第2章 第1节 认识实数-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

第二章实数 1认识实数 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.下列说法中，错误的是 () A.无理数的相反数还是无理数 B.无限不循环小数都是无理数 C.正数、负数统称有理数 D.实数与数轴上的点 一一对应 2.数形结合思想[2025固原泾源期末]如图，作一个以数轴的原 点为圆心，长方形对角线长为半径的圆弧，交数轴于点A,则=4 -3 A-2 -101之→ 点A表示的数是 () (第2题) A.分数 B.整数 C.负有理数 D.负无理数 3.已知实数a是3一π的绝对值，则实数a的倒数为 4有下列各数：（一x°，青1.080.10101001…（相邻两个1之间0的个数遂次加10.其中，无 理数有 个 5.如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，AB=6,BD=5,CD=2,AD与AC长的平方分别是多 少？AD,AC的长可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？ B D (第5题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 6.有下列各数：①面积为124的正方形的边长；②体积是8的正方体的棱长；③直角边长是3和5 的直角三角形的斜边长；④长为8、宽为6的长方形的对角线的长.其中，是无理数的为() A.①② B.①③ C.①④ D.①②③ 7.数形结合思想实数一4，a,上在数轴上对应点的位置如图所示，表示1的，点可能是 A.P B.Q C.R D.S P。 B a (第7题) (第8题) (第9题) 8.舒考结论开放题[2024深圳中考]如图，A,B,C均为正方形，若A的面积为10，C的面积为1， 则B的边长可以是 (写出一个答案即可). 9.向探究题如图，在正方形网格中，以AB为边画Rt△ABC,使，点C在格点上，且另外两条边 的长均为无理数，满足条件的点C共有 个. 15 拔尖特训·数学（北师版）八年级上 10.已知a与-π互为相反数，b与一2互为倒数.当m一a+b一n=0时，则m十n的值为 11.易错题将下列各数填人相应的集合中： {,7.6,-102.0.1010010001,-3,-2,0,28181I8118…(相邻两个8之间1的 个数逐次加1). 有理数集合：{ …}. 无理数集合：{ …}. 整数集合：{ …}. 分数集合：{ …}. 12.向探究题观察图①，每个小正方形的边长均为1. (1)图中涂色部分（正方形）的面积是 边长是 (填“有理”或“无理”)数 (2)如图②，在数轴上作出边长的对应点P(要求保留作图痕迹). -5-4-3-2-1012345→ ① ② (第12题) 13.如图，半径为1的圆沿数轴从实数一1对应的点向右滚动一周，圆上的点A恰好与点B重 合.求： (1)点B对应的实数m的值. (2)m的相反数和绝对值. -1012 (第13题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 14.舒考向探究题如图所示为由5个边长均为1的小正方形组成的图形，现在要把它剪拼成一个 正方形（无剩余） (1)剪拼成的正方形的面积是多少？ (2)设剪拼成的正方形的边长为a(a>0),则a应满足什么条件？ (3)a是整数吗？是分数吗？是有理数吗？ (4)请画出你剪拼成的正方形 (第14题) 16 >“答案与解析”见P815.(1)在“等直关联三角形”ABC中，∠C=90°，AC=6, BC=8,由勾股定理，得AB=10.(2)因为在“等直关联 三角形”ABC中，AD为“等直分割线”，所以AD=BD.设 AD=BD=x,所以CD=BC-BD=8-x.在Rt△ACD 中，由勾股定理，得AD=CD+AC2,即x2=(8-x)+ 6,解得x-5.即BD-草所以△ABD的面积为2BD· 4 4 16.(1)是.在△CHB中，因为CH2+BH=1.62+ 1.22=BC,所以CH2+BH2=BC2.所以CH⊥AB.所以 CH是从村庄C到河边的最近路.(2)设AC=x千米， 因为AB=AC,所以AH=AB-BH=(x-1.2)千米.在 Rt△ACH中，由勾股定理，得AC2=AH+CH,即x2= (-1.2)+1.6,解得x=号所以原来的驺线AC的长 为号千米 17.如图，把正方体的BCD面和ACD面展开，取CD的中 点E,连接BE,AE.根据题意，可知△BCD是等腰直角三 第二章 1认识实数 1.C有理数包括正有理数、0和负有理数，所以正数、负 数统称有理数是错误的. 2.D结合数轴，得点A表示的数的平方=2+1=5，且 在原点左边，所以该数是负无理数 31 ,元一3由题意得，a-3-x=元-3，所以实数a的倒 数为3 4.1(一π)°=1.由无理数的定义，得0.1010010001… (相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无理数.故无理数 有1个 5.因为AD是边BC上的高，所以AD⊥BC.在Rt△ABD 中，根据勾股定理，可得AD=AB2一BD2=62一5=11. 同理，可得AC=AD2+CD=11+22=15.所以AD与 AC长的平方分别是11,15.因为AD=11,AC2=15,所以 AD,AC的长都不可能是整数，都不可能是分数，都不可能 是有理数. 6.B①面积为124的正方形的边长是无理数；②体积是 8的正方体的棱长为2，是有理数；③直角边长是3和5的 直角三角形的斜边长是无理数；④长为8、宽为6的长方形 角形，△ACD是等边三角形.所以BC=BD,AC=CD= AD.因为E为CD的中点，所以BE⊥CD,AE⊥CD.所以 易得点B,E,A在同一条直线上.在Rt△BCD中，由勾股 定理，得CD=BC2+BD2.因为BC=BD=6cm,所以 CD=72cm2.所以CD≈8.48cm.所以易得BE=CE= DE=2CD≈4.24cm在R△ACE中，由勾股定理，得 AE=AC:-CE =CD:-CE CD:-(CD)= CD.所以AE=54cm.所以AE≈7.35cm所以 AE十BE≈11.59cm.所以这只蚂蚁爬行的最短路程约为 11.59cm. 2 D A (第17题) 实数 的对角线的长为10，是有理数. 7C由数轴图可知-a<a<,所以0<a<1<},故 表示1的点在表示a的点与表示。的点之间，即可能是 点R. 8.答案不唯一，如2由图形可知，SA=10,Sc=1,所以 1<SB<10,所以B的边长可以是2. 9.4画图如图所示.由图可知，满足条件的点C共有 4个. (第9题) 。a与一x互为相反数，则a=xb与-2互为倒 数，则6=-.因为lm-al+b-nl=0,所以m-a= 1b-n=0,即m-a=0,b-n=0.所以m=a=元，n=b= 一之所以m十n=一合 1 1.有理数架合：{-号7,6，-102,01010101， 一3 -2,0…小.无理数集合：-号2.8181818- (相邻两个8之间1的个数逐次加1)，…}.整数集合： 7 {-102,-2,0,….分数集合：-5,7.6,0.101010001， 3 3…/ 易错警示 对无理数的概念认识不清致错 对无理数的概念认识不清，误认为无限小数都是无 理数而导致错解.事实上，只有无限小数中的不循环小 数才是无理数 12.(1)17;无理.(2)如图，点P即为所求作. C -5-4-3-2-10123 5 (第12题) 13.(1)因为该圆的周长为2π×1=2π，所以点B对应的实 数m=一1+2r=2π-1.(2)m的相反数为1一2r,绝对 值为2π一1. 14.(1)剪拼成的正方形的面积是5×1=5.(2)a2=5 且a>0.(3)a不是整数，不是分数，不是有理数. (4)剪拼成的正方形如图所示（虚线部分，剪拼的方法不唯一）. (第14题) 2平方根与立方根 第1课时平方根 1.B因为√3=√=3，所以√3的平方根就是3的平方 根，即土√3 易错警示 切勿对根号视而不见 计算算术平方根或平方根时，容易对根号视而不 见，混淆a与√a导致错误.根号是一种运算符号，与其他 运算符号不同的是，它与被开方数是一个整体，不要忽 略根号的存在 2.C一4没有算术平方根，选项A错误：4是16的算术平 方根，选项B错误；（一6）2的平方根是士6，选项C正确；1 的平方根是士1，选项D错误！ 3.C因为m是169的算术平方根，n是121的负的平方 根，所以m=13,n=一11.所以m十n=2.所以(m+n)2的 平方根是士√2=土√4=士2. 4.5根据题意，得√100÷4=√25=5，则正方形的边长 为5. 5.8由题意得，6a十3+4a+7=0,解得a=一1.当a= -1时，6a+3=6×(-1)+3=-3,所以m=(-3)2=9. 所以a十m=一1十9=8. 6.20由条件，可知v=√1600X0.25=20(m/s). 7.(1)±√/196=±14.(2)√31=31. 3√-品4(-历=2 8.D(-5)2的平方根是士√(-5)2=士√25=士5，故 ①正确.当a=0时，一a2有平方根，故②错误.非负数a的 平方根是士√ā，故③错误.负数没有平方根，一个正数的平 方根有两个，所以可能为负，故④错误.0的平方根是它本 身，1的平方根是士1，故⑤错误.综上所述，不正确的是② ③④⑤，共4个 9.C设这个正偶数为x,则=m.所以x=m2.所以和 这个正偶数相邻的下一个正偶数为m2十2.所以和这个正 偶数相邻的下一个正偶数的平方根为士√2+2 :根据一个正数的两个平方根互为相反数，设这个 正数的两个平方根分别为x,一x(x>0).由题意，得x一 （一x)=,解得x-受·所以这个正数是（号）-宁 112或-号 因为(3x-1)2-25=0,所以(3x-1)2= 25.所以3x-1=±√25.所以3x-1=5或3x-1=-5. 所以x=2或x=一3 12.(1)10.6:±10.9.因为当x=10.6时，x2=112.36, 所以112.36的算术平方根是10.6.因为当x=10.9时， x2=118.81,且平方根有两个，互为相反数，所以118.81的 平方根是士10.9.(2)由条件可知a介于10.1与10.3 之间，满足条件的正整数a的值有103,104,105,106. (3)物体自由下落的时间t(单位：s)与下落高度h(单位： m之间的关系是-g所以当A=580m时1-智 108.16,且t>0,所以结合表格可知t≈10.4s.