第2章 第2节 第3课时 估算-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

第二章实数 第3课时估算 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.《九章算术》中指出“若开之不尽者，为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个 专门的名词—“面”.例如面积为8的正方形的边长称为8“面”，关于34“面”最接近的数为() A.3 B.4 C.5 D.6 2.数形结合思想如图，数轴上点A表示的数可能是 A 之寸01234 (第2题) A.7的算术平方根 B.6的立方根 C.9的平方根 D.8的立方根 3.用计算器比较大小：15 √6（填“>”“<”或“=”）. 4.舒境数学文化[2024安徽中考]我国古代数学家张衡将圆周率取值为10，祖冲之给出圆周率 的一种分数形式的近似值为号.请比较大小：0 号（填>”或“<” 5.如图，要在5m高的电线杆AD的两侧拉笔直的铁丝AB和AC以固定电线杆.生活经验表明， 当拉线的固定点B(或点C)与电线杆底端D的距离为其同侧拉线长度的时，电线杆比较稳定. 现要使电线杆稳定，一工人准备了两根长为5.5m的铁丝，你认为铁丝够用吗？并说明理由， B D C (第5题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 6.若正整数a,b分别满足53<a<98,2<b<7,则b的值为 () A.4 B.8 C.9 D.16 7.如图，数轴上A,B两点表示的数分别为√2和13I,则A,B两点之间表示整数的点共有() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 A B 023 (第7题) (第8题) 8.如图，用16张不同的直角三角形纸片拼成一个海螺的图形，直角的位置、长为1的线段均已标 出，则与这海螺图形周长最接近的整数是 21 拔尖特训·数学（北师版）八年级上 9.考向新定义题对于有理数a,b,定义min{a,b}的含义为当a<b时，min{a,b}=a,例：min{1, -2}=-2.已知min{√40，a}=a,min{√40，b}=√40，且a和b为两个连续正整数，则a十b的 平方根是 10.向探究题为了比较5十1与√10的大小，小伍和小陆两名同学对这个问题分别进行了 研究 (1)小伍同学利用计算器得到了5≈2.236，√10≈3.162，故√5+1√10（填“>”“<” 或“=”) (2)小陆同学受到前面学习在数轴上用点表示无理数的启发，构造出如图所示的图形，其中∠C 90°，BC=3,点D在BC上，且BD=AC=1.请你利用此图进行计算与推理，帮小陆同学比较 √5+1和√10的大小N, (第10题) ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.我们知道无理数√都可以化为无限不循环小数，所以√无的小数部分不可能全部写出来.若√无 的整数部分为a,小数部分为b,则b=√元一a,且b<1.√17一2的整数部分是 ,小数部 分是 12.如图，长方形ABCD的面积为300cm2,长和宽的比为3：2.试判断在此长方形内沿着边的方向 能否并排裁出两个面积均为147cm2的圆（π取3），请通过计算加以说明. (第12题) 22 >“答案与解析”见PI013.(1)因为正数x的两个不同的平方根分别是a和a+ b,所以a+a+b=0.将b=8代入，得a十a+8=0.所以 a=一4.(2)因为正数x的两个不同的平方根分别是a 和a+b,所以a2=(a+b)2=x.因为a2x+(a+b)2x=4, 所以x2+x2=4,即x2=2.因为x>0,所以x=√2. 14.(1)根据题意可知，因为（±5i)2=-25,所以一25的 平方根是士5i;因为（士6i)2=-36,所以一36的平方根是 ±6i.(2)因为=i,2=-1,3=2·i=-i,i=i3· i=一i2=1,i5=i·i=i,i5=i5·i=i2=一1…所以i 的幂具有周期性，每4项为一个循环，和为i一1一i十1=0， 因为2025÷4=506…1，所以原式=506×0+i=i. 15.(1)√2.(2)x的值为0或1.理由：因为0和1的算 术平方根是它们本身，且0和1又是有理数，所以当输人的 x值为0或1时，始终无法输出y的值.(3)若输入x值 后，转换器的屏幕显示“该操作无法运行”，说明输入的 x值没有算术平方根，所以输入的x值是负数.(4)答案 不唯一，如5和25， 第2课时立方根 1.A根据立方根的表示方法，m的立方根为m 2.D根据立方根的定义，64的立方根是4，选项A错误； 一27的立方根为一3，选项B错误；立方根等于本身的数是 0和士1，选项C错误；0的平方根和立方根都是0，选项D 正确。 3C根据题言，得号=，所以G=人所以，=64 4.15由排水法可知，铁块的体积为15cm3,所以铁块 的棱长为/15cm 5.(1)0.008=0.2.(2)/-25 343 > 3,19 (4)-729+9/512=-9+ 8=-1. 6.A①一对相反数的立方根仍是一对相反数，故说法① 正确：②一个数的平方根是士8，这个数是64,64的立方根 是4，故说法②错误.③本题符合非负数平方根的表示方 法，实数立方根的表示方法，故说法③正确；④当α>0时， -a<0;当a=0时，一a=0;当a<0时，-a>0,故 说法④错误」 7.A因为a的算术平方根为17.25，x的平方根为 ±1.725，所以a=17.252=(1.725×10)2=100×1.7252, x=(士1.725)2-1.725.所以a=100.所以x=100a.因 为b的立方根为一8.69，y的立方根为86.9，所以b= (-8.69)3=-8.693,y=86.93=(8.69×10)3=1000× 8.69.所以y=1000·(-b)=-10006. 8.2因为y-1+3-2=0,所以易得y一1+3-2y- 0,解得y=2.因为x一6的平方根是它本身，所以x一6=0，解 得x=6.所以x十y=6十2=8.故x十y的立方根为2. 9.1因为A=√a+3b是a+3b的算术平方根，所以 a-1=2,解得a=3.因为B-6√1-a是1-a2的立 方根，所以2a-b-1=3.将a=3代入，得2×3-b-1=3, 解得b=2.所以A=√a+3b=√3+3×2=3，B= 91-3=-2.所以A+B=3+(-2)=1.所以A+B的 立方根是1. 10.(1)两；右；一.(2)0.7071；22.36.(3)被开方数 的小数点每向右移动三位，其立方根的小数点就会向右移 动-位.(4)21.54；-0.4642. 11.(1)设正方体的棱长为xm,则x3=1.331,解得x= 1.1.所以正方体的表面积为6×1.1=7.26(m).所以至 少需要7.26m的铁皮.(2)若正方体水箱容积扩大为 原来的8倍，则扩大后的正方体的棱长为原来的⑧=2倍. 12.C因为将体积是125cm3的正方体木块锯成8个同 样大小的小正方体木块，所以每个小正方体木块的棱长为 /125÷2=2.5(cm).设长方形区域的宽为xcm,则长为 4xcm.所以x·4x=36,解得x=3(负值舍去).所以长方 形区域的宽为3cm,长为4×3=12(cm).因为3÷2.5= 1.2(个)，12÷2.5=4.8（个），所以n的最大值是1×4=4. 13.(1)答案不唯一，如2是8的立方根，一2是一8的立方 根，2十（一2）=0,8+（一8）=0，即结论“若两个数的立方根 互为相反数，则这两个数也互为相反数”成立.(2)根据 (1)中的结论，可知1一2x与3x一5也互为相反数.所以 1-2x十3x-5=0,解得x=4.所以-7-√元=-7一√4= 一7一2=一9.所以一7一√的立方根为一9. 第3课时估算 1.D34“面”=√34，因为30.25<34<36，所以5.5< √34<6.所以34“面”最接近的数为6. 2.B根据数轴可知，点A的位置在1和2之间，且靠近 2.因为2<√7<3,1<6<2，土√9=士3,8=2，所以选项 B符合题意 3.> 4>(y=10(停}-因为10>袋所以 >号 5.够用.理由：设拉线(AB)的长为xm(x>0),则BD= 3xm.在Rt△ADB中，由勾股定理，得AB=BD十 AD,即x-(仔)}+5，所以x2-25所以x= √因为5=022要所以√ 2<5.5.所以铁 丝够用. 6.D因为a,b为正整数，/53<64<98，√2<4< √7，所以a=4,b=2.所以b°=2=16. 7.B因为1<2<2,5<131<6，所以A,B两点之间 的整数点对应的数为2,3,4,5，共有4个 8.21由勾股定理，得第16个三角形的斜边长为√17，则 这海螺图形周长-1+1×16+√17=17+√17.因为与 √17最接近的整数是4，所以与17+√17最接近的整数 是21. 9.±√13由题意，得a<√40<b.因为√36<√40< √49，所以6<√40<7.因为a和b为两个连续正整数，所 以a=6,b=7.所以a十b=13.所以a+b的平方根是 士√3. 10.(1)>. (2) 思路导引 BC=3 BD=AC=1 AB=√3+1=10 三角形三边关系 AD+BD>AB CD=2,AC=1 5+1>10 AD=2+12=5 因为∠C=90°，BC=3,BD=AC=1,所以CD=2,AD= AC2+CD2,AB2=AC2+BC2.所以AD=√5，AB=√J10」 所以AD十BD=5十1.因为三角形的两边之和大于第三 边，所以AD+BD>AB.所以W5+1>√J10. 11.2√17-4因为16<17<25，所以4<√17<5.所 以2<√7一2<3.所以√7一2的整数部分是2，小数部 分是√17-2-2=√/17-4. 12.设长方形的长AB为3xcm,则宽BC为2xcm(x> 0).由题意，得3x·2x=300,解得x2=50.因为x>0,所 以x=√50.所以AB=3√50cm,BC=2√50cm.设圆的 半径为rcm(r>0).因为圆的面积为147cm,所以r2= 147,解得r=7(负值舍去.所以两个圆的直径总长为 28cm.易知3√50<28，所以不能并排裁出两个面积均为 147cm的圆， 3二次根式 第1课时二次根式的概念及乘除运算 1.B 易错警示 对二次根式的概念理解不清致错 若一个式子属于二次根式，则要含“√”，且被开 方数是非负数.不满足这两个条件中的任何一个，就不 属于二次根式。 2.B分别计算，可得2×√2=2，√2×5=√10，√2× =4w厄x√=1.故选B 3.答案不唯一，如0由题意，得5-x≥0，即x≤5. 4.√3因为4=2，所以☐=√2÷√4=√3. 5.(1)原式=√16=4.(2)原式=√9-√4=1.(3)原 6×50=10. 式=6÷2X3-√6=64)原式= (5)原式=8+4W2+1=9+4W2.(6)原式=(2√5)2 (√7)2=20-7=13. 6.A因为二次根式的被开方数是非负数，所以选项A中 的二次根式无意义.所以选项A符合题意。 7.C原式=3× 8.B由二次根式的意义，得2x-1≥0,1一2x≥0.所以2x- 10部得=当-2时y2所以之-兰=4 x 1 2 9.72依题意，得长方体的体积为2√6×2√3×3√2=72. 10.②③因为ab>0,a+b<0,所以a<0,b<0.所以Wa与 6无意义所①错误因为√任·√层-√·云=1 所以@正瑞.而÷√-b号-√· √b=bl.因为b<0,所以原式=一b.所以③正确.√ab· √号-ab台=石=a.因为a<0,所以原式 一a.所以④错误综上所述，正确的是②③.