第3章 第1节 确定位置&第2节 第1课时 平面直角坐标系的有关概念-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

第三章 位置与坐标 1 确定位置 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.舒青镜学科融合《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》是唐代大诗人李白的诗作，笑笑在方格纸上默写 了该诗（如图）.如果用(1,4)表示“杨”字的位置，那么图中错别宇的位置表示为 坎街 乾街 4杨花落尽子规啼， 艮街 3闻到龙标过五溪· 兑街 二震街 2我寄愁心与明月， 抹环 1随君直到夜郎西. 坤街 巽街 12345678 离街 (第1题) (第2题) 2.舒境地域特色在我国新疆西北部有一座全球最大的八卦城 特克斯县.该县城以八卦文化广场 为中心，按照八卦具体方位和角度(45°)向外延伸出八条主街，如图所示为以八卦文化广场为点O绘制 的简易地图，若点A的位置用(1,0)表示，点B的位置用(3,225)表示，则点C的位置可以表示 为 3.如图所示为游乐园平面图的一部分 (1)跳跳床的位置用数对(3,2)表示，请用数对表示出其他地点的 100m 北 位置 跷跷板摩耒轮100m↑ (2)秋千在大门以东400m,再往北300m处.请你在图中标出秋千的3 位置并用数对表示出来. 跳跳床 (3)周末，小花和小丽在游乐园的路线是(0,0)→(3,2)→(2,4)→(4， 大门碰碰华 3)→(5,1)，她们玩了哪些项目？ 0128第6 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 4.考回新定义题阅读材料：在平面内取一个定点O,叫作极点，引一条射线OP,叫作极轴，再选 定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）.对于平面内任一点M,用r表示线段OM 的长度，0表示从OP到OM的角度，r叫作点M的极径，0叫作，点M的极角，有序数对(r,0)就 叫作点M的极坐标，这样就在平面上建立了极坐标系.极坐标为(r,)的，点M,可表示为M(r, 0).建立极坐标系后，给定r和0就可以在平面内唯一确定一点M.如图，点D的位置为(3,5)， 点A的位置为(4,0). (1)请表示点B与点C的位置 M D (2)若以O为极点，OP为极轴且OC=2√2，写出点A、点B B 和点C的极坐标 2 0①0 0123456789P (第4题) “答案与解析”见P15 35 拔尖特训·数学（北师版）八年级上 2 平面直角坐标系 第1课时平面直角坐标系的有关概念 边一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.[2025亳州期中]老师在黑板上画出平面直角坐标系，并将书本放在如图所示的位置，则一定没 有被书本遮住的点是 () A.(3,-2) B.(-2,2) C.(2,3) D.(-1,-2) 本y 0 0 (第1题) (第2题) 2.舒考向结论开放题如图，在平面直角坐标系中，Q是直线L上的任意一点，则点Q的坐标可能是 (写出一个即可). 3.情境游戏活动你玩过五子棋吗？它的比赛规则是两人各拥有一种颜色的棋子，每人每次在网 格的格点处下一子，两人轮流下，只要连续的同色5个棋子先成一条直线就算胜.如图所示为两 人玩的一盘棋，若棋盘上白棋①的坐标为（一3，一2），黑棋②的坐标为（一1,0）. (1)请你根据题意，画出相应的平面直角坐标系. (2)现轮到黑棋下，要使黑棋在这一步赢，请写出这一步黑棋的坐标. ① (第3题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4.易错题已知点P(a,b)到x轴的距离是2，到y轴的距离是5，且|a一b=a一b,则点P的坐标 是 5.如图所示为一所学校的平面示意图. (1)若校门的坐标为（一2,0），图书馆的坐标为(2,3)，请在图中画出对应的平面直角坐标系，并 写出此时实验楼的坐标 (2)若以国旗杆的位置为坐标原点，则校门的坐标可不可以表示为（一1,0）？若可以，请写出这 时实验楼的坐标；若不可以，请说明理由， 图书馆北 校门国旗杆教学楼 实验楼 (第5题) 36 >“答案与解析”见P1513.3万-2284=2×√厚+-2×号+2=1士 立方根是3，所以a+合=3=27,25+名=27，台-2.所 2=3,所以(2⑧4)*2=3￥√2=3X√2-（√2）2 以b=4.(2)将a=25,b=4代入√3a-b+5,得 3√2-2. √3a-b2+5=√3X25-42+5=√75-16+5=√64= 14.(1)原式=5-√4+√36-√1=3-2+6-1=6. 8,8的算术平方根为⑧=22，所以√3a-b2+5的算术平 2)原式=V20高-2√日×18+[2-5)(2+ 方根为2√2. 1 3)]21(2+√3)=√4-25+(2+3)=4-5， 181D因为a2店-2+56-2+后=2-5所以 15.(1)因为/-2x与3x-7互为相反数，所以1 a+b=4,ab=1.所以a2-3ab+b2=(a+b)2-2ab- 2x+3x一7=0，解得x=6.所以√10x+4=√6何=8.(2)因 3ab=16-5=11.(2)因为m为a的整数部分，所以 为2a+61与√3b+12互为相反数，所以2a+6=0,3b+ m=3.因为n为b的小数部分，所以n=2-√3.所以2m十 12=0,解得a=-3,b=-4.所以2a-3b=6.所以2a-3b n=6+2-√3=8-3. 的平方根是士√6， 19.(1)设魔方棱长为a,则a3=27,解得a=3,即这个魔 16.(1)因为（士3）=81，所以81的四次方根是士3. 方的棱长为3.(2)因为魔方的棱长为3，所以小正方体 (2)因为(-2)5=一32，所以-32的五次方根是-2. 的校长为多，则涂色部分的边长=√()+() (3)①因为x=16,所以x=±2.②因为100000x5= 23所以所以是 ,所以涂色部分的面积=32×3巨_9 3V2 2 22 (3)AD= 17.(1)因为一个正数a的两个不同的平方根分别是3x一 号，设点D在数铂上表示的数为山，则-1--3号，得 4和1一2x,所以3x一4十1一2x=0,解得x=3.所以其中 -个平方根为3X3-4=5所以a=5=25因为a+号的 。-1-3所以点D在数箱上表示的数是-1一3 2· 第三章 位置与坐标 1确定位置 的极坐标为(4,0)，点B的极坐标为(3,90).因为O℃= 22,所以∠COP=45°.所以点C的极坐标为(2√2,45°). 1.(2,3)因为闻道龙标过五溪，所以图中错别字是“到”. 所以错别字的位置表示为(2,3). 2平面直角坐标系 2.(2,135)由题意得，位置表示方法是（街的环数，度 第1课时平面直角坐标系的有关概念 数)，所以点C的位置可以表示为(2,135°). 1.B由题意知，一定没有被书本遮住的点在第二象限。 3.(1)大门(0,0)、碰碰车(5,1)、跷跷板(2,4)、摩天轮(6， 2.答案不唯一，如(1,5)由题意，得直线1∥x轴，且过 5).(2)秋千的位置如图所示.用数对表示为(4,3). 点(0,5)，所以点Q的纵坐标为5，横坐标为任意实数，所以 (3)她们玩了跳跳床、跷跷板、秋千和碰碰车。 点Q可以为(1,5). 100m 北 3.(1)画平面直角坐标系如图所示.(2)这一步黑棋的 5 跷跷板摩耒轮100m1 坐标为(3，一2)或（一2,3） 4 秋干 跳跳床 大门碰碰车 0123456 (第3题) 4.(1)点B的坐标为(0,3)，点C的坐标为(2,2). (2)因为A(4,0),B(0,3),所以OB=3,OA=4.所以点A (第3题) 15 4.(5,2)或(5，一2)因为，点P(a,b)到x轴的距离是2，得p=一3或=5.所以，点P的坐标为(0，-3)或(0,5) 到y轴的距离是5，所以a=±5，b=±2.因为a一b= 5 a一b,所以a≥b.所以a=5,b=士2.所以点P的坐标是 (5,2)或(5，-2). 2 易错警示 B 由距离判断坐标的两个注意点 5-4-3-2-10123456x 在平面直角坐标系中，如果已知，点到坐标轴的距离，那 么判断点的坐标时，一要注意到x轴的距离等于点的纵坐 -3 标的绝对值，到y轴的距离等于点的横坐标的绝对值；二要 -5 注意若没有限定点所在的象限，则要考虑分类讨论 (第5题) 6.C点P(一2024,2025)在第二象限，故选项A错误.若 5.(1)画平面直角坐标系如图所示.此时实验楼的坐标为 点M在第二象限，它到x轴、y轴的距离分别为4,3，则 (2,一2).(2)校门的坐标可以表示为（一1,0）.这时实验 点M的坐标为（一3,4），故选项B错误.在平面直角坐标系 楼的坐标为(1，一1). 中，点P(x,y)位于坐标轴上，所以x=0或y=0.所以 图书馆 ↑北 xy=0.故选项C正确.已知点P(一4,6)，Q(-3,6),则直 线PQ∥x轴，故选项D错误 +-1 01 7.C如图，根据垂线段最短可知，当BC⊥AC时BC最 校门国旗杆教学楼x 短.因为A(一3,2)，B(1,4),AC∥x轴，所以BC=2.所以 点C的坐标为(1,2). 实验楼 (第5题) 第2课时平面直角坐标系中点的坐标特征 1.C与x轴垂直的直线实际上平行于y轴，即两点的横 坐标相同 (第7题) 2.D因为点A(a-1,2+a)在x轴上，所以2十a=0,解 8.B因为(x+y)2=x2+2xy+y2=x2+y2-2,所以 得a=-2.所以-a>0,a十1<0.所以点(-a,a十1)在第 2xy=一2，即xy=一1.所以x与y异号.所以点M(x,y) 四象限 在第二象限或第四象限， 3.(6,6)因为点A的坐标为(0,6)，且AB∥x轴，所以点 9.x轴上或第四象限若直线AB∥x轴，则a一1=一1， B的纵坐标为6.又因为点B在第一象限的角平分线上，所 解得a=0,所以一a十2=2，a一1=一1.所以点(2，一1)位 以点B的横坐标与纵坐标相等.所以点B的坐标为(6,6). 于第四象限.若直线AB∥y轴，则a十1=2，解得a=l,所 4.4因为AB∥y轴，A(a,3),B(-2,b),所以a=-2.因 以一a十2=1，a一1=0.所以点(1,0)位于x轴上.综上所 为AB=3,点B位于第二象限，所以b=3十3=6.所以a十 述，点（一a十2，a一I)的位置在x轴上或第四象限 b=-2+6=4. 10.(8,一1)因为点E的坐标为（一4,2），点F的横坐标 5.(D国△AC如图所示.Sam=4X32×1X2-号× 为5,5-(-4)=5十4=9,9÷3=3，所以网格中的小正方 形的边长为3个单位长度.所以点H的横坐标为一4十3× 2X4-2×3×2=12-1-4-3=4(24.5或4，D. 4=8,纵坐标为2-3=一1.所以点H的坐标为(8，-1). 因为线段CD∥y轴，且CD=2,设D(4,d),则|3-d|=2, 11.(8,0)或(0，一8)①当点B在x轴上时，设B(t,0). 所以3-d=2或3-d=-2,解得d=1或d=5.所以 由题意，得t-5=0一(-3)，解得t=8,所以B(8,0).②当 点D的坐标为(4,5)或(4,1).(3)设P(0,p).由题意， 点B在y轴上时，设B(0,b).由题意，得0-5=b-(-3), 解得b=一8，所以B(0,一8).综上所述，点B的坐标为(8， 可知2AP·OB=4,即2APX2=4,所以AP=4.因为 0)或(0，一8) A(0,1),所以11-p|=4.所以1-=4或1-=一4，解12.(1)12.(2)因为点C的坐标为(1,3)，且CDy轴， 16