第二条式子，得 2x + 4(30 - x) = 88，整理得 -2x + 120 = 88，解得 x = 16；把 x = 16 代进 x + y = 30，得 y = 14。所以鸡有 16 只，兔有 14 只。 3. 设甲数为 x、乙数为 y。由「甲数是乙数的 3 倍」得 x = 3y；由「两数的和是 36」得 x + y = 36。把 x = 3y 代进 x + y = 36，得 4y = 36，解得 y = 9；把 y = 9 代回 x = 3y，得 x = 27。所以甲数是 27，乙数是 9。 B：1. 设去年的总收入是 x 万元、总支出是 y 万元。由「去年的总收入比总支出多 300 万元」得 x - y = 300；由「今年的总收入比总支出多 600 万元」得 1.1x - 0.95y = 600。由第一条得 x = y + 300，代进第二条得 1.1(y + 300) - 0.95y = 600，去括号得 1.1y + 330 - 0.95y = 600，合并同类项得 0.15y + 330 = 600，解得 y = 1800；把 y = 1800 代回 x = y + 300，得 x = 2100。所以去年的总收入是 2100 万元，总支出是 1800 万元。 2. 设甲原料需 x 克、乙原料需 y 克。由「含 34 单位维生素」得 0.5x + 0.3y = 34，两边都乘 10 得 5x + 3y = 340；由「含 28 单位矿物质」得 0.2x + 0.6y = 28，两边都乘 5 得 x + 3y = 140。用第一条式子减去第二条式子，得 4x = 200，x = 50；把 x = 50 代进 x + 3y = 140，得 3y = 90，y = 30。所以甲原料需 50 克，乙原料需 30 克。 3. 设甲的速度是 x km/h、乙的速度是 y km/h。由「相向而行 3 小时后相遇」得 3(x + y) = 36，即 x + y = 12；由「同向出发 9 小时后甲追上乙」得 9(x - y) = 36，即 x - y = 4。把两式相加得 2x = 16，x = 8；把 x = 8 代进 x + y = 12，得 y = 4。所以甲的速度是 8 km/h，乙的速度是 4 km/h。 C：1. 设十位上的数字是 x、个位上的数字是 y。原数是 10x + y，新数是 10y + x。由「两个数字之和是 12」得 x + y = 12；由「新数比原数小 18」得 (10x + y) - (10y + x) = 18，整理得 9(x - y) = 18，即 x - y = 2。把两式相加得 2x = 14，x = 7；把 x = 7 代进 x + y = 12，得 y = 5。所以这个两位数是 75。 2. 设安排 x 人生产螺栓、y 人生产螺母。由「共 40 名工人」得 x + y = 40；由「1 个螺栓要配 2 个螺母」得 2 × 9x = 12y，即 3x = 2y。由 x + y = 40 得 y = 40 - x，代进 3x = 2y 得 3x = 2(40 - x)，即 3x = 80 - 2x，5x = 80，解得 x = 16；把 x = 16 代进 x + y = 40，得 y = 24。所以安排 16 人生产螺栓、24 人生产螺母，每天生产螺栓 144 个、螺母 288 个，正好配套。 3. 由「每辆客车坐 40 人，则有 10 人没有座位」得 y = 40x + 10；由「每辆客车坐 45 人，则恰好坐满，并且少用 1 辆客车」得 y = 45(x - 1)。把两个式子联立，得 40x + 10 = 45(x - 1)，去括号得 40x + 10 = 45x - 45，移项得 55 = 5x，解得 x = 11；把 x = 11 代进 y = 40x + 10，得 y = 450。所以有 11 辆客车、450 名游客。 ◆ （五）课后教材习题（《习题5.3》） 第 1—4 题：这四题都在课本 P125 上，都是古算题与和差倍分问题，做法与本节第一程完全相同，按「译文言——找两组等量关系——设元列方程组——求解——检验作答」六步走；用代入消元法或加减消元法都可以，算完把两个值代回原方程组检验，人数、只数、钱数必须是正整数，算出负数或小数要回头检查等量关系。 第 5 题：设每只雀重 x 斤、每只燕重 y 斤。由「五雀、六燕共重一斤」得 5x + 6y = 1；由「一雀一燕交换以后两边重量相等」得 4x + y = 5y + x，整理得 3x = 4y。把 x = y 代进 5x + 6y = 1，得 y + 6y = 1，即 y = 1，解得 y = ；把 y = 代回 x = y，得 x = = 。所以每只雀重 斤，每只燕重 斤。 第 6 题：设甲带了 x 钱、乙带了 y 钱。由「甲给乙 10 钱后两人相等」得 x - 10 = y + 10，即 x = y + 20；由「乙给甲 10 钱后甲是乙的 2 倍」得 x + 10 = 2(y - 10)。把 x = y + 20 代进第二条式子，得 y + 20 + 10 = 2(y - 10)，即 y + 30 = 2y - 20，解得 y = 50；把 y = 50 代回 x = y + 20，得 x = 70。所以甲带了 70 钱，乙带了 50 钱。 第 7 题：设住了 x 间单人间、y 间双人间。由「单人间住 1 人、双人间住 2 人，旅行团共 30 人且每间住满」得 x + 2y = 30；由「一天共花去住宿费 6600 元」得 300x + 360y = 6600。把第一条式子两边都乘 300，得 300x + 600y = 9000；用这个式子减去第二条式子，得 240y = 2400，解得 y = 10；把 y = 10 代进 x + 2y = 30，得 x = 10。所以这个旅行团住了 10 间单人间和 10 间双人间。 第 8 题：设需要 36 元/kg 的糖果 x kg、20 元/kg 的糖果 y kg。由「配制杂拌糖果 100 kg」得 x + y = 100；由「混合后单价是 28 元/kg」得 36x + 20y = 28 × 100 = 2800。把 y = 100 - x 代进第二条式子，得 36x + 20(100 - x) = 2800，整理得 16x + 2000 = 2800，解得 x = 50；把 x = 50 代进 x + y = 100，得 y = 50。所以两种糖果各需要 50 kg。 第 9 题：设有黄瓜 x kg、茄子 y kg。由「共批发 40 kg」得 x + y = 40；由「共花 90 元」得 2.4x + 2y = 90。把 y = 40 - x 代进第二条式子，得 2.4x + 2(40 - x) = 90，整理得 0.4x + 80 = 90，解得 x = 25；把 x = 25 代进 x + y = 40，得 y = 15。所以黄瓜 25 kg、茄子 15 kg。当天卖完可赚的钱是 25 × (3.6 - 2.4) + 15 × (2.8 - 2) = 25 × 1.2 + 15 × 0.8 = 30 + 12 = 42 元。答：他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚 42 元。 第 10 题：先判断这个皇冠是不是纯金的。如果全部是黄金，60 立方厘米的质量应是 60 × 19.3 = 1158 g，而皇冠的质量只有 1114 g，比 1158 g 小，所以这个皇冠不是纯金的，里面掺了白银。设皇冠中有黄金 x 立方厘米、白银 y 立方厘米。由「排开水的体积是 60 mL，即 60 立方厘米」得 x + y = 60；由「皇冠的质量是 1114 g」得 19.3x + 10.5y = 1114。把 y = 60 - x 代进第二条式子，得 19.3x + 10.5(60 - x) = 1114，去括号得 19.3x + 630 - 10.5x = 1114，整理得 8.8x + 630 = 1114，解得 x = 55；把 x = 55 代进 x + y = 60，得 y = 5。所以皇冠中有黄金 55 立方厘米、白银 5 立方厘米。 第 11 题：乙比甲快，所以同向而行时是乙追上甲。由「反向而行每隔 25 s 相遇一次」得 25(x + y) = 400，即 x + y = 16；由「同向而行每隔 80 s 相遇一次」得 80(y - x) = 400，即 y - x = 5。把两式相加得 2y = 21，y = 10.5；把 y = 10.5 代进 x + y = 16，得 x = 5.5。所以乙的速度是 10.5 m/s，甲的速度是 5.5 m/s。 ◆ （六）中考真题 1. A（鸡有 2 只脚、兔有 4 只脚，只数关系写 x + y = 20，脚数关系写 2x + 4y = 56；这个方程组的解是 x = 12、y = 8）。 2. 由「去年的利润为 200 万元」得 x - y = 200；由「今年的利润为 400 万元」得 1.15x - 0.95y = 400。把 x = y + 200 代进第二条式子，得 1.15(y + 200) - 0.95y = 400，去括号得 1.15y + 230 - 0.95y = 400，合并同类项得 0.2y + 230 = 400，解得 y = 850；把 y = 850 代回 x = y + 200，得 x = 1050。所以去年的总收入是 1050 万元，总支出是 850 万元。 3. 设需甲原料 x 克、乙原料 y 克。由「含 40 单位蛋白质」得 0.6x + 0.4y = 40；由「含 45 单位铁质」得 0.5x + 0.8y = 45。把第一条式子两边都乘 2，得 1.2x + 0.8y = 80；用这个式子减去第二条式子，得 0.7x = 35，解得 x = 50；把 x = 50 代进 0.6x + 0.4y = 40，得 30 + 0.4y = 40，0.4y = 10，y = 25。所以甲原料需 50 克，乙原料需 25 克。 4. 由「从车头上桥到车尾离桥共用 50 s」得 x + y = 30 × 50 = 1500；由「整个车身都在桥上的时间是 30 s」得 x - y = 30 × 30 = 900。把两式相加得 2x = 2400，x = 1200；把 x = 1200 代进 x + y = 1500，得 y = 300。所以桥长 1200 m，火车长 300 m。 5. 设十位上的数字是 x、个位上的数字是 y。原数是 10x + y，新数是 10y + x。由「两个数字之和是 11」得 x + y = 11；由「新数比原数大 27」得 (10y + x) - (10x + y) = 27，整理得 9(y - x) = 27，即 y - x = 3。把两式相加得 2y = 14，y = 7；把 y = 7 代进 x + y = 11，得 x = 4。所以这个两位数是 47。 6. 设每辆甲种客车的租金是 x 元、每辆乙种客车的租金是 y 元。由「3 辆甲种客车和 2 辆乙种客车共 1900 元」得 3x + 2y = 1900；由「2 辆甲种客车和 3 辆乙种客车共 2100 元」得 2x + 3y = 2100。把两式相加，得 5x + 5y = 4000，即 x + y = 800；把两式相减，得 x - y = -200，即 y - x = 200。把两式相加得 2y = 1000，y = 500；把 y = 500 代进 x + y = 800，得 x = 300。所以每辆甲种客车的租金是 300 元，每辆乙种客车的租金是 500 元。 学科网（北京）股份有限公司 $