第4章 第3节 第2课时 一次函数的图象和性质&专题特训五 一次函数图象与字母系数的关系-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

第四章一次函数 第2课时一次函数的图象和性质 边一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.回新定义题定义：已知一次函数y=kx十b(k,b为常数，k≠0)，称函数y=一 2k2(k,b为常 数，k≠0)是一次函数y=kx十b的“相垂函数”，则一次函数y=2x十4的“相垂函数”的图象是() D 2.结论开放题请写出一个图象平行于直线y=一3x,且过第一、二、四象限的一次函数的表 达式： 3.已知点(-2，y1),(-1,y2),(1,y3)都在直线y=一a2x十b(a≠0)上，则y1y2y3的值的大小 关系是 4.已知一次函数y=2x十4. (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象， (2)①图象经过第 象限， ②图象经过怎样的平移可以经过原点？ (3)该函数与函数y=6x一1相比，当x逐渐增大时，哪一个函数的值先达到50？ (第4题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.数形结合思想一次函数y=k(x一1)(k≠0)与y=k(1一x)(k≠0)在同一个平面直角坐标系内的 图象大致是 A B D 6.点(a,b),(a+1,c)在一次函数y=2x一3的图象上，函数y=4x十c一b的图象不经过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=kx十b交x轴于点A(-2,0),交y轴于点B.若 △AOB的面积为8，则k的值为 53 拔尖特训·数学（北师版）八年级上 8.如图，在平面直角坐标系中，点P(号)在直线y=2x+2与直线y=2x+4之 y↑y-2x+4 //y=2x+2 间，则a的取值范围是 9.[2025扬州仪征期末]已知一次函数l1:y=一2x十b. (1)若l1过点(1,2)，且点(3，y1),(5,y2)均在它的图象上，求y1一y2 (第8题) (2)若点(m,y1),(m+2,y2)在l1的图象上，求y1一y2 (3)若点(x1,m),(x2,m十2)也在l1的图象上，则x1一x2是定值吗？若不是，直接写“不是”；若 是，求出结果。 10,如图，在平面直角坐标系中，直线y=号十与：轴交于点A,直线1y2z十6与：轴 交于点B,且与直线11交于点C(-1,m). (1)求m和b的值. (2)求△ABC的面积， (3)若将直线l2向下平移t(t>0)个单位长度后，所得到的直线与直线11的交点在第一象限 内，求t的取值范围， 7-1,01 (第10题) 道三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.★小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题.现有7条不同的直线y=kx十b, (n=1,2,3,4,5,6,7),其中k1=k2,b3=b4=b5,则这7条直线的交点个数最多是 A.17 B.18 C.19 D.21 12.点P(x,y)在第一象限内，且x十y=8,点A的坐标为(6,0).设△OPA的面积为S. (1)S关于x的函数表达式为 ,其中x的取值范围是 (2)画出(1)中函数的图象， (3)当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为 (4)△OPA的面积能大于24吗？请说明理由. 54 “答案与解析”见P23 第四章一次函数 专题特训五 一次函数图象与字母系数的关系 类型一由一次函数图象判断系数的符号 1.[2025杭州期末]一次函数y=ax+b的图象如图所示，则化简|a十b|一√(b一a)2 的结果是 (用含a的式子表示) 类型二由系数的符号判断一次函数的图象 (第1题) 2.在平面直角坐标系中，点P(a,b)和一次函数y=a.x十b的图象可能是 ( B. 3.已知直线y=kx十b经过第一、二、四象限，则直线y=bx十k可能是图中的 类型三一次函数图象的共存问题 对于一次函数y=kx十b(k≠0)，当k,b的符号未知时，一般有以下三种处理方式：(1)根据k,b的符号分 类讨论，确定符合题意的函数图象；(2)先由一个函数图象的位置推出k,b的符号，再据此判断另一个函数图象 的位置是否正确；(3)先分别由两个函数图象的位置推出k,b的符号，再看是否一致 4,在同一平面直角坐标系中，函数y=一ax与y= 3x一a的图象大致是 六 5.[2025连云港海州期末]在同-平面直角坐标系中，一次函数y1=a.x十b和y2=abx-b的图象 可能是 D ●“答案与解析”见P24 557.k,>k,解法一：在两个图象上分别取横坐标为1的两 个点A和B,则A(1,k,),B(1,k2),结合题中图象可得 k1>k2·解法二：因为图象在第二、四象限，所以k,<0,2< 0.因为直线越陡，k|越大，所以川k,<k2.所以k>k2: 8.(16,32)(2112,2113)将x=1代入y=2x,得y=2. 所以，点A的坐标为(1,2).将y=2代入y=一x,得x= 一2.所以点A2的坐标为（一2,2）.同理，可得点A3的坐标 为（一2，一4），点A1的坐标为(4，一4)，点A的坐标为(4， 8),点A。的坐标为（一8,8），点A,的坐标为（一8，一16）， 点A。的坐标为(16，一16)，点Ag的坐标为(16,32)…所 以点Am+1的坐标为(22,22m+1),点Am+2的坐标为 （一22+1,22+1)，点Am+3的坐标为（一22+1，一2+2）， 点Am+1的坐标为(22+2，一2+2)(n为自然数).因为 2025=506×4+1,所以点A205的坐标为(22x06, 22×506+1),即(21012,21013). 9.(1)因为AHLx轴，点A的横坐标为3，所以OH=3. 因为△AOH的面积为3，所以2AH·OH=3.所以 AH=2.因为点A在第四象限，所以点A的坐标为(3， -2.将A(3,-2)代人y=,得-2=3，解得6=-号 所以正比例函数的表达式为y=一号x、(2)存在.因为 点P在直线y=kx上，可设点P的坐标为(m,一号m)小， 2 因为Sm=25AMm,所以7×3X-号m=2X3=6, 2 解得m=±6.所以P(6,一4)或(-6,4). 10.(1)如图所示.假设这些点在同一条直线上.由图可知 这条直线经过原点.所以设这条直线对应的函数表达式为 y=kx(k≠0).将x=72,y=25代人y=kx(k≠0)，得 25=72k,解得长=器所以y亮把=14代入y ，得y一君×11-0.所以(141,50满足y器同 25 理，可验证216,75)也满足y-亮.综上所述，假设成立， 即这些点在同一条直线上.当y=120时，x=345.6.所以 这条直线对应的园数表达式为y—(0≤≤3156》 (2当x=1584时y亮×1584-5.所以此时对应的 2 体重是55kg. 100fx/kg 75 50 25 0 72144216 (第10题)》 第2课时 一次函数的图象和性质 1.C由题意知，一次函数y=2x十4的“相垂函数”是y= 141 2x-22 2x-1,所以当x=0时y=-2x-1 一1.所以一次函数y=一2x一1的图象与y轴交于点(0， -1D当y=0时，0=-号x-1,解得x=-2,所以一次函 数y=-之1一1的图象与轴交于点(-2.0. 2.答案不唯一，如y=一3x十3设一次函数的表达式为 y=kx十b,因为图象平行于直线y=一3x,所以k=一3. 因为图象经过第一、二、四象限，所以b>0. 3.y1>y2>y3因为直线y=-a2x十b(a≠0)，所以k= 一a2<0.所以y随x的增大而减小.又因为-2<-1<1， 所以y1y2>y3· 4.(1)如图所示.(2)①一、二、三.②因为图象经过 点(0,4)，所以图象向下平移4个单位长度可以经过原点 (答案不唯一).(3)在y=2x+4中，当y=50时，2x+ 4=50,解得x=23;在y=6x-1中，当y=50时，6x-1= 50,解得x=8.5.因为8.5<23，所以当x逐渐增大时，y= 6x-1的函数值先达到50. y (第4题) 5.D当k>0时，一次函数y=k(x一1)的图象经过点(1， 0)且过第一、三、四象限，一次函数y=k(1一x)的图象经 过点(1,0)且过第一、二、四象限；当k<0时，一次函数y= k(x一1)的图象经过点(1,0)且过第一、二、四象限，一次函 数y=k(1一x)的图象经过点(1,0)且过第一、三、四象限. 故选项D符合题意. 6.D在一次函数y=2x一3中，因为2>0，所以y随x的 增大而增大.因为点(a,b),(a十1，c)在一次函数y=2x 3的图象上，且a<a+1,所以b<c.所以c一b>0.所以函 数y=4x十c一b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四 象限 7.4或一4因为直线y=kx十b交x轴于点A(一2,0)， 交y轴于点B,所以一2k+b=0,点B的坐标为(0，b), OA=2.所以OB=|b.因为△AOB的面积为8，所以 S△40s=2×2×b=8,解得b=±8.所以-2k+8=0或 -2k一8=0，解得k=4或k=-4. 8.1<a<3当点P在直线y=2x+2上时，a=2× (-2)+2=-1+2=1:当点P在直线y=2x+4上时， a=2×(-2)+4=-1+4=3所以1<a<3 9.(1)由条件，可得2=-2十b,所以b=4.所以y=-2x+ 4.当x=3时，y1=-2×3+4=-2;当x=5时，y2= -2×5十4=一6，所以y1-y2=-2-(-6)=4.(2)当 x=m时，y1=一2m十b;当x=m十2时，y2=一2(m十 2)+b=-2m-4+b,所以y1-y2=-2m+b-(-2m 4十b)=4.(3)当y=m时，m=-2x1十b:当y=m+ 2时，m十2=-2x2十b,所以m-(m+2)=-2x1+b (一2x2十b),整理，得x1一x2=1,所以是定值，定值为1. 10D把C-1m代人)=导+号得m=-号× (-1)+=2.所以点C的坐标为(-1,2).把C(-1,2) 代入y=2x十b,得2=-2+b,解得b=4.(2)对于y= -号x+号，当y=0时x=2.所以点A的坐标为(2,0》. 由(1)，得直线12对应的函数表达式为y=2x十4.当y=0 时，x=-2.所以点B的坐标为（一2,0）.所以AB=4.又 因为m=2,所以Se=号×4X2=4.(3)将直线1。 向下平移t(t>0)个单位长度后，所得到的直线对应的函 数表达式为y=2x十4-1.对于y=-号十号，当=0 时一子所以直线1，与y轴的交点坐标为(，号）把 (0,号)代人y=2红+4-，得号=4-t,解得=号把 A(2,0)代入y=2x十4-t,得0=4+4-t,解得t=8.所以 1的承值范围是<1<8 11.B因为k1=k2,b3=b1=b,所以在直线y=kx十bw (n=1,2,3,4,5)中，直线y=k1x十b1与直线y=k2x十b2 无交点，直线y=k3x十b3和直线y=k1x十b,与直线y= kx十b,交于一点.所以这5条直线的交点个数最多是 2×3+1=7.因为第6条直线与前5条直线最多有5个交 点，第7条直线与前6条直线最多有6个交点，所以这7条 直线的交点个数最多是7+5+6=18. 方法归纳 一次函数表达式中k,b的作用 k的正负决定图象的倾斜方向及函数的增减性，|k 决定图象的倾斜程度，b决定图象与y轴的交点的位置 (或图象的上下位置).因为k决定图象的倾斜方向，b决 定图象的上下位置，所以当k相同，b不同时，图象平行： 当k不同时，图象相交，若其中b相同，则图象交于y轴 上一点 12.(1)S=-3x十24：0<x<8.(2)如图所示.(3)9. (4)△OPA的面积不能大于24.理由：因为S=-3x+ 24,且一3<0，所以S随x的增大而减小.又因为当x=0 时，S=24,所以当0<x<8时，0<S<24.所以△OPA的 面积不能大于24. y 24 08 (第12题) 专题特训五一次函数图象与字母系数的关系 1.一2a因为一次函数图象经过第一、三、四象限，所以 a>0,b<0.所以b-a<0.因为当x=1时，y=a十b=0, 所以|a+b|-√(b-a)7=0-(a-b)=-a+b=-a- a=-2a. 2.A选项A,因为点P(a,b)在第四象限，所以a>0,b< 0.所以一次函数y=ax十b的图象经过第一、三、四象限； 选项B,因为点P(a,b)在第二象限，所以a<0,b>0,所以 一次函数y=ax十b的图象经过第一、二、四象限；选项C, 因为点P(a,b)在第一象限，所以a>0,b>0.所以一次函 数y=ax十b的图象经过第一、二、三象限；选项D,因为 点P(a,b)在第四象限，所以a>0,b<0.所以一次函数 y=ax十b的图象经过第一、三、四象限. 3.D因为直线y=kx十b经过第一、二，四象限，所以k< 0,b>0.所以直线y=bx十k经过第一、三、四象限 4.A若正比例函数y=一ax的图象经过第二、四象限， 则-a<0,此时-次函数y=号x一a的图象与y轴交于 负半轴，且y随x的增大而增大，故A选项正确，B选项错 误；若正比例函数y=一ax的图象经过第一、三象限，则 a>0,此时-次西数y=号一a的图象与y轴交于正 半轴，且y随x的增大而增大，故C选项错误；易知D选项 不符合题意， 5.C选项A,由y1得a<0,b>0,而由y2得ab>0,b< 0,存在矛盾；选项B,由y1得a>0,b>0,而由y2得ab< 0,b>0,即a<0,存在矛盾；选项C,由y1得a>0,b<0,而 由y2得ab<0,b<0,即a>0,不存在矛盾；选项D,由y 得a>0,b<0,而由y2得ab<0,b>0,即a<0,存在矛盾. 4一次函数的应用 第1课时借助一次函数表达式解决一些简单问题 1.D设正比例函数表达式为y=kx.由题意，可得4= 一2k,解得k=一2，所以正比例函数的表达式为y=一2x. 故（一1,2）在正比例函数的图象上. 2.D因为一次函数y=kx十b的图象经过点(2,0)，(0， 1),所以2张十6=0,6=1，解得6=-号.所以一次函数的 表达式为y=-2x+1.当x=20时，y=一2×20+1= -9:当y=15时15=一2x+1,解得x=-28, 3.12设I=kU.把点(5,4)代人，得4=5k,解得=5， 4 即1=.当U=15V时，1=号×15=12(A, 4.(1)设y=kt十b(k≠0).把(0,10)，(10,30)代入，得b= 10,10k十b=30,解得k=2.所以y=2t+10.(2)在y= 2t+10中，令t=110,得y=2×110+10=230,所以推算 这种食用油的沸点为230℃. 5.D当y=0时，一2x十4=0，解得x=2.所以，点A的坐 标为(2,0).当x=0时，y=4.所以点B的坐标为(0,4).所 以易得AB的中点坐标为(1,2).因为直线l,将△AOB的 面积平分，所以直线l2经过AB的中点.又因为直线12经 过原点O,所以可设直线l2对应的函数表达式为y=kx (k≠0).把(1,2)代人，得k=2.所以直线l2对应的函数表 达式为y=2x. 6.y=2x+8一2设直线BC的函数表达式为y=kx+ b(k≠0).将B(0,8),C(一4,0)代入y=kx十b,得b=8 -一4k十b=0,解得k=2,所以直线BC的函数表达式为y= 2x十8.当y=4时，2x十8=4，解得x=-2. 7.7因为秤砣到提纽的水平距离y(单位：cm)与所挂物 重x(单位：kg)之间满足一次函数关系，所以设一次函数的 表达式为y=kx十b(k≠0)，则有b=2.5,k十b=8,解得 k=5.5.所以一次函数的表达式为y=5.5x+2.5.当y= 41时，5.5.x十2.5=41，解得x=7.所以所挂物重为7kg 8.(1)因为直线y=kx十6与x轴交于点E,且点E的坐 标为(8,0)，所以将(8,0)代入，得8歇十6=0，解得k= -子.(2)由1)，得y=-子x十6.因为点A的坐标为 (6,0所以0A=6所以5=号×6×(-是x+6)- 号x+18(0<<8.3)因为△0PA的面积为智，所 9 以-十18=名解得x将x=代人= 6得y=8所以点P的坠标为（受号）】 微专题·一次函数与图形面积问题 1.(1)因为直线y=2x十3过点C(-1,n),所以n=2× (一1)十3=1.所以点C的坐标为（一1,1）.因为点C(一1， 1)在直线y=kx一1上，所以1=一k-1,解得k=一2. (2)在y=2x+3中，当x=0时，y=3.所以点A的坐 标为(0,3).在y=一2x一1中，当x=0时，y=一1.所 以点B的坐标为(0，一1).所以AB=3-(一1)=4.所以 △MBC的面积为号AB·e=号×1X1=2 第2课时借助单个一次函数图象解决实际问题 1.C因为一次函数y=3x+n的图象与x轴的交点在 (一1,0)和(0,0)之间，所以方程3x+n=0的解可能是在 一1和0之间. 2.①③④由图象可知，拉力F随着重力的增加而增大， 故①正确；因为拉力F是重力G的一次函数，所以设拉力 F与重力G的函数表达式为F=kG十b(k≠0)，则b=0.5, k十b=0.7,解得k=0.2.所以拉力F与重力G的函数表 达式为F=0.2G+0.5.当G=6N时，拉力F=0.2×6+ 0.5=1.7(N),故②错误；当G=7N时，拉力F=0.2×7+ 0.5=1.9(N),故③正确；因为当G=0时，拉力F=0.5N, 故④正确 3.(1)设y关于x的函数表达式为y=kx+b(k≠0).将 (0,80)和(150,50)代入，得b=80,150k+b=50,解得b= 80,=-所以y关于x的函数表达式为y=-号x+ 80.(2)电量够.理由：因为这辆车的满电量为 100kW·h,所以小滨一家从家到古刹共用电100一80= 1 20kW·h).在y=-5x+80中，当x=2×(10+25+ 10)-90时y-一号×90十60-62，所以小滨-家到飞漏