第2章 实数 高频考点突破（拔尖攻略）-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

第二章 实数 P朝高频考点突破 考点一平方根、算术平方根及立方根 典例1[2025南京期末]已知一个正数的平 方根分别是a+2和2a一5，b一3的立方根 为一2.求： (1)a,b的值 (2)4a一b的算术平方根和9a+b的立方根 分析 (1)根据一个正数的两个平方根互为相反数， 得到a十2十2a-5=0,求出a的值，由立方根的定 义，得到b一3=一8，求出b的值即可：(2)根据算 术平方根和立方根的定义进行求解即可 解答：(1)根据一个正数的两个平方根互为 相反数，可得a+2+2a-5=0,解得a=1; 根据立方根的定义可知b一3=（一2）3= -8,解得b=-5. (2)由条件，可知4a一b=4×1-(-5)=9, 所以4a一b的算术平方根为3.因为9a十 b=9×1一5=4，所以9a+b的立方根 为，4. 小结 本题考查平方根和立方根的有关性质，解决 问题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义、 能借助乘方运算求平方根或立方根， 对应练习 1.已知4是3a-2的算术平方根，2一 15a-b的立方根为一5.求： (1)a和b的值 (2)2b一a一4的平方根. 10 聚焦高频考点，各个击破 考点二实数的分类 典例2把下列各数填入相应的括号中（填序号）： ①-7：②T:③0.3：④：⑤v: ⑥一27；⑦0.5757757775…（每相邻两 个5之间7的个数逐次加1). (1)正实数集合：{ …}. (2)负实数集合：{ …}. (3)正整数集合：{ …}. (4)有理数集合：{ …}. (5)无理数集合：{ …. 分析 先把所给各数进行化简，再按照所给的分 类逐一进行判断 解答：(1)正实数集合：{②，③，④，⑤， ⑦，…. (2)负实数集合：{①，⑥，…}. (3)正整数集合：{⑤，…}. (4)有理数集合：{①，③，⑤，⑥，…. (5)无理数集合：{②，④，⑦，…. 小结 本题考查实数的分类，解决问题的关键是利 用定义法将实数进行分类，要注意避免三个“误 认为”：(1)误认为带根号的数都是无理数； (2)误认为带分数线的数都是分数；(3)误认为 某些数字按一定规律出现的数都是有理数 对应练习 2在3,0.4,0.00，(2+3)0， -5.12中，无理数有 2i 个， 整数有 个 考点三估算 典例3[2025泰州海陵期末]因为√1< √<√4，即1<3<2，所以3的整数部分 是1，小数部分是√3一1.类比以上推理过 程，解答下面的问题 (1)求17的小数部分 (2)若m是π和√17之间的一个整数，求m 的平方根. 分析 (1)根据4<√17<5可求解问题；(2)由 题意易得m=4,再求平方根 解答：(1)因为4<17<52，所以4<√/17< 5.所以√17的整数部分是4，小数部分是 √/17-4. (2)由(1)知，4<17<5，因为m是π和 √17之间的一个整数，所以m=4.所以m的 平方根是士2. 小结 本题考查利用估算的方法求无理数的大小， 解决问题的关键是借助乘方运算进行估算， 对应练习 3.比较大小： (1)√15与4. (26-5 3 8 981 第二章实数 考点四二次根式的运算 典例4计算： 1) 2 +√32-64. (2)50-1 2 +(5+3)(W5-3). 1 (3)(2+F)+,/2×4厅-961. (4) 4,2+(W48-√24)÷3 一4 √3-2 分析 按照运算顺序，先化简二次根式，再利用乘 法公式进行计算，最后将二次根式化简后的被 开方数相同的项合并 解答：(1)原式=√2+4√2-4=5√2-4. (2)原式=5v2-32 2 +5-3=2+2. 3D原式=(2+214+7)+2×47-4年 2√14+9+214-4=4√14+5. 5+2 (4)原式= (3-2)(3+2) 6 Vs5-/24÷3=-5+2)-23+ 3 4-22=-5-2-25+4-22=2 3 53 3 -22. 小结 本题考查二次根式的混合运算，解决问题的关 键是按照运算顺序逐步进行计算，特别注意最后要 将二次根式化简后的被开方数相同的项合并. 对应练习 4.计算： (1)18÷(2×35月 11 数学（北师版）八年级上 ②6-2i)x-6/ (3)(6+1)2-(3-√2)×(3+√2). 考点五阅读理解型问题 典例5观察下面各式及其化简过程： W/3+22=/(2)2+22X1+12 √（√2+1）2=√2+1，√5-26 √(3)2-2/3X2+(W2)2=√(3-√2)2= √3-√2 (1)按照上述两个根式的化简过程的基本 思想填空W√3一2√2= =√2-1. (2)按照上述两个根式的化简过程的基本 思想，将√11一4√6化简. (3)针对上述各式反映的规律，写出 √/m-2√m=√a-√b(m>0,n≥0，a>b≥ 0)中m,n与a,b之间的关系. 分析 (1)将3-2√2写成（√2-1）2，再根据二次 根式的性质进行化简即可；(2)将11一4√6化 为(2√2一√5)2，再根据二次根式的性质进行化 简即可；(3)根据规律写出答案， 解答：(1)√（√2-1）2. (2)√11-46=(22-3)2=22-√3. (3)当√m-2√n=√a-√b(m>0,n≥0， a>b≥0)时，m=a+b,n=ab. 12 小结 本题考查运用二次根式的性质进行化简，解 决问题的关键是理解化简过程，再利用二次根式 的性质进行化简 对应练习 5.[2025株洲期末]定义：我们将（√a+√6） 与（√ā一√石）称为一对“对偶式”.因为 (Wa+b)(a-√b)=(a)2-(b)2= a一b,可以有效地去掉根号，所以有一些 题可以通过构造“对偶式”来解决」 例如：已知√12一x一√8一x=2,求 √12一x十√8一x的值，可以这样解答： 因为（√12-x-√8-x)×(√12-x十 √/8-x)=(√12-x)2一（√8-x)2= 12-x-8+x=4,所以W12-x+ √8-x=2. 根据以上材料，理解并运用材料提供的 方法，解答下列问题： (1)已知√18-x+√6-x=6,则 √/18-x-√/6-x= 2化简：+5 1 5一3 (3)计算： 5+5 十…十 ×(1+ 5+7 √2023+√/2025 √2025).(4)6+8+10=24(cm),24X写十7-10(cm),24- 10=14(cm).当0≤t<2时，BP=(8-2t)cm, BQ=3tcm.分两种情况：①BP十BQ=10cm,则 8-2t十3t=10,解得t=2(不合题意，舍去). ②BP+BQ=14cm,则8-2t+3t=14,解得t=6 (不合题意，舍去).当2≤t≤4时，AP=2tcm, AQ=10-5(t-2)=(20-5t)cm.分两种情况： ①AP+AQ=10cm,则2t+20-5t=10,解得t= 十AQ=14cm,则21+20 1=2,综上所述，4的值为号或2。 第二章实数 [高频考点突破 0(1)因为4是3a一2的算术平方根，所以3a 2=16,解得a=6.因为2-15a-b的立方根为 -5,所以2-15a-b=-125,即2-15×6 b=-125,解得b=37.(2)因为2b-a-4=2× 37一6一4=64,64的平方根为士8，所以2b一a一4 的平方根为士8. 031无速数有号v04,-经共3个：些数 有(2十3)，共1个 ③(1)因为9<15<16，所以3<√15<4.所以 √15<4. (2)因为4<5<9，所以2<5<3.所以3<6 5所似以5含 0原式=号×3÷(42×6)=- 3 3V2÷83=-42÷83=-6 61 (2)原式= V6X3-2w15X3-6×号 =32-65 3√2=-65.(3)原式=6+2√6+1-3+2= 6+26. ⑤(1)2由题意，因为（√18-x十√6-x)· (W√18-x-√6-x)=18-x-(6-x)=12,且 √18-x十√6-x=6,所以√18-x-√6-x=2. 附：答案与解析 (2)v6-5,5+3 1 21 1 十…十 ×(1+ √5+√7 /2023+√2025 v205)=(5+6,5+,5 2 2 士…十 √/2025-√2023 X(W2025+1)=2025-1× 2 2 (W2025+1)=2×(2025-1)=1012. [综合素养提升] ①D选项A,一27=一3是有理数；选项B, √4是无型致：选政C号是无湿数不是分数：远项 D,√25=5,5的平方根是士√5，所以√25的平方根 是无理数. 0Bm=8×4-方)-原-2，因为25< 32<36,所以5<√32<6.所以3<√32-2<4.所 以3<m<4. ③D由题意，可知a=一√2，b=√2|=√2，c= 后-号，所以a<0<c<b.所以a+b=0<c,a+ √2 b+c= 2 >0,ab<0<c,bc=1>a. 0B因为5=5-X3,8-√2x4,压 1 1’22’3 3x石，24=√4X6, 3 4 4，…,所以第”个数为 n”干D.所以第8个数为8X0- n 8 8 ⑤0或6因为√81=9，其平方根为士3，所以x= 士3.因为27的立方根是y,所以y=3.所以x十 y=3+3=6或x十y=-3+3=0. ⑥2W3a2-b2=(a+b)(a-b)=√2X6= 23. ⑦(1)原式=35+23+25-√5=55+5. (2)原式=2-1十3-2=1十√3-2=3-1. ⑧(1)因为m的算术平方根是3，所以m=9.因 为n的立方根是-2，所以n=一8.所以m一n= 53