第3章 位置与坐标 高频考点突破（拔尖攻略）-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

第三章 位置与坐标 ]高频考点突破 考点一定位法确定位置 典例1某教室中，学生座位的平面图如图 所示。 第5排☐☐张☐☐ 第4排☐☐ 吴窗李羽 第3排☐张☐☐☐ 第2排E明☐☐ 第1排☐☐☐☐ 12345678 (典例1图) (1)说明王明和张强的位置 (2)若用(2,3)表示第2列第3排的位置，则 (5,4)表示什么位置？王明和张强的位置可 以怎样表示？ (3)在(2)的条件下，请说出(3,3)和(8,4) 表示哪名同学的位置， (4)在(2)的条件下，(3,4)和(4,3)表示的 位置相同吗？一般地，若a≠b,(a,b)与(b, a)(1≤a≤8,1≤b≤5，a,b为整数)表示的 位置相同吗？ 分析 (1)根据列、排顺序说明二者的位置； (2)根据已有的有序数对表示的列、排位置说 明未知的数对的位置即可；(3)根据已有的数 对说出表示的是哪名同学的位置即可；(4)根 据有序数对的意义解答 解答：(1)王明在第2列第2排，张强在第 5列第5排， (2)因为用(2,3)表示第2列第3排的位置， 所以(5,4)表示第5列第4排；王明的位置 用(2,2)表示，张强的位置用(5,5)表示 (3)(3,3)表示张逸的位置，(8,4)表示李爽 的位置 (4)(3,4)和(4,3)表示的位置不同；一般 16 聚焦高频考点，各个击破 地，若a≠b,(a,b)与(b,a)(1≤a≤8,1≤ b≤5，a,b为整数)表示的位置不同. 小结 本题考查用有序数对来确定物体的位置，解 决问题的关键是理解有序数对表示点的意义，再 根据有序数对确定位置， 对应练习， 1.如图，正方形的交点称为方格点，如果用 (2,4)表示A点，一只小蚂蚁在A点发 现障碍物后绕过障碍物回到驻地B(按小 黑点的路线移动)， (1)请把它的路线顺序写出来. (2)若一只穿山甲可直接穿过障碍物，则 它从A点到驻地B的最近路线怎样表 示？路程为多少？（注：用格点的位置表 示路线) 01234567 (第1题) 考点二 点的坐标的特征 典例2已知点P(一4a一5,3a+1). (1)若点P在y轴上，求点P的坐标. (2)若点M(3,7),PMx轴，求点P的坐标. 分析 (1)根据y轴上的点的坐标特征：横坐标 为0，列方程求出a的值，即可得出答案；(2)根 据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等列方 程求出a的值，即可得出答案 解答：(1)因为点P(-4a-5,3a+1)在 y轴上，所以-4a-5=0,解得a=一5所 以3a+1=3×(-)+1=-.所以点P 的坐标为0，》. (2)因为M(3,7),且PM∥x轴，P(一4a 5,3a+1),所以3a+1=7,解得a=2.所 以-4a-5=-4×2-5=-13.所以点P 的坐标为（一13,7）. 小结 本题考查点的坐标特征，解决问题的关键是 掌握坐标轴上的点的特征和平行于坐标轴的直 线上的点的坐标特点 对应练习 2.已知点A(-a,3a+2),B(1,a-2). (1)若点B在第一象限的角平分线上， 求a的值 (2)若点A到x轴的距离是到y轴的距 离的4倍，求点A的坐标. (3)若线段AB∥x轴，求线段AB的长， 考点三 用平面直角坐标系确定物体的 位置 典例3如图①，方格纸中的每个小方格都是 边长为1的正方形，已知火车站的坐标为 (2,2),文化馆的坐标为（一1,3） (1)请你根据题目条件，在图中建立适当的 平面直角坐标系. (2)直接写出体育场，市场，超市的坐标 第三章位置与坐标 (3)已知游乐场A,图书馆B的坐标分别为 (0,5),(一2，一2)，请在图中标出A,B的 位置 体育场 文化馆 化馆 火车站 火车站 Q 超市 超 B ① ② (典例3图)》 分析 (1)根据已知点的坐标确定原点的坐标， 确定出平面直角坐标系；(2)根据建立的平面 直角坐标系写出各点的坐标；(3)根据平面直 角坐标系分别标出A,B的位置即可. 解答：(1)根据题意，建立平面直角坐标系 如图②所示 (2)体育场(-2,5)；市场(6,5)：超市(4，一1). (3)如图②所示，点A,B即为求. 小结 本题考查平面直角坐标系的建立与，点的坐 标的表示方法，解题的关键是根据已知点的坐标 确定平面直角坐标系的原点、坐标轴方向和单位 长度 对应练习 3.如图所示为两人玩的一盘五子棋，已知 白棋①的坐标为（一3，一2），黑棋②的坐 标为（一1,0）. (1)请你根据题意，补充原点O和y轴 (2)写出黑棋③和白棋④的坐标 (3)五子棋的比赛规则是两人各执一种 颜色的棋子，每人每次在棋盘网格的格 点处下一子，轮流下，最先在棋盘横向、 竖向、斜向形成连续的相同色五个棋子 的一方为胜.现轮到黑棋下，要使黑棋这 7 数学（北师版）八年级上 一步下完后胜出，请直接写出这一步黑 棋的坐标。 (第3题) 考点四 建立适当的平面直角坐标系 确定点的坐标 典例4如图①，在△ABC中，AB=AC= 10,BC=10√3，请你建立适当的平面直角坐 标系，并写出△ABC各顶点的坐标. A 0 ① (典例4图) 分析 根据图形的特点，建立适当的平面直角坐 标系，然后根据等腰三角形的性质求出各个顶 点的坐标 解答：答案不唯一，如以边BC的中点为原 点O,边BC所在的直线为x轴，边BC上的 中线所在的直线为y轴，建立如图②所示的 平面直角坐标系，则OB=OC. 因为BC105,所以OB=0C=号B-号× 10W3=5√3.在Rt△AOB中，OA= √JAB2-OB2=√J10-(5N3)2=5.所以△AB0 各顶点的坐标分别为A(0,5),B(一5√3， 0),C(53,0) 18 小结 本题考查根据已知图形特点建立平面直角 坐标系，解决问题的关键是所建立的坐标系一定 要方便确定图形中所求各点的坐标.确定几何图 形中点的坐标的一般步骤：(1)求点到两坐标轴 的距离；(2)根据点所在的位置确定横、纵坐标 的符号，然后写出坐标 对应练习 4.如图，草房的地基AB长15米，房檐CD 的长为20米，门宽为6米，CD到地面的 距离为18米，请你建立适当的平面直角 坐标系并写出A,B,C,D,E,F的坐标. (第4题) 考点五 轴对称与点的坐标变化 典例5在平面直角坐标系中，△ABC的位 置如图①所示（每个方格的边长均为1个单 位长度). (1)直接写出△ABC各顶点的坐标 (2)若△ABC各顶点的纵坐标不变，横坐标 都乘一1，请在同一平面直角坐标系中找出对 应的点A',B',C,连接A'B',B'C,A'C,可 知△ABC与△A'B'C有怎样的位置关系？ (3)画出与△ABC关于x轴对称的△A"B'C”, 并判断△A"BC"是否为直角三角形. 543-2-10.1.23.45x (典例5图①) 第三章位置与坐标 分析 4+9=13,且8+13≠17，所以△A"B"C"不 (1)在平面直角坐标系中，找出点的横坐 是直角三角形 标和纵坐标写出点的坐标；(2)先找出对应点， 再画出图形找出两个三角形的位置关系； (3)画出关于x轴对称的三角形，再在网格中 判断三角形的形状， 解答：(1)A(3,4),B(1,2),C(5,1). (2)因为△ABC各顶点的纵坐标不变，横坐 标都乘-1，所以A'(一3,4)，B'(-1,2), (典例5图②) C'(一5,1).△A'BC'的位置如图②所示.因 小结 本题考查图形的轴对称与坐标的变化，解决 为△ABC与△A'B'C'各顶点的纵坐标相 问题的关键是先找出关键，点的对应，点，再画图分 等，横坐标互为相反数，所以△ABC与 析解答 △A'B'C关于y轴对称. 对应练习 (3)因为△ABC与△A"B"C"关于x轴对 5.[2025南京鼓楼期末]在平面直角坐标系 称，所以A"(3,-4),B"(1,一2)，C"(5, 中，A(2,3)与B(一2,3)是一个轴对称图 一1).△A"B"C"的位置如图②所示.因为 形上对称的两点，该图形只有一条对称 A"B"2=(1-3)2+[-2-(-4)]2=4+4= 轴，则图形中与点C(4,一1)成轴对称的 8,BC2=(5-1)2+[-1-(-2)]2=16+ 点D的坐标是 1=17,A"℃2=(5-3)2+[-1-(-4)]2= 综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.若点P(m十1,2m一7)在第二、四象限的角平分线上，则点P的坐标为 () A.(2,-2) B.(-2,2) C.(3,-3) D.（-3,3) 2.[2024潍坊期未]如图，将5个大小相同的小正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M, N的坐标分别为(3,9)，(12,9)，则顶点A的坐标为 () 0 (第2题) A.(15,3) B.(16,4) C.(15,4) D.(12,3) 3.[2025芜湖期末]平面直角坐标系中有两点M(a,b),N(c,d),规定(a,b)⊕(c,d)= (a+c,b十d),则称点Q(a十c,b+d)为点M,N的“和点”.若以坐标原点O与任意两点 及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和，点四边形”，现有点A(2,5), 19数学（北师版）八年级上 17.(2)因为32=9,42=16，而9<11<16，所以 3<√1I<4.所以√11的整数部分c=3.所以 (√m-n-c)2=(17-3)2=26-6/17 ⑨(1)因为√67=9-t,其中0<t<1,所以 (√67)2=(9-t)2,即67=81-18t+t2.因为t2比 较小，将t2忽略不计，所以67≈81一181.所以t≈ 8187-号所以v≈9-号≈&2(2用0 18 的形式得出的√67的近似值的精确度更高.理由： 因为8.18×8.18=66.9124,8.19×8.19=67.0761， √66.9124<√67<√67.0761，所以8.18< √67<8.19<8.22.所以用①的形式得出的√67的 近似值的精确度更高. ⑩(1)一√2：W3.因为面积为2的正方形的边长 为√2，点A在原点左侧，所以点A表示的数为 一√2；因为面积为3的正方形的边长为3，点B在 原点右侧，所以点B表示的数为3， (2)①-√2+2t.②当t=1时，c=-√2+2× 1=2-√2.因为2-√2+1=3-√2>0,2-√2 1=1-√2<0，所以|c十1|+c-1=(3-√2)+ (2-1)=2.(3)由条件可得 2m-5-2m-5)+ |5n-2_n 7一3=0，所以 2m-5-(2m-5)=0①.5”2-号=0@，.解 4 ①，得1(2m-5)=0,所以2m-5=0.所以2m= 5;解②，得3(5n-2)-7n=0,所以8n=6.所以 4n=3.所以2m-4n=5-3=2.所以2m-4n的 平方根为士√2. 第三章位置与坐标 [高频考点突破] ①(1)由题图可得，蚂蚁的路线顺序为(2,4)，(2， 3),(2,2),(2,1),(3,1),(3,0),(4,0),(5,0),(5, 1).(2)一只穿山甲可直接穿过障碍物，则它从 A点到驻地B的最近路线为(2,4)，(3,3)，(4,2)， (5,1),路程为三个方格的对角线的长， 54 ②(1)因为点B在第一象限的角平分线上，所以 1=a-2,解得a=3.(2)因为点A到x轴的距 离是到y轴的距离的4倍，所以|3a+2|=4-a. 当3a十2=4a时，解得a=2.所以-a=-2,3a十 2=3×2十2=8.所以点A的坐标为(-2,8).当 3a十2=一a时，解得a=-号.所以-a=号， 2 3+2=3×(-)+2=号所以点A的坐标为 (号，）综上所述，点A的坐标为（一2,8）或 (号， ,(3)因为线段AB∥x轴，所以3a+ 2=a-2且-a≠1，解得a=-2.所以-a=2, 3a+2=3×(-2)+2=-4,a-2=-2-2=-4. 所以点A的坐标为(2，一4)，点B的坐标为(1， 一4)，则线段AB的长为2-1=1. ③(1)建立如图所示的平面直角坐标系.(2)黑 棋③的坐标为（一1,2），白棋④的坐标为(2,2). (3)黑棋的坐标为(3，-2)或(-2,3). V (第3题) ④答案不唯一，如草房所在的平面图是轴对称图 形，以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线 为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.因为 AB长15米，且在x轴上，A点在负半轴上，B点 在正半轴上，所以A(-7.5,0),B(7.5,0).从图中 可以看出C点在第二象限，CD=20米，高为 18米，所以C(-10,18),D(10,18).因为EF在 x轴上，点E在负半轴上，点F在正半轴上，EF= 6,所以E(-3,0),F(3,0). 0 AEFB元 (第4题) 6(-4,-1)因为A(2,3)与B(-2,3)是一个 轴对称图形上对称的两点，该图形只有一条对称轴， 所以该图形的对称轴为y轴.所以图形中与 点C(4,一1)成轴对称的点D的坐标是（一4，一1）. [综合素养提升] ①C因为点P(m十1,2m一7)在第二、四象限的 角平分线上，所以m+1十2m一7=0，解得m=2. 所以m+1=3,2m-7=-3.所以P(3,-3). 2A因为顶点M,N的坐标分别为(3,9)，(12 9),所以MN=12一3=9.所以每个小正方形的边 长为3.因为顶点N的坐标为(12,9)，所以 A(12+3,9一6)，即A(15,3) ③C根据“和点四边形”的定义可分三种情况分 别计算点C的坐标：当C为点A,B的和点时， 点C的坐标为(2-1,5+3)=(1,8)，对应选项① 当B为点A,C的和点时，设点C的坐标为(x, y),则(-1,3)=(2十x,5+y),解得x=-3, y=一2，所以点C的坐标为（一3，一2），对应选项 ②.当A为点B,C的和点时，设点C的坐标为(x, y),则(2,5)=(-1十x,3十y),解得x=3,y=2, 所以点C的坐标为(3,2)，对应选项③.选项④验 证：不存在任何情况使得④（一1，一8）满足上述条 件.所以满足条件的点C的坐标有3个 ④1因为点P1(a-1,5)和点P2(2,b-1)关于x轴 对称，所以a-1=2,b一1=-5.所以a=3,b=-4所 以-(a十b)2025=-(3-4)2025=一(-1)205=1】 ⑤(x+1,y+2)祝你成功因为已破译出“今天 考试”的真实意思是“努力发挥”.“今”所处的位置 为(x,y),则对应文字位置是(x十1，y十2)，所以 找到的密码钥匙是对应文字横坐标加1，纵坐标加 2.所以“正”的位置为(x十1，y),对应文字位置是 (x十2，y十2)，即为“祝”；“做”的位置为(x十2， y十4)，对应文字位置是(x十3，y+6),即为“你”； “数”的位置为(x十4，y),对应文字位置是(x十5， y十2)，即为“成”；“学”的位置为(x一1，y十2)，对 应文字位置是(x,y十4)，即为“功”.所以“正做数 学”的真实意思是“祝你成功” 6(1)建立平面直角坐标系如图所示.(2)（一2 一1)：(0，一3).(3)若泽国站在万昌路站的北偏 附：答案与解析 西18°方向上，则万昌路站在泽国站南偏东18方向上 温岭火车站 温岭第一人民医院站x 方喜路话 球站 ........... (第6题)》 ⑦(1)点A,B,C如图所示.(2)如图，连接 AB,BC,CA.根据题意，得AB∥x轴，且AB= 3-(-2)=5,点C到AB的距离为3-1=2.所以 1 Sam=2X5X2=5.(3)存在.因为AB=5, S△4P=10,所以点P到AB的距离为10X2÷5= 4.因为点P在y轴上，所以分两种情况：①当 点P在AB上方时，其纵坐标为1十4=5，则P(0, 5);②当点P在AB下方时，其纵坐标为1 4=一3，则P(0,一3).综上所述，点P的坐标为 (0,5)或(0，-3). B: 543-2-10.12.345x 2 4针 5 (第7题) ⑧(1)因为A(3,6),B(5,2),所以|3-51=2， 16-2=4.因为2<4，所以点A与点B的“非常 距离”为4.(2)①因为点D在y轴上，所以其 横坐标为0.所以|-1一0|=1<2.所以点C与 点D的纵坐标差的绝对值应为2.设点D的纵坐 标为yn,则|2-yn|=2,解得yn=0或yD=4.所 以点D的坐标为(0,0)或(0,4). ②最小值为1.已知点C和点D的横坐标差的 绝对值恒等于1，设点D的纵坐标为yD.当1≤ yD≤3时，0≤|2-yn|≤1，则点C与点D的“非 常距离”为1；当yp<1或yn>3时，|2-yD|>1, 则点C与点D的“非常距离”为2-yD.因为 |2-yD>1,所以点C与点D的“非常距离”的最 小值为1. 55