第1章 勾股定理 拔尖自主测评-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

拔尖特训·数学（北师版）八年级上 第一章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.[2025南京模拟]在三边长分别为a,b,c(a<b<c)的直角三角形中，下列数量关系不成立的是 () A.a+b>c B.a+b-2c C.∠A+∠B=∠CD.a2+b2=c2 2.[2025宿州蛹桥校级期中]如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为 S1,S2,S3.若S3十S2一S1=20,则图中涂色部分的面积为 () A.5 B.10 C.6 D.8 M D B (第2题) (第3题) (第4题) (第5题) 3.如图，在5×5的正方形网格中，点A,B,C,D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中 是直角三角形的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.[2025郑州校级期中]如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为6cm,底面半圆直径AC为 4cm,点A处有一只蚂蚁沿如图所示的路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最 短路程是（π取3） () A.8 cm B.9 cm C.10 cm D.12 cm 5.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9,BC=6.将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合， 折痕为MN,则线段BN的长为 () A.3 B.4 C.5 D.6 6.如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为4cm,2cm,9cm,用一根细线从点A开始，绕侧面一直 绑到点B处，则所用细线的长最小为 () A.12 cm B.15 cm C.18 cm D.21 cm (第6题) (第7题) 7.图①中有四个全等的直角三角形.现将这四个全等的直角三角形紧密拼接，形成如图②所示的 “飞镖”状图案，且外围轮廓的周长为24，OA⊥OB,OC=3.该“飞镖”状图案的面积为（) A.6 B.12 C.16 D.24 12 第一章勾股定理 8.[2025镇江中考改编]小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个 情境：如图，一根竹子原来高1丈(1丈=10尺)，折断后顶端触到墙上距地面9尺的点P处，墙 脚O离竹根A处3尺远.折断处B离地面的高度为 A.4.5尺 P B.4.8尺 墙 B C.5尺 D.5.2尺 AO地面 (第8题) 二、填空题（每小题3分，共15分） 9.[2025扬州中考]清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳 法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献 由此法则写出了下列几组勾股数：①3,4,5：②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41…根据上述 规律，写出第⑤组勾股数为 10.勾股定理是我国伟大的数学发明之一.如图，以Rt△ABC的各边为边，分别向外作正方形，再 把较小的两个正方形放入最大的正方形中，三个涂色部分的面积分别为S1=1,S2=2,S3=3. 较小的两个正方形重叠部分（四边形DEFG)的面积为 s-frc (第10题)》 (第11题) (第12题) (第13题) 11.如图，等腰三角形ABC的底边BC=5,CD=4,BD=3,则AD的长为 12.[2025温州瑞安期中]如图，斯诺克比赛的桌面（忽略桌边宽度）AB长1.8m,黑球Q距AD边 0.2m,距CD边1.5m,若黑球Q击中桌边AD,反弹后恰好进入点C所在的洞口，则黑球Q 运动路线的总长度为 m. 13.如图，在长方形ABCD中，AB=3,AD=4,E,F是边BC,CD上一点，EF⊥AE,将△ECF沿 EF翻折得到△EC'F,连接AC'.当BE=时，△AEC'是以AE为腰的等腰三角形 三、解答题（共61分） 14.(14分)某学校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆（如图①）高度的实践活动，同学们制 定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.如图②，线段MV的长表示旗杆高度，MN垂 直于地面，垂足为N.将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段NE.用皮尺测出VE 的长度为0.5m.如图③，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉 直为止，此时小丽同学直立于地面点B处.用皮尺测出点N与点B之间的距离为6m.已知小 丽身高AB为1.5m.请根据所给信息，求学校旗杆MN的高 ① ② (第14题) 13 拔尖特训·数学（北师版）八年级上 15.(15分)[2025温州瑞安期中]定义：已知△ABC是直角三角形，若存在一条线段将其分割成两 个三角形，且这两个三角形中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，则称△ABC为“等直关 联三角形”，这条线段称为“等直分割线”. 如图，在“等直关联三角形”ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,点D在BC边上（不与顶点重 合)，连接AD,AD为“等直分割线”.求： (1)AB的长， (2)△ABD的面积. (第15题) 16.(16分)[2025湖州德清期中]如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水 点A,B,其中AB=AC,由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决 定在河边新建一个取水点H(A,H,B在一条直线上)，并新修一条路CH,测得CB=2千米， CH=1.6千米，HB=1.2千米. (1)CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明. (2)求原来的路线AC的长. 北 B (第16题) 17.(16分)如图①，正方体木块的棱长为6cm,沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）切掉一角，得 到如图②所示的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B.求这只蚂蚁 爬行的最短路程（参考数据：8.482≈72,4.242≈18,7.352≈54）. B ① ② (第17题) 14 >“答案与解析”见P6路程是此长方形的对角线，对角线的长为17dm 3 2 2 2单位：dm B (第3题) 4.13如图，AB=10+1+1=12(m),连接AC,则AC的 长即为这只蚂蚁至少要爬的路程.因为AB=12m,BC= AD=5m,∠B=90°，所以在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC=AB2+BC2.所以AC=13m.所以它至少要爬13m 的路程。 D NM (第4题) 5.(1)如图①，把圆柱的侧面沿高展开，得到长方形，连接 AC,AC',则易得这圈金属丝最短为2AC的长度因为圆 柱的底面圆周长为12，高为8，所以AB=8,BC=BC'=6. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2=AB2+BC,所以 AC=10.所以这圈金属丝最短为2AC=20.(2)如图②， 将杯子侧面的一半展开，作点A关于CE的对称点A',过 点A'作A'D⊥GE,交GE的延长线于点D,连接A'B,则 易得A'B的长即为最短路径的长.由题意，得AC=3cm, BG=5cm,EG=-14cm,HG=32:2=16(cm).所以易得 AC=DE=AC=3 cm,BE=14-5=9(cm),A'D=HG= 16cm.所以BD=3+9=12(cm).在Rt△A'DB中，由勾股 定理，得A'B2=A'D2+BD=16+122=400(cm).所以 A'B=20cm.所以蚂蚁从外壁点A处爬到内壁点B处的 最短路径长20cm. ② (第5题) 综合与实践1探寻“勾股数” (1)①7.②(2a+1).1阶正方形：1×1=1=1,1个 点：2阶正方形：2×2=2=4,4个点；3阶正方形：3×3= 32=9,9个点…n阶正方形：n·n=n2,n2个点.所以4阶 正方形比3阶正方形多4一32=16-9=7（个）.点.所以(a+ 1)阶正方形比a阶正方形多(a十1)2-a2=(2a十1)个点. (2)答案不唯一，如13阶正方形有132=169个点，12阶正 方形有122=144个点，则169-144=25，因为25是平方 数，所以144+25=169，即122+52=13，因此得到一组勾 股数为a=12,b=5,c=13.(3)根据题意，可知(a+ 1-。=n=2a十1，整理，得a=2己.所以a十1 ”分+1=号-专+1=”生所以这组勾脱数为 生园为”为整数所以矿-1为偶数所 以n2为奇数.所以n为奇数. 第一章拔尖自主测评 1.B由三角形的三边关系，可知a十b>c,故选项A成 立：由直角三角形的角度关系，可知∠A十∠B=∠C,故选 项C成立；由直角三角形的三边关系，可知a2十b2=c2,故 选项D成立.利用排除法可知，选项B不成立 2.A由勾股定理结合正方形的面积可知，S3一S,=S2, 因为S3+S2-S,=20,即2S2=20,所以S2=10.所以图 1 中涂色部分的面积=25，=5， 3.C连接AB,AD,AC,BD,BC,CD,由勾股定理，可得 AB2=1+22=5,BD2=1+22=5,AD2=12+32=10, AC2=4+22=20,CD2=1+32=10,BC2=52=25,因为 5+5=10,即AB2+BD=AD2=10,所以△ABD为直角 三角形：因为10十10=20，即AD2+CD2=AC2=20,所以 △ACD为直角三角形；因为5十20=25，即AB2+AC2 BC2=25,所以△ABC为直角三角形.所以直角三角形有 3个. 4.C将圆柱的侧面展开如图所示，其中AC的长为2π× 4=6cm,CD=2cm,BD=6cm,所以AD=6+2=8(cm). 根据勾股定理，可得AB2=AD2+BD,所以AB=10cm. 所以爬行的最短路程为10cm. C D (第4题) 5.B设BN=x,则AN=9一x.因为折叠，所以DN= AN=9-x.因为D是BC的中点，所以BD-BC=3 在Rt△NBD中，由勾股定理，得BD+BN=DN,即 32十x2=(9一x)2,解得x=4.所以BN=4. 6.B如图所示为长方体盒子的侧面展开图，连接AB',则 AB'的长即为所用细线长的最小值.由题意，得AA'=4十 2+4+2=12(cm),A'B'=AB=9cm.在Rt△AA'B中，由 勾股定理，得AB2=AA2+A'B?,所以AB'=15cm所 以所用细线的长最小为15cm. aB' A (第6题) 7.D根据题意，得OB=OC=3,4(AB+AC)=24,即 AB+AC=6.在Rt△AOB中，根据勾股定理，得AB2= OA+OB2,即(6-AC)2=(3+AC)2+3,解得AC=1. 所以0A=3+1=4.所以Sm=20A·0B=号×4X 3=6.所以该“飞镖”状图案的面积为4S△0s=24. 8.C如图，过点B作BC⊥OP于点C.由题意，得BA OA,OP=9尺，OA=3尺，AB+BP=10尺，OA⊥OP,所 以BC=OA=3尺，OC=AB.设OC=AB=x尺，则BP= (10一x)尺，CP=OP一OC=(9一x)尺.由勾股定理，得 BC2+CP2=BP2,即32+(9-x)2=(10-x)2,解得x= 5,即AB=5尺，故折断处B离地面的高度为5尺. 墙 A0口地面 (第8题) 9.11,60,61通过观察，得出规律：这类勾股数分别为 21+1,212+21,2n2+2n+1,由此可写出第⑤组勾股数为 2×5+1=11,2×52+2×5=60,2×52+2×5+1=61. 10.6设直角三角形的斜边长为c,较长直角边为a,较短 直角边为b,由勾股定理得，c2=a2十b2,所以c2一a2一 b2=0.所以S色=c2-a2-(b2-S四边形sG)=c2一a2 b2+S四边无DEFP=S四范韦DF.所以S四边无FPG=S,十S2十 S3.因为S,=1,S2=2,S3=3,所以较小的两个正方形重 叠部分（四边形DEFG)的面积=1+2+3=6. 1.名设AB=AC=a.因为BC=5,CD=4,BD=3,所 以BD+CD=BC.所以∠BDC=90°.所以∠ADC= 90°.在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC2=AD2+CD,即 。2=a-3)+,解得a-罗所以AD-写-3=名 12.2.5如图，作点C关于AD的对称点M,连接QM交 AD于点H,连接CH,过点Q作QN⊥CD于点N,所以 MH=CH,MD=CD.所以QH+CH=QH+MH=QM. 根据题意可知，DN=0.2m,QN=1.5m,AB=CD= 1.8m,所以MD=CD=1.8m.所以MN=MD+DN= 1.8+0.2=2(m).在Rt△MNQ中，由勾股定理，得 MQ=MN2+QN2,所以MQ=2.5m.所以黑球Q的运动 路线的总长度为QH+CH=QM=2.5m. M H (第12题) 18或号 因为四边形ABCD是长方形，所以AD= BC=4,∠B=90°.设BE=x,则EC=4一x.由翻折，得 EC'=EC=4一x.因为△AEC'是以AE为腰的等腰三角 形，所以可分为两种情况：①当AE=EC‘时，AE=4一x. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2+BE=AE,即 3+x2=(4-x),解得x=名.②当AE=AC时，如图， 过点A作AH⊥EC',垂足为H,则∠AHE=90°.因为 EF⊥AE,所以∠AEF=∠AEC'+∠FEC'=90°.所以 ∠AEB+∠FEC=9O°.因为△ECF沿EF翻折得到 △EC'F,所以∠FEC'=∠FEC.所以∠AEB=∠AEH.又 因为∠B=∠AHE=90°，AE=AE,所以△ABE≌ △AHE.所以BE=HE=x.因为AE=AC',AH⊥EC', 所以C'=2HE=2,所以4一x=2,解得x=手综上 所述，当BE-了或号时，△MPC是以E为腰的等腰三 角形. B (第13题) 14.如图，过点A作AC⊥MN于点C.由题意知，CN= AB=1.5m,AC=BN=6m.设MN=xm,则AM=(x+ 0.5)m,CM=(x-1.5)m,因为AP=AC2+CMf,所以 (x+0.5)2=62+(x-1.5)2,解得x=9.5.所以MN=9.5m g C N B (第14题) 15.(1)在“等直关联三角形”ABC中，∠C=90°，AC=6, BC=8,由勾股定理，得AB=10.(2)因为在“等直关联 三角形”ABC中，AD为“等直分割线”，所以AD=BD.设 AD=BD=x,所以CD=BC-BD=8-x.在Rt△ACD 中，由勾股定理，得AD=CD+AC2,即x2=(8-x)+ 6,解得x-5.即BD-草所以△ABD的面积为2BD· 4 4 16.(1)是.在△CHB中，因为CH2+BH=1.62+ 1.22=BC,所以CH2+BH2=BC2.所以CH⊥AB.所以 CH是从村庄C到河边的最近路.(2)设AC=x千米， 因为AB=AC,所以AH=AB-BH=(x-1.2)千米.在 Rt△ACH中，由勾股定理，得AC2=AH+CH,即x2= (-1.2)+1.6,解得x=号所以原来的驺线AC的长 为号千米 17.如图，把正方体的BCD面和ACD面展开，取CD的中 点E,连接BE,AE.根据题意，可知△BCD是等腰直角三 第二章 1认识实数 1.C有理数包括正有理数、0和负有理数，所以正数、负 数统称有理数是错误的. 2.D结合数轴，得点A表示的数的平方=2+1=5，且 在原点左边，所以该数是负无理数 31 ,元一3由题意得，a-3-x=元-3，所以实数a的倒 数为3 4.1(一π)°=1.由无理数的定义，得0.1010010001… (相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无理数.故无理数 有1个 5.因为AD是边BC上的高，所以AD⊥BC.在Rt△ABD 中，根据勾股定理，可得AD=AB2一BD2=62一5=11. 同理，可得AC=AD2+CD=11+22=15.所以AD与 AC长的平方分别是11,15.因为AD=11,AC2=15,所以 AD,AC的长都不可能是整数，都不可能是分数，都不可能 是有理数. 6.B①面积为124的正方形的边长是无理数；②体积是 8的正方体的棱长为2，是有理数；③直角边长是3和5的 直角三角形的斜边长是无理数；④长为8、宽为6的长方形 角形，△ACD是等边三角形.所以BC=BD,AC=CD= AD.因为E为CD的中点，所以BE⊥CD,AE⊥CD.所以 易得点B,E,A在同一条直线上.在Rt△BCD中，由勾股 定理，得CD=BC2+BD2.因为BC=BD=6cm,所以 CD=72cm2.所以CD≈8.48cm.所以易得BE=CE= DE=2CD≈4.24cm在R△ACE中，由勾股定理，得 AE=AC:-CE =CD:-CE CD:-(CD)= CD.所以AE=54cm.所以AE≈7.35cm所以 AE十BE≈11.59cm.所以这只蚂蚁爬行的最短路程约为 11.59cm. 2 D A (第17题) 实数 的对角线的长为10，是有理数. 7C由数轴图可知-a<a<,所以0<a<1<},故 表示1的点在表示a的点与表示。的点之间，即可能是 点R. 8.答案不唯一，如2由图形可知，SA=10,Sc=1,所以 1<SB<10,所以B的边长可以是2. 9.4画图如图所示.由图可知，满足条件的点C共有 4个. (第9题) 。a与一x互为相反数，则a=xb与-2互为倒 数，则6=-.因为lm-al+b-nl=0,所以m-a= 1b-n=0,即m-a=0,b-n=0.所以m=a=元，n=b= 一之所以m十n=一合 1