第2章 第2节 第1课时 平方根-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

第二章实数 2平方根与立方根 第1课时平方根 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.易错题√32的平方根是 () A.3 B.±√5 D.±3 C.±9 2.下列说法中，正确的是 A.2是一4的算术平方根 B.士4是16的算术平方根 C.(一6)2的平方根是士6 D.1的平方根是它本身 3.若m是169的算术平方根，n是121的负的平方根，则(m+n)2的平方根为 A.2 B.4 C.±2 D.士4 4.[2024广东中考改编]完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是 5.若一个正数m的两个平方根分别为6a+3和4a+7,则a+m的值为 6.“海阔千江辏，风翻大浪随.”海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公 式为wp16Oo其中wp为风压(kN/m),v为风速(m/s),当风压为0.25kN/m时，估计风 速为 m/s. 7.求下列各式的值： (1)±√/196， (2)√31. 3. (4)(-√22)2. 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 8.有下列说法：①（一5）2的平方根是±5；②一a2没有平方根；③非负数a的平方根是非负数： ④因为负数没有平方根，所以平方根不可能为负；⑤0和1的平方根是它们本身.其中，不正确 的个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 9.箭向代数推理一个正偶数的算术平方根是m,则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的平方 根是 () A.√m2+2 B.√m+2 C.土m2+2 D.士√m+2 10.若一个正数的两个平方根之差为a(a>0),则这个正数是 (用含a的式子表示)， 11.[2025兰州期中]根据平方根的意义解方程(3x一1)2一25=0，可求得x= 17 拔尖特训·数学（北师版）八年级上 12. 舒考向代数推理根据表格回答下列问题： 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11 r2 100 102.01104.04106.09108.16110.25112.36 114.49116.64118.81 121 (1)112.36的算术平方根是 ,118.81的平方根是 (2)若√a介于10.1与10.3之间，求满足条件的正整数a. 《3》物体自由下落的时间：（单位：）与下落高度A(单位：m)之间的关系是r-个s现有一个物 体从530m的高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到0.1s) 13.已知正数x的两个不同的平方根分别是a和a+b. (1)当b=8时，求a的值. (2)若a2x+(a+b)2x=4,求x的值. 14.阅读与理解： 小明学习了有关平方根的知识后，知道负数没有平方根，比如：因为没有一个数的平方等于一1， 所以一1没有平方根.一天，善于思考的小明想：如果存在一个数i,使2=一1，那么（士）2= 一1，因此一1就有两个平方根了.小明进一步想：因为（士2）2=一4，所以一4的平方根是士2； 因为（士31）2=一9，所以一9的平方根就是士3. 请你根据上面的信息解答下面的问题： (1)求-25，一36的平方根； (2)求i+i2+3+…+2o25的值 ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 15.如图所示为一个数值转换器 (1)当输入的x值为256时，输出的y值是 (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x值，并说明理由， (3)若输入x值后，转换器的屏幕显示“该操作无法运行”，输入的x值可能是什么情况？ (4)若输出的y是5，请写出两个满足要求的x值： 输入x/ 取算术平方根 无理数是输出y 否 (第15题) 18 >“答案与解析”见P91.有理数架合：{-号7,6，-102,01010101， 一3 -2,0…小.无理数集合：-号2.8181818- (相邻两个8之间1的个数逐次加1)，…}.整数集合： 7 {-102,-2,0,….分数集合：-5,7.6,0.101010001， 3 3…/ 易错警示 对无理数的概念认识不清致错 对无理数的概念认识不清，误认为无限小数都是无 理数而导致错解.事实上，只有无限小数中的不循环小 数才是无理数 12.(1)17;无理.(2)如图，点P即为所求作. C -5-4-3-2-10123 5 (第12题) 13.(1)因为该圆的周长为2π×1=2π，所以点B对应的实 数m=一1+2r=2π-1.(2)m的相反数为1一2r,绝对 值为2π一1. 14.(1)剪拼成的正方形的面积是5×1=5.(2)a2=5 且a>0.(3)a不是整数，不是分数，不是有理数. (4)剪拼成的正方形如图所示（虚线部分，剪拼的方法不唯一）. (第14题) 2平方根与立方根 第1课时平方根 1.B因为√3=√=3，所以√3的平方根就是3的平方 根，即土√3 易错警示 切勿对根号视而不见 计算算术平方根或平方根时，容易对根号视而不 见，混淆a与√a导致错误.根号是一种运算符号，与其他 运算符号不同的是，它与被开方数是一个整体，不要忽 略根号的存在 2.C一4没有算术平方根，选项A错误：4是16的算术平 方根，选项B错误；（一6）2的平方根是士6，选项C正确；1 的平方根是士1，选项D错误！ 3.C因为m是169的算术平方根，n是121的负的平方 根，所以m=13,n=一11.所以m十n=2.所以(m+n)2的 平方根是士√2=土√4=士2. 4.5根据题意，得√100÷4=√25=5，则正方形的边长 为5. 5.8由题意得，6a十3+4a+7=0,解得a=一1.当a= -1时，6a+3=6×(-1)+3=-3,所以m=(-3)2=9. 所以a十m=一1十9=8. 6.20由条件，可知v=√1600X0.25=20(m/s). 7.(1)±√/196=±14.(2)√31=31. 3√-品4(-历=2 8.D(-5)2的平方根是士√(-5)2=士√25=士5，故 ①正确.当a=0时，一a2有平方根，故②错误.非负数a的 平方根是士√ā，故③错误.负数没有平方根，一个正数的平 方根有两个，所以可能为负，故④错误.0的平方根是它本 身，1的平方根是士1，故⑤错误.综上所述，不正确的是② ③④⑤，共4个 9.C设这个正偶数为x,则=m.所以x=m2.所以和 这个正偶数相邻的下一个正偶数为m2十2.所以和这个正 偶数相邻的下一个正偶数的平方根为士√2+2 :根据一个正数的两个平方根互为相反数，设这个 正数的两个平方根分别为x,一x(x>0).由题意，得x一 （一x)=,解得x-受·所以这个正数是（号）-宁 112或-号 因为(3x-1)2-25=0,所以(3x-1)2= 25.所以3x-1=±√25.所以3x-1=5或3x-1=-5. 所以x=2或x=一3 12.(1)10.6:±10.9.因为当x=10.6时，x2=112.36, 所以112.36的算术平方根是10.6.因为当x=10.9时， x2=118.81,且平方根有两个，互为相反数，所以118.81的 平方根是士10.9.(2)由条件可知a介于10.1与10.3 之间，满足条件的正整数a的值有103,104,105,106. (3)物体自由下落的时间t(单位：s)与下落高度h(单位： m之间的关系是-g所以当A=580m时1-智 108.16,且t>0,所以结合表格可知t≈10.4s. 13.(1)因为正数x的两个不同的平方根分别是a和a+ b,所以a+a+b=0.将b=8代入，得a十a+8=0.所以 a=一4.(2)因为正数x的两个不同的平方根分别是a 和a+b,所以a2=(a+b)2=x.因为a2x+(a+b)2x=4, 所以x2+x2=4,即x2=2.因为x>0,所以x=√2. 14.(1)根据题意可知，因为（±5i)2=-25,所以一25的 平方根是士5i;因为（士6i)2=-36,所以一36的平方根是 ±6i.(2)因为=i,2=-1,3=2·i=-i,i=i3· i=一i2=1,i5=i·i=i,i5=i5·i=i2=一1…所以i 的幂具有周期性，每4项为一个循环，和为i一1一i十1=0， 因为2025÷4=506…1，所以原式=506×0+i=i. 15.(1)√2.(2)x的值为0或1.理由：因为0和1的算 术平方根是它们本身，且0和1又是有理数，所以当输人的 x值为0或1时，始终无法输出y的值.(3)若输入x值 后，转换器的屏幕显示“该操作无法运行”，说明输入的 x值没有算术平方根，所以输入的x值是负数.(4)答案 不唯一，如5和25， 第2课时立方根 1.A根据立方根的表示方法，m的立方根为m 2.D根据立方根的定义，64的立方根是4，选项A错误； 一27的立方根为一3，选项B错误；立方根等于本身的数是 0和士1，选项C错误；0的平方根和立方根都是0，选项D 正确。 3C根据题言，得号=，所以G=人所以，=64 4.15由排水法可知，铁块的体积为15cm3,所以铁块 的棱长为/15cm 5.(1)0.008=0.2.(2)/-25 343 > 3,19 (4)-729+9/512=-9+ 8=-1. 6.A①一对相反数的立方根仍是一对相反数，故说法① 正确：②一个数的平方根是士8，这个数是64,64的立方根 是4，故说法②错误.③本题符合非负数平方根的表示方 法，实数立方根的表示方法，故说法③正确；④当α>0时， -a<0;当a=0时，一a=0;当a<0时，-a>0,故 说法④错误」 7.A因为a的算术平方根为17.25，x的平方根为 ±1.725，所以a=17.252=(1.725×10)2=100×1.7252, x=(士1.725)2-1.725.所以a=100.所以x=100a.因 为b的立方根为一8.69，y的立方根为86.9，所以b= (-8.69)3=-8.693,y=86.93=(8.69×10)3=1000× 8.69.所以y=1000·(-b)=-10006. 8.2因为y-1+3-2=0,所以易得y一1+3-2y- 0,解得y=2.因为x一6的平方根是它本身，所以x一6=0，解 得x=6.所以x十y=6十2=8.故x十y的立方根为2. 9.1因为A=√a+3b是a+3b的算术平方根，所以 a-1=2,解得a=3.因为B-6√1-a是1-a2的立 方根，所以2a-b-1=3.将a=3代入，得2×3-b-1=3, 解得b=2.所以A=√a+3b=√3+3×2=3，B= 91-3=-2.所以A+B=3+(-2)=1.所以A+B的 立方根是1. 10.(1)两；右；一.(2)0.7071；22.36.(3)被开方数 的小数点每向右移动三位，其立方根的小数点就会向右移 动-位.(4)21.54；-0.4642. 11.(1)设正方体的棱长为xm,则x3=1.331,解得x= 1.1.所以正方体的表面积为6×1.1=7.26(m).所以至 少需要7.26m的铁皮.(2)若正方体水箱容积扩大为 原来的8倍，则扩大后的正方体的棱长为原来的⑧=2倍. 12.C因为将体积是125cm3的正方体木块锯成8个同 样大小的小正方体木块，所以每个小正方体木块的棱长为 /125÷2=2.5(cm).设长方形区域的宽为xcm,则长为 4xcm.所以x·4x=36,解得x=3(负值舍去).所以长方 形区域的宽为3cm,长为4×3=12(cm).因为3÷2.5= 1.2(个)，12÷2.5=4.8（个），所以n的最大值是1×4=4. 13.(1)答案不唯一，如2是8的立方根，一2是一8的立方 根，2十（一2）=0,8+（一8）=0，即结论“若两个数的立方根 互为相反数，则这两个数也互为相反数”成立.(2)根据 (1)中的结论，可知1一2x与3x一5也互为相反数.所以 1-2x十3x-5=0,解得x=4.所以-7-√元=-7一√4= 一7一2=一9.所以一7一√的立方根为一9. 第3课时估算 1.D34“面”=√34，因为30.25<34<36，所以5.5< √34<6.所以34“面”最接近的数为6. 2.B根据数轴可知，点A的位置在1和2之间，且靠近 2.因为2<√7<3,1<6<2，土√9=士3,8=2，所以选项 B符合题意