第2章 第3节 第1课时 二次根式的概念及乘除运算-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

第二章实数 3二次根式 第1课时二次根式的概念及乘除运算 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.易错题给出下列式子：①ā；②√a;③一√一2；④√（一3）严；⑤√x.其中一定是二次根式的 个数为 () A.1 B.2 C.3 D.4 2.[2025通辽开鲁期中]与√2的乘积仍为无理数的是 ( A.2 B.5 C.√⑧ 3.舒回结论开放题[2025河南中考]请写出一个使/5一x在实数范围内有意义的x的值： 4.若12÷☐=2，则口中的数为 5.计算： (1)24×3 (2)4-20 √5 (3)6÷2 ×5. (4)6X50 (5)(2√2+1)2. (6)(2√5+√7)(25-√7). √5 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 6.下列运算错误的是 () A.√-4×-9=6 B.√5×5 =3 C.3√3X√27=27 D.压5-2 √5 7.计算3：√3×二的结果为 3 A.3 C.1 8若y=√2x-十-2x+2,则的值为 A.2 B.4 C.6 D.8 9.若一个长方体的长为2√6，宽为23，高为3√2，则它的体积为 23 拔尖特训·数学（北师版）八年级上 10E知h>0a+h0有下列骆式①=后6：西语牙-1：5÷8=-a: ①·√名a其中，正确的足 (填序号) 11.计算： (1)√27X√3+(72-√50)÷√2. (2)压+5+2-3)(2+5. 5 12.青境游戏活动周末，小敏高高兴兴地回到家，妈妈问她这周学习了什么，小敏说：“我学习了二 次根式.”妈妈高兴地说：“那好，我们来做个游戏.若x表示√47的整数部分，y表示它的小数部 分，则我的钱包里有（√47十x)y元，你能猜出这个钱包里有多少钱吗？”小敏陷入了沉思.请你 帮小敏求出这个钱包里的钱。 道三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 13.阅读下面的解题过程： ()利用上述解法化简：①100..@x一立 1 (2)利用上述性质比较大小：①5√2与4√3.②一2√11与-35. 14.舒新定义题若两个二次根式m,n满足m·n=p,且力是有理数，则称m与n是关于p的 友好二次根式 (1)若m与5是关于15的友好二次根式，求m的值， (2)若√2与2√m是关于4的友好二次根式，求m的值. 24 >“答案与解析”见PI13.> 4>(y=10(停}-因为10>袋所以 >号 5.够用.理由：设拉线(AB)的长为xm(x>0),则BD= 3xm.在Rt△ADB中，由勾股定理，得AB=BD十 AD,即x-(仔)}+5，所以x2-25所以x= √因为5=022要所以√ 2<5.5.所以铁 丝够用. 6.D因为a,b为正整数，/53<64<98，√2<4< √7，所以a=4,b=2.所以b°=2=16. 7.B因为1<2<2,5<131<6，所以A,B两点之间 的整数点对应的数为2,3,4,5，共有4个 8.21由勾股定理，得第16个三角形的斜边长为√17，则 这海螺图形周长-1+1×16+√17=17+√17.因为与 √17最接近的整数是4，所以与17+√17最接近的整数 是21. 9.±√13由题意，得a<√40<b.因为√36<√40< √49，所以6<√40<7.因为a和b为两个连续正整数，所 以a=6,b=7.所以a十b=13.所以a+b的平方根是 士√3. 10.(1)>. (2) 思路导引 BC=3 BD=AC=1 AB=√3+1=10 三角形三边关系 AD+BD>AB CD=2,AC=1 5+1>10 AD=2+12=5 因为∠C=90°，BC=3,BD=AC=1,所以CD=2,AD= AC2+CD2,AB2=AC2+BC2.所以AD=√5，AB=√J10」 所以AD十BD=5十1.因为三角形的两边之和大于第三 边，所以AD+BD>AB.所以W5+1>√J10. 11.2√17-4因为16<17<25，所以4<√17<5.所 以2<√7一2<3.所以√7一2的整数部分是2，小数部 分是√17-2-2=√/17-4. 12.设长方形的长AB为3xcm,则宽BC为2xcm(x> 0).由题意，得3x·2x=300,解得x2=50.因为x>0,所 以x=√50.所以AB=3√50cm,BC=2√50cm.设圆的 半径为rcm(r>0).因为圆的面积为147cm,所以r2= 147,解得r=7(负值舍去.所以两个圆的直径总长为 28cm.易知3√50<28，所以不能并排裁出两个面积均为 147cm的圆， 3二次根式 第1课时二次根式的概念及乘除运算 1.B 易错警示 对二次根式的概念理解不清致错 若一个式子属于二次根式，则要含“√”，且被开 方数是非负数.不满足这两个条件中的任何一个，就不 属于二次根式。 2.B分别计算，可得2×√2=2，√2×5=√10，√2× =4w厄x√=1.故选B 3.答案不唯一，如0由题意，得5-x≥0，即x≤5. 4.√3因为4=2，所以☐=√2÷√4=√3. 5.(1)原式=√16=4.(2)原式=√9-√4=1.(3)原 6×50=10. 式=6÷2X3-√6=64)原式= (5)原式=8+4W2+1=9+4W2.(6)原式=(2√5)2 (√7)2=20-7=13. 6.A因为二次根式的被开方数是非负数，所以选项A中 的二次根式无意义.所以选项A符合题意。 7.C原式=3× 8.B由二次根式的意义，得2x-1≥0,1一2x≥0.所以2x- 10部得=当-2时y2所以之-兰=4 x 1 2 9.72依题意，得长方体的体积为2√6×2√3×3√2=72. 10.②③因为ab>0,a+b<0,所以a<0,b<0.所以Wa与 6无意义所①错误因为√任·√层-√·云=1 所以@正瑞.而÷√-b号-√· √b=bl.因为b<0,所以原式=一b.所以③正确.√ab· √号-ab台=石=a.因为a<0,所以原式 一a.所以④错误综上所述，正确的是②③. 11.(1)原式=√8I+(√36-√25)=9+6-5=10. (2)原式=√9+1+4-3=5. 12.因为6</477，所以√47的整数部分是6，小数部分 是√47-6，即x=6,y=√47-6.所以（√47+6）× (√47-6)=47-36=11.所以这个钱包里有11元. 13.(1)①10w0.I=√10×√0.I=√/100X0.I= 而.②由题意知<0所以√=-F: √王=-√2(2)=-2.2)①因为 5√2=√5X2=√50,43=√X5=√48,50>48， 所以52>45.②因为2√T=√22×√I=√44， 35=√32×5=√45,44<45，所以2√i<3√5.所以 -2/11>-35」 14.(1)因为m与√5是关于15的友好二次根式，所以 √5m=15.所以m=35.(2)因为2与2√m是关于4 的友好二次根式，所以√2×2√m=4.所以2√m=2√2. 所以m=2. 第2课时二次根式的化简及加减运算 1.A√22是最简二次根式；√24-26，不是最简二次根 /5 式：√a-la,不是最简二次根式√3，被开方数中含 有分母，不是最简二次根式 2.Bm=√27一√3=33一3=2√3=√/12，因为√9< √12<√16，所以3<√12<4，即实数m的范围是3< m<4. 300厘=25区-2n√/层-5v=3v5. 所以与√5的被开方数相同的是①④， 4.5V2-6x是 =23-√3=5. 5.(1)原式=62+5_32_39巨+5 107 7 10 (2)原式= 5116 3√/28 10 7 21 6.D将a和b的值代人计算，选项A,B,C的计算结果为 2√2=√⑧，选项D的计算结果为2十√2 7.D因为小长方形的长为√18=32，宽为⑧=2√2，所 以大长方形的长为32+3√2=6√2，大长方形的宽为 3√2+22=5√2，大长方形的周长为(6√2+5√2)×2= 22,√2，大长方形的面积为6√2X5√2=60.故A,B,C选项 正确，D选项错误， √⑧ 4 932 2 因为Q=IPRt,导线的电阻为82，经过2s导线 产生72J的热量，所以72=1×8×2.所以1=号所以 1=32 2 0因为v历-5-3√局-焉√ 号所以，⑧√高是同类二次根式：V历√会 是同类二次根式. (2原式=反+55-3反-得+ 9 -3=-212+37E 3 10 1.(①由题意，得-号V27=25-号×35- 23一√3=√5.(2)淇淇的说法正确.理由：由题意得， =m-2√g5@+6=25-2x-3× 35+√6=2√5-6-5+6=3，因为√48=43，所 以x的值能与√48合并 121)甲、乙两人的解答都正确.(2)√4.9=√10 /49 --x √70b 第3课时二次根式的混合运算 1.B√3+√3=23，故A错误；√12-√3=23-3= √3，故B正确；√⑧÷√4=√8÷4=2，故C错误；2√7× 3√7=42，故D错误. 2A(5而-35)×√5 /1 =52-3,因为1.42= 1.96,1.5=2.25,1.96<2<2.25,所以1.4<√2<1.5.所 以1.4×5-3<5√2-3<1.5×5-3.所以4<52-3< 1 45,即(5V而-35)×，√行的值应在4和5之间. 3.10x号+x=3+26+2+3-2W6+2=10.