本册知识结构&第1章 勾股定理 高频考点突破（拔尖攻略）-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

附：答案与解析 第一章 勾股定理 [高频考点突破] ①D因为以直角三角形各边为边在三角形外部 画正方形，每个正方形中的数及字母S表示所在 正方形的面积，所以每个正方形中的数及字母S 表示所在正方形的边长的平方.选项A中，由勾股 定理，得S=5十15=20，故选项A不正确；选项B 中，由勾股定理，得S=8十6=14，故选项B不正 确；选项C中，由勾股定理，得S=8一6=2，故选项 C不正确；选项D中，由勾股定理，得S=15一5= 10,故选项D正确. 0C由图，可得S,=5,5,=2+2b×2= c2+ab=a2+62+ab. ③因为CD是△ABC的边AB上的高，所以 CD⊥AB.所以∠ADC=90°.在Rt△ACD中，根 据勾股定理，得AD2=AC2-CD2=102-82=36. 所以AD=6.所以BC=3AD=3×6=18. ④△ABC是直角三角形.理由：在Rt△BDE中， BE=BD+DE=5+()- 16 .所以BE= 5.所以AB=BE+AE=8.因为D是BC的中 点，所以BC=2BD=10.因为AB2+AC2=82十 62=100,BC2=100,所以AB2+AC2=BC2.所以 △ABC是直角三角形. ⑤在长方形纸片ABCD中，BC=AD=17,AB= CD=8,∠B=∠C=∠ADC=90°，因为将长方形 纸片ABCD沿AE折叠，BC的对应边B'C恰好 经过点D,所以AB=AB=8,BC=BC=17, CE=C'E,∠B'=∠B=90°，∠C'=∠C=90°.在 Rt△B'DA中，由勾股定理，得B'D2=AD B'A2,所以B'D=15.所以C'D=B'C'-B'D= 17-15=2.在Rt△DEC'中，由勾股定理，得 DE2=C'D2+C'E2,即DE2=22+(8-DE)2,解 得DE-名 ⑥如图，将中间半圆柱的凸起展平，连接AC,则 AC即为最短路径，所以ER=X是× =4(m). 所以AB=20十4=24(m).在Rt△ABC中，AB= 24m,BC=10m,由勾股定理，得AC2=AB2+ BC2.所以AC=26m.所以蚂蚁爬行的最短路径 的长为26m. D H (第6题) [综合素养提升] 0B由题意，得AB2=2+32=13,BC2=12+ 22=5,CD2=22+22=8,所以AB2=BC2+CD2. 所以三条线段AB,BC,CD首尾相连拼三角形是 直角三角形 2B根据题意可知，中间小正方形的边长为m n,所以(m一n)2=3,即m2+n2-2mn=3①.因为 (m十n)2=15,所以m2+n2+2mn=15②.①+② 得，2(m2+n2)=18,所以m2+n2=9,即大正方形 的面积为9. ③B如图，过点D作DH⊥AC于点H.易得 DH=CE=2米，DE=CH.在Rt△ABC中，由勾 股定理，得AC2=AB-BC2.所以AC=2.4米 在Rt△ADH中，由勾股定理，得AH=AD2 DH.所以AH=1.5米.所以DE=CH=AC AH=0.9米.所以梯子底端离地的高度DE为 0.9米 D E B C (第3题) ④19如图，过点C作CD⊥AB,交AB的延长线 于点D.由题意，可得BC=13m,DC=12m,所以 由勾股定理，得BD=5m.所以AD=9m.在 Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2=AD2+CD, 所以AC=15m.所以AC+AB=15十4=19(m). 51本册知识结构 探索勾股定理及其验证 二元一次方程（组）的概念及解 a+b-c 代入消元法 二元一次方程组的解法 直角三角形的 勾股 加减消元法 三边关系 定理 直角三角形的判定 勾股定理 古代数学问题 勾股数 及其逆定理 二元一次方程组 列表分析问题 二元一次 的应用 平面图形中的应用 勾股定理 方程组 画示意图分析问题 立体图形中的应用 二元一次方程与一次 的应用 函数的关系 认识实数 实数的分类 二元一次方程 列方程组求一次函数 平方根与算术平方根 与一次函数 的表达式 a·b=品 立方根 三元一次方程组的 概念及其解法 (a≥0，b≥0) 估算 实数 层-/ga0,6-0 三元一次方程组 三元一次方程组的 应用 二次根式的概念 八年级 算术平均数与加权平均数 二次根式的 最简二 性质与化简 上册 数据的集中 众数 次根式 二次 中位数 加减乘除运算 根式 趋势 四分位数 箱线图 二次根式的 二次根式 混合运算 的运算 S2=(x,元)2+(x x)2+…+（x,) 行列定位法 数据的 方位角与距离定位法 离差平方和 分析 数据的离散程度 区域定位法 确定 方差 经纬度定位法 位置 位置 标准差 方格定位法 与坐标 六[【)+( 点的坐标 )2+…+(x,元) 点的坐标特征 平面直角 多角度对数据进行分析，作出决策 在坐标系中描述位置 坐标系 真命题、假命题（反例） y=kx+b(k,b为 函数的概念及 命题 其表示方法 概念、公理、定理 常数，k≠0) 证明 正比例函数的图象与性质 一次 平行线的判定 次函数 一次函数的图象与性质 函数 平行线的证明 的图象 平行线的性质 次函数表达式的应用 平行线的判定与性质的 单个一次函数图象的应用 次函数 综合应用 两个一次函数图象的应用 的应用 第一章 勾股定理 ]高频考点突破 聚焦高频考点，各个击破 考点一勾股定理与面积的探索 对应练习， 典例1如图，分别以直角三角形的三边a, 1.下列各图是以直角三角形各边为边，在 b,c为直径或边，向外作半圆、等腰直角三 三角形外部画正方形得到的，每个正方 角形和正方形，上述三种情况的面积关系满 形中的数及字母S表示所在正方形的面 足S1+S2=S3的图形个数是 积.其中S的值恰好等于10的是() acb B. ① ② ③ (典例1图) 15 A.0 B.1 C.2 D.3 分析 根据圆的面积、等腰直角三角形的面积，以 及正方形的面积公式，利用勾股定理对三种情 考点二 勾股定理的证明 况逐一进行判断. 典例2勾股定理现约有五百种证明方法，是 解答：如题图①，S,=专a,S,=6,S,= 数学定理中证明方法最多的定理之一.其中 有一类是运用不同方法计算同一图形的面 c,因为a2+6=c2,所以5a2+62= 积，从而得到等式，运用等式性质变形证明 勾股定理.例如在《周髀算经》里，古代中国 哥e,即s十5=s如题图@.S,=a 数学家赵爽设计“弦图”（图①）进行勾股定 s:=b,S,=2,因为a2+6=c,所以 理的证明.如图②，在四边形ABCD中， ∠ABC=90°，AB=b,BC=a,对角线AC, 2+2-,即5，十5。=5如题☒ BD相交于点M,且AC⊥BD,AC=BD= c,作DE⊥AB,垂足为E.根据已知条件，请 ③，S1=a2,S2=b2,S3=c2,因为a2+b2= 用图②证明勾股定理：在Rt△ABC中， c2,所以S1+S2=S3.所以满足S1+S2= ∠ABC=90°，求证：a2+b2=c2. S3的图形个数是3. 弦图 小结 本题考查勾股定理与几何图形的面积关系， 解决问题的关键是利用直角三角形的三边长表 示涂色图形的面积，再运用勾股定理探求面积 关系 (典例2图) 第一章勾股定理 分析 分的面积为S1,图③中空白部分的面积 先证明∠BAC=∠EDB,进而判定△ABC 为S2,则下列等式成立的是 和△DEB全等，得BC=BE=a,AB=DE b,再利用S四边形ABCD=S△D十S△ABD进行 剪开 右边部分 证明 上下翻转 解答：因为AC⊥BD,垂足为M,DE⊥AB, ① ② (第2题) 垂足为E,所以∠AMB=∠DEB= A.S2=c2 ∠AED=90°.所以△ABM和△DBE都是 Bs,=+山 直角三角形.所以∠BAC+∠EBM=90°， C.S=a2+62Hab D.S=a2462+2ab ∠EDB+∠EBM=90°.所以∠BAC= 考点三 利用勾股定理求边长 ∠EDB.因为∠ABC=90°，所以∠ABC= 典例3[2025上饶广信期中]如图，在 ∠DEB=90°.在△ABC和△DEB中， Rt△ABC中，∠A=90°，AB=12,BC=20. ∠BAC=∠EDB, (1)求AC的长， ∠ABC=∠DEB=90°，所以△ABC≌ (2)若P为线段AC上一点，连接BP,且 AC=DB, BP=CP,求AP的长 △DEB.所以BC=BE,AB=DE.因为 AB=b,BC=a,所以BC=BE=a,AB= DE=所以Sam=BC·BE-a, (典例3图) S△ABD= 专AB·DE=专所以 分析 (1)根据勾股定理，直接求得AC的长； S四边形AD=S△CD十S△ABD= (2)先设AP=x,则BP=CP=16-x,然后根 据勾股定理，即可求得AP的长. 因为AC⊥BD,AC=BD=c,所以 S压An=2AC.(BM+DM)-号AC· 1 解答：(1)因为∠A=90°，AB=12,BC 20,所以由勾股定理，得AB2+AC2=BC2. D分.所以a+6=,即a2+ 所以AC2=BC2-AB2,即AC2=202- 122=256.所以AC=16. b2=c2. (2)设AP=x,则BP=CP=16一x. 小结 因为∠A=90°，所以由勾股定理，得AB2十 本题考查勾股定理的证明，解决问题的关键 AP2=BP2,即12+x2=(16-x)2,解得 是明确图形各部分的面积之和等于整个图形的 x=3.5.所以AP的长为3.5. 面积，据此列式化简即可解决问题 小结 对应练习 本题考查利用勾股定理求线段的长，解决问 2.意大利著名画家达·芬奇用如图所示的 题的关键是明确直角三角形中哪条边是斜边，哪 方法验证了勾股定理.设图①中空白部 两条边是直角边。 3 数学（北师版）八年级上 对应练习 解答：(1)小明的做法不正确.理由：小明没 3.如图，CD是△ABC的边AB上的高， 有先确定直角边与斜边的长度，导致解答 AC=10,CD=8,BC=3AD,求BC的长， 错误。 ②设a86=2c=8因为< .6 <2, 所以a<c<b.因为a2+c2= (第3题) ()”==6,所以由长度分别为号2.的 线段组成的三角形是直角三角形， 小结 本题考查直角三角形的判断方法，解决问题 的关键是确定最长边，不能盲目地计算或随意地 认为某一边为最长边 对应练习 利用勾股定理的逆定理判定 4.如图，在△ABC中，D是BC的中点，过 考点四 直角三角形 点D作DE⊥BC,交AB于点E.若 典例4解答“判定由长度分别为号2，的 6 BD=5,DE=1AE-了，AC=6,则 线段组成的三角形是不是直角三角形”一题 △ABC是直角三角形吗？请说明理由. 时，小明是这样做的： 解：设a=6 8 5 因为a2+b2 十22= 136,64 25 =c2, 25 (第4题) 所以由长度分别为)，2，的线段组成的三 角形不是直角三角形 (1)小明的做法正确吗？请说明理由 (2)若小明的做法不正确，请写出正确的做法 分析 (1)因为小明的做法中没有先确定哪条边 考点五利用勾股定理解决折叠问题 最长，所以小明的做法错误.(2)应先把三条线 典例5如图，将长方形ABCD沿直线AE 段按长短顺序排列，然后看两条较短线段长度 折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处， 的平方和是否等于第三条线段长度的平方.若 已知CE=3cm,AB=8cm,求： 相等，则是直角三角形，否则不是 (1)FC的长. 第一章勾股定理 (2)图中涂色部分的面积. B'C恰好经过点D,求DE的长 D (第5题) (典例5图) 分析 (1)由折叠的性质，得AF=AD=BC, DE=EF,然后根据勾股定理求得CF的长； (2)设BF=xcm,即可表示出AF的长，再根 考点六 利用勾股定理解决实际问题 据勾股定理进行求解. 典例6小明买了一个年画风筝，并进行了试 放，如图①，放飞点与风筝的水平距离BD 解答：(1)在长方形ABCD中，AB=CD= 为15m,根据手中余线的长度，可知AC的 8cm,BC=AD,∠B=∠C=∠D=90°.由 长度为17m,牵线放风筝的手到地面的距离 折叠，可知AF=AD,EF=DE=CD一CE= AB为1.5m,点A,B,C,D在同一平面内. 8一3=5(cm).在Rt△CEF中，由勾股定理， (1)求风筝离地面的垂直高度CD. 得CF2=EF2-CE2,所以CF=4cm (2)在余线仅剩7.5m的情况下，想要风筝 沿射线DC方向再上升12m,能否成功？请 (2)设BF=xcm.所以AF=AD=BC 说明理由， (x+4)cm,在Rt△ABF中，由勾股定理，得 AB2+BF2=AF2.所以82+x2=(x+4)2, 解得x=6.所以BF=6cm.所以涂色部分 (典例6图①) 的面积为2×8×6+号×3×4=30(cm). 2 分析 (I)过，点A作AE⊥CD于点E,在Rt△AEC 小结 本题考查利用勾股定理解决图形的折叠问 中，根据勾股定理即可求解.(2)假设风筝能再上 升12m,延长DC至，点F,使CF=12m,连接AF, 题，解决问题的关键是弄清楚折叠和长方形给我 根据勾股定理可得AF=25m,即可解决问题， 们提供的可利用的条件，再根据勾股定理列出方 程进行解答. 解答：(1)如图②，过点A作AE⊥CD于 点E.易得AE=BD=l5m,AB=ED= 对应练习 1.5m,∠AEC=90°.在Rt△AEC中，由勾 5.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=8, 股定理，得EC2=AC一AE2.因为AC= BC=17,E为CD边上一点，将长方形纸 17m,AE=15m,所以E℃=8m.所以 片ABCD沿AE折叠，BC的对应边CD=EC+ED=9.5m 5 数学（北师版）八年级上 (2)不能成功.理由：假设风筝能再上升 对应练习 12m.如图②，延长DC至点F,使CF= 6.如图，地面上铺有一块长方形地毯 ABCD,因使用时间长而变形，中间形成 12m,连接AF.所以EF=CE+CF= 一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面圆直 20m.在Rt△AEF中，由勾股定理，得 径为8m.已知AE+BF=20m,BC AF2=AE2+EF2.因为AE=15m,所以 T AF=25m因为AC=17m,余线仅剩7.5m, 10m,一只蚂蚁从点A爬行到点C,且必 须翻过半圆柱凸起，求蚂蚁爬行的最短 所以17+7.5=24.5(m).因为24.5<25，所 路径的长 以不能成功 F (第6题) B D (典例6图②) 小结 本题考查利用勾股定理解决生活中的实际问 题，解决问题的关键是将实际问题转化成数学问题， 再转化到直角三角形中，利用勾股定理解决问题。 实际问题 数学问题 解决问题 数学枸造直角 运用勾股定理求 问题情境 建模三角形 相关线段的长 综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.如图，在边长为1的正方形网格中，A,B,C,D均为格点，构成图中三条线段AB,BC, CD.现用AB,BC,CD这三条线段首尾相连拼三角形，则下列判断中，正确的是() (第1题) A.能拼成一个锐角三角形 B.能拼成一个直角三角形 C.能拼成一个钝角三角形 D.不能拼成三角形 6