4.1 函数主干题型巩固2026-2027学年北师大版八年级数学上册

4.1 函数 主干题型巩固2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．油箱中有油，油从管道中匀速流出，1小时流完．油箱中剩余的油量与油流出的时间之间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图1，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以的速度匀速运动至点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（   ） A．3 B． C． D．9 5．声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如表： 气温x（℃） 0 5 10 15 20 音速y（米/秒） 331 334 337 340 343 下列结论错误的是（    ） A．在变化中，气温是自变量，音速是因变量 B．y 随x的增大而增大 C．当气温为30℃时，音速为350米/秒 D．气温每升高5℃，音速增加3米/秒 6．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行1200米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示．有以下结论：①甲步行的速度为50米/分；②乙出发后5分钟追上甲；③乙步行的速度为70米/分；④乙到达终点时，甲离终点还有200米．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 7．如图是某蓄水池横截面的示意图，现将满池的水匀速全部放出，能刻画蓄水池中水的高度h（米）与放水时间t（时）的函数关系的图象大致是（     ） A． B． C． D． 8．用如图所示的程序框图来计算函数y的值，当输入x为和7时，输出y的值相等，则b的值是（    ） A． B． C．4 D．2 二、填空题 9．已知等腰三角形周长为16，则底边长y关于腰长x的函数解析式为__________（x为自变量）；自变量的取值范围__________； 10．设有两个变量x，y，如果对于x的__________的值，y都有__________的值，那么就说y是x的函数，x叫做__________，表示函数的三种方法是__________、__________、__________． 11．如图（1），在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点C，图（2）是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的周长为______，面积为______． 12．（关系式的应用）雏鹰小组发现某地蟋蟀叫的次数与气温之间有如下关系：，其中h（）表示当时的气温，t表示蟋蟀每分钟叫的次数，如果蟋蟀每分钟叫次，当时的气温大约是__________，当气温达到时，蟋蟀每分钟大约叫__________次． 13．老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如图所示的4个x，其中y一定是x的函数的是_____________ （填写所有正确的序号） 三、解答题 14．拖拉机开始工作时，油箱中有油，每小时耗油． (1)写出油箱中的剩余油量（）与工作时间（）之间的函数表达式，并求出自变量的取值范围； (2)当拖拉机工作时，油箱内还剩余油多少升？ 15．某商店为了减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．某商品原价为520元/件，随着不同幅度的降价，每降价10元，日销量增加5件．该商品降价x（元）与日销量y（件）之间的关系如下表： 降价x/元 0 10 20 30 40 50 60 日销量y/件 150 155 160 165 b 175 180 (1)上表中的自变量是什么？因变量是什么？ (2)求表中b的值； (3)若该商品的售价为440元，求该商品的日销量为多少件？ 16．如图1，已知中，，，AF为BC边上的高，P是BC上一动点，沿BC由B向C运动，连接AP．在这个变化过程中，设，的面积为S，图2刻画的是S随x的变化而变化的图象，根据图象回答以下问题： (1)的高AF的长为________． (2)写出S与x的关系式________． (3)若的面积是面积的，求此时BP的长． 17．如图，A，B两地之间有M，C两个景点，秋假期间小云，小敏相约分别从A，B两地同时出发，驾车开往C景点游玩．小云从A地驾车1小时到M景点，先游玩2小时后，又驾车按原速度行驶3小时到达C景点．小敏从B地出发，先以90千米/小时的速度行驶，后又加速，以原速的速度行驶至C景点，比小云早到小时．小云、小敏离C景点的距离S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数图象如图2所示． (1)两地的距离为______ 千米，图2中______ ，______ ； (2)请求出小敏加速后，S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当小云与小敏之间的距离为450千米时，求t的值； (4)当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时，请直接写出t的取值范围． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A B C A A D 1．【答案】D 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查了函数的定义，根据对于任意一个x的值，都有唯一的一个y值对应，结合图形判定即可求解． 【详解】解：A、如图所示， 当时，函数值不唯一，故y不是x的函数，不符合题意； B、如图所示， 当时，函数值不唯一，故y不是x的函数，不符合题意； C、如图所示， 当时，函数值不唯一，故y不是x的函数，不符合题意； D、任取一个x的值，都有唯一的一个y值对应，符合题意； 故选：D ． 2．【答案】A 【知识点】求自变量的取值范围 【分析】本题考查的知识点是分式有意义的条件；分式有意义的条件是分母不为，对于函数，要使函数为分式形式，分母不能为零，因此自变量需满足分母． 【详解】解：∵分母 ∴． 故选：A． 3．【答案】A 【知识点】函数解析式 【分析】本题考查求函数解析式，理解题意是解答的关键． 先求出油量减少的速度为，再根据初始油量，列出函数解析式，再根据流完需1小时即可得t取值范围． 【详解】解：∵ 油匀速流出， ∴ 流出的油量， ∴ 剩余油量． ∵ 流完需， ∴ t的取值范围为． 故选：A． 4．【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理，由图象可知，当时，面积最大值为9，此时当点P运动到点C，得到， 根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由图象可知，当时，面积最大值为9， 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 解得， ∴， 故选：B． 5．【答案】C 【知识点】函数的三种表示方法、用表格表示变量间的关系 【分析】根据表格中的数据以及函数的定义，逐一判断选项即可． 【详解】A ：∵对于气温的每一个值，都存在一个唯一确定的音速，符合函数定义， ∴气温是自变量，音速是因变量，正确， ∴ A不符合题意； B：由表格数据可知：y随x的增大而增大， ∴B不符合题意； C：由表格数据可知：温度每升高5℃，音速增加3米/秒， ∴当气温为30℃时，音速为349米/秒，结论错误； ∴ C符合题意； D：由表格数据可知：温度每升高5℃，音速增加3米/秒， ∴D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，掌握函数的定义，求出温度每升高5°C，音速增加3米/秒，是解题关键． 6．【答案】A 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】①根据速度路程时间计算即可判断；②观察图象即可判断；③求出相遇时行驶的路程，根据速度路程时间计算即可；④根据“起点与终点之间的距离当乙到达终点时，甲走过的路程”列式计算即可． 【详解】解：甲步行的速度为（米/分），故①正确，符合题意； 乙用（分）追上甲，故②正确，符合题意； 相遇时步行的路程为（米） ∴乙的速度为（米/分），故③正确，符合题意； ∴乙走完全程用了（分）， 乙到达终点时，甲离终点还有（米），故④不正确，不符合题意． 综上，正确的结论有①②③． 7．【答案】A 【知识点】函数图象识别 【分析】蓄水池中水的高度随放水时间的增大而减小，最后为0，而水池上宽下窄，则一开始水面的高度下降得更慢，后来下降的更快，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵将满池的水匀速全部放出， ∴蓄水池中水的高度随放水时间的增大而减小，最后为0， 又∵蓄水池上宽下窄， ∴一开始水面的高度下降得更慢，后来下降的更快， ∴四个选项中，只有A选项中的函数图象符合题意． 8．【答案】D 【知识点】程序流程图与有理数计算、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了程序框图，一次函数的函数值．理解程序框图的运算规则是解题的关键． 当时，；当时，；由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，当时，； 当时，． 由题意得，， 解得． 故选：D． 9．【答案】 【知识点】求自变量的取值范围、三角形三边关系的应用、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的取值范围，三角形三边关系； 根据周长等于三边之和可得出y和x的关系式，再由三角形的三边关系可得出x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， 解得：， 故答案为：；． 10．【答案】 每一个确定 唯一确定 自变量 列表法 解析式法 图象法 【知识点】函数的概念、函数的三种表示方法 【分析】直接根据函数的定义和表示法解答即可． 【详解】如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量，表示函数的三种方法是列表法、解析式法、图象法． 故答案为：每一个确定，唯一确定，自变量，列表法，解析式法，图象法． 【点睛】本题主要考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念和函数的三种表示法是解答本题的关键． 11．【答案】 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，解题关键是能读懂函数图象． 依据题意，由时和，分别求出、，再由，可求得，进而可以计算的周长与面积． 【详解】解：由题意得，当时，面积最大，此时（）；当时，面积为0，此时可得（）． ∵， ∴（）． 的面积为（），周长为（）． 故答案为：，． 12．【答案】 【知识点】求自变量的值或函数值 【详解】把代入， ， 当时的气温大约是 ， 当时，代入， ， 解得：次， 蟋蟀每分钟大约叫次． 13．【答案】④ 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查了函数的概念．根据函数的定义判断即可． 【详解】解：一般的，在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，x是自变量，y是x的函数， ∴①②③不符合定义，④符合定义， 故答案为：④． 14．【答案】(1)（） (2)升 【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围、求自变量的值或函数值 【分析】本题主要考查根据题意列函数解析式和自变量的取值范围，掌握数量关系“油箱中的余油量=油箱中原有油量-消耗的油量”，是解题的关键． （1）根据“油箱中的余油量=油箱中原有油量-消耗的油量”，即可列出函数解析式和自变量的取值范围； （2）把代入函数解析式，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 当时，即， 解得， 与之间的函数表达式及自变量的取值范围为． （2）当时，． 答：当拖拉机工作时，油箱内还剩余油升． 15．【答案】(1)自变量是该商品降价（元），因变量是日销量（件） (2) (3)该商品的日销量为（件） 【知识点】函数的概念、函数的三种表示方法、求自变量的值或函数值 【分析】（1）根据函数的定义可得答案； （2）根据表格信息可得每降价10元，销量增加5件，从而可得答案； （3）由150件加上增加的销量即可得到答案． 【详解】（1）解：上表中的自变量是该商品降价（元），因变量是日销量（件）． （2）根据表格信息可得：； （3）该商品的日销量为（件）． 【点睛】本题考查的是函数的定义，理解利用表格表示的函数关系，求解函数的函数值，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． 16．【答案】(1)4 (2)S＝12−2x（0≤x＜6） (3)BP的长为或 【知识点】函数解析式、从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）根据函数图象、三角形的面积公式求出AF； （2）用x表示出PC，再根据三角形的面积公式求出S与x的关系式； （3）分0≤x＜3、3＜x＜6两种情况，根据三角形的面积公式计算． 【详解】（1）解：由图2可知，当BP＝1时，△APC的面积S＝10， 此时，PC＝6−1＝5， ∴×5×AF＝10， 解得：AF＝4， 故答案为：4． （2）解：∵BC＝6，BP＝x， ∴PC＝6−x， ∴△APC的面积：S＝PC•AF＝×（6−x）×4＝12−2x（0≤x≤6）． 故答案为：S＝12−2x（0≤x≤6）． （3）解：∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝6， ∴AF＝FB＝BC＝3， 由题意可知，当0≤x＜3时，PF＝3−x， 当△APF的面积是△APC面积的时，×（3−x）×4＝×（12−2x）， 解得：x＝； 当3＜x＜6时，PF＝x−3， 当△APF的面积是△APC面积的时，×（x−3）×4＝×（12−2x）， 解得：x＝； 综上所述，△APF的面积是△APC面积的时，BP的长为或． 【点睛】本题考查的是三角形的面积计算、函数图象，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 17．【答案】(1)；240； (2) (3) (4) 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、用关系式表示变量间的关系 【分析】（1）根据时的函数值可得的长，进而可得的长；根据速度等于路程除以时间可求出小云的速度，进而求出小云1小时行驶的路程可得a的值；根据小敏比小云早到小时可求出b的值； （2）设小敏加速前行驶了小时，则小敏加速后行驶了小时，根据路程等于速度乘以时间分别表示出加速前和加速后小敏的路程，进而建立方程求出的值即可得到答案； （3）求出和时二人的距离，可确定当小云与小敏之间的距离为450千米时，，据此建立方程求解即可； （4）求出时二人的距离，可确定当二人相距时，，据此求出当二人相距时t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，， ∴； 由题意得，小云一共花了小时到达C景点，且驾车的时间为小时， ∴小云的速度为， ∴小云驾车1小时的路程为， ∴； ∵小敏比小云早到小时， ∴小敏一共花了小时到达C景点， ∴； （2）解：设小敏加速前行驶了小时，则小敏加速后行驶了小时， 由题意得，， 解得， ∴小敏加速前行驶了2小时， ∴小敏加速前一共行驶了， ∴小敏加速后，S与t的函数关系式为； （3）解：当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； 当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； 当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； ∴当小云与小敏之间的距离为450千米时，， ∴， 解得； （4）解：当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； ∴由（2）可知，当二人相距时，， 则当二人相距时， 解得， ∴当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $