第1章 第1节 第2课时 勾股定理的证明与简单应用-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

第一章勾股定理 第2课时 勾股定理的证明与简单应用 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.*[2025临沂罗庄期未]如图，2002年在北京举行的第24届国际数学家大会的会标，它取材于我 国古代数学家赵爽的“弦图”如图①所示，由四个全等的直角三角形拼成.若图①中大正方形的面 积为24，小正方形的面积为4，将这四个直角三角形拼成如图②所示的图形，则图②中大正方形 的面积为 () A.24 B.36 C.40 D.44 直角顶点 直角边 斜边 BD ② ⑦ ③ (第1题) (第2题) (第3题) 2.境生活实际木工师傅进行木工作业时，会利用较大的三角尺，为了方便三角尺的携带和使三 角尺耐用，木工师傅常在三角尺的直角顶点与斜边之间加一根小木条（如图①）.如图②，若 ∠BAC=90°，AB=7cm,AC=24cm,则小木条AD的最短长度为 cm. 3.如图所示为由4个全等的直角三角形通过适当拼接形成的图形，这些直角三角形的两直角边的 长分别为α，b,斜边长为c.试利用这个图形验证勾股定理 解：正方形ABCD的面积十两个直角三角形（△ABH和△CEB)的面积= 两个正方形（正方形APFH和正方形CEFG)的面积+两个直角三角形（△ADP和△DCG)的 面积= 根据两种求法的面积相等，可得 化简整理，得 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 4,如图，图①是魏晋数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两 个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方 形.探究学习中，标上字母绘成图②所示，若记朱方对应的正方形GDJH的边长为α，青方对应的 正方形ABCD的边长为b,已知b一a=2,a2+b2=28,则图②中涂色部分的面积为 () A.20 B.22 C.23 D.24 朱出 朱方 青入 青入 青方 朱入 青出 2m 青出 1.5m ① ② 4m (第4题) (第5题) 5.如图所示为一种机器人行走的路径，机器人从A处先往东走4m,又往北走1.5m,遇到障碍后 3 拔尖特训·数学（北师版）八年级上 又往西走2m,再转向北走4.5m后往东一拐，仅走0.5m就到达了B,则点A与点B之间的直 线距离是 ( ) A.10m B.8.5m C.7m D.6.5m 6.我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦.如图 ①，魏晋数学家刘徽将“勾股形”分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这个图形 验证了勾股定理.如图②所示的长方形是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成的.若AC=6, CD=2,则长方形的面积为 ① ② D (第6题) (第7题) 7.如图，在某景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A处拉回点B处.在离水面高度为8m 的岸上点C处，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m,工作人员以0.7m/s的 速度拉绳子，经过10s游船移动到点D处，则此时游船移动的距离AD为 m. 8.新情境生活实际如图所示为一个桥洞的横断面，它是由一个半圆和一个长方形构成的，桥下地面 是双向行车道（正中间是一条0.4m宽的隔离带）.一辆宽1.8m、高3.5m的货车能否通过此桥 洞？请说明理由. 1.8m 0.4m 5m (第8题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.新探究题当两个全等的直角三角形按如图①②所示的方式摆放时，可以用“面积法”来验证 勾股定理.下面是小聪利用图①验证勾股定理的过程： 连接DB,DC,过点D作边BC上的高DF,则易得DF=EC=b一a.因为S四边形ADCB=S△AcD十 5aB2+a,且5 Sow+5w2+2ah-a.所以2+2b22+ 2a(b一a).所以a2十b2=c.请参照上述过程，利用图②验证勾股定理。 D =--b E 6 B a B ① ② (第9题) >“答案与解析”见P2BP.所以102+6+(21-8》=(2)，解得1-5综上所 述，当△ABP为直角三角形时：的值为4或空。 (3)由 题意，知BP=2tcm.①当BP=AB时，2t=l0,解得t= 5.②当AB=AP时，易得BP=2BC=16cm,即2t=16, 解得t=8.③当BP=AP时，AP=BP=2tcm,CP= |2t-8|cm,AC=6cm,在Rt△ACP中，由勾股定理，得 AP=AC+Cp,即2P=6+(2-8,解得=装综 上所述，当△ABP为等要三角形时（的值为5或8或要 第2课时勾股定理的证明与简单应用 1.D设题图①中直角三角形的斜边长为c,两直角边的 长分别为a,b.因为题图①中大正方形的面积是24，所以 a2十b2=c2=24.因为题图①中小正方形的面积是4，所以 (a一b)2=a2+b2-2ab=4.所以ab=10.所以题图②中大 正方形的面积为2+4×2b=24+2X10=44 方法归纳 弦图计算问题的解题策略 此类题有两种解题策略：一是利用面积相等列出等 式：二是利用勾股定理及完全平方公式进行变形.解决 此类问题要具有整体思想，会整体变换、整体代值， 2增 因为∠BAC=90°，AB=7cm,AC=-24cm,所以 BC2=AB2+AC=72+242=625(cm).所以BC= 25cm当AD⊥BC时，AD最短，此时Saac=2BC· AD=号AB·AC,则AD=ABAC=7X24 BC 25 (cm,即小木条AD的最短长度为受cm 25 3.c'+2X>ab 6+2XTabta c+2X- b+2X>abtaa+b-c 4.B因为△EFG≌△DGC,△EFK≌△HGI,所以涂色 部分面积=S正*无Mrx一S△cx,因为朱方对应的正方形 GDJH的边长为a,青方对应的正方形ABCD的边长为b, 所以DJ=GD=GH=a,AB=CD=BC=b.因为青出与 青人的三角形全等，所以△IJC≌△KAM.所以JC= AM=b-a.所以BM=a.所以CMP=CG2=a2+b.因为 b-a=2,a2+62=28,所以b=a2+6)-(6-a2 2 282=12.所以涂色部分面积=SERER一SA一 2 1 a2+6-7ab=28-6=22. 5.D如图，过点B作BC⊥AD于点C.从图中可以看出 AC=4-2+0.5=2.5(m),BC=4.5+1.5=6(m).在 Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2十BC2,所以 AB=6.5 m. 08 北 45m 2m 4虫 1.5m D (第5题) 6.48设BD=x,因为AC=6,CD=2,所以AB=x+ (6-2)=4+x,BC=x十2.因为AB2=BC2+AC2,即(4+ x)2=(x十2)2十62，所以x=6.所以BC=x十2=8.所以 长方形的面积=6×8=48. 7.9在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2-BC2. 因为AC=17m,BC=8m,所以AB=15m.因为工作人员 以0.7m/s的速度拉绳子，经过10s游船移动到点D处， 所以CD=17-0.7×10=10(m).在Rt△BCD中，由勾股 定理，得BD2=CD一BC.所以BD=6m.所以AD= AB-BD=15一6=9(m).所以游船移动的距离AD为 9m. 8.不能通过此桥洞.理由：如图，设半圆的圆心为O,过 点O作OF⊥EF.易得EF与OC的长为隔离带宽的一 半，即EF=0C=0,4=0.2(m).ED的长表示车宽，过 2 点D作DB⊥OC,交OC的延长线于点B,延长DB交半 圆于点A,连接OA.易得OA=2.5m,CB=ED=1.8m 所以OB=OC+CB=2m.在Rt△OAB中，由勾股定理， 得AB2+OB2=OA2.因为OB=2m,OA=2.5m,所以 AB=1.5m.所以AD=AB+BD=1.5+1.8=3.3(m).因 为3.3<3.5，所以这辆货车不能通过此桥洞. 1.8m 0.4m 5m (第8题) 9.连接BD,BE,过点B作边DE上的高BF,则易得 BF=b-a.因为S五边无ACn=S△ACB+S△ABx十S△ADE= 2ab+合6+分ab,且Snm=SaAm十S6wm十 Sa=6+号+a6-a.所以+6+ 1 2b=6+日2+2a6-a以所以a+6=. 2一定是直角三角形吗 1.C图①，92+122=225=152，是直角三角形：图②， 32+42=25=5,是直角三角形；图③，62+82=100=102， 是直角三角形：图④，72+222=533≠232，不是直角三 角形. 2.B因为a=2m,b=m2-1,d=m2+1,所以a2+b2 (2m)2+(m2-1)2=4m2+m1-2m2+1=m+2m2+1 (m2+1)2,d2=(m2+1)2,所以a2+b2=d2.所以a,b,d 三个数能构成勾股数 3.没有变形因为AB2+BC=2.4+1=6.76=2.62= AC,所以∠ABC=90°.所以小红家的木门没有变形. 4.直角以点A为圆心，AN长为半径画弧：再以点B为 圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C,如图，连接AC, BC,因为AM=MN=2,NB=1,所以AC=AN=AM+ MN=2+2=4,BC=BM=BN+MN=1+2=3,AB= AM+MN+NB=2+2+1=5.所以AC+BC2=AB2.所 以△ABC是直角三角形 M (第4题) 5.连接AC.在△ADC中，∠ADC=90°，所以由勾股定理， 得AD+CD=AC2.因为AD=40m,CD=30m,所以 AC=50m因为BC=120m,AB=130m,所以AC2+ BC2=AB2.所以△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°， 所以这块空地的面积为5am一Sx-2BC·AC 2AD.CD-号×120X50-号×40X30=240(m).所 以在这块空地上种植草皮共需要100×2400= 240000(元). 6.D因为∠A=∠B-∠C,∠A+∠B+∠C=180°，所 以∠B=∠A+∠C=90°，故①能判定△ABC是直角三角 形；由b2=(a十c)(a-c),得b2=a2-c2,即b2十c2=a2, 故②能判定△ABC是直角三角形；由a:b:c=1:2:3, 可设a=x,b=2x,=3x,则有a十b=3x=c,故③不能构 成三角形，更不能判定△ABC是直角三角形；由∠A： ∠B:∠C=3:4:7,可设∠A=3k,∠B=4k,∠C=7k, 所以3k+4+7k=180°，解得7k=90°，故④能判定△ABC 是直角三角形；因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B= 2∠C,所以2∠C+∠C+∠C=180,解得∠C=90, 故⑤能判定△ABC是直角三角形.所以能判定△ABC是 直角三角形的有4个. 7.15因为小淇握住第7个结，所以小惠和小淇之间有 6段等长的绳子.因为6,8,10是一组勾股数，且6十8+ 10=24,所以小婷应该握住第1十6十8=15（个）结，拉紧绳 子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形. 8.24如图，延长AD到点E,使DE=AD,连接CE.因为 D为BC的中点，所以DC=BD.在△ADB与△EDC中， AD=ED, ∠ADB=∠EDC,所以△ADB≌△EDC.所以CE= BD=CD, AB=6.因为AE=2AD=8,CE=6,AC=10,所以AC2= 1 AE2+CE2.所以∠E=90,所以SAAx=SACs=2CE· AE=2X6X8=24. D C2--E (第8题) 9.45°解法一：对于求网格的角度问题，当无法解答时， 只要图形标准可以用量角器量出角度.解法二：设小正 方形的边长为1.如图，取格，点E,连接AE,BE,易知AE∥ CD,所以∠BAE=∠BOD.由勾股定理，得AB2=1+ 22=5,EB2=12+22=5,AE=12+32=10,所以AB2+ BE=AE,AB=BE.所以△ABE是等腰直角三角形.所 以∠BAE=45°.所以∠BOD=∠BAE=45. B (第9题)