第4章 第1节 函数&第2节 认识一次函数-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

第四章 一次函数 1函数 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.易错题下列各图中，表示y是关于x的函数的为 () A. B. C D. 2C夏这四中国古代的样卯结枸极为精巧，它是在两个木相件上所上卢一 采用的一种凹凸结合的连接方式.如图，一个木构件的总长度为6cm, 单位：cm 其中凸出部分的长为1cm,若x个相同的木构件紧密拼成一列时，其总 (第2题) 长度为ycm,则y与x之间的函数关系式为 ,当x=12时，y的值是 3.某水果店橘子的销售额与销售量之间的关系如下表： 销售量x/kg 1 2 3 4 5 6 … 销售额y/元 4 8 12 16 20 24 ✉ (1)上表反映的是哪两个变量之间的关系？谁是谁的函数？哪个是自变量？ (2)y与x的关系式为 (3)如果要买14kg橘子，那么60元够不够？ 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能◆ 4.情境生活实际如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面 的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量.有下列四种说法：①S是V的函 数；②V是S的函数；③h是S的函数；④S是h的函数.其中，正确结论的序号是 (第4题) 5.情境科技创新渔船常利用超声波来探测远处鱼群的方位，超声波的振幅h(m)与传输时间t (s)之间的关系如图所示. (1)根据函数的定义，判断变量h是否为关于t的函数， (2)①当t=4时，h的值是多少？ ②当0≤t≤4时，若h随t的增大而增大，求t的取值范围. 个h/m 3 911t/s (第5题) 48 >“答案与解析”见P21 第四章一次函数 2认识一次函数 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2025上海中考]下列函数中，是正比例函数的为 () A.y=3x+1 B.y=3x2 c Dy=有 2.给出下列说法：①正比例函数一定是一次函数；②一次函数一定是正比例函数；③速度一定，路程 s是时间t的一次函数；④圆的面积S是圆的半径r的正比例函数.其中，正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 3.考新定义题新定义：[a,b]为一次函数y=ax十b(a≠0，a,b为实数)的“联盟数”.若“联盟 数”为[1，m一5]的一次函数是正比例函数，则m的值为 4.[2025萍乡期末]，点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度h(单位：cm)与燃烧时间t(单位：min)之间的关系 如下表，则蜡烛的高度h与燃烧时间t之间的关系式为 ,是 函数 t/min 0 2 6 8 10 h/cm 30 29 28 27 26 25 5.[2025南京中考]如图，在长方形电子屏ABCD中，AB=8m,AD=5m,一条公益广告画面的动 态效果设计如下：动点P从点A出发沿边AB,BC以2/s的速度向点C运动，随着DP的移 动，画面逐渐展开。 (1)写出展开的画面面积S(单位：m)关于点P的运动时间t(单位：s)的函数表达式 (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续3s,求播放结束时 展开的画面面积 (第5题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.[2025漯河源汇期末]若5y十2与x一3成正比例关系，则y与x之间一定 A.是正比例函数关系B.是一次函数关系C.没有函数关系 D.以上都不正确 7.教材81例1变式某校开展了主题为“生活中的一次函数”的项目化学习，同学们找到了许多生活 中的函数.下列实例中，两个变量之间的关系不是一次函数的为 () A.家庭用水的单价为4.1元/米3，每月的水费支出与用水量之间的关系 B.百米赛跑中，时间与速度之间的关系 C.相同规格的A4纸整齐放置，一沓纸的厚度与纸的张数之间的关系 D.普通钟表指针转动的角度与所用时间之间的关系 49 拔尖特训·数学（北师版）八年级上 8.为响应“低碳生活”的号召，李明决定每天骑自行车上学，有一天李明骑了1000米后，自行车发 生了故障，修车耽误了5分钟，车修好后李明继续骑行，用了8分钟骑行了剩余的800米，到达学 校（假设在骑车过程中匀速行驶）.若设他从家开始去学校的时间为（单位：分钟），离家的路程 为y(单位：米)，则y与t(15<t≤23)的函数关系为 9.某共享单车的A类收费方式如下：不管骑行时间多长，每辆共享单车每月应缴月租费50元，另 外，每骑行1小时收费0.4元；B类收费方式如下：没有月租费，但每骑行1小时收费0.6元.（不 满1小时，按1小时算) (1)若A,B两类收费方式每月应缴费用分别为y1元和y2元，写出每月应缴费用 y1(单位：元)，y2(单位：元)关于骑行时间x(单位：小时)的函数表达式 (2)如果每月平均骑行时间为300小时，那么选择哪类收费方式更划算？ (3)每月骑行多长时间，按A,B两类收费方式缴费，所缴费用相等？ 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 10.某市对居民家庭每户每月用水量采取分档递增的收费方式，每户每月用水量不超出基本用水量 的部分实行基本价格收费，超出基本用水量的部分实行超价收费.为对基本用水量进行决策，随 机抽查2000户居民家庭每户每月用水量的数据，并整理如下表： 每户每月用 32及以下 明 34 35 36 37 水量/立方米 户数 200 160 180 220 240 210 每户每月用 38 39 40 41 42 43及以上 水量/立方米 户数 190 100 170 120 100 110 (1)为确保70%的居民家庭每户每月的基本用水量需求，每户每月的基本用水量最低应确定为 多少立方米？ (2)不超过(1)中确定的基本用水量的部分按每立方米1.8元收费，超过基本用水量的部分按 每立方米2.5元收费.设x(单位：立方米)表示每户每月用水量，y(单位：元)表示每户每月的应 缴水费，求y关于x的函数表达式. (3)某户居民家庭某月缴水费80.9元，请按以上收费方式计算该居民家庭的当月用水量 50 >“答案与解析”见P2112.关于y轴对称由题意，可知点P原来的坐标为(n, m),点Q原来的坐标为（一n,m).因为点P与点Q的横坐 标互为相反数且纵坐标相等，所以点P与点Q关于y轴 对称. 13.2226因为B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0), 2=2,4=22,8=23,16=2,所以B。（2+1,0).所以 点B2025的横坐标为22026 14.(1)画平面直角坐标系如图所示，所以炮的坐标为(3， 1).(2)(-1,3)或(-1,1). 马 (第14题) 15.(1)(2,4);(5,2);(3,-1).(2)(3,1).(3)当四边 形ABCD的对称轴是AC所在的直线时，点D的坐标为 (O,1);当四边形ABCD的对称轴是BD所在的直线时， 点D的坐标为（一5,0）或(0,1)；当四边形ABCD的对称 轴是AB或BC所在的直线时，点D不在题图所示的网格 内.综上所述，点D的坐标为(0,1)或(-5,0) 第四章 1函数 1.D函数对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与 之对应，故选D. 易错警示 忽视因变量值的唯一性致错 判断两个变量之间的关系是否为函数关系，应紧扣 定义，即若给定一个变量(x)的值，则是否相应唯一地确 定了另一个变量(y)的值」 2.y=5x十161由题意可知，x个相同的木构件紧密拼 成一列时，y=(6-1)x+1=5x+1,当x=12时，y=5× 12+1=61. 3.(1)反映的是橘子的销售额与销售量这两个变量之间的 关系，销售额是销售量的函数，销售量是自变量.(2)y= 4x.(3)当x=14时，y=4x=4X14=56,因为56<60， 所以60元够用： 4.①④由题意可知，对于注水量V的每一个数值，水面 16.(1)因为A(2,4),B(-3,-8),所以AB= √(2+3)+(4+8)2=13.(2)因为点M,N在同一直 线上且平行于y轴，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为 -1,所以MN=4-(一1)=5.(3)△DEF是等腰三角 形.理由：因为D(1,6),E(-2,2),F(4,2),所以DE (1+2)2+(6-2)2=9+16=25,DF2=(1-4)2+(6 2)2=9+16=25,EF2=(-2-4)2=36.所以DE=DF2. 所以DE=DF.所以△DEF为等腰三角形 17.1)(-1,-).因为-3+2X1=-1,1+2 2 -号所以点P的坐标为(-1，-号 .(2)设P(0,t) (t>0),则P'(kt,t).所以PP'∥x轴.所以PP'=|ktl.又 因为OP=t,PP'=3OP,所以kt|=3t.所以k=±3. (3)根据“k系好友点”的定义，可知点B(m,n)的“一2系 好友点”为(m一2，n-受），即A(m-2,n-受)所以 x=m-2,y-n-空.又因为y=-8,所以(m-2)· (一受)=一8所以m一2m=士4因为点A在第四象限， 所以x>0,即m-21>0.所以m-2n=4. 一次函数 面积S都有唯一值与之对应，即S是V的函数，故①正确； 对于水面面积S的每一个数值，注水量V的值不唯一，即 V不是S的函数，故②错误；对于水面面积S的每一个数 值，水面的高度h不唯一，即h不是S的函数，故③错误； 对于水面的高度h的每一个数值，水面面积S有唯一值与 之对应，即S是h的函数，故④正确 5.(1)由题图可知，对于t的每一个值，总有唯一的h的值 与之对应，所以变量h是关于t的函数.(2)①由题图可 知，当t=4时，h的值为4.②由题图可知，当0≤t≤4， 且h随t的增大而增大时，t的取值范围是2≤t≤4. 2认识一次函数 1.D选项A是一次函数；选项B,C不是一次函数；选项 D既是一次函数又是正比例函数， 2.B①正比例函数一定是一次函数，正确；②一次函数 一定是正比例函数，错误；③速度一定，路程s与时间t的 关系式为s=t,是一次函数，正确：④圆的面积S是圆的 半径”的平方的正比例函数，错误. 3.5根据正比例函数的意义，若“联盟数”为[1，m一5]的 一次函数是正比例函数，则m-5=0,解得m=5. 4.h=30一0.5t一次由表格可知，蜡烛每燃烧1min,蜡 烛的高度减少0.5cm,故蜡烛的高度h(单位：cm)与燃烧时间 t(单位：min)之间的关系式为h=30-0.5t,是一次函数. 5(I当0≤1<4时，S=SAm=2 APXAD=-号× 2X5-5t:当4<t≤6.5时，S=5×8-2×8×(13 2t)=8t一12.综上所述，S(单位：m)关于点P的运动时间 5t(0t4), t(单位：s)的函数表达式为S= (8t-12(4t6.5). 2)S=}×5×8=10,当51=10时，1=2.因为指放时间 持续3s,所以播放结束时展开的画面面积S=8×(3十 2)-12=28:当81-12=10时，1=<4（不符合题意）.所 以播放结束时展开的画面面积是28m, 6.B因为5y+2与x一3成正比例关系，所以5y+2= k(红-3)，其中k≠0，整理，得y-台x-36士所以y是 5 x的一次函数 7.B选项A:设每月的水费支出为y元，用水量为x立 方米，则y=4.1x,是一次函数；选项B:百米赛跑中，时间t 与速度0之间的关系为：-19，不是一次函数选项C:设 每张纸的厚度为acm,则一沓纸的厚度y(cm)与纸的张数 x之间的关系为y=ax,是一次函数；选项D:易知普通钟 表指针转动的角度与所用时间的关系是一次函数 8.y=100t一500因为用了8分钟骑行了剩余的800米， 所以速度=800=100米/分，则可得y=1000+100(t宁 15)=100t-500(15<t23). 9.(1)y1=0.4x+50,y2=0.6.x.(2)当x=300时， y1=0.4x+50=0.4×300+50=170,y2=0.6x=0.6× 300=180.因为170<180，所以选择A类收费方式更划算. (3)根据题意，得0.4x十50=0.6x,解得x=250.所以每 月骑行250小时，按A,B两类收费方式缴费，所缴费用 相等 10.(1)2000×70%=1400(户)，200+160+180+220+ 240+210+190=1400(户)，所以每户每月的基本用水量 最低应确定为38立方米.(2)当0≤x≤38时，y= 1.8x;当x>38时，y=1.8×38+2.5(x-38)=2.5x- 26.6.综上所述，y关于x的函数表达式为y= 1.8x(0x38), (3)因为1.8×38=68.4（元）， 2.5x-26.6(x>38). 68.4<80.9,所以该居民家庭的当月用水量超过38立方 米.当y=80.9时，2.5.x-26.6=80.9,解得x=43.所以 该居民家庭的当月用水量是43立方米， 3一次函数的图象 第1课时正比例函数的图象和性质 1.A因为正比例函数y=kx的k<0,所以正比例函数图 象经过第二、四象限，y随x的增大而减小.所以点A(一3， y1)在第二象限、B(3,y2)在第四象限，故y1=|y2|= 一y2 2.C当m2-4=0且m一2≠0时，y是x的正比例函数， 解得m=一2.所以y=一4x.所以图象经过点（一1,4）.易 知选项ABD中的叙述正确： 3.(1)将(3，一6)代入y=kx,得-6=3k,解得k=一2.所 以这个函数的表达式为y=一2x.(2)函数y=一2x的 图象如图所示.(3)将A(4,-2),B(一1.5,3)分别代入 函数的表达式，得一2≠一2×4,3=一2×（一1.5）.所以 点A不在这个函数的图象上，点B在这个函数的图象上 (4)因为k=一2<0，所以y随x的增大而减小.因为x1> x2,所以y1<y2 -6 y=-2x (第3题) 4.B因为，点A(3,y1),B(4,y2)均在直线y=kx(k≠0) 上，且y,<y2,所以y随x的增大而增大.所以k>0.所以 直线y=kx(k≠0)经过第一、三象限.所以该直线经过的 点的坐标还可以是（一1，一3）. 5.C当x≥0时，y与x之间的函数表达式为y=2x,所 以此时图象在第一象限；当x<0时，y与x之间的函数表 达式为y=一2x,所以此时图象在第二象限. 63 由题意，得k>0.所以当x=一3时，y=一1.将 (-3,-1D代人y=x,得-1=一3次，解得k=3