2.4圆的方程（分层作业，16大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

分层作业 2.4圆的方程 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 由圆的标准方程确定圆心和半径 题型02 由圆的一般方程确定圆的圆心和半径 题型03 由圆心（或半径）求圆的方程 题型04 由圆心在直线上和圆过点求圆的方程 题型05 由三个点求圆的方程 题型06 二元二次方程表示圆的方程的条件 题型07 点与圆的位置关系 题型08 圆的对称性 题型09 轨迹问题——圆 B组 能力进阶 题型01 定点到圆上点的距离的最值 题型02 圆过定点问题 C组 思维拔高 题型01 与圆有关的最值问题 题型02 阿波罗尼斯圆 题型03 复数和向量中的隐圆 题型04 圆的参数方程的应用 题型05 新定义问题 由圆的标准方程确定圆心和半径题型01 1．（25-26高二上·新疆喀什·期中）圆的方程为，则该圆的圆心与半径分别是（   ） A．圆心，半径 B．圆心，半径 C．圆心，半径5 D．圆心，半径 5 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程即可确定圆心和半径. 【详解】由题意知圆的标准方程为， 则该圆的圆心与半径分别是、， 故选：A 2．（25-26高二上·青海·月考）圆的圆心和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程的性质得出圆心和半径． 【详解】圆的标准方程为， 圆心为，半径的平方，故半径，故C正确． 故选：C． 3．圆的圆心到直线的距离为______. 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】圆的圆心到直线的距离为. 故答案为：. 由圆的一般方程确定圆的圆心和半径题型02 1．（24-25高二上·山西·月考）已知圆的方程是，则圆心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心坐标. 【详解】圆的方程可化为，圆心的坐标是. 故选：A. 2．圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由圆的一般方程求出其圆心坐标，然后由点到直线的距离公式即可求得. 【详解】解：圆圆心坐标为. 点到直线的距离. 故选：A. 3．若圆的圆心到两坐标轴的距离相等，则   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】先求出圆的圆心，再结合题意即可得解. 【详解】圆化为标准方程为， 则圆心为，半径， 由题意得，解得. 故选：C. 4．（25-26高二上·安徽·期中）若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般式整理为标准式，写出圆的圆心以及半径，根据题意，建立不等式组，可得答案. 【详解】由，化简可得， 因为圆心在第二象限，则，所以， 解得，所以实数a的取值范围为. 故选：D. 5．关于圆有四个命题：①点在圆内；②点在圆上；③圆心为；④圆的半径为3.若只有一个假命题，则该命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程式及圆的几何知识，对所给的条件分情况讨论，从而判断求解. 【详解】若②③正确，则得：，故， 所以圆的方程为：，显然点在圆内， ①正确，圆的半径为，④错误，符合题意； 若③④正确，则可求得圆的方程为：， 显然点不在圆上，②错误，点在圆外，①错误，不合题意； 其他四种命题组合①②，①④，②④，①③无法确定圆的方程，无法对剩余命题判断真伪. 综上所述：故④为假命题，故D项错误. 故选：D. 6．（25-26高二上·山东济南·期末）已知圆，则圆的半径_________． 【答案】 【分析】将圆的方程转化为标准方程，即可求出答案. 【详解】将圆的方程转化为标准方程为， 所以圆的半径. 故答案为：. 7．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）若圆的半径为2，则______． 【答案】1 【分析】将圆的方程配方后，结合题意列出方程，求解即得. 【详解】由经配方，可得：， 因圆的半径为2，故，解得. 故答案为：1. 8．（25-26高二上·江西九江·月考） ①； ②． （2）在平面直角坐标系中．求经过三点的圆的方程．（用圆的一般方程表示） 【答案】 （1）①标准方程为， 故圆的圆心为，半径为3； ②圆即为，其标准方程为， 故圆的圆心为，半径为； （2）圆的方程为 【分析】（1）化①②的圆的方程为标准方程，再写出圆心、半径即得． （2）设所求圆的一般方程为，将三个点的坐标代入圆的一般方程，可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，可得出圆的方程，进而可求得圆心坐标和半径． 【详解】（1）略 （2）设所求圆的一般方程为， 由题意可得，解得， 所以，所求圆的方程为， 该圆的标准方程为，圆心为，半径为1． 由圆心（或半径）求圆的方程题型03 1．以为圆心，4为半径的圆的方程为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆的标准方程的性质求解． 【详解】以为圆心，4为半径的圆的方程为： ． 故选C． 【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用． 2．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）以点为圆心，3为半径的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件写出圆的标准方程，然后转化为一般方程即可. 【详解】以点为圆心，3为半径的标准方程为：， 展开整理的一般方程为：. 故选：B 3．把圆向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出平移后的圆心，得到圆的方程. 【详解】圆的圆心为原点， 原点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到， 故得到. 故选：C 4．圆的一条直径的两个端点是，则此圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用中点坐标公式求出圆心，再求出直径，即可得到圆的方程. 【详解】解：因为圆的一条直径的两个端点是，，所以圆心坐标为，直径为，则半径为， 所以圆的方程为. 故选：B 5．圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设圆心再根据点在圆上求得，再应用圆的标准方程写出圆的方程即可. 【详解】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为， 则圆的方程为，又点在圆上， 所以，解得， 所以所求圆的方程为． 故选：A 6．（24-25高二上·重庆·月考）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的中点和可得以为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将其转化为一般方程即可得解. 【详解】已知、，则中点坐标为即. ， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为. 所以圆的标准方程为，展开可得， 整理得. 故选：B. 7．（25-26高二上·天津·月考）已知直线：与直线：的交点为，则以点为圆心，且过点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求交点坐标，再由圆过点，可得，再写出圆的方程即可． 【详解】联立，解得，即， 以点为圆心，且过点， ， 则圆的方程为， 故选：D． 8．（25-26高二上·吉林长春·期末）圆心为，且与轴相切的圆的标准方程为______. 【答案】 【分析】求出圆的半径，得到圆的方程. 【详解】圆心为，且与轴相切，故圆的半径为3， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 9．在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于A点，直线与y轴及直线l分别交于B点，C点，且A，B，C，O四点共圆，则此圆的标准方程是__________. 【答案】 【分析】由题意得为直径，且直线l与m垂直故，得所以圆心与半径可求，则圆方程易得. 【详解】由题意A，B，C，O四点共圆且，所以 ，则直线l与m垂直故，又， 此圆的圆心为，半径为＝， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 由圆心在直线上和圆过点求圆的方程题型04 1．过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助待定系数法计算即可得. 【详解】令该圆圆心为，半径为，则该圆方程为， 则有，解得， 故该圆方程为. 故选：D. 2．圆心在轴上，且过点的圆与轴相切，则该圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意分析可知，圆心在轴上，且在轴的正半轴上，设半径为，圆心坐标为，求出圆的方程，将点代入圆的方程，求出即可求解. 【详解】由题意分析可知，圆心在轴上，且在轴的正半轴上， 设半径为，圆心坐标为，， 则，解得， 其圆心坐标为， 则圆的方程为，即. 故选：D 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，需熟记圆的标准方程的形式，属于基础题. 3．已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将圆的一般方程写出，然后利用待定系数法即可求解. 【详解】设圆的一般方程为，圆心坐标为， 因为圆经过两点，，且圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆的方程为. 故选：C. 4．（24-25高二上·安徽·期中）已知圆C过，两点，且圆心C在直线上，则该圆的半径为_________. 【答案】 【分析】求得线段垂直平分线方程并与直线可得圆心为，即可得半径为. 【详解】由题意得的中点为，， 则线段的垂直平分线为，即， 联立，解得，即圆心， 所以该圆的半径为. 故答案为： 5．圆心在直线上，且过点，的圆的一般方程为__________． 【答案】 【分析】设圆心坐标为，由，可求得，进而可求得圆心与半径，可求圆的方程. 【详解】由于圆心在直线上,可设圆心坐标为， 再根据圆过，，所以， 可得， 解得，可得圆心为，半径为， 故所求的圆的方程为,化为一般方程为. 故答案为：. 6．（25-26高二上·北京·期末）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程； （3）利用待定系数法，设圆的标准方程，再代入条件，即可求解. 【详解】（1）由条件可知， 所以圆的标准方程为. （2），所以半径， 圆心为， 所以圆的标准方程为； （3）设圆的标准方程为， 所以，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 7．（25-26高二上·江西南昌·质检）已知两点，直线． (1)若直线经过点P，且，求直线的方程； (2)若圆C的圆心在直线上，且两点在圆C上，求圆C的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直关系可得斜率，根据点斜式即可求解直线方程， （2）根据两点距离公式列方程求解,即可求解. 【详解】（1）直线l斜率为3，斜率为，且过， 直线的方程为，即； （2）设圆心， 由得，解得， 故圆心的坐标为，半径， 圆的方程为． 8．已知圆C过点，，且圆心C在直线l：上. (1)求圆C的方程； (2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件确定圆心与半径后求解， （2）转化为求关于直线的对称点，与圆心连线的直线方程． 【详解】（1）的斜率为，中点坐标为， 由题意得圆心在的垂直平分线上， ，解得，故，半径为， 圆C的方程为； （2）如图所示，过与直线垂直的直线方程为， 由得，两直线交于点， 则关于直线的对称点为， 由题意得反射光线过圆心，直线的斜率为， 故直线的方程为，即.    由三个点求圆的方程题型05 1．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知的三个顶点分别为，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法、配方法进行求解即可. 【详解】设的外接圆方程为， 因为的三个顶点分别为， 所以有， 配方得， 故选：C 2．（25-26高二上·河南驻马店·联考）过点，，的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用圆的一般方程，该圆经过三个点可列出三个方程，并求解，最后用配方法变成标准方程，求出圆心坐标 【详解】设圆的方程为. 因该圆过点，，，所以，解得. 因此圆的方程为. 化简得. 因此该圆的圆心为. 故选：C 3．过点，，的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直角坐标系内画出三角形，利用数形思想，结合两直线垂直的判定方法判定该三角形的形状，再利用直角三角形外接圆的性质，再结合圆的标准方程进行求解即可. 【详解】由如图，已知，，所以， 故该圆的圆心是的中点； 半径为， 所以圆的标准方程为， 故选：C    4．（25-26高二上·重庆·月考）过四点中的三点的一个圆的方程为______.（写出一个你认为正确的既可） 【答案】（填或或中的一个也正确）. 【分析】分四种情况讨论，利用待定系数法求出圆的方程即可. 【详解】设圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为. 故答案为:（填或或中的一个也正确）. 5．若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 【答案】 【分析】设圆的方程，代入三点即可求出. 【详解】由题可得，设圆的方程为， 则，解得， 则所求圆的方程为. 6．的三个顶点是．求： (1)边的垂直平分线的方程； (2)的外接圆的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出BC中点，由直线BC斜率得其垂直平分线斜率，点斜式写出方程； （2）由待定系数法列方程组求解圆的方程. 【详解】（1）因为，所以BC中点坐标为，即， 又，所以所求直线的斜率， 所以所求直线方程为，即. （2）设的外接圆方程为， 则，解得， 所以所求圆的方程为. 7．（25-26高二上·天津·期中）已知的三个顶点是，，. (1)求平分线所在直线的方程； (2)若直线经过点，且，到直线的距离相等，求的方程； (3)求外接圆的方程. 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】（1）求得平分线所在直线的方向向量可求得角平分线的斜率，进而可求直线方程；（2）设的方程为，利用点到直线的距离可得，求解即可； （3）设圆的方程，代入点的坐标，求解即可. 【详解】（1）因为，，. 所以， 所以与共线同向的单位向量为：， 所以平分线所在直线的方向向量为， 所以平分线的斜率为， 所以平分线所在直线的方程为，即； （2）当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 因为，到直线的距离相等，所以， 解得，解得或， 所以直线方程为或， 即或； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，可得，到直线的距离不相等， 综上所述：的方程为或； （3）设外接圆的方程为， 则，即，解得， 所以外接圆的方程为. 二元二次方程表示圆的方程的条件题型06 1．若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围. 【详解】由， 得， 由该曲线表示圆， 可知， 解得或， 故选：B. 2．已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将一般方程转化为标准方程后可求参数的取值范围. 【详解】圆的标准方程为：， 故即或， 故选：D. 3．（25-26高二上·浙江·联考）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的一般方程的条件，对各个选项进行逐一判断． 【详解】对于A，因为等价于，表示圆，故A符合题意； 对于B，含项，不表示圆，故B不符合题意； 对于C，，易知时，不表示圆，故C不符合题意； 对于D，，，不表示圆，故D不符合题意． 故选：A． 4．若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数的取值范围，即可判断. 【详解】若方程表示圆， 则， 解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为. 故选：B 5．“”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，化为圆的方程为标准方程，结合圆的方程，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由方程，可得， 若时，可得，此时方程表示圆，即充分性成立； 反之：方程表示圆时， 例如：当时，方程可化为也可以表示圆，所以必要性不成立， 所以“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 故选：A 6．（24-25高二下·上海·质检）若圆的方程为，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】由圆的一般方程可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为圆的方程为，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 7．若表示圆，则实数的值为______. 【答案】 【分析】依题意可得，解得，再代入检验. 【详解】因为表示圆，所以， 解得或， 当时方程，即，不表示任何图形，故舍去； 当时方程，即，表示以为圆心，为半径的圆，符合题意； 故答案为： 8．（25-26高二上·北京·期中）已知二次方程. (1)当为何值时，方程表示圆？ (2)当为何值时，方程表示的圆的面积最大，并求出面积最大时圆的标准方程. 【答案】(1) (2)当时，圆的面积最大，此时圆的标准方程为： 【分析】（1）根据圆的一般式方程知,当时方程表示圆； （2）由半径,通过配方可以求出圆的最大半径以及半径最大时圆的方程. 【详解】（1）方程表示圆的条件是, 即,解得, 所以当时，方程表示圆. （2）由( 1 )知当时,方程表示圆,且其半径 . 所以当时，半径有最大值，且,此时圆心坐标为, 故圆的方程为. 点与圆的位置关系题型07 1．（24-25高二上·河北唐山·期末）已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入各点坐标看是否满足该方程即可得出结论. 【详解】将选项中的各点代入方程，显然ABD均不满足该方程， 只有C选项满足该方程. 故选：C 2．若点在圆内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】把点坐标代入圆方程，同时把“＝”改为“”，解之可得． 【详解】由题意，解得． 故选：A． 【点睛】结论点睛：本题考查点与圆的位置关系．设点，圆， 则在圆内部，在圆上，在圆外部， 3．已知直线与直线的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立直线可得其交点坐标，由该点在圆的内部计算即可得. 【详解】联立，解得，即点在圆的内部， 即有，解得. 故选：D. 4．（24-25高三上·广东·联考）“”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】先求出“点在圆内”的充要条件，对比即可得解. 【详解】点在圆内， 所以“”是“点在圆内”的充分不必要条件. 故选：A. 5．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由方程表示圆可得，再由点在圆外即可得，求得实数的取值范围是. 【详解】易知圆可化为，可得，即； 又在圆外部，可得，解得； 可得. 故选：B. 6．数学家高斯曾经研究过这么一个问题：在一个给定半径的圆内有多少个坐标均为整数的点，被称为著名的高斯圆内整点问题．我国著名数学家陈景润于1963年在数学学报发表《圆内整点问题》而受到华罗庚赏识被调到中科院．设圆，则圆内（包括圆上）整点有________个． 【答案】21 【分析】根据题意做出图形即可得答案. 【详解】解：根据题意，画出图形，如图，    所以圆的图象可得整点有21个． 故答案为：. 【点睛】本题考查圆与整数点的判断、数学文化，考查推理论证能力与数形结合思想，是基础题． 7．若过点总有两条直线与圆相切，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据题意得到点在圆外，代入计算得到答案. 【详解】过点总有两条直线与圆相切，故点在圆外， 故，解得或. 故答案为：. 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，意在考查学生计算能力和转化能力. 圆的对称性题型08 1．若直线是圆的一条对称轴，则    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】首先得到圆心坐标，即可得到圆心在直线上，从而求出参数的值. 【详解】圆的圆心为，因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上，所以，解得. 故选：A 2．（25-26高二上·黑龙江·月考）若圆关于点对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据点关于点对称得出，再根据圆的标准方程求解. 【详解】设关于点对称点， 则，所以，所以，圆的半径为， 所以圆关于点对称的圆的方程为. 故选：A. 3．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知圆与圆关于直线对称，则   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两圆对称可知，两圆圆心关于直线对称，则直线与直线垂直，且的中点在直线上，列方程可得与，再由两圆半径相等可得. 【详解】圆，圆心为，半径， 圆的标准方程为， 圆心为，半径， 由题可知与关于直线对称， 所以解得， 又，所以，故， 故选：A. 4．已知圆关于直线l对称的圆为圆，则直线l的方程为______. 【答案】 【分析】分别求得圆心和圆心，根据题意，求得两圆心和关于直线对称，由，得到，及的中点坐标，结合直线的点斜式，即可求解. 【详解】由题意可知圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 圆与圆关于直线对称，可得两圆心和关于直线对称， 又由，可得，且的中点为， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 5．（25-26高二上·四川南充·期末）圆关于直线对称的圆的方程为___________． 【答案】 【分析】先找出圆的圆心和半径，再求出圆心关于直线的对称点即为所求圆的圆心，从而求出对称圆的方程. 【详解】由的圆心，半径为， 设关于直线对称的点为， 则， 故对称点为，即所求圆的圆心为， 由题知圆关于直线对称后圆的半径仍然为1， 故所求圆的方程为：， 故答案为：. 6．已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是_______________． 【答案】2 【分析】依题意有直线过圆心，得到，再利用重要不等式求的最小值. 【详解】圆上存在两点关于直线对称，所以直线过圆心，有，即. ，当且仅当，即时等号成立. ∴，即，所以时，的最小值为2. 故答案为：2 7．已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆的标准方程，由，设的方程，从而可求解. （2）设的圆心，由与关于直线对称得，从而可求解. 【详解】（1）将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4． 因为，所以可设的一般式方程为， 将代入，解得， 故的一般式方程为． （2）设的圆心为，由与关于直线对称， 可得，解得 所以的标准方程为． 轨迹问题——圆题型09 1．（24-25高二上·北京·期中）已知圆C：过点，则圆C的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把已知点坐标代入圆方程，变更字母即可得． 【详解】圆C：过点，则， 所以圆心的轨迹方程是， 故选：D． 2．已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出的坐标，利用相关点法求解出的轨迹方程. 【详解】设， 由题意可知，所以， 又因为， 所以， 化简可得， 所以的轨迹方程为， 故选：A. 3．长为10的线段的两个端点，分别在轴和轴上滑动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若，则，由为AB中点，得到，代入方程，即可的M的轨迹方程. 【详解】由题意，若，则， ∴设，即，有， ∴，得. 故选：D. 4．（25-26高二上·四川宜宾·期中）点是圆上的定点，为圆上异于点的动点，则线段AP的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点的坐标，得出点坐标，代入圆方程，即可得到线段的中点M的轨迹方程. 【详解】设线段的中点为，因为两点不重合，则， 根据题意得， ∴，即：， 故选：C. 5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：，点B(3，0)，过动点P引圆A的切线，切点为T．若PT＝PB，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设P(x，y)，根据PT＝PB，结合两点间距离公式以及勾股定理求解即可. 【详解】设P(x，y)，∵PT＝PB，∴PT2＝2PB2 ∴ 整理得：. 故选：C 【点睛】本题主要考查了求动点的轨迹方程，涉及了两点间距离公式的应用，属于基础题. 6．直角坐标平面中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足，则点P的轨迹方程是___________. 【答案】 【分析】设点，则，由，所以，代入，即可求解. 【详解】设点， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 即. 因此点P的轨迹方程是. 故答案为： 7．已知圆心为C的圆经过点和点两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)已知线段MN的端点M的坐标，另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆心为C的圆经过点和点两点，可知圆心过线段的垂直平分线，将其与直线联立可求得圆心C，再求半径，即可得到圆的标准方程； （2）设线段MN的中点，由G为线段MN的中点可得，代入圆C的方程，即可得到G的轨迹方程. 【详解】（1）因为圆C经过点和点两点， 所以圆心C在线段的垂直平分线上，即上， 联立可解得，即， 所以圆C的半径为 则圆C的标准方程； （2）设线段MN的中点， 又M的坐标，且G为线段MN的中点， 所以， 又N在圆C上运动， 可得， 化简可得， 所以，线段MN的中点G的轨迹方程. 定点到圆上点的距离的最值题型01 1．若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由两点间距离公式，结合圆的方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为表示圆心为，半径为的圆， 则表示圆上的点到点的距离的平方， 所以的最大值为. 故选：D 2．设复数z满足条件，那么的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设复数z在复平面对应的点为， 因为，所以， 因此点在单位圆上， 因为，设复数在复平面对应的点为， 所以表示圆上的点到点的距离， 因此的最大值为. 3．如果圆上总存在点到原点的距离为，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆上的点到原点的距离转化为圆心到原点的距离加减半径得到答案. 【详解】，圆心为 半径为1 圆心到原点的距离为： 如果圆上总存在点到原点的距离为 即圆心到原点的距离 即 故答案选B 【点睛】本题考查了圆上的点到原点的距离，转化为圆心到原点的距离加减半径是解题的关键. 4．（24-25高二上·广东深圳·月考）圆上到点距离最小的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断点与圆的位置关系，再根据圆的几何性质即可求得. 【详解】由圆，可得圆的圆心为，半径，记， 则圆心到点的距离， 显然，所以点在圆的内部，如图： 根据圆的性质，圆内一点P到圆上一点最小距离对应的点在圆心C与该点P的连线上，且距离的最小值为半径减去该点到圆心的距离. 又，，所以，所以O，P，C三点共线，且，所以原点O在圆上. 又，所以圆上点O到点的距离最小. 故选：A. 5．已知点，Q为圆上一点，点S在x轴上，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题目是数形结合的题目，根据两点之间线段最短的原则，可以将转换为，连接，找到点的位置，从而求出线段和的最小值 【详解】将圆方程化为标准方程为：，如下图所示： 作点关于x轴的对称点，连接与圆相交于点，与x轴相交于点，此时，的值最小，且，由圆的标准方程得：点坐标为，半径，所以，，所以最小值为9 故选：C 6．（25-26高二上·北京·期中）已知，点是圆上任意一点，则的最小值为________，最大值为________. 【答案】 4 6 【分析】根据圆外一点与圆上点的距离的最大值为圆外点与圆心的距离加半径，最小值为圆外点与圆心的距离减半径，从而计算即可求出结果. 【详解】圆的圆心，半径， 则. 所以， . 故答案为：4；6. 7．若为圆：上任意一点，点，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】判断点与圆的位置关系，利用圆的性质即可得解. 【详解】圆：化为标准方程，得， 因为， 所以点在圆的内部，且， 所以的取值范围为. 故答案为： 8．在平面直角坐标系中，，是圆上两动点，且，点坐标为，则的取值范围为__________ 【答案】 【分析】设，则，即，求出的长度得出的轨迹，从而得出的范围. 【详解】解：，设， 则，即， ，是圆上两动点，且， 是边长为的等边三角形， 过作的垂线，则为的中点， ，， . 的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 又， . 故答案为：. 【点睛】本题考查平面向量、圆的方程，轨迹方程，构造是解本题的关键，属于难题. 圆过定点问题题型02 1．圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 2．已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标. 【详解】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：， 由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点， 由得：，以为直径的圆恒过定点. 故选：D. 3．圆恒过的定点是______. 【答案】 【分析】分离参数，即可列方程组求解. 【详解】圆方程化为， 由解得故圆恒过点. 故答案为： 4．（25-26高二上·河南驻马店·联考）若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 【答案】3 【分析】变形得到，求出定点A，B的坐标，得到答案. 【详解】变形得到， 令，解得或， 不妨设，， 所以. 故答案为：3 5．已知圆经过，两点. (1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程； (2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标. 【答案】(1)； (2) 设点是圆上任意一点， 因为是圆的直径，所以， 即， 所以圆的方程为：， 则，，等式恒成立，定点为， 所以无论取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，定点坐标为. 【分析】（1）求出的坐标，根据两点间的距离公式求出，从而可求解； （2）设点是圆上任意一点，由是圆的直径，得，从而可求出圆的方程，即可得出结论 【详解】（1）当，，故，， 所以此时圆的标准方程为. （2）略 6．（25-26高二上·安徽淮北·期末）已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点. (1)求经过、、三点的圆的方程； (2)圆是否经过某定点（其坐标与无关）?请说明理由. 【答案】(1)或 (2)是，理由： 由（1）知圆的方程为或， 令，解得或， 故圆过定点和. 【分析】（1）设圆的方程为，在该圆的方程中，令，可知方程与方程是同一个方程，可得出、的值，然后令，得到方程，此方程有一个根为，可求出的值，即可得出圆的方程； （2）在圆的方程中，令，可求出圆所过定点的坐标. 【详解】（1）由题意知，解得或， 设所求圆的方程为， 由题意知函数的图象与两坐标轴的三个交点即为圆与坐标轴的交点. 在圆的方程中，令，得，这与是同一个方程，故，. 令，得，此方程有一个根为，代入此方程得，解得， 综上可知，圆的方程为或 （2）略 7．（25-26高二上·江苏·期中）在平面直角坐标系中，已知点与，点为线段上的动点，点为线段上的动点， (1)求过点三点圆的标准方程. (2)若，试问过点三点的圆是否存在定点？若存在，请求出定点.若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，和. 【分析】（1）根据已知得到圆心在直线上，设圆心，利用半径列方程求参数，即可得； （2）设，得，根据三点共圆，应用待定系数法求得圆的方程为，进而求圆所过的定点. 【详解】（1）已知点，则的中点坐标为， 由三点共圆，且，所以圆心在直线上， 设圆心，所以，解得， 所以圆的标准方程为； （2）因为，设，所以，则， 设圆的一般方程为，圆过点， 令可得的两个根为0和，所以， 所以方程为，再代入，解得， 所以方程为， 所以， 所以，解得或. 所以过点三点的圆存在定点和. 8．已知圆C经过，两点． (1)如果AB是圆C的直径，证明：无论a取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，求出这个定点坐标． (2)已知点A关于直线的对称点也在圆C上，且过点B的直线l与两坐标轴分别交于不同两点M和N，当圆C的面积最小时，试求的最小值. 【答案】(1) 设点是圆上任意一点， 因为AB是圆C的直径，所以， 即， 所以圆的方程为：， 则，时等式恒成立，故定点为， 所以无论a取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，定点坐标为； (2) 【分析】（1）设点是圆上任意一点，由AB是圆C的直径，得，从而可求出圆的方程，即可得出结论； （2）根据题意可得点C在直线上，要使圆C的面积最小，则圆C是以为直径的圆，从而可求出圆的方程，进而可求得点的坐标，设出直线的方程，分别求出的坐标，再根据两点间距离公式结合基本不等式即可得解． 【详解】（1）略 （2）因点A关于直线的对称点也在圆C上， 所以点C在直线上， 又圆C的面积最小，所以圆C是以直径的圆， 设过点A与直线垂直的直线方程为， 由方程组得，则 所以圆C的方程为， 当时，或，又，所以，即， 由题意知直线l斜率存在且不为零，设直线l的方程为， 当时，当，时， 所以， （当且仅当，即时取等号） 则当时， 与圆有关的最值问题题型01 1．已知实数满足方程，则的最大值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】将方程化为，由圆的几何性质可得答案. 【详解】将方程变形为，则圆心坐标为，半径， 则圆上的点的横坐标的范围为： 则x的最大值是 故选：D. 2．设，，直线经过圆的圆心，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】圆心坐标代入直线方程得，然后用“1”的代换得定值后由基本不等式得最小值． 【详解】圆心为（1，1），所以 于是 当且仅当，即时取等号. 故选：B． 3．（25-26高二上·广东清远·期中）已知:.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式表示直线上的动点到定点的距离之和，求出点A关于直线对称的点，结合两点距离公式计算即可求解. 【详解】设， 表示直线上的动点到定点的距离之和， 如图，    设点A关于直线对称的点为， 则，解得， 所以. 故答案为： 4．（24-25高二上·云南·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，直线经过定点，结合图形可得，当且仅当轴时，点到直线的距离最大，即可求得. 【详解】 如图，因点满足，则点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆， 又直线经过定点， 由图知，要使点到直线的距离最大，只需使圆心到直线的距离最大， 即当且仅当轴时，点到直线的距离最大，为. （理由：如图，过点另作一条直线，过点作于点， 在中显然有，故当且仅当轴时，点到直线的距离最大）. 故选：D. 5．（24-25高二上·江苏·月考）已知为圆上任意一点，，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】设，得到，将转换成，即动点到两定点的距离和，即可求解. 【详解】设，则， 则 而表示到，两点距离和， 所以． 所以 所以的最小值为． 故答案为： 6．（24-25高二上·四川成都·月考）已知点，直线，，，. (1)若这三条直线不能围成三角形，求实数的值； (2)点关于直线的对称点为，求的取值范围. 【答案】(1)或或 (2) 【分析】（1）由已知三条直线不能围成三角形，则或或三条直线交于一点，分情况研究动直线即可； （2）由已知可得直线恒过定点，再根据对称可知，即可得动点的轨迹，利用三角换元设，结合三角恒等变换可得向量数量积的范围. 【详解】（1）由已知三条直线不能围成三角形，则或或三条直线交于一点， ①当时，，解得； ②当时，，解得； ③当三条直线交于一点时，由，解得，即与相交于点， 则也过，即，解得； （2）由直线可化为， 令，解得， 即直线恒过点， 又点与点关于直线对称， 即， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 即点满足方程， 又直线若斜率存在，则斜率， 过点，斜率为的直线， 设此时点的对称点， 即，解得，即， 综上所述，动点的轨迹方程为，且不包括点， 设点，，且，不同时成立， 则，， 即，其中，， 所以， 即， 则. 阿波罗尼斯圆题型02 1．已知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据可整理得到结果. 【详解】由题意知：， 设，则， ，整理可得：， 即点的轨迹方程为：. 故选：D. 2．（24-25高二上·辽宁大连·期中）在中，点，点，点满足，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据，得到点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（除去与轴的两个交点），然后数形结合得到点到直线的距离最大值为，求出面积的最大值即可. 【详解】由题意，设，则， 由得， 化简得， 故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（除去与轴的两个交点）, 故点到直线的最大距离为， 所以的面积最大值为. 故选：B. 3．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M与定点和定点的距离之比为2，其方程为，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，应用两点距离公式列方程求M轨迹，结合已知圆的方程求参数m，进而得，再由，数形结合求目标式最小值. 【详解】由题设，令，则， 所以，则，即， 又，即在圆外，，即在圆外， 由，当且仅当共线上等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 4．（24-25高二上·福建厦门·期中）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为_______． 【答案】 【分析】首先设出点的坐标，然后列出等式，最后化简所得的等式可得轨迹方程. 【详解】由题意可设点，由，，，得， 化简得，即. 故答案为：. 5．已知点和点，若点满足，则点的轨迹方程为__________，的面积的最大值为__________. 【答案】 【分析】首先设，利用两点间距离公式表示，即可求解轨迹方程，再求圆上点到距离的最大值，即可求解面积的最大值. 【详解】设， 则，整理为， 点到的距离的最大值为2，所以的面积的最大值为. 故答案为：；3 6．已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为________． 【答案】 【分析】设出点利用两点间距离公式得到比值关系，设为，最后利用方程与N无关得到关系式计算得到答案. 【详解】设，且， ， 因为为定值，设， 化简得：，与点位置无关， 所以， 解得：或， 因为异于点，所以定点N为. 故答案为：. 7．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知的三个顶点分别为． (1)求的外接圆的方程； (2)设，若点是圆上任意一点，试问：在平面上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）法一：设圆的方程为，代入点的坐标，进而解方程组可求圆的方程；法二：求得，可得的圆心是的中点，可求圆的方程； （2）假设存在，对任意的都有，计算利用恒成立可得，求解即可. 【详解】（1）法一：设圆的方程为，则 ， 解得：， 所以圆的方程为，即， 法二：因为， 所以，所以，所以， 又因为，所以是等腰直角三角形， 所以的圆心是的中点，即圆心，半径， 所以的方程为； （2）假设存在，对任意的都有， 即：， 化简得：， 又满足，即， 即：， 所以， 解得：， 即存在满足条件． 8．在平面直角坐标系中，已知的方程为，平面内两定点、．当的半径取最小值时： (1)求出此时的值，并写出的标准方程； (2)在轴上是否存在异于点的另外一个点，使得对于上任意一点，总有为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明你的理由； (3)在第（2）问的条件下，求的取值范围． 【答案】(1),； (2)点F的坐标为,定值为2； (3). 【分析】(1)将圆的一般方程化为标准方程，确定半径的表达式，再求半径的最小值，即可得到所求圆的方程；(2)设，定点（为常数），由两点的距离公式求表达式，根据其值为定值可求定点的坐标和的值；(3)化简μ的关系式，结合对勾函数的单调性，即可得到所求范围． 【详解】（1）的方程为可化为 ， 当时，⊙C的半径取最小值，此时⊙C的标准方程为； （2）设，定点（），则． ∵，∴，代入上式， 得： ． 由于λ取值与x无关，∴（舍去）． 此时点F的坐标为， 即； （3）由上问可知对于⊙C上任意一点P总有， 故， 而（当P、F、G三点共线时取等号）， 又，，所以，故． ∴    ， 令，则， ，当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增，由此可得的图象为 观察图象可得的取值范围为． 【点睛】一般直线和圆的问题利用数形结合来解决，在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理. 复数和向量中的隐圆题型03 1．设向量满足，，且与的夹角为，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意得，设，建立平面坐标系，由得四点共圆，进而得圆心的坐标，即得圆的方程，利用数形结合即可求解. 【详解】由题意得：，又， 所以， 设，如图所示， 由，所以，所以， 所以，所以四点共圆， 又过点三点的圆的圆心在轴上，所以， 连接，由，所以，解得， 所以过点三点的圆的方程为， 由，令，连接， 所以， 又点在圆上，且满足，所以，， 所以. 2．关于x的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件分别设四个不同的解所对应的点为ABCD，讨论根的判别式，根据圆的对称性得到相应判断. 【详解】解：由已知x2﹣4x+5＝0的解为，设对应的两点分别为A，B， 得A（2，1），B（2，﹣1）， 设x2+2mx+m＝0的解所对应的两点分别为C，D，记为C（x1，y1），D（x2，y2）， （1）当△＜0，即0＜m＜1时，的根为共轭复数，必有C、D关于x轴对称，又因为A、B关于x轴对称，且显然四点共圆； （2）当△＞0，即m＞1或m＜0时，此时C（x1，0），D（x2，0），且＝﹣m， 故此圆的圆心为（﹣m，0）， 半径， 又圆心O1到A的距离O1A＝， 解得m＝﹣1， 综上：m∈（0，1）∪{﹣1}. 故选：D. 【点睛】本题考查方程根的个数与坐标系内点坐标的对应，考查一元二次方程根的判别式，属于难题. 3．已知为单位向量，若，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由题设以为x、y轴构建平面直角坐标系，，令结合已知有，又，将问题转化为求点到上点距离的范围，即可得结果. 【详解】由为单位向量，且，故， 以为x、y轴构建平面直角坐标系，如下图示，则， 令，则，又， 所以，即， 故的终点在圆心为，半径为1的圆上， 而，故， 所以，只需确定点到上点距离的范围即可，而到的距离为， 故，则. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：构建平面直角坐标系，将问题化为求定点到圆上点距离的范围，进而求目标式的范围. 4．设向量，，，，点在内，且向量与向量的夹角为，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】以直线OA为x轴，线段OA的中垂线为y轴建立坐标系，探求点C的坐标满足的关系，再利用换元法借助三角恒等变换计算作答. 【详解】以直线OA为x轴，线段OA的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图， 因，则，而，解得， 则，设，有，， 因向量与向量的夹角为，则， ，， ，整理得：，即， 因此，，，令点，， 令， 则， 于是得，又，即有，解得， 当时，，即，而，有， ，矛盾，即， 当时，，即有，其中锐角满足， 则有，，，显然存在满足条件，则，因此，， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】思路点睛：给定向量的模探求向量问题，可以建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示，利用代数运算、三角变换等方法解决. 圆的参数方程的应用题型04 1．已知实数满足，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的参数方程，转化为三角函数求最大值即可. 【详解】由可得， 设， 则， 故当时，， 故选：C 2．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知，，三点，点在圆上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程写出点的参数方程坐标，分别计算，再合并即得，最后利用余弦函数的值域即可求得其范围. 【详解】依题意，设点， 则 故 ， 因，故易得. 故选：A. 3．已知点，点为圆上一动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，可求出的表达式，利用换元法，结合三角函数辅助角公式以及三角函数性质即可求得答案. 【详解】因为点为圆上一动点，故设， 则， 令，则， 即，则， 其中为辅助角，， 则，整理得， 故的最大值为， 故选：A 4．已知点在圆上，已知，，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据题意，设，结合向量数量积的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】点在圆上，圆的半径为． 设， ，， ． 故答案为：． 新定义问题题型05 1．数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据中点坐标公式求出三角形三边中点坐标，再将中点坐标代入所设九点圆方程，联立方程组求解出方程系数，进而得到九点圆方程. 【详解】已知，，，由中点坐标公式可得： 中点，中点，中点， 设的九点圆方程为， 则，解得， 所以的九点圆方程为， 由圆心为，半径可得： 圆心，半径， 即． 2．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”.则下列有关说法中：    ①函数是圆的一个太极函数； ②对于圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； ③存在圆，使得是圆的一个太极函数； ④函数是奇函数，且当时，，若是圆的太极函数，则. 所有正确的是___________. 【答案】①④ 【分析】如果一个函数过圆心，并且函数图象关于圆心中心对称，必然合题（另外注意函数将圆分成部分，不能超过部分）．如果函数不是中心对称图形，则考虑与圆有个交点，交点连起来过圆心，再考虑如何让面积相等． 【详解】①圆的圆心为，且是函数的一个对称中心，并且函数过，故①正确； ②如下图所示，是偶函数，只需轴上方三角形面积与轴下方个三角形面积之和相等时，符合题意，故②错误；      ③，故是奇函数，对称中心为，但不在函数图象上，故不存在圆，使得是圆的一个太极函数，故③错误； ④圆的圆心为，函数为奇函数，如下图所示，函数的图象若是圆的太极函数，则必然有顶点在圆内，即，解得，故④正确；    故答案为：①④． 3．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质：①线段的最小覆盖圆就是以为直径的圆；②锐角的最小覆盖圆就是其外接圆.已知曲线：，，，，为曲线上不同的四点. （Ⅰ）求实数的值及的最小覆盖圆的方程； （Ⅱ）求四边形的最小覆盖圆的方程； （Ⅲ）求曲线的最小覆盖圆的方程. 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【分析】（Ⅰ）由题意，,利用三角形的外接圆即最小覆盖圆可得结果； （Ⅱ）的最小覆盖圆就是以为直径的圆，易知A,C均在圆内； （Ⅲ）由题意，曲线为中心对称图形. 设，转求的最大值即可. 【详解】解：（Ⅰ）由题意，. 由于为锐角三角形，外接圆就是的最小覆盖圆. 设外接圆方程为, 则, 解得. 所以 的最小覆盖圆的方程为 . (II) 因为的最小覆盖圆就是以为直径的圆， 所以的最小覆盖圆的方程为. 又因为，所以点A,C都在圆内. 所以四边形的最小覆盖圆的方程为. (III)由题意，曲线为中心对称图形. 设，则. 所以，且. 故 ， 所以 当时，， 所以曲线的最小覆盖圆的方程为. 【点睛】本题以新定义为背景，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，考查等价转化思想，属于中档题. 4．（25-26高二上·河北邢台·月考）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，对于上任意满足的两个不同的点，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，的半径为1． ①在点中，点__________是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为__________； ②点在第一象限，若对于任意长度小于1的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为__________； (2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①先根据关联角度的概念，分析出点与圆的位置关系不同时，关联角度的大小和意义；再对逐个分析，求其对应的关联角度即可； ②问题转化为两圆的圆心距的问题求解. （2）根据关联角度的取值范围分情况讨论，若线段在外，根据上的点到点的距离在取值求的取值范围，若线段在内，根据根据上的点到点的距离在求的取值范围. 【详解】（1）①根据定义可得：当在上时，不存在都有，当在内部时过的直径使得的关联角度为，当在的外部时，且为的切线时，大； 如图，是的关联点且其与的关联角度小于，与的关联角度为，与的关联角度大于， ∵，的半径为，∴，且是的切线， ∴，∴ ∴，即与的关联角度为. 故答案为：，． ②根据定义可得为外一点， ∵，的半径为，∴，当时， 如图，取点，则， ∴，∴的最小值为，故答案为：． （2）由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，点距离圆心最近. ∵，∴当时，由，如图， ∴四边形是矩形， 由∵   ∴四边形是正方形，  ∴ 当时， ∵点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，则， ∴上距离最近的点在的圆环内. ①若线段均内，线段上所有的点都是的关联点，这些点与的关联角度的最大值均为若，如图， 则. ②若线段均在外，则上距离最近的点在的圆环内. 当时，如图： 则； 当时，如图： 则. 综上可知：或或. 所以所求的取值范围为. 5．（24-25高二上·浙江·联考）古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯（Pappus，公元3世纪末）在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：平面上，到两条已知直线距离的乘积是到第三条直线距离的平方的倍的动点轨迹为二次曲线（在平面上，由二元二次方程所表示的曲线，叫做二次曲线）.常数的大小和直线的位置等决定了曲线的形状.为了研究方便，我们设平面内三条给定的直线为，当三条直线中有相交直线时，记，，，动点到直线的距离为，且满足.阅读上述材料，完成下列问题： (1)当，时，若，且与的距离为2，点在与之间运动时，求动点的轨迹所围成的面积. (2)若是等腰直角三角形，是直角，点在内（包括两边）运动，试探求为何值时，的轨迹是圆？ (3)若是等腰三角形，，点在内（包括两边）任意运动，当时，问在此等腰三角形对称轴上是否存在一点，使为大于1的定值.若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)当时，的轨迹是圆 (3)存在，点为中点 【分析】（1）适当建系，以为轴，为轴，同时，再结合新定义确定轨迹方程即可求解； （2）适当建系，以为坐标原点，为轴，为轴，同时.再结合新定义即可求解； （3）适当建系，以为坐标原点，的角平分线为轴，设，，，结合新定义列出等式即可求解. 【详解】（1） 以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，，设， 因为在，之间，所以，，， 由定义得，所以，化简得， 表示以为圆心，1为半径的圆. 所以动点的轨迹围成的图形面积. （2） 以为坐标原点，（）为轴，（）为轴，建立平面直角坐标系. 设，点， 则，，，， 代入坐标得：.     化简整理：① 当时，方程①没有项，此时方程①为：. 即，此方程表示圆心为，半径为的圆， 所以当时，的轨迹是圆. （3） 以为坐标原点，的角平分线为轴，建立平面直角坐标系， 设，，，点， 先求点的轨迹方程：由，因为在内部，所以，得. 同理：，又. 由题意，当时，得. 化简整理得：.②     假设存在点，满足条件，则③ 由②得：. 代入③得. 要使此式为定值，则，化简得， 故存在点，即点为与的角平分线的交点，即点为中点， 此时. 【点睛】关键点点睛：这类新定义的关键是适当建系，简化计算过程，减少计算量是关键点. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.4圆的方程 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 由圆的标准方程确定圆心和半径 题型02 由圆的一般方程确定圆的圆心和半径 题型03 由圆心（或半径）求圆的方程 题型04 由圆心在直线上和圆过点求圆的方程 题型05 由三个点求圆的方程 题型06 二元二次方程表示圆的方程的条件 题型07 点与圆的位置关系 题型08 圆的对称性 题型09 轨迹问题——圆 B组 能力进阶 题型01 定点到圆上点的距离的最值 题型02 圆过定点问题 C组 思维拔高 题型01 与圆有关的最值问题 题型02 阿波罗尼斯圆 题型03 复数和向量中的隐圆 题型04 圆的参数方程的应用 题型05 新定义问题 由圆的标准方程确定圆心和半径题型01 1．（25-26高二上·新疆喀什·期中）圆的方程为，则该圆的圆心与半径分别是（   ） A．圆心，半径 B．圆心，半径 C．圆心，半径5 D．圆心，半径 5 2．（25-26高二上·青海·月考）圆的圆心和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．圆的圆心到直线的距离为______. 由圆的一般方程确定圆的圆心和半径题型02 1．（24-25高二上·山西·月考）已知圆的方程是，则圆心的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．若圆的圆心到两坐标轴的距离相等，则   ） A． B．1 C． D． 4．（25-26高二上·安徽·期中）若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．关于圆有四个命题：①点在圆内；②点在圆上；③圆心为；④圆的半径为3.若只有一个假命题，则该命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 6．（25-26高二上·山东济南·期末）已知圆，则圆的半径_________． 7．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）若圆的半径为2，则______． 8．（25-26高二上·江西九江·月考） ①； ②． （2）在平面直角坐标系中．求经过三点的圆的方程．（用圆的一般方程表示） 由圆心（或半径）求圆的方程题型03 1．以为圆心，4为半径的圆的方程为　　 A． B． C． D． 2．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）以点为圆心，3为半径的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 3．把圆向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到圆的方程为（   ） A． B． C． D． 4．圆的一条直径的两个端点是，则此圆的方程是（    ） A． B． C． D． 5．圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·重庆·月考）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·天津·月考）已知直线：与直线：的交点为，则以点为圆心，且过点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·吉林长春·期末）圆心为，且与轴相切的圆的标准方程为______. 9．在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于A点，直线与y轴及直线l分别交于B点，C点，且A，B，C，O四点共圆，则此圆的标准方程是__________. 由圆心在直线上和圆过点求圆的方程题型04 1．过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．圆心在轴上，且过点的圆与轴相切，则该圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽·期中）已知圆C过，两点，且圆心C在直线上，则该圆的半径为_________. 5．圆心在直线上，且过点，的圆的一般方程为__________． 6．（25-26高二上·北京·期末）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 7．（25-26高二上·江西南昌·质检）已知两点，直线． (1)若直线经过点P，且，求直线的方程； (2)若圆C的圆心在直线上，且两点在圆C上，求圆C的方程． 8．已知圆C过点，，且圆心C在直线l：上. (1)求圆C的方程； (2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线所在直线的方程. 由三个点求圆的方程题型05 1．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知的三个顶点分别为，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南驻马店·联考）过点，，的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 3．过点，，的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·重庆·月考）过四点中的三点的一个圆的方程为______.（写出一个你认为正确的既可） 5．若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 6．的三个顶点是．求： (1)边的垂直平分线的方程； (2)的外接圆的方程． 7．（25-26高二上·天津·期中）已知的三个顶点是，，. (1)求平分线所在直线的方程； (2)若直线经过点，且，到直线的距离相等，求的方程； (3)求外接圆的方程. 二元二次方程表示圆的方程的条件题型06 1．若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江·联考）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．“”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高二下·上海·质检）若圆的方程为，则实数的取值范围为_____. 7．若表示圆，则实数的值为______. 8．（25-26高二上·北京·期中）已知二次方程. (1)当为何值时，方程表示圆？ (2)当为何值时，方程表示的圆的面积最大，并求出面积最大时圆的标准方程. 点与圆的位置关系题型07 1．（24-25高二上·河北唐山·期末）已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 2．若点在圆内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知直线与直线的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广东·联考）“”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 5．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．数学家高斯曾经研究过这么一个问题：在一个给定半径的圆内有多少个坐标均为整数的点，被称为著名的高斯圆内整点问题．我国著名数学家陈景润于1963年在数学学报发表《圆内整点问题》而受到华罗庚赏识被调到中科院．设圆，则圆内（包括圆上）整点有________个． 7．若过点总有两条直线与圆相切，则实数的取值范围是_______． 圆的对称性题型08 1．若直线是圆的一条对称轴，则    ） A． B．1 C． D． 2．（25-26高二上·黑龙江·月考）若圆关于点对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知圆与圆关于直线对称，则   ） A． B． C． D． 4．已知圆关于直线l对称的圆为圆，则直线l的方程为______. 5．（25-26高二上·四川南充·期末）圆关于直线对称的圆的方程为___________． 6．已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是_______________． 7．已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 轨迹问题——圆题型09 1．（24-25高二上·北京·期中）已知圆C：过点，则圆C的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 2．已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．长为10的线段的两个端点，分别在轴和轴上滑动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·四川宜宾·期中）点是圆上的定点，为圆上异于点的动点，则线段AP的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：，点B(3，0)，过动点P引圆A的切线，切点为T．若PT＝PB，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．直角坐标平面中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足，则点P的轨迹方程是___________. 7．已知圆心为C的圆经过点和点两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)已知线段MN的端点M的坐标，另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程． 定点到圆上点的距离的最值题型01 1．若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．设复数z满足条件，那么的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如果圆上总存在点到原点的距离为，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东深圳·月考）圆上到点距离最小的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．已知点，Q为圆上一点，点S在x轴上，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．（25-26高二上·北京·期中）已知，点是圆上任意一点，则的最小值为________，最大值为________. 7．若为圆：上任意一点，点，则的取值范围为______. 8．在平面直角坐标系中，，是圆上两动点，且，点坐标为，则的取值范围为__________ 圆过定点问题题型02 1．圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 2．已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（    ） A． B． C． D． 3．圆恒过的定点是______. 4．（25-26高二上·河南驻马店·联考）若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 5．已知圆经过，两点. (1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程； (2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标. 6．（25-26高二上·安徽淮北·期末）已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点. (1)求经过、、三点的圆的方程； (2)圆是否经过某定点（其坐标与无关）?请说明理由. 7．（25-26高二上·江苏·期中）在平面直角坐标系中，已知点与，点为线段上的动点，点为线段上的动点， (1)求过点三点圆的标准方程. (2)若，试问过点三点的圆是否存在定点？若存在，请求出定点.若不存在，请说明理由. 8．已知圆C经过，两点． (1)如果AB是圆C的直径，证明：无论a取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，求出这个定点坐标． (2)已知点A关于直线的对称点也在圆C上，且过点B的直线l与两坐标轴分别交于不同两点M和N，当圆C的面积最小时，试求的最小值. 与圆有关的最值问题题型01 1．已知实数满足方程，则的最大值为（    ） A．3 B．2 C． D． 2．设，，直线经过圆的圆心，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．2 D． 3．（25-26高二上·广东清远·期中）已知:.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·云南·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏·月考）已知为圆上任意一点，，则的最小值为__________. 6．（24-25高二上·四川成都·月考）已知点，直线，，，. (1)若这三条直线不能围成三角形，求实数的值； (2)点关于直线的对称点为，求的取值范围. 阿波罗尼斯圆题型02 1．已知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁大连·期中）在中，点，点，点满足，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M与定点和定点的距离之比为2，其方程为，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·福建厦门·期中）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为_______． 5．已知点和点，若点满足，则点的轨迹方程为__________，的面积的最大值为__________. 6．已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为________． 7．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知的三个顶点分别为． (1)求的外接圆的方程； (2)设，若点是圆上任意一点，试问：在平面上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 8．在平面直角坐标系中，已知的方程为，平面内两定点、．当的半径取最小值时： (1)求出此时的值，并写出的标准方程； (2)在轴上是否存在异于点的另外一个点，使得对于上任意一点，总有为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明你的理由； (3)在第（2）问的条件下，求的取值范围． 复数和向量中的隐圆题型03 1．设向量满足，，且与的夹角为，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．关于x的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知为单位向量，若，则的取值范围为__________. 4．设向量，，，，点在内，且向量与向量的夹角为，则的取值范围是____________． 圆的参数方程的应用题型04 1．已知实数满足，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知，，三点，点在圆上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知点，点为圆上一动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 4．已知点在圆上，已知，，则的值为__________． 新定义问题题型05 1．数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 2．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”.则下列有关说法中：    ①函数是圆的一个太极函数； ②对于圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； ③存在圆，使得是圆的一个太极函数； ④函数是奇函数，且当时，，若是圆的太极函数，则. 所有正确的是___________. 3．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质：①线段的最小覆盖圆就是以为直径的圆；②锐角的最小覆盖圆就是其外接圆.已知曲线：，，，，为曲线上不同的四点. （Ⅰ）求实数的值及的最小覆盖圆的方程； （Ⅱ）求四边形的最小覆盖圆的方程； （Ⅲ）求曲线的最小覆盖圆的方程. 4．（25-26高二上·河北邢台·月考）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，对于上任意满足的两个不同的点，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，的半径为1． ①在点中，点__________是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为__________； ②点在第一象限，若对于任意长度小于1的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为__________； (2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围． 5．（24-25高二上·浙江·联考）古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯（Pappus，公元3世纪末）在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：平面上，到两条已知直线距离的乘积是到第三条直线距离的平方的倍的动点轨迹为二次曲线（在平面上，由二元二次方程所表示的曲线，叫做二次曲线）.常数的大小和直线的位置等决定了曲线的形状.为了研究方便，我们设平面内三条给定的直线为，当三条直线中有相交直线时，记，，，动点到直线的距离为，且满足.阅读上述材料，完成下列问题： (1)当，时，若，且与的距离为2，点在与之间运动时，求动点的轨迹所围成的面积. (2)若是等腰直角三角形，是直角，点在内（包括两边）运动，试探求为何值时，的轨迹是圆？ (3)若是等腰三角形，，点在内（包括两边）任意运动，当时，问在此等腰三角形对称轴上是否存在一点，使为大于1的定值.若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $