第1章 勾股定理 综合素养提升（拔尖攻略）-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

数学（北师版）八年级上 (2)不能成功.理由：假设风筝能再上升 对应练习 12m.如图②，延长DC至点F,使CF= 6.如图，地面上铺有一块长方形地毯 ABCD,因使用时间长而变形，中间形成 12m,连接AF.所以EF=CE+CF= 一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面圆直 20m.在Rt△AEF中，由勾股定理，得 径为8m.已知AE+BF=20m,BC AF2=AE2+EF2.因为AE=15m,所以 T AF=25m因为AC=17m,余线仅剩7.5m, 10m,一只蚂蚁从点A爬行到点C,且必 须翻过半圆柱凸起，求蚂蚁爬行的最短 所以17+7.5=24.5(m).因为24.5<25，所 路径的长 以不能成功 F (第6题) B D (典例6图②) 小结 本题考查利用勾股定理解决生活中的实际问 题，解决问题的关键是将实际问题转化成数学问题， 再转化到直角三角形中，利用勾股定理解决问题。 实际问题 数学问题 解决问题 数学枸造直角 运用勾股定理求 问题情境 建模三角形 相关线段的长 综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.如图，在边长为1的正方形网格中，A,B,C,D均为格点，构成图中三条线段AB,BC, CD.现用AB,BC,CD这三条线段首尾相连拼三角形，则下列判断中，正确的是() (第1题) A.能拼成一个锐角三角形 B.能拼成一个直角三角形 C.能拼成一个钝角三角形 D.不能拼成三角形 6 第一章勾股定理 2.[2025杭州月考]“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦 图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形 的两条直角边长分别为m,n(m>n).若小正方形的面积为3，且满足(m十n)2=15,则 大正方形的面积为 () A.8 B.9 C.10 D.11 (第2题) (第3题) 3.如图，在一宽(EC)为2米的电梯井里，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上， 顶端A被固定在墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米.程师傅为了方便修理，将梯 子的底端举到对面墙上点D处，则此时梯子底端离地的高度DE为 A.0.7米 B.0.9米 C.1.2米 D.1.5米 4.[2024宿迁期未]如图，由于大风，山坡上的甲树从点A处被拦腰折断，树的顶端恰好落 在乙树的根部C处.已知AB=4m,BC=13m,两棵树的水平距离为12m,则甲树原来 的高度为 m. 甲树 乙树 B A D (第4题) (第5题) (第6题) 5.如图，长方体的底面是正方形，底面边长为3cm,高为10cm.在其侧面从点A开始，绕侧 面两周嵌入装饰彩条，至点B停止，则彩条的最短长度为 cm. 6.如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2,AC=3,沿AD和EF将纸片折叠， 使点B,C都落在边BC上的点P处，则AE的长是 7.如图所示为等腰三角形ABC,其中AC=BC=13,AB=10,E为AB的中点.已知F为 △ABC内一点，连接AF,EF,AF=4,EF=3. (1)请确定△AEF的形状，并说明理由. (2)计算涂色部分的面积. (第7题) 数学（北师版）八年级上 8.如图，搬运师傅将滑轮固定在高为AB的楼顶上.师傅在楼底水平面上距离楼房9米的 C处拉紧绳子（绳长AC),并做个记号，然后沿BC方向向前走7米到D处，拉紧绳子 (绳长AD),量得绳长AD比绳长AC长5米，求楼AB的高度. (第8题) 9.如图，C为直线l上的一个动点，AD⊥1于点D,BE⊥l于点E,点E在点D右侧，并且 点A,B在直线L的同侧，AD=DE=8,BE=2,当CD的长为多少时，△ABC是以 ∠BAC或∠ABC为直角的直角三角形？ C D E (第9题) 8 第一章勾股定理 10.如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=6cm,AB=8cm,P,Q是△ABC边上的两个动 点，点P从点A开始，沿A→B方向运动且速度为2cm/s,同时，点Q从点B开始，沿 BC→A方向运动，在边BC上的运动速度是3cm/s,在边AC上的运动速度是 5cm/s,当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.连接PQ,CP,设运动时 间为ts. (1)AC= cm. (2)当t=1时，求△BPQ的面积. (3)当AP=CP时，CQ= cm. (4)若PQ将△ABC的周长分为长度之比为5：7的两部分，求t的值！ (第10题) 9附：答案与解析 第一章 勾股定理 [高频考点突破] ①D因为以直角三角形各边为边在三角形外部 画正方形，每个正方形中的数及字母S表示所在 正方形的面积，所以每个正方形中的数及字母S 表示所在正方形的边长的平方.选项A中，由勾股 定理，得S=5十15=20，故选项A不正确；选项B 中，由勾股定理，得S=8十6=14，故选项B不正 确；选项C中，由勾股定理，得S=8一6=2，故选项 C不正确；选项D中，由勾股定理，得S=15一5= 10,故选项D正确. 0C由图，可得S,=5,5,=2+2b×2= c2+ab=a2+62+ab. ③因为CD是△ABC的边AB上的高，所以 CD⊥AB.所以∠ADC=90°.在Rt△ACD中，根 据勾股定理，得AD2=AC2-CD2=102-82=36. 所以AD=6.所以BC=3AD=3×6=18. ④△ABC是直角三角形.理由：在Rt△BDE中， BE=BD+DE=5+()- 16 .所以BE= 5.所以AB=BE+AE=8.因为D是BC的中 点，所以BC=2BD=10.因为AB2+AC2=82十 62=100,BC2=100,所以AB2+AC2=BC2.所以 △ABC是直角三角形. ⑤在长方形纸片ABCD中，BC=AD=17,AB= CD=8,∠B=∠C=∠ADC=90°，因为将长方形 纸片ABCD沿AE折叠，BC的对应边B'C恰好 经过点D,所以AB=AB=8,BC=BC=17, CE=C'E,∠B'=∠B=90°，∠C'=∠C=90°.在 Rt△B'DA中，由勾股定理，得B'D2=AD B'A2,所以B'D=15.所以C'D=B'C'-B'D= 17-15=2.在Rt△DEC'中，由勾股定理，得 DE2=C'D2+C'E2,即DE2=22+(8-DE)2,解 得DE-名 ⑥如图，将中间半圆柱的凸起展平，连接AC,则 AC即为最短路径，所以ER=X是× =4(m). 所以AB=20十4=24(m).在Rt△ABC中，AB= 24m,BC=10m,由勾股定理，得AC2=AB2+ BC2.所以AC=26m.所以蚂蚁爬行的最短路径 的长为26m. D H (第6题) [综合素养提升] 0B由题意，得AB2=2+32=13,BC2=12+ 22=5,CD2=22+22=8,所以AB2=BC2+CD2. 所以三条线段AB,BC,CD首尾相连拼三角形是 直角三角形 2B根据题意可知，中间小正方形的边长为m n,所以(m一n)2=3,即m2+n2-2mn=3①.因为 (m十n)2=15,所以m2+n2+2mn=15②.①+② 得，2(m2+n2)=18,所以m2+n2=9,即大正方形 的面积为9. ③B如图，过点D作DH⊥AC于点H.易得 DH=CE=2米，DE=CH.在Rt△ABC中，由勾 股定理，得AC2=AB-BC2.所以AC=2.4米 在Rt△ADH中，由勾股定理，得AH=AD2 DH.所以AH=1.5米.所以DE=CH=AC AH=0.9米.所以梯子底端离地的高度DE为 0.9米 D E B C (第3题) ④19如图，过点C作CD⊥AB,交AB的延长线 于点D.由题意，可得BC=13m,DC=12m,所以 由勾股定理，得BD=5m.所以AD=9m.在 Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2=AD2+CD, 所以AC=15m.所以AC+AB=15十4=19(m). 51 数学（北师版）八年级上 所以甲树原来的高度为19m 甲树 乙树 B D (第4题) ⑤26将长方体的侧面沿AB展开，取A'B'的中 点C,取AB的中点C',连接B'C,AC,则AC十 BC'为所求的最短彩条长.由题意，得AA' BB'=12cm,BC'=A'C=5cm.在Rt△AA'C中， 由勾股定理，得AC2=AA'2十A'C2,所以AC= 13cm.在Rt△BB'C中，由勾股定理，得B'C?= BB2+C'B2,所以B'C'=13cm.所以AC+ B'C'=26cm.所以所用彩条的最短长度为26cm. B A (第5题) 由题意，得AP=AB=2,∠B=∠APB, CE=PE,∠C=∠CPE.因为∠BAC=90°，所以 ∠B+∠C=90°.所以∠APB+∠EPC=90°.所 以∠APE=90°.所以AP2+PE2=AE2.设AE= x,则CE=PE=3-x.所以22+(3-x)2=x2,解 得=是所以AB=号 ⑦(1)△AEF是直角三角形.理由：因为AB= 10,E为AB的中点，所以AE=BE=5.因为 AF=4,EF=3,所以AF2十EF2=AE2.所以 △AEF是直角三角形.(2)如图，连接CE.因为 AC=BC=13,E为AB的中点，所以CE⊥AB.所 以CE2=BC2-BE2=132-52=122.所以CE= 12所以S验=5am-Sam=7AB·CE 7AF·EF=2×10x12-7×4X3=54 (第7题) 52 ⑧设AC为x米，则AD=(x十5)米.由题意，得 ∠ABC=90°，BC=9米，CD=7米，所以BD= BC+CD=9+7=16(米).在Rt△ABC和 Rt△ABD中，由勾股定理得AB2=AC2-BC2= AD2-BD2,即x2-92=(x十5)2-16，解得x= 15,即AC=15米.所以AB2=AC2-BC2.所以 AB=12米，即楼AB的高度为12米. ⑨如图①，作BF⊥AD于点F,则易得四边形 DEBF为长方形，所以BF=DE=8,DF=BE= 2.所以AF=AD-DF=6.由勾股定理，得AB2= AF2+BF2=100,AC2=64+CD,BC2=(CD+ 8)2+4=CD2+16CD+64+4.当△ABC为直角 三角形时，∠BAC=90°，AB2+AC2=BC2,即 100+64+CD2=CD2+16CD+64+4,16CD= 96,解得CD=6;如图②，作BH⊥AD于点H,则 易得四边形DEBH为长方形，所以BH=DE= 8,DH=BE=2.所以AH=AD-DH=6.由勾 股定理得，AB2=AH2十BH2=100,AC2=64+ CD2,BC2=(8-CD)2+4=CD2-16CD+64+ 4,当∠ABC=90时，AC2=AB2+BC2,所以64+ CD2=100+CD2-16CD+64+4,16CD=104,解 得CD-号综上所述，当D的长为6或时， △ABC是以∠BAC或∠ABC为直角的直角三角形， D E D ① ② (第9题) ⑩(1)10.(2)当t=1时，AP=2×1=2(cm), BQ=3×1=3(cm).所以BP=AB-AP=8-2= 6(cm.所以Saw=专BP·B0=合×6×3= 9cm.(3)发设AP-CP=ram,则Bp- (8-x)cm.在Rt△BCP中，由勾股定理，得CP2 Bp=BC,即x2-(8-x)y=6,解得x-至所 以1-空÷2-答又四为6÷3=2，答2，所以 点Q在AC上.所以0Q=5×管-2-号cm (4)6+8+10=24(cm),24X写十7-10(cm),24- 10=14(cm).当0≤t<2时，BP=(8-2t)cm, BQ=3tcm.分两种情况：①BP十BQ=10cm,则 8-2t十3t=10,解得t=2(不合题意，舍去). ②BP+BQ=14cm,则8-2t+3t=14,解得t=6 (不合题意，舍去).当2≤t≤4时，AP=2tcm, AQ=10-5(t-2)=(20-5t)cm.分两种情况： ①AP+AQ=10cm,则2t+20-5t=10,解得t= 十AQ=14cm,则21+20 1=2,综上所述，4的值为号或2。 第二章实数 [高频考点突破 0(1)因为4是3a一2的算术平方根，所以3a 2=16,解得a=6.因为2-15a-b的立方根为 -5,所以2-15a-b=-125,即2-15×6 b=-125,解得b=37.(2)因为2b-a-4=2× 37一6一4=64,64的平方根为士8，所以2b一a一4 的平方根为士8. 031无速数有号v04,-经共3个：些数 有(2十3)，共1个 ③(1)因为9<15<16，所以3<√15<4.所以 √15<4. (2)因为4<5<9，所以2<5<3.所以3<6 5所似以5含 0原式=号×3÷(42×6)=- 3 3V2÷83=-42÷83=-6 61 (2)原式= V6X3-2w15X3-6×号 =32-65 3√2=-65.(3)原式=6+2√6+1-3+2= 6+26. ⑤(1)2由题意，因为（√18-x十√6-x)· (W√18-x-√6-x)=18-x-(6-x)=12,且 √18-x十√6-x=6,所以√18-x-√6-x=2. 附：答案与解析 (2)v6-5,5+3 1 21 1 十…十 ×(1+ √5+√7 /2023+√2025 v205)=(5+6,5+,5 2 2 士…十 √/2025-√2023 X(W2025+1)=2025-1× 2 2 (W2025+1)=2×(2025-1)=1012. [综合素养提升] ①D选项A,一27=一3是有理数；选项B, √4是无型致：选政C号是无湿数不是分数：远项 D,√25=5,5的平方根是士√5，所以√25的平方根 是无理数. 0Bm=8×4-方)-原-2，因为25< 32<36,所以5<√32<6.所以3<√32-2<4.所 以3<m<4. ③D由题意，可知a=一√2，b=√2|=√2，c= 后-号，所以a<0<c<b.所以a+b=0<c,a+ √2 b+c= 2 >0,ab<0<c,bc=1>a. 0B因为5=5-X3,8-√2x4,压 1 1’22’3 3x石，24=√4X6, 3 4 4，…,所以第”个数为 n”干D.所以第8个数为8X0- n 8 8 ⑤0或6因为√81=9，其平方根为士3，所以x= 士3.因为27的立方根是y,所以y=3.所以x十 y=3+3=6或x十y=-3+3=0. ⑥2W3a2-b2=(a+b)(a-b)=√2X6= 23. ⑦(1)原式=35+23+25-√5=55+5. (2)原式=2-1十3-2=1十√3-2=3-1. ⑧(1)因为m的算术平方根是3，所以m=9.因 为n的立方根是-2，所以n=一8.所以m一n= 53