第5章 第3节 第1课时 和差倍分问题和古代数学问题-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

专题特训八二元一次方程组的含参问题 1.解法-：①×7+②，得15x-5y=25.联立，得 115x-5y=25 5解得2二1代入0，得2-（一2》=m十 x一3y=7, {y=-2 3,解得m=1.解法二：解方程组 2x-y=m+3,得 x+2y=4-7m, x=2-m, 由题意，得(2一m)-3(1一3m)=7,解得m=1. y=1-3m. (2x+5y=-26①， 2.(1)由题意，得 ①十②，得5x=10, 3x-5y=36②. 解得x=2.把x=2代人①，得4+5y=一26，解得y= 一6.所以这两个方程组的相同解为=2， y=-6. (2)把 r-2代人bc+ay=-8 ax-by=-4 y=-6 2a十6b=一4·化筒，得 得 {2b-6a=-8. a+3动=-200×3十@，得10w=-10,解得6=-1把 b-3a=-4②. b=-1代人②，得-1-3a=-4,解得a=1.所以2a十b=2× 1一1=1.因为1的平方根是士1，所以2a+b的平方根是士1. 3.设▲=a,■=b,◆=c.因为这个方程组的解是 y2所以3c+14=8,解得c=一2因为小红看错了 第二个方程中的x的系数，求出的解是下=一2， 所以把 y=2, x=3和 =-2, y=-2 代入ax+=2,得 {y=2 3a-2b=2, -2a+2b=2 2解得=4， 所以a=4,b=5,c=-2.所以 b=5. 4x+5y=2, 原方程组为-2x-1y=8. 4.把y=kx十b代入y=(3k-1)x+2,得kx+b=(3k一 1)x十2.所以(2k-1)x=b-2.(1)当方程组有唯一解 时，2k-1≠0，即k≠号6可以为任意实数。(2)当方程 组有无数解时，2k-1=0且6-2=0.所以6=2且6=2 3》当方程组无解时，2k一1=0且6一2≠Q所以k-号且6≠2 3二元一次方程组的应用 第1课时和差倍分问题和古代数学问题 1.A设蜻蜓是x只，蝉是y只.由题意，得 6x十6y一A2,解得二3”所以蜻蜓是3只，蝉是4只 2x+y=10, {y=4. 2.C设甲放x只羊，乙放y只羊.由题意，得 z+92y9》解得任二 故甲、乙两人羊的数量分 x-9=y+9, y=45. 别是63只、45只. 3 3.6设每尺绫的价格是x分，每尺绢的价格是y分.根据 3x+4y=48,, {x=8, 题意，得 解得 即每尺绢的价格是6分. 7x+2y=68,T y=6,1 4.设客人有x名，盘子有y个.根据题意，得 x /2-y+2, x=30, 解得 所以客人有30名，盘子有13个. 5+3= (y=13. 5.B因为绢与布共有30疋，且绢有x疋，布有y疋，所以 可列出方程x十y=30.因为绢与布共卖得570贯钱，且所列 方程组中另一个方程为婴x+号y=670,所以题中用… 表示的缺失条件应为4疋绢价格为90贯，3疋布价格为50贯。 6.A由题意，得区十1解得3， 2x-2=y, y=4. 7.200800设军官有x名，士兵有y名.根据题意，得 x十y=1000, x=200, 1 解得 所以军官有200名，士兵 4x+4)y=1000 y=800. 有800名： x=y+5, 8.15设绳长x尺，竿长y尺.由题意，得1 解 (2x=y-5. 得=0所以竿长15尺 y=15. 9.(1)设共喝了醇酒x瓶，醨酒y瓶.由题意，得 x+y=19, 1 3x+3y=33 .解得-10 所以共喝了醇酒10瓶，璃酒 y=9. 9瓶.(2)假设可能饮酒40瓶.设共喝了醇酒m瓶，璃酒 5 m十n=40, m=2' n瓶.由题意，得 1 解得 因为m,n 3m+3n=20 75 一2 应是非负整数，所以不可能饮酒40瓶， 10.(1)设该车间有男工x人，女工y人.根据题意，得 x十y=85, -x=31, 解得即该车间有男工31人，女工54人. y=2x-8, y=54, (2)设应该分配m名工人生产大齿轮，则分配(85一m)名 工人生产小齿轮.根据题意，得3×16m=2×10(85一m), 解得m=25,所以85-m=60,即应该分配25名工人生产 大齿轮，60名工人生产小齿轮. 11.(1)设该店有x间客房，y名房客.根据题意，得 1x+7=y,解得 x=8, 所以该店有8间客房，63名房 9(x-1)=y, (y=63. 客.(2)因为63÷4=15（间）…3（名），所以63名房客 至少需16间客房，需付房费20×16=320（钱）.若一次性 订18间客房，则需付房费20×18×0.8=288（钱）.因为 288<320,所以他们选择一次性订18间客房最划算 第2课时百分率和图表信息题 1.C设甲工厂原计划一天加工鲜奶xkg,乙工厂原计划 一天加工鲜奶ykg.根据题意，得 x+y=500, x=300, 解得{ 即甲工厂原计 {(1+20%)x+(1一30%)y=500, y=200, 划一天加工鲜奶300kg,乙工厂原计划一天加工鲜奶200kg 2.34设调价前每瓶碳酸饮料的价格为x元，每瓶果汁 饮料的价格为y元，则调价后每瓶碳酸饮料的价格为(1+ 10%)x元，每瓶果汁饮料的价格为(1一5%)y元.由题意， x十y=7, x=3, 得 解得 所 3×(1+10%)x+2×(1-5%)y=17.5, y=4. 以调价前每瓶碳酸饮料的价格为3元，每瓶果汁饮料的价 格为4元 3.设应选用A种食品x份，B种食品y份.根据题意，得 /240x+280y=1280, 12x+13y=62, 解得3， 即应选用A种食品 y=2, 3份，B种食品2份. 4.D设牙刷每支x元，牙音每盒y元.根据题意，得 /13x+7y=144, x=3, 解得 则第3天收人应为20×3十 14x+7y=147, {y=15 10×15=60+150=210(元)，与记录一致，无误；第4天收 人应为23×3+20×15=69+300=369（元），但记录为 366元，相差3元，存在错误 5.B设洗衣机中需要加人水约x千克，y匙洗衣粉.依题 x+4.94+0.02y=15, /x=10, 意，得 解得 所以洗衣机中 0.02y=15×0.4%, y=3. 需要加入水约10千克， 6.800设调价前每件上衣的售价是x元，每条裤于的售价 是y元，则调价后每件上衣的售价是(1+5%)x=1.05x(元)， 每条裤子的售价是(1一10%)y=0.9y(元)，每套服装的售 价是1000×(1+2%)=1020（元）.由题意，得 x+y=1000, x=800, 解得 所以调价前每件上 1.05.x+0.9y=1020. y=200. 衣的售价是800元. 7.6设每把休闲凳的高度为xcm,每多叠1把休闲凳高 x十y=52, x=46. 度增加ycm.根据题意，得 解得 所以 x+3y=64, v=6, 76x+1 y 76一46+1=6，即高76cm的收纳柜恰好可以 6 收纳6把休闲凳， 3 8.设投中A区域得x分，投中B区域得y分.根据题意， 3x+2y=41, x=7, 得 解得 所以4x+y=4×7+10= x+4y=47, y=10. 38.所以小丽投5次飞镖的总分为38分. 9.设去年他们家第一块地的花生产量是x千克，第二块地 的花生产量是y千克.根据题意，得 x+y=470, /x=100, 解得 所以今 (1-10%)x+(1-20%)y=386, (y=370. 年他们家第一块地的花生产量是100×(1一10%)=90（千 克)，第二块地的花生产量是370×(1一20%)= 296(千克) 方法归纳 设未知数的策略 找到等量关系后，便可以根据等量关系中的未知量 设未知数了.一般地，所设的两个未知数应能将其他所 有的未知量表示出来，并能列出方程组.注意并不是题 目要求哪个量，便设哪个量为未知数，有的题目是直接 设，有的题目是间接设若是间接设未知数，则在求出未 知数的值后，需进一步求出题目所要求的量」 10.思路导引 (1)进货单价×〔 10x+20y=3000 数量 第二15×(1+30%)x+ 解方程 进货总价 次10×(1+20%)y= 组解答 4500 (2)① 设A型台灯每台售价是m元， 每台台灯的 B型台灯每台售价是n元 进价 总利润=每台台灯的利润×数量 第一次：10(m-200)+20(n-50) 2800 解方 程组 第二次：15[m-200×(1+30%)]+ 解答 10[n-50×(1+20%)]=1800 ②再次 购买： A型台灯每台的利润 数量 总利润 B型台灯每台的利润 列二元一次方程 讨论整数解 (1)设第一次购进A型台灯每台进价是x元，B型台灯每第五章二元一次方程组 3二元一次方程组的应用 第1课时和差倍分问题和古代数学问题 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2025绍兴诸暨期中]每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀；每只蝉有6条腿，1对翅膀.现有若干只蜻蜓 和蝉，共有42条腿，10对翅膀，则蜻蜓和蝉的只数分别是 () A.3,4 B.4,3 C.2,5 D.5,2 2.[2025铜川期末]古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有这样一道题：甲、乙两人一同放牧， 两人暗地里在数羊的数量.如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数量为乙的两倍；如果甲给乙9只羊， 那么两人的羊数量相同.甲、乙两人羊的只数各是 () A.36,25 B.48,36 C.63,45 D.70,52 3.境数学文化[2025盐城中考]我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺， 共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分.问绫、绢各价若干？”大意为三尺绫和四尺绢共 值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺 绢的价格是 分 4.[2024准安中考]《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数.两人共盘，少两盘；三人共 盘，长三盘.问客及盘各几何？”意思为现有若干名客人，若2人共用1个盘子，则少2个盘子；若 3人共用1个盘子，则多出3个盘子.客人和盘子各有多少？请你解答这个问题， 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.[2025潍坊昌邑期未]我国古代数学著作《增删算法统宗》中有一首诗，其大意如下：今有绢与布30疋 (pi,同匹)，卖得570贯钱，若….欲问绢、布有多少，分开把价算.设绢有x疋，布有y疋，可列出符合 x+y=30, 题意的方程组为90,50 根据已有信息，题中用“…”表示的缺失条件应为() 4x+3y=570. A.4疋绢价格为50贯，3疋布价格为90贯B.4疋绢价格为90贯，3疋布价格为50贯 C.4疋布价格为90贯，3疋绢价格为50贯D.4疋布价格为50贯，3疋绢价格为90贯 6.我国民间流传着许多趣味算题，有这样一道数学题：一群老爷爷去赶集，他们买了一堆梨，如果每 人分一个，那么多一个梨；如果每人分两个，那么少两个梨.问：老爷爷有几位？这堆梨有几个？ 设老爷爷有x位，这堆梨有y个，则x,y的值分别为 () A.3,4 B.4,3 C.5,6 D.7,8 7.有这样一个官兵分布问题：一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少 数？这个问题的大意如下：一千名军官和士兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正 好分完，则军官有 名，士兵有 名 75 拔尖特训·数学（北师版）八年级上 8.明代数学家程大位编撰的《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长 一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托.”译文如下：有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比 竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺.在这个问题中，竿长 尺(“托”和 “尺”为古代的长度单位，1托=5尺). 9.《算法统宗》是我国古代数学名著，书中有这样一道题：肆中听得语吟吟，薄酒名醨（音同“离”，意 思是味淡的酒)厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人.共饮瓶酒一十九，三十三客醉醺醺，试 问高明能算士，几多醨酒几多醇？ (1)请解决上述问题， (2)按题中条件，若20人同时喝醉，且所饮璃酒、醇酒均为整数瓶，则此时是否可能饮酒40瓶？ 10.[2025毕节织金期末]工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大、小齿轮，该车间有工人 85人，其中女工人数比男工人数的2倍少8，每名工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿 轮10个 (1)该车间有男、女工各多少人？ (2)已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大、小齿轮恰好配套，应该分配多少名 工人生产大齿轮，多少名工人生产小齿轮？ 道]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.某数学兴趣小组研究《算法统宗》中的一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中.一房七客多 七客，一房九客一房空.”诗中后两句的意思如下：如果每间客房住7人，那么有7人无客房可 住；如果每间客房住9人，那么有一间客房空出. (1)该店有多少间客房？多少名房客？ (2)假设店主李三公对客房进行改造后，房间数大大增加.每间客房收房费20钱，且每间客房 最多入住4人，一次性订客房18间及以上，房费按八折优惠.若诗中“众客”再次一起入住，则他 们如何订客房最划算？ 76 >“答案与解析”见P34