第2章实数分层作业-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

第2章实数分层作业-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（2024） 基础达标 一．选择题（共8小题） 1．（2025春•西乡塘区期末）下列各式是二次根式的是（　　） A． B．2 C． D． 2．（2025秋•镇平县期末）下列二次根式中，可以与合并的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025秋•长安区期中）下列各组数中互为相反数的是（　　） A．﹣3与 B．﹣3与 C．与|| D．1与1 4．（2025春•上饶期末）已知x为实数，且0，则x2+x﹣3的算术平方根为（　　） A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2 5．（2025秋•鼓楼区校级期末）若三角形的三边长为，，3，则此三角形的面积为（　　） A． B． C． D． 6．（2024秋•祥符区期末）计算结果是（　　） A． B． C． D． 7．（2024秋•滦州市期末）在算式“”的“□”中填上一种运算符号，其运算结果为有理数，则“□”可能为（　　） A．+ B．÷ C．+或× D．﹣或× 8．（2024秋•即墨区期末）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为和，则A，B两点之间表示整数的点共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二．填空题（共6小题） 9．（2025秋•醴陵市期末）化简　 　 ． 10．（2025秋•成华区期末）一个正方体的体积扩大为原来的1000倍，则它的棱长扩大为原来的　 　 倍． 11．（2026春•惠州校级期中）一个正数的平方根是7﹣2a和5a﹣1，则a的值是　 　 ． 12．（2025秋•黄浦区期末）与最简二次根式为同类二次根式，则x＝　 　 ． 13．（2025秋•虹口区校级期末）如图，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝2，点A恰好落在数轴上表示﹣3的点上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点C，使点C落在点A的左侧，则点C所表示的数是　 　 ． 14．（2025秋•松江区期末）实数，3.14，，0.1010010001，﹣0.0272727…（“27”依次不断出现）中，其中无理数是　 　 ． 三．解答题（共8小题） 15．（2025秋•兴庆区校级期末）计算： （1）； （2）． 16．（2025秋•南京期末）已知一个正数的平方根分别是a+2和2a﹣5，b﹣3的立方根为﹣2． （1）求出a，b的值； （2）求4a﹣b的平方根和9a+b的立方根． 17．（2026秋•同步）已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：|a﹣b|+|c﹣a|． 18．（2026春•河曲县期末）已知边长分别为，的两个正方形的面积分别为S1，S2． （1）求S1+S2的值； （2）用一根长为16m的铁丝，能否围成这两个正方形？ 19．（2026春•中江县月考）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2.设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ； （2）计算：． 思维达标 20．（2025秋•栾城区期末）阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小．请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题： （1）（3+2）（3﹣2）＝5×1＝5＝9﹣4＝32﹣22， （5+3）（5﹣3）＝8×2＝16＝25﹣9＝52﹣32… 由此可归纳出结论：（a+b）（a﹣b）＝　 　 ． （2）根据上面的结论计算： ∵， ∴． 类似的： ∵， ∴　 　 ； （3）类比应用　 　 ； （4）请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 21．（2026春•吴忠校级期末）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为1（dm2）的小正方形纸片剪拼成一个面积为n（dm2）的大正方形．【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为　 　 dm2，边长为　 　 dm． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形A1B1C1D1，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为　 　 dm． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形A1B1C1D1纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为4.86dm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，且要求长方形的四周至少留出0.3dm的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 22．（2024秋•青岛校级月考）阅读下面材料： ； ； ； 请解决下列问题： （1）求的值； （2）计算（n为正整数）的值； （3）利用上面的解法，请计算：． 第2章实数分层作业-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2025春•西乡塘区期末）下列各式是二次根式的是（　　） A． B．2 C． D． 【解答】解：，2，不符合二次根式的定义，它们不是二次根式， 符合二次根式的定义，它是二次根式， 故选：C． 2．（2025秋•镇平县期末）下列二次根式中，可以与合并的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、2，不能与合并，故本选项不符合题意； B、的被开方数是6，不能与合并，故本选项不符合题意； C、2，其被开方数是2，能与合并，故本选项符合题意； D、2，其被开方数是3，不能与合并，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．（2025秋•长安区期中）下列各组数中互为相反数的是（　　） A．﹣3与 B．﹣3与 C．与|| D．1与1 【解答】解：A．∵，∴﹣3与不是互为相反数，故此选项不符合题意； B．∵，∴﹣3与不是互为相反数，故此选项不符合题意； C．∵，∴与是互为相反数，故此选项符合题意； D．∵ 与不是互为相反数，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．（2025春•上饶期末）已知x为实数，且0，则x2+x﹣3的算术平方根为（　　） A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2 【解答】解：∵0， ∴． ∴x﹣3＝2x+1． ∴x＝﹣4． ∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9． ∴x2+x﹣3的算术平方根为． 故选：A． 5．（2025秋•鼓楼区校级期末）若三角形的三边长为，，3，则此三角形的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可知，， ∴三角形是直角三角形， ∴三角形的面积是． 故选：D． 6．（2024秋•祥符区期末）计算结果是（　　） A． B． C． D． 【解答】解： ＝22， 故选：B． 7．（2024秋•滦州市期末）在算式“”的“□”中填上一种运算符号，其运算结果为有理数，则“□”可能为（　　） A．+ B．÷ C．+或× D．﹣或× 【解答】解：（1）+（1）＝2，结果不是有理数，则A，C不符合题意； （1）÷（1）3+2，结果不是有理数，则B不符合题意； （1）×（1）＝2﹣1＝1，结果，是有理数，（1）﹣（1）＝2，结果是有理数，则D符合题意； 故选：D． 8．（2024秋•即墨区期末）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为和，则A，B两点之间表示整数的点共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【解答】解：∵， ∴A，B两点之间表示整数的点共有：2，3，4，5一共有4个． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 9．（2025秋•醴陵市期末）化简　2025　 ． 【解答】解：原式＝|﹣2025|＝2025， 故答案为：2025． 10．（2025秋•成华区期末）一个正方体的体积扩大为原来的1000倍，则它的棱长扩大为原来的　10　 倍． 【解答】解：设原来的边长为x，那么现在的体积为1000x3， 则 10x， 所以它的棱长变为原来的10倍． 故答案为10． 11．（2026春•惠州校级期中）一个正数的平方根是7﹣2a和5a﹣1，则a的值是　﹣2　 ． 【解答】解：根据题意可知，7﹣2a+5a﹣1＝0， 解得：a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 12．（2025秋•黄浦区期末）与最简二次根式为同类二次根式，则x＝　8　 ． 【解答】解：， ∵与最简二次根式为同类二次根式， ∴x﹣1＝7， ∴x＝8． 故答案为：8． 13．（2025秋•虹口区校级期末）如图，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝2，点A恰好落在数轴上表示﹣3的点上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点C，使点C落在点A的左侧，则点C所表示的数是　　 ． 【解答】解：由题意得，在Rt△AOB中，∠OAB＝90°，AB＝2，OA＝3， ∴OB， ∴OC＝OB， ∵点C在原点的左侧， ∴点C在数轴上所表示的数为， 故答案为：． 14．（2025秋•松江区期末）实数，3.14，，0.1010010001，﹣0.0272727…（“27”依次不断出现）中，其中无理数是　　 ． 【解答】解：，， 无理数是． 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 15．（2025秋•兴庆区校级期末）计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式； （2）原式 ＝3﹣2﹣6 ＝﹣5． 16．（2025秋•南京期末）已知一个正数的平方根分别是a+2和2a﹣5，b﹣3的立方根为﹣2． （1）求出a，b的值； （2）求4a﹣b的平方根和9a+b的立方根． 【解答】解：（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可得： a+2+2a﹣5＝0，b﹣3＝（﹣2）3＝﹣8， ∴a＝1，b＝﹣5； （2）由条件可知4a﹣b＝4×1﹣（﹣5）＝9的平方根为±3，9a+b＝9×1﹣5＝4的立方根为． 17．（2026秋•同步）已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：|a﹣b|+|c﹣a|． 【解答】解：由数轴可得，a＜b＜0＜c， 则原式＝﹣a﹣（b﹣a）+（c﹣a）+（c﹣b） ＝﹣a﹣b+a+c﹣a+c﹣b ＝﹣a﹣2b+2c． 18．（2026春•河曲县期末）已知边长分别为，的两个正方形的面积分别为S1，S2． （1）求S1+S2的值； （2）用一根长为16m的铁丝，能否围成这两个正方形？ 【解答】解：（1）由题意，∵边长分别为，的两个正方形的面积分别为S1，S2， ∴S1+S2＝（）2+（）2 ＝5+3+25+3﹣2 ＝16（m2）； （2）由题意得，两个正方形的周长之和 ， ∵， ∴817.888＞16， ∴不能用16m的铁丝围成这两个正方形． 19．（2026春•中江县月考）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2.设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ m2+3n2 ，b＝ 　2mn ； （2）计算：． 【解答】解：（1）∵a+bm2+3n2+2mn， 而a、b、m、n均为正整数， ∴a＝m2+3n2，b＝2mn； 故答案为：m2+3n2，2mn； （2）原式 ＝||﹣|| （） 2﹣3 ＝21． 20．（2025秋•栾城区期末）阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小．请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题： （1）（3+2）（3﹣2）＝5×1＝5＝9﹣4＝32﹣22， （5+3）（5﹣3）＝8×2＝16＝25﹣9＝52﹣32… 由此可归纳出结论：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ． （2）根据上面的结论计算： ∵， ∴． 类似的： ∵， ∴　　 ； （3）类比应用　　 ； （4）请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 【解答】解：（1）（3+2）（3﹣2）＝5×1＝5＝9﹣4＝32﹣22 （5+3）（5﹣3）＝8×2＝16＝25﹣9＝52﹣32… 以此类推可得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故答案为：a2﹣b2． （2） ， 故答案为：； （3）∵， ∴， 故答案为：； （4）∵， ， ∴， ， ∵， ∴． 21．（2026春•吴忠校级期末）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为1（dm2）的小正方形纸片剪拼成一个面积为n（dm2）的大正方形．【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为　5　 dm2，边长为　　 dm． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形A1B1C1D1，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为　　 dm． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形A1B1C1D1纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为4.86dm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，且要求长方形的四周至少留出0.3dm的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 【解答】解：（1）由题意可得：这个正方形的面积为5dm2的大正方形，边长为； 故答案为：5；． （2）如图， ∵用10个面积为1dm2的小正方形纸片剪拼成一个面积为10dm2的大正方形， ∴拼成的大正方形A1B1C1D1的边长为； 故答案为：； （3）欢欢的想法不对， 假设能沿着正方形的方向裁出一块面积为4.86dm2的长方形纸片，且它的长宽之比为3：2，设长为3xdm，则宽为2xdm，则有： 2x×3x＝4.86， 解得，x＝±0.9， ∵3x为长方形的长， ∴x＞0， ∴x＝0.9， 则长为3x＝2.7， ∵要求长方形的四周至少留出0.3dm的边框， ∴长方形的长应当为2×0.3+2.7＝3.3（dm）， ∵3.32＝10.89＞10， ∴假设错误，不能． 22．（2024秋•青岛校级月考）阅读下面材料： ； ； ； 请解决下列问题： （1）求的值； （2）计算（n为正整数）的值； （3）利用上面的解法，请计算：． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ＝﹣1+10 ＝9． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $