第1章 第1节 第1课时 勾股定理-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

第一章勾股定理 1 探索勾股定理 第1课时 勾股定理 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,且∠A:∠B:∠C=1:1:2,则下列等式 正确的是 () A.a2=b2+c2 B.a2=2c2 C.c2=2b2 D.b2=2a2 2.易错题若直角三角形的两边长分别为a,b,且满足(a一3)2十|b一4=0，则以该直角三角形的第 三边为边长的正方形的面积为 () A.25 B.7 C.25或7 D.25或16 3.新情境生活实际你一定听说过《亡羊补牢》的故事，为了防止羊再次丢失，牧羊人要在如图所示的 高0.9m、宽1.2m的长方形栅栏门的相对角的顶点钉一根加固木条，现有一根长为1.45m的 木条， (填“可以”或“不可以”)，理由是 13 12 (第3题) (第4题) 4.如图所示为两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中一个直角三角形的两条边长分别为 13,12,则涂色部分的面积是 5.方程思想如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积. (I)过点A作AD⊥BC于点D.设BD=x,则CD= (用含x的代数式表示). (2)请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值. (3)利用勾股定理，求出AD的长，并计算△ABC的面积. (第5题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.数形结合思想如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，则AB2十BC2+AC2的值是() (第6题) A.16 B.64 C.100 D.144 注：标“易错题”的设有“易错警示”，标“★”的题目设有”方法归纳”，详见分册“答案与解析”。 拔尖特训·数学（北师版）八年级上 7.[2025宁波模拟]如图，在△ABC中，AB=10,AC=8.在高线AD所在直线上任取一点P(不与 点A,D重合)，连接PB,PC,则PB一PC的值为 () A.6 B.18 C.36 D.72 S,c S2 A S.B B D D/E (第7题) (第8题) (第9题)》 (第10题) 8.[2025北京海淀期中]如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边 为边向外作四个正方形，面积分别记为S1,S2,S3,S4.若S1+S4=35,S3=26,则S2= 9.考向新定义题[2025德州期中]对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的 “垂美”四边形ABCD,若AD=5,BC=8,则AB2+CD2的值为 10.[2025泸州合江期末]如图，在△ABC中，AB=AC且AD⊥BC于点D,EF垂直平分AC,与 BC交于点E,与AC交于点F,若AB=5,BC=8,则ED的长为 11.转化与化归思想在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c.如图①，当∠C=90时，根据勾股定理，可 得a2十b2=c2.如图②③，当△ABC不是直角三角形时，请你类比勾股定理，猜想a2+b2与c2 的大小关系，并说明理由。 ② ③ (第11题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 12.新向探究题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm,AC=6cm,动点P从点B出 发，沿射线BC以2cm/s的速度移动，设移动时间为ts,连接AP. (1)求边BC的长. (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值. (3)当△ABP为等腰三角形时，求t的值 BP→C (第12题) 2 >“答案与解析”见PI第一章 1探索勾股定理 第1课时勾股定理 1.C因为∠A:∠B:∠C=1:1:2,∠A+∠B+∠C= 180°，所以∠A=∠B=45°，∠C=90°.所以a=b.因为 ∠C=90°，所以由勾股定理，得a2+b2=c2.所以c2=2b2. 2.C因为(a-3)2+|b-4|=0,所以a-3=0,b-4=0. 所以a=3,b=4.当b=4为直角边的长时，第三边长的平 方为32十4=25：当b=4为斜边的长时，第三边长的平方 为4一32=7.综上所述，以该直角三角形的第三边为边长 的正方形的面积为25或7. 易错警示 未分清直角边和斜边造成漏解 未明确直角三角形的两条边是直角边还是斜边时， 两条边中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，应 分情况讨论， 3.不可以木条长至少为1.5m由勾股定理，得木条长 至少为1.5m,1.45m<1.5m,所以不可以. 4.50如图，由勾股定理得，AB2=13一122=25，因为 BC2=CD2+BD2,所以CD+BD2=BC2=AB2=25.所 以CD+BD2+AB2=25+25=50,即涂色部分的面积 是50. 13 12 (第4题) 5.(1)14-x.(2)因为AD LBC,所以∠ADB=∠ADC= 90°.在Rt△ADC中，AD=AC2-CD;在Rt△ABD中， AD2=AB2-BD2.所以132-(14-x)2=152-x2,解得 x=9.(3)在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD=AB BD=14,即AD-12所以Sa4e=之×14X12=84 6.B结合题图，得AB2=52+1=26,BC2=32+22=13, AC2=4+32=25,所以AB2+BC2+AC2=26+13+ 25=64. 7.C因为AD是△ABC的高线，AB=10,AC=8,所以 PB2-PC2=(BD2+PD2)-(CD2+PD2)=BD2- CD2=(BD2+AD2)-(CD2+AD2)=AB2-AC2=102- 82=36,即PB2-PC2的值为36. 8.9连接BD.由题意，得S,=AB2,S2=BC2,S3= CD,S1=AD.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2= 勾股定理 AB2十AD2=S,十S1.在Rt△BCD中，由勾股定理，得 BD=BC+CD2=S2+S,所以S,+S4=S2+S,即 S2=S,+S1-S3=35-26=9. 9.89因为BD⊥AC,所以∠CEB=∠AEB=∠AED= ∠CED=90°.在Rt△CEB中，由勾股定理，得BE2+ CE=CB2,在Rt△ADE中，由勾股定理，得ED+EA2= AD,所以CB2+AD2=BE+CE2+ED2+EA2=8+ 53=64+25=89.同理，AB2=BE2+AE2,CD2=EC2+ ED,所以AB2十CD=BE2+AE2+EC2+ED2=(BE2+ CE2)+(AE2+ED2)=CB2+AD2=89. 10了如图，连接AE.由线段垂直平分线可知，AE= CE.因为AB=AC,AD⊥BC,所以BD=CD=2BC=4 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2=AB2-BD2,即 AD2=5-4=9,所以AD=3.设AE=CE=x,则DE= 4-x.在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE,即3+(4- )=,解得x-装所以DE=4-x=名 7 D/E C (第10题) 11.当△ABC是锐角三角形时，a2+b2>c2;当△ABC是 钝角三角形，且∠C为钝角时，a2十b<c2.理由：如题图 ②，当△ABC是锐角三角形时，过点A作AD⊥BC于 点D.设CD=x,则BD=a一x.根据勾股定理，得AD= AC2-CD2=AB2-BD2,即b2-x2=c2-(a-x)2.所以 a2+b2=c2+2ax.因为a>0,x>0,所以2ax>0.所以 a2+b2>c2.如题图③，当△ABC是钝角三角形，且∠C为 钝角时，过点B作BD⊥AC,交AC的延长线于点D.设 CD=x,则AD=b十x.根据勾股定理，得BD=AB2 AD2=BC2-CD2,即c2-(b+x)2=a2-x2.所以a2+ b2+2bx=c2.因为b>0,x>0,所以2hx>0.所以a2+ b2<c2 12.(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB-10cm,AC= 6cm,由勾股定理，得BC=8cm.(2)由题意，知BP 2tcm.①当∠APB为直角时，点P与点C重合.所以 BP=BC=8cm,即2t=8,解得t=4.②当∠BAP为直角 时，BP=2tcm,CP=(2t-8)cm,AC=6cm.在Rt△ACP 中，由勾股定理，得AP2=AC2十CP;在Rt△BAP中，由 勾股定理，得AB+AP2=BP2.所以AB2+AC十CP2= BP.所以102+6+(21-8》=(2)，解得1-5综上所 述，当△ABP为直角三角形时：的值为4或空。 (3)由 题意，知BP=2tcm.①当BP=AB时，2t=l0,解得t= 5.②当AB=AP时，易得BP=2BC=16cm,即2t=16, 解得t=8.③当BP=AP时，AP=BP=2tcm,CP= |2t-8|cm,AC=6cm,在Rt△ACP中，由勾股定理，得 AP=AC+Cp,即2P=6+(2-8,解得=装综 上所述，当△ABP为等要三角形时（的值为5或8或要 第2课时勾股定理的证明与简单应用 1.D设题图①中直角三角形的斜边长为c,两直角边的 长分别为a,b.因为题图①中大正方形的面积是24，所以 a2十b2=c2=24.因为题图①中小正方形的面积是4，所以 (a一b)2=a2+b2-2ab=4.所以ab=10.所以题图②中大 正方形的面积为2+4×2b=24+2X10=44 方法归纳 弦图计算问题的解题策略 此类题有两种解题策略：一是利用面积相等列出等 式：二是利用勾股定理及完全平方公式进行变形.解决 此类问题要具有整体思想，会整体变换、整体代值， 2增 因为∠BAC=90°，AB=7cm,AC=-24cm,所以 BC2=AB2+AC=72+242=625(cm).所以BC= 25cm当AD⊥BC时，AD最短，此时Saac=2BC· AD=号AB·AC,则AD=ABAC=7X24 BC 25 (cm,即小木条AD的最短长度为受cm 25 3.c'+2X>ab 6+2XTabta c+2X- b+2X>abtaa+b-c 4.B因为△EFG≌△DGC,△EFK≌△HGI,所以涂色 部分面积=S正*无Mrx一S△cx,因为朱方对应的正方形 GDJH的边长为a,青方对应的正方形ABCD的边长为b, 所以DJ=GD=GH=a,AB=CD=BC=b.因为青出与 青人的三角形全等，所以△IJC≌△KAM.所以JC= AM=b-a.所以BM=a.所以CMP=CG2=a2+b.因为 b-a=2,a2+62=28,所以b=a2+6)-(6-a2 2 282=12.所以涂色部分面积=SERER一SA一 2 1 a2+6-7ab=28-6=22. 5.D如图，过点B作BC⊥AD于点C.从图中可以看出 AC=4-2+0.5=2.5(m),BC=4.5+1.5=6(m).在 Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2十BC2,所以 AB=6.5 m. 08 北 45m 2m 4虫 1.5m D (第5题) 6.48设BD=x,因为AC=6,CD=2,所以AB=x+ (6-2)=4+x,BC=x十2.因为AB2=BC2+AC2,即(4+ x)2=(x十2)2十62，所以x=6.所以BC=x十2=8.所以 长方形的面积=6×8=48. 7.9在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2-BC2. 因为AC=17m,BC=8m,所以AB=15m.因为工作人员 以0.7m/s的速度拉绳子，经过10s游船移动到点D处， 所以CD=17-0.7×10=10(m).在Rt△BCD中，由勾股 定理，得BD2=CD一BC.所以BD=6m.所以AD= AB-BD=15一6=9(m).所以游船移动的距离AD为 9m. 8.不能通过此桥洞.理由：如图，设半圆的圆心为O,过 点O作OF⊥EF.易得EF与OC的长为隔离带宽的一 半，即EF=0C=0,4=0.2(m).ED的长表示车宽，过 2 点D作DB⊥OC,交OC的延长线于点B,延长DB交半 圆于点A,连接OA.易得OA=2.5m,CB=ED=1.8m 所以OB=OC+CB=2m.在Rt△OAB中，由勾股定理， 得AB2+OB2=OA2.因为OB=2m,OA=2.5m,所以 AB=1.5m.所以AD=AB+BD=1.5+1.8=3.3(m).因 为3.3<3.5，所以这辆货车不能通过此桥洞. 1.8m 0.4m 5m (第8题)