第4章 一次函数 综合素养提升（拔尖攻略）-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

第四章一次函数 综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.[2025毫州期末]在同一平面直角坐标系中，直线l1:y=kx十b和l2:y=bx一b的大致 图象可能是 D 2.[2025郑州期末]对于一次函数y=一x+2,有下列结论：①函数的图象不经过第三象 限；②函数的图象与x轴的交点坐标是(2,0)；③将函数的图象向下平移2个单位长度 可以得到函数y=一x的图象；④若A(1,y1),B(一1，y2)两点在该函数图象上，则 y1<y2.其中，正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.甲、乙两人的登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y(单位：m)与登山时间x(单位：min)之 间的函数图象如图所示.乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶.根 据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为36的时刻不可能是 () A.5 min B.9 min C.11 min D.17 min ↑y/m 300 yz=cx+d 60 30 B 0 A'x 024 20 x/min y=ax+b (第3题) (第4题) (第5题) 4.一次函数y1=a.x十b与y2=cx十d的图象如图所示.有下列说法：①函数y1=a.x十b 中，y1随x的增大而减小；②函数y2的图象不经过第三象限；③函数y=ax十d的图 象不丝过第一架限：④a-。“气其中，止确的是 (填序号) 5如图，直线y=等x十8与x轴y轴分别交于点B和点A,C是线段OA上的一点将 △ABC沿BC折叠，点A恰好落在x轴上的点A'处.若P是y轴负半轴上的一个动点， 且△BCP是等腰三角形，则点P的坐标为 6.如图①，在长方形ABCD中，AD=6,AB=4,E是AB的中点，点P沿着折线A-DC 运动，记点P的运动路程为x,△DPE的面积为y. (1)直接写出y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围 (2)在如图②所示的平面直角坐标系内画出(1)中函数的图象，并写出此函数的一条性质， 27 数学（北师版）八年级上 (3)当y=3时，结合函数图象直接写出x的值， 2 11 10 8 -4----- 01234567891011121314151617元 ① ② (第6题) 7.某容器有一根进水管和两根出水管，进水管的进水速度恒定为aL/min,每根出水管的出 水速度恒定为bL/min.从某时刻开始计时，前4min内只打开进水管，4min后，又打开其 中一根出水管，容器内的水量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示. (1)当0≤x≤4时，求y关于x的函数表达式 (2)求b的值 (3)若12in后关闭进水管，同时打开剩下的一根出水管，直到放完水.请在图中补全容 器内的水量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的函数图象 ↑y/L 30 % 10 0 4 8 12 x/min (第7题) 28 第四章一次函数 8.一条公路上依次有A,B,C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后 原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时 间忽略不计).两车同时出发，轿车比货车晚h到达终点，两车均按各自速度匀速行驶， 如图所示为轿车和货车距各自出发地的距离y(单位：k)与轿车的行驶时间x(单位： h)之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是 ,b的值是 (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y(单位：km)关于行驶时 间x(单位：h)的函数表达式. (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40km. y/km 0 180 120 M 0 1.5 b N3 x/h (第8题) 29当动点P(x,y)在射线AC上运动时，S△Orc= )×6Xz=3,解得x=士1.因为射线AC对应 的函数表达式为y=-x十6(x≤4)，所以当x=1 时，y=-1+6=5;当x=-1时，y=1+6=7.所 以点P的坐标为(1,5)或（一1,7）.综上所述，点P 的坐标为(1,2)或1,5)或(-1,7). [综合素养提升 0B当直线11经过第一、二、三象限时，则k>0, b>0,所以12应经过第一、三、四象限，故A错误， 不符合题意；B正确，符合题意；当直线11经过 第一、二、四象限时，则k<0,b>0,所以12应经过 第一、二、三象限，故C,D错误，不符合题意 2D由一次函数y=一x十2可知，图象经过第 一、二、四象限，y随x的增大而减小，所以函数的 图象不经过第三象限，故①正确；当y=0时，x= 2,所以函数的图象与x轴的交点坐标是(2,0)，故 ②正确；将函数的图象向下平移2个单位长度，即 y=一x十2一2=一x,故③正确；由条件可知y2> y1,即y1<y2,故④正确.综上所述，正确的有①② ③④，共4个 3B由题意，得甲的登山速度为(300一60)÷ 20=12(m/min).当0≤x≤4时，乙的登山速度为 60÷4=15(m/min);由乙提速后，乙的登山速度是 甲登山速度的2倍，易得乙提速后的登山速度为 24m/min,提速后到达山顶所用时间为(300 60)÷24=10(min).所以y甲=12x+60(0≤x≤ (15.x(0x4), 20),yz= 由甲、乙两人距 24x-36(4<x≤14). 地面的高度差为36m,得|y甲-yz=36.当0≤ x≤4时，(12x+60)-15.x=36,解得x=8(不合 题意，舍去)；当4<x≤14时，(12x十60) (24x-36)|=36,解得x=5或x=11;当14< x≤20时，300-(12x十60)=36，解得x=17.综上 所述，x的值为5或11或17，不可能为9 ④①③④由题图，得函数y1=a.x+b中，y1随 x的增大而减小，故①正确.由题图，可知函数y2 附：答案与解析 的图象不经过第二象限.故②错误.由题图，得α< 0,d<0,所以函数y=a.x十d的图象不经过第一 象限.故③正确.因为两函数图象交点的横坐标为 3所以十d=30+6,即a-6=号，敬④正 确.综上所述，正确的是①③④. 00.-3)或03-35)或(0，- ）对于y= 号十8，当x=0时y=8:当y=0时，号x十8 0,解得x=一6.所以点A的坐标为(0,8)，点B的 坐标为(-6,0).所以OA=8,OB=6.所以在 Rt△AOB中，AB=√OA2+OB2=√82+6=10. 由折叠的性质，得A'B=AB=10,AC=A'C,所以 AO=10-6=4.设OC=m,则A'C=AC=8 m.在Rt△A'OC中，A'C2=A'O2+OC2,即(8 m)2=4十m2,解得m=3.所以点C的坐标为(0， 3).所以BC=√OB2+OC=√62+32=3√5.当 BC=BP时，易得OC=OP,所以点P的坐标为 (0,-3).当BC=CP时，OP+OC=35,所以 OP=3√5-3.所以点P的坐标为(0,3-35).当 CP=BP时，设P(0,-n),则BP=CP=3十n 所以在Rt△BOP中，BP2=OB2+OP2,即(3+ 9 n)2=6+n,解得n=2.所以此时点P的坐标为 (0,-号)综上所述，点P的坐标为(0，-3)或(0， 3-35)或(0，-号). -x+6(0≤x<6), 6(1)y= 因为E是AB 3x-18(6<x≤10). 的中点，所以AE=2.当0≤x<6时，y=2X 1 2(6-x)=-x十6；当x=6时，△DPE不存在；当 1 6<x≤10时，y=2X6(x-6)=3x-18.所以 -x+6(0≤x<6), y= (2)图象如图所示.答 {3x-18(6<x≤10). 案不唯一，如当0≤x<6时，y随x的增大而减 57 数学（北师版）八年级上 小；当6<x≤10时，y随x的增大而增大， (3)当y=3时，x的值为3或7. 12 11 10 9 7 6 432 01234567891011121314151617x (第6题) ⑦(1)设y=kx(k≠0,0≤x≤4).由题图，可知 点(4,20)在该段函数图象上，所以20=4k,解得 k=5.所以当0≤x≤4时，y关于x的函数表达式 为y=5.x.(2)根据题图，可得进水速度为20÷ 4=5(L/min),同时打开一根进水管和一根出水管 后的注水准度为设婴-子1，mm>,则出水注度 为5号-(1/m.所以-5 (3)因为在 l2min后关闭进水管，同时打开剩下的一根出水 管，所以此时的出水速度为×2-艺(1，/mim.放 完水需要的时间为30÷15 4(min).因为12十 4=16(min),所以16min时放完水.补全函数图 象如图所示 y/I 30 畅 10 0481216x/min (第7题) ⑧(1)300；2.由图象可知，A,B两地之间的距 离为180km,B,C两地之间的距离为120km, 180十120=300(km),所以a=300.轿车的速度为 180÷1.5=120(km/h),300÷120=2.5(h),根据 图象，得1.5十(3-b)=2.5,解得b=2. (2)3-3-号.所以N(,号÷2 号(，所以M(告，120，货车的速度为120÷号 4 58 90(km/h.y=120-90(x-号)=-90x+240.所 以在货车从B地返回C地的过程中，货车距出发 地的距离y(单位：km)关于行驶时间x(单位：h) 的函数表达式为y=-90x+240(信<r≤）， (3轿车出发9或或h与货车相距0m 当0≤x≤号时，得(120+90yx十40=30.解得 祭当兮←≤18时，两车之间的能宵宜在 减小，且总是小于40km;当1.5<x≤2时，得 90(c-)=40,解得x-号：当2<≤号时，得 180+120(x-2)+40-90x+240=300,解得x= 号所以桥车出发票h或白小或h与货车相距 40km. 第五章二元一次方程组 高频考点突破] ①(1)方程组中含有3个未知数，故它不是二元一 次方程组.(2)方程组中含有2个未知数，且含 有未知数的项的次数都是1，故它是二元一次方程 组.(3)该方程组中一个方程的未知数的最高次 数是2，故它不是二元一次方程组.(4)该方程组 中的一个方程中含有未知数的项的次数不是1，故 它不是二元一次方程组.（⑤）方程组中含有2个 未知数，且含有未知数的项的次数都是1，故它是 二元一次方程组.(6)方程组中含有2个未知 数，且含有未知数的项的次数都是1，故它是二元 一次方程组. 自第四象限根据题意，把v二，代人ax十 3y=0,得3a-6=0,得a=2.所以点(a,a-3) 为点(2，一1)，则点(2，-1)所在的象限是第四 象限 ⊙(1)整理原方程组，得 {x十2y=50,①+②， -x+4y=7②. 得6y=12,解得y=2.将y=2代入①，得x十2×