第2章 第3节 专题特训2 二次根式的大小比较&专题特训3 二次根式的非负性的应用&综合与实践2 宣传卡片及封皮的制作问题-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材

第二章实数 专题特训二二次根式的大小比较 类型一平方法 1.比较a=23和b=3√2的大小，可以把a和b分别平方.因为a2=12,b2=18,所以a2<b2.所以 a<b.请利用“平方法”解决问题： (1)比较c=3√6，d=4√5的大小：c d(填“>“<”或“=”). (2)猜想m=2√5十√/13和n=2√7十√5的大小关系，并说明理由. 类型二作差法 2有这作-道题：比较西2与号的天小抗解法如下，西2号=因为8≥16，所以 3 ,压4所以所以西2号谛你伤照上述方法·比较下面各组板能大个 3 -厘与 (2)23+√2与3√2+3」 4 类型三作商法 3.比较下面各组数的大小： 仙要浩 (2)5+155+2 √5+2√5+3 类型四求倒数法 4、有这样一道题：比较2-与3一2的大小.其解法如下：因为。1 2+√3 2-3(2-√3)×(2+√3) 1 3+√2 2+3·3-25-②)x(3+② =5+2,2>②，所以2+5>5+2.所以、1 2-3 有5因为2一3>03一2>0，所以2-3<3一2.请仿照上述方法比较65与5 的大小 “答案与解析”见P13 29 拔尖特训·数学（北师版）八年级上 专题特训三」 二次根式的非负性的应用 类型一单一非负性的应用（√a≥0或a≥0） 1.[2025汉中洋县期末]要使式子m+2在实数范围内有意义，则m的值不可以是 A.-3 B.-2 C.-1 D.0 2.[2025昆明安宁期末]若y=√2x一1+3√1一2x一2，则代数式x的值为 A.4 B是 C.-4 n 3.当代数式√/一x2十2x一1有意义时，x的取值范围是 4.已知b=√a2-4+√4-a2,求(a-b)3的值. 5.若m满足m-2026十|2025-m=m,试计算m-20252的值. 类型二双重非负性的应用（√a≥0且a≥0） 6.已知a一3与b2+2b+1互为相反数，则ab的值为 A.3 B.-3 c月 D 7.a,b,c在数轴上的位置如图所示，则化简|a十c十b|一√J(c一a)的结果是 a 06 (第7题) A.b-2c B.b-2a C.-2a-b D.2c-b 8.化简（√3一x)2一√(x一4）的结果是 9.已知a,b,c是三角形的三边长，则化简/(a一b一c)2一|b一a十c|的结果是 10.已知√2x-4+√y+1=√a+b-2025X√2025-a-b,求： (1)a+b的值. (2)7x十y226的值 30 “答案与解析”见PI3 第二章实数 综合与实践2宣传卡片及封皮的制作问题 怀仁市的自然资源以煤炭和高岭岩闻名，就此形成一个行业—陶瓷业.有一种被当地人称 活动背景 作“黑砂石”的矿物，是重要的陶瓷制作原料.某中学课外活动小组为了宣传当地陶瓷，制作了 精美的宣传卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的长方形包装封皮. 图示 陶瓷圣地 ① ② A小组成员制作如图①所示的正方形陶瓷卡片，该卡片的面积为81cm;B小组成员制作如 相关数据及说明 图②所示的长方形封皮，长方形封皮的长和宽的比为3：2，面积为102cm. (1)求正方形卡片的边长. 问题解决 (2)通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中. “答案与解析”见P14 314.2由题意，得3※2=√3-2,8※12=√⑧+√12= 2√2+25.所以(3※2)×(8※12)=(3一√2)×(22+ 2√3)=2. 50原式-号×号+×45-9-9+25 2 55=0.(2)原式=(45-25+125)÷25= 14W3÷2W3=7. 6.A因为a=√2+1，b=2-1,所以√ab· (√8-日）4-6-E+1--1》-+1 √2+1=2. 7.A卡片A,C上的数是无理数，卡片B上的数是有理 数，(1-5)2+√48÷√(-2)7=1-25+3+45÷2 4-25+2W3=4. 8.4√2因为第二行的三个实数的积为3X√6×2=6√6， 横向、纵向及对角线方向上的实数相乘都能得出同样的结 果，所以第一行的空格中的实数为6√6÷(2√3×1)=32， 第三行的空格中的实数为6√6÷(6×3)=√2.所以两个 空格中的实数之和为3√2+√2=4√2， 9.答案不唯-，如5-25若口”是-2,0是5， 则(-2+5)y÷2=(5-26)÷2=52-25:若 “☐”是一√2，“○”是√6，则（一√2十√6）2÷√2=(8 2√12)÷√2=4√2-26；若“☐”是3，“○”是6，则 (+6)÷2=(9+2V18)÷2=92+6. 2 10.①D原式=+1-4+12+号×(25-号) 18-3后+号×9=1a.(2设■=，则wg十1 23y-m(厘-√）=8-35.所以-m(25-9）= 8-38-13+35.所以-55m=-5所以m= 11.(1)由题意，得AB=3,OA=√2，所以OB=3-√2.所 以点B表示的数为-(3-√2)=√2-3，即m的值为√2 3.(2)原式=|3+2-3|÷[√2×（√2-3+4）]-√⑧ √2÷[2×(W2+1)]-22=√2÷(2+√2)-2W2=√2 1-22=-√2-1. 微专题·分母有理化 4(√7+√5) 1(1①07-57-3)7+ 4 =√7+5. 4 7-37+3)7-8)=万+5. ②万-店7 √7-3 n-√n-I 2) n+/m后-+Vn-)W-m-i） 万二0三-a-Vm可，所以2024+2024十 n-(n-1) 2+1√3+√2 2024 2024 =2024(W2-1+√3-√2+ 2+3 √n+n-I 2-√5+…+√n-√n-1)=2024(Wn-1)=2024√n 2024 专题特训二二次根式的大小比较 1.(1)<.(2)m>n.理由：因为m=2√5+√13，n= 2W7+5,所以m2=(2√5+√13)2=20+4√65+13 33+4w65,n=(2√7+√5)2=28+4w35+5=33+4w35. 因为√65>√35，所以m2>n2.所以m>n. 2192-是-7厘因为9≥2，所以 4 2 m.所以2-厘>0，所以9厘>令，(2(25+ √2)-(3√2+√3)=√3-2√2.因为2√2=√8,3<8，所以 3<22,即3-22<0.所以23+2<3√2+3 31)因为四：35-2@×厘4 3√2 36=3>1,所以 √20、35 (2)5+1÷5+2-5+1×5+3 512 5+25+35+2√5+2 (W5+2)2 9+45·因为8+45 5+1)×(5+3)-8+45 9+4√5 <1,所以 5+15+2 w5+25+3 4盟为后后雨56+5后 1 6+5 1 √5+2 =√5+2，√6>2，所以6+√5>√5+ (W5-2)×(5+2) 5己2因为后-5>8后-2，所 1 2.所以 6-√5<5-2. 专题特训三二次根式的非负性的应用 1.A由题意可知，m十2≥0，解得m≥-2，所以m的值 不可以是一3. 2A根据题意，得2x-1≥0且1-2z≥0，所以x=2, y=-2所以x=(分)'=4 3.x=1根据题意，得-x2+2x-1≥0，即-(x-1)2≥ 0.又因为一(x一1)20，所以x=1. 4.由题意，得a2-40且4-a2≥0.所以a2=4.所以a= ±2.所以b=0.所以(a-b)3=(一2一0)3=一8或(a b)3=(2-0)3=8. 5.因为m一2026≥0，所以m≥2026.所以2025一m<0. 所以√m-2026+|2025-m|=√m-2026+m 2025=m.整理，得√m-2026=2025,即m一2026= 2025.所以m-20252=2026. 6.C由题意，得√a-3+b2+2b+1=0,所以√a-3+ (b+1)2=0.因为√a-3≥0，(b+1)2≥0，所以a一3=0. 6+1=0,解得a=36=-1所以。=31=号 7.C由数轴，可得a十c十b<0,c一a<0.所以a十c十 b-(c-a)=-(a+c+6)-(a-c)=-a-c-b- a+c=-2a-b. 8.一1根据题意，得3一x≥0.所以x3.所以x一4<0 所以原式=3一x一(4一x)=一1. 9.0因为a,b,c是三角形的三边长，所以a一b一c<0, b-a+c>0.所以W/(a-b-c)2-b-a+c|=-(a b-c)-(b-a十c)=-a十b+c-b十a-c=0. 10.(1)根据题意，得a+b一2025≥0且2025一a一b≥0. 所以a+b=2025.(2)由(1)，得√a+b-2025× √2025-a-b=0.所以√2x-4+√y+I=0.因为 √/2x一4≥0，√y十1≥0，所以2x一4=0，y+1=0,解得 x=2,y=-1.所以7x+y2025=7×2+(-1)226=14+ 1=15. 综合与实践2宣传卡片及封皮的制作问题 (1)根据题意可知，该卡片的边长为√⑧I=9cm.(2)设 长方形封皮的长为3xcm,则宽为2xcm.根据题意，得 3x·2x=102,6.x2=102,解得x=√17（负值舍去）.所以 长方形封皮的长为3√17cm,则宽为2√17cm.因为长方 形封皮的宽2√17=√68<9=√8I,所以卡片不能直接 装进长方形封皮中 第二章拔尖自主测评 1.C当a<-1时，a+1没有平方根，小丁说法错误：当 a为正数时，一a没有平方根，小张说法正确；因为a2+2> 0,所以一定有平方根，小刘说法正确 2.C因为方程(x-5)2=19的两根为a和b,所以a一5 和b-5是19的两个平方根，且互为相反数.因为a>b,所 以a一5是19的算术平方根 3.B因为/一27=-3，√81=9，±√9=±3，所以-3+ 3=0或一3一3=一6. 4.D23与42不能合并，A错误：√5与√2不能合并，B 错误；√27÷√3=√27÷3=√9=3，C错误；一(2)2= 一2，D正确. 5.B因为36<40<49，所以6<√J40<7.所以13<√/40+ 7<14.因为a<√40+7<b,且a,b是两个连续的整数，所 以a=13,b=14.所以a+b=13+14=27.所以a+b的立 方根是3. 6.A①√16a=4a2,正确；②√5a·√10a= v=5a,正确：国a√日-a层-√c·石 a √a,正确：④√3a-√2a=(W3一√2)a≠√a,错误. 7.C由题意，得V2一1=1-x,解得x=2-√2.所以|x E1+后=2-顶-1+-2g-2+2-1= 32-3. 8.D设x=√6-35-√6十35.易知√6-35< √6十3√3，所以x<0.所以x2=6-35+6+3√3-2× √/(6-33)×(6+35)=12-2×3=6.所以x=-6. 因为5-2--2)X3-2 5+√2(5+√2)X(5-√2) =5-26,所以原 式=5-2√6-√6=5-3√6. 9.0因为a,b互为倒数，所以ab=1.因为c,d互为相反 数，所以c+d=0.所以-ab+√c+d+1=-T+ √6+1=-1+0+1=0. 10.一a√-b因为ab>0,所以a,b同号.因为-a2b> 0,且a2>0,所以-b>0,-a>0.所以√-ab=|a|× √-b=-a-b. 11.5mn因为2=m,√3=n,所以√150=5×√2× √5=5m. 12.士42因为xy=8,所以当x<0,y<0时，原式= 十立√四=-28=-42：当>0y>0时， y 原式=4√2.