重庆市永川中学校2026-2027学年高一上学期第一次调研检测数学试题

高2026级高一上第一次调研检测•数学学科 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D B A C D B C AC ABD BD 二、填空题 12． 13． 14． 三、解答题 15．【详解】（1）由得， 由可得，解得或， ，或． （2）由（1）得，或， ， 由补集的定义可得或，． 16．【详解】（1）当为真命题时，即“，”为真命题， 所以，所以或， 所以若为假命题，则的范围是， 所以． （2）因为是的必要不充分条件，所以， 因为时，若，只需，解得， 经检验，和时满足条件， 综上所述，的取值范围是． 17．【解析】（1）当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为． （2）当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为． （3）因为恒成立，所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，开口向上，对称轴为 因为，所以当时，二次函数有最小值 因此的最大值为，即， 所以实数的取值范围为 18．【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为万元， 则，（），化简得， 解得，因为且，所以， 所以调整后的技术人员的人数最少为50人； （2）假设存在实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件， 由条件①得，整理得； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 由条件②得，解得； 又因为，所以．所以． 19．【详解】（1）设，，则，，， 所以， 因为，所以，，所以， 所以是一个“乘法封闭集”． （2）根据题意，中恰有2个元素，不妨设， 由“乘法封闭集”的定义可知，，，， 由，得或，即或，所以，或， 若令，则，所以，解得（舍去），此时； 若令，则，所以或，解得或（舍去），此时，或． 综上，，或． （3）因为是集合的一个“完美元素”， 所以， 所以，，且，不同时为0， ， 因为，所以，或． 假设，则，即为7的倍数， 设，若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数， 假设不成立，所以，所以． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2026级高一上第一次调研检测·数学学科 试题卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．若集合，则的真子集个数为（ ） A．3 B．4 C．7 D．15 2．若不等式的解集为，则（ ） A． B．8 C．1 D． 3．下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．若，则p成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 5．若为单元素集合，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 6．已知行列式的计算公式为，若不等式对任意的x都恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b（，），这两年的平均增长率为x，则（ ） A． B． C． D． 8．设集合，，且，都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知全集，集合、的关系如图所示，则下列结论中正确的（ ） A． B． C． D． 10．下列命题正确的是（ ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“，”的否定是“，” D．命题“，”是假命题 11．下列命题中正确的是（ ） A．若，，，则ab的最大值为 B．若，则的最小值为4 C．已知，，，则的最小值是 D．若，，，则的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，则的取值范围为_______． 13．已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合_______． 14．函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于x的最大整数，如，，．那么使不等式成立的x的范围是_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15．（满分13分）已知集合，． （1）求集合、； （2）求及． 16．（满分15分）已知命题，，设为假命题时实数的取值范围为集合． （1）求集合； （2）设非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17．（满分15分）已知关于不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），恒成立，求实数的取值范围． 18．（满分17分）某企业原有200名科技人员，年人均工资万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元． （1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ （2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 19．（满分17分）定义：设非空数集，若，，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”．已知集合． （1）证明：是一个“乘法封闭集”； （2）若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； （3）若是集合的一个“完美元素”，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $