2.5.1 直线与圆的位置关系（第2课时）（分层作业） 数学人教A版 选择性必修第一册

**基本信息** 以题型分层设计，覆盖直线与圆位置关系8类核心题型，从基础切线方程到综合参数求解，梯度递进，适配新授课知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础型|过圆上点切线方程、弦长计算|3道基础题直接应用公式，如题型01第1题，培养运算能力与几何直观| |综合型|定点定值、参数求解|结合方程思想与位置关系，如题型06求参数范围，发展推理能力与模型观念| |拓展型|实际情境与创新应用|操场跑道切线（题型01第3题）、光线反射（附加题第2题），体现数学眼光与应用意识|

品学科网·上好课 www.zxxk.com 分层作业 2.5.1 直线与圆的位置关系 目录 A组 巩固过关 题型01过圆上一点的圆的切线方程 题型02直线与圆中的定点定值问题 题型03圆的弦长与中点弦. 题型04过圆外一点的圆的切线方程， 题型05切点弦及其方程… 题型06由直线与圆的位置关系求参数 题型07直线过定点问题， 题型08已知圆的弦长求方程或参数… B组 能力进阶 ● C组 思维拔高 拓展 链接高考 1/11 tE 乙乙 乙 6[ SI DT.. 9 E Z (:乙影) 卷系一母并丁 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A组 巩固过关 题型01 题型01过圆上一点的圆的切线方程 1.(2026高三全国专题练习)圆x2+y2+2x-4y=0在点P(1,1)处的切线方程为() 2x+y-3=0B. 2x-y-1=0 c.t-2y+1=0 D.x+2y-3=0 2(25-26高二下海南省直辖县级单位开学考试)过圆(x-1)+(y+2=5上一点M(3,-)的切线 方程是() 2x+y-7=0 B.x-2y-5=0 c.x+2y-1=0 2x+y-5=0 3.(2026北京东城二模)某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成（如图1)·运动员比赛 PO 时，从某条跑道弯道处的起跑线AB上选取一点P作为起跑点，沿直线P户 加速后从点Q切入弯道内侧 分道线， P吧与内侧分道线相切，以半圆的圆心0为原点，建立平面直角坐标系（如图2）若 1O4=40.PO=9,则直线P2的方程为() 外侧分道线 内侧分道线 0 AB末 图1 图2 2/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 40x+9y-1640=0 B.40x-9y-1640=0 9x+40y-369=0 D.9xr-40y-369=0 颗型02 题型02直线与圆中的定点定值问题 4(24-25高二上贵州安顺期末)已知圆C:(Cx-)°+0y+1)=4与直线 12 1:mx-2y-1=0(m>0,n>0),若1平分圆C的周长，则mn的最小值为(） A.1 B.3 C.9 D.18 5.(24-25商二上山东菏泽期中)直线1x-W-6=0与圆x+y-12x-4y-36=0的公共点个 数为() A.0 B.1 C.2 D.1或2 6(24-25高二上吉林松原阶段检测)已知圆0：r+少=4与x销交于M,N两点，点P在直线 1:x+y-4V2=0上，过圆O上的任意两点S,T分别向l作垂线，垂足为S,T',以下说法错误的是 () 公 A.∠SPT的最大值为3 B.当ST为直径时，四边形 SS'TT 面积的最大值为16 C.PM+PN的最小值为6N2 D.PM·PN为定值 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03 题型03圆的弦长与中点弦 1:(m+1)x-y-2m-1=0 7.(25-26高二上江西景德镇·期中)已知直线 C:(x-1)+(y+2=16,若直线l与圆C交于M,N两点，则MN的最小值为() A.√② B.2V2 c.v6 D.2V6 8(2026湖南长沙三模)已知直线ar+b=a-2b与圆r+少+4y-1=0交于A,B两点，则 |AB的最小值为(） A.1 B.2 C.4 D.2V5 9(2026河南郑州二模)已知直线/：mx+y-m+1=0,圆C:?+y=4,直线l与圆C交于M, N两点，则 MN 的最小值为() A.2 B.2V2 c.2V5 D.4 颗型04 题型04过圆外一点的圆的切线方程 10.(2026浙江二模)已知圆0：x2+y2=4,过点P(0,-4)作圆0的两条切线，则这两条切线的夹 角为() 2元 π 2 元 A.3 B.6 C.4 D.3 1.(2526高二下全国期中)设直线l过点P(1,2),且与圆x2+y2=1相切，则直线1的方程为《) 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4x-3y+2=0 4x-3y+2=0欧x=1 c.3x-4y+5=0 D.3x-4y+5=0或x=1 12.c2526高=上广东汕尾期未)过点(0,3)与周（x+3)+广=4相切的两条切线的夹角为0，则 c0s0= () 2 √7 2V14 A.3 B.3 5 c. D. 9 颗型05 题型05切点弦及其方程 13.(25-26高二上甘肃兰州期末)过直线2x+y-8=0上一点P作圆0：r+y=4的两条切线，切 点分别为A,B,则AB 的最小值为() A.2V2 B.v11 c.5 D.4W2 14.(2s-26高二上河北邯郸期中)若过点P(3,4)向圆0：x+y=5引两条切线，切点分别为A,B, 则O到直线4B 的距离为() B.1 C.2 D.2 15.(25-26高二上安徽阶段检测)己知圆C:x2+y2-6x+4y=0,过点P(m,8-m）作圆C的两条 M N MN 切线，切点分别为，”，则下列点一定在直线上的是() 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.（-2,1) B.(2,-1) c(》〔# 题型06 题型06由直线与圆的位置关系求参数 16.(2026甘肃平凉模拟预测)过P(m,m)作圆x2+y=1的两条切线，切点分别为A、B,当△PAB n+2 为正三角形时，m-4的取值范围为() B. （-2,1] 17.(2026安徽池州二模)已知圆C的圆心在y轴上，若圆C过点(L,1)且与直线y=x相切，则圆C的 半径为() A.② B.2 c.3 D.3 18.(25-26高二上重庆期中)直线t+y-m=0与圆x+y=1相切，则实数m等于（) A.2W2 B.-1 c.v2 D.1 题型07 题型07直线过定点问题 19.(2425高=上广东珠海阶段检测)已知点1(-4,0)，P(a,a+4),因0：X+y广=4，直线 PM,PN分别与圆O相切，切点为M,N若M派=RN,则AR的最大值为() 6/11 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2V2 B.3V2 c.4v2 D.4 20.(25-26高三下河南开学考试)若直线1：mx-y+m=0与曲线C:V2x-x2-y=0恰有三个不 同的公共点，则实数m的取值范围为() A.(0,5) B.[0,5) a 21.(25-26高=上安徽合肥期中)经过直线x+2y-4=0上一动点P向圆0：x+y=1 引两条切线 PA PB A B、 AB ”为切点，则直线 经过定点() B.（12) 颗型08 题型08已知圆的弦长求方程或参数 2.(26-27高三全国一轮复习)直线y=:+3被圆(x-2)+(y-3°=4截得的弦长为2V5,则直 线的斜率为() A.5 B.±V5 5 C.3 D￥ 3 23.(25-26商二下广东深圳期未)已知圆0：r+少=4，直线1：y=x+2与圆0相交于4，B两 点.若AB=2√5，则实数k=《) A.±5 B.1 2 D.t2 7/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.(2026江西赣州二模)直线y=与y=hx把圆x+广-2x-2y=0分成长度相等的三段弧， 1,1 则ab() A.1 B.2V5 C.4 D.3V5 B组 能力进阶 1.(25-26高二上山东阶段检测)过圆(x-+(+=5上一点M(-1,0)作圆的切线，则l的方程 为() A.x+2y+1=0B.x-2y+1=0 C.2x-y+2=0 D.2x+y-2=0 225-26高二上天津河西期中)已知圆(x-1)+(y-=r户经过点P(3,-),则圆在点P处的切 线方程为() A.七+y-4=0 B.x+y=0 C.x-y=0 D.x-y-4=0 3(25-26高=上江苏扬州期中)作圆C:(c-2)}+0y-1=25上一点P(-2,4)处的切线l,直线 m:ax-3y=0 与直线平行，则直线与m的距离为() 12 A.4 B.2 C.5 D.5 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4(25-26高二上贵州毕节期末)过原点且与圆C:(x-2)°+(0y-1)=5相切的直线1的方程为《) A.x+2y=0 B.x-2y=0 c.2x+y=0 D.2x-y=0 5(25-26高=下海南期末)已知点P在x2+y2-4x=0上，过点P作圆C:(-5)°+(0y-4)'=1 的两条切线，切点分别为A,B,则四边形 ACB 面积的最大值为(). A.3V5 B.3V5 c.4v3 D.4v5 6(25,26高三上山东临沂期末)莱莫恩(Lemoine0)定理指：出过△1BC 的三个顶点A,B,C作它的 外接圆的切线，分别和BC,CA,AB所在直线交于点D,E,F,则D,E,F三点在同一条直线上，这 条直线被称为三角形的Lemone线，在平面直角坐标系tOy中，若△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,3)】 B(3,0),C(L,4),则该三角形的Lemoinc线的方程为（） A.14x-13y-48=0 B.14x-13y+48=0 c.14x+13y-48=0 14x+13y+48=0 C组 思维拔高 1.(25-26高二下河南驻马店期末)过点P(3,6)作圆C:(x-1)+(y-3)=5的两条切线，切点分 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 别为4B ,则四边形PACB 的面积为() A.V10 B.2V10 c.V65 D.2V65 2(25-26高二上江苏南通阶段检测)一条光线从点P(3,0)射出，经y轴反射后，与圆 C:x2+y-6y+7=0相切于点M,则光线从P到M经过的路程为（） A.3V2 B.4 c.4V2 D.5 3(2026江苏模拟预测)已知直线：-y+1=0,若'绕点(0,1)顺时针旋转90°后恰与圆 C:(x+2}2+0y+a}2=2相切，则实数a=() A15 B.-5或 c-欧5 p.5或1 4(25:26高二上甘肃酒泉期末)圆心为4，-2 ）且与直线3x+4y-5=0 相切的圆的方程为（) A.(x-1)2+(0y+2)2=4 B.(r+1)2+(y-2)2=4 c.(x-1)2+(0y+2)2=9 D.(r+102+0y-2)2=9 拓展 链接高考 1.(2026山东菏泽二模)已知圆C:(x-1)+(y+1)=25,直线1： (m+2)x+(2m-)y-3m-1=0,则直线l被圆C截得的弦长的最小值为() 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.V21 B.2V21 c.2V23 D.10 2(25-26高二上旷东深圳阶段检测直线1：2x+y+1=0被圆C:r+少-2x-4y-4=0我得的 弦长为() A.2 B.V5 C.3 D.4 11/11 分层作业 2.5.1 直线与圆的位置关系（第2课时） 目 录 2 题型01 过圆上一点的圆的切线方程 2 题型02直线与圆中的定点定值问题 3 题型03圆的弦长与中点弦 6 题型04过圆外一点的圆的切线方程 8 题型05切点弦及其方程 10 题型06由直线与圆的位置关系求参数 13 题型07直线过定点问题 15 题型08已知圆的弦长求方程或参数 19 21 22 22 题型01 过圆上一点的圆的切线方程题型01 1.（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 2.（25-26高二下·海南省直辖县级单位·开学考试）过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆心为，所以， 而切线与垂直，则切线斜率为， 可得所求切线方程为，即. 3.（2026·北京东城·二模）某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成（如图1）.运动员比赛时，从某条跑道弯道处的起跑线上选取一点P作为起跑点，沿直线加速后从点Q切入弯道内侧分道线，即与内侧分道线相切.以半圆的圆心O为原点，建立平面直角坐标系（如图2）.若，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是圆的切线， 所以，且， 由勾股定理可得，因此点的坐标为， 因为， 所以圆的切线的斜率为， 所以圆的切线的方程为，化简，得. 题型02直线与圆中的定点定值问题题型02 4.（24-25高二上·贵州安顺·期末）已知圆与直线，若平分圆的周长，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．18 【答案】C 【详解】因为平分圆的周长，所以直线l过圆C的圆心，即， 即，所以， 当且仅当时取等号. 故选：C 5.（24-25高二上·山东菏泽·期中）直线l：与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【详解】由整理得：， 可知圆圆心坐标为，半径为， 再由直线l：恒过点， 由圆心到点的距离为，可知， 所以点在圆的内部， 即直线l与圆一定有两个交点. 故选：C. 6.（24-25高二上·吉林松原·阶段检测）已知圆与轴交于两点，点在直线上，过圆上的任意两点分别向作垂线，垂足为，以下说法错误的是（    ） A．的最大值为 B．当为直径时，四边形面积的最大值为16 C．的最小值为 D．为定值 【答案】D 【详解】对于B，在四边形中，，圆心O到直线的距离为， 则. 因此，当最长，即时面积最大，最大值为16，故B正确； 对于A，当最小，且当为圆O的切线时，最大， 此时，为圆心O到直线的距离4， 在中，，所以， 所以的最大值为，故A正确； 对于C，设，设N关于l对称的点为， 则， 解得，则N关于l对称的点为， 所以，当共线时等号成立， 即最小值为，故C正确； 对于D，，不是定值，故D错误； 故选：D 题型03圆的弦长与中点弦题型03 7.（25-26高二上·江西景德镇·期中）已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知即， 令得，所以直线过定点， 而圆，圆心为，半径为， 所以，即定点在圆C内， 所以定点与圆心的距离， 要使最小，即定点与圆心的连线与垂直，此时. 故选：D. 8.（2026·湖南长沙·三模）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．2 【答案】C 【详解】由可变形为，则该直线过定点， 又可变形为，该圆的圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为，则， 所以当直线与直线垂直，即最大时，最小， 又的最大值为,所以， 故的最小值为． 9.（2026·河南郑州·二模）已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将直线 整理为 ， 令 ，得直线 恒过定点 . 圆 的圆心为 ，半径 ， ，故点 在圆 内. 设圆心 到直线 的距离为 ，弦长 . 要使 最小，需 取最大值. 当 时，， 此时 . 题型04过圆外一点的圆的切线方程题型04 10.（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接， 易得，在中，，则， 故这两条切线的夹角为. 11.（25-26高二下·全国·期中）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，直线过点， 而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 12.（25-26高二上·广东汕尾·期末）过点与圆相切的两条切线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径，设， 过点的圆的切线的切点分别为、，连接、、，    则且， 又，，所以， 所以. 故选：C 题型05切点弦及其方程题型05 13.（25-26高二上·甘肃兰州·期末）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则以线段为直径的圆的方程是， 与圆的方程相减，得，即直线的方程为， 又点在直线上，所以，则，代入直线的方程， 得，则，解得， 所以直线过定点，所以， 数形结合可知的最小值为． 故选：B.    14.（25-26高二上·河北邯郸·期中）若过点向圆引两条切线，切点分别为，，则到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】设，易知直线的斜率存在，所以直线的方程为， 因为点在直线上，所以，即， 又因为点在圆上，所以，所以可化为， 同理，， 所以直线的方程为， 则到直线的距离. 故选：B. 15.（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列点一定在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 圆的标准形式为， 圆心，半径， 满足，即，点在直线上， 设点，过点作圆的两条切线，切点分别为，， 在圆外， ， 四点共圆，圆的直径为，方程为， 圆， 联立两圆方程得出圆的切点弦方程， 展开整理得， 代入得， ，解得，即直线恒过． 故选：D． 题型06由直线与圆的位置关系求参数题型06 16.（2026·甘肃平凉·模拟预测）过作圆的两条切线，切点分别为A、B，当为正三角形时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，根据圆的切线的性质，可得，    因为为正三角形，可得，所以， 即点的轨迹方程为， 令，其几何意义为圆上的动点和定点的连线的斜率， 由，可得， 则圆心到直线的距离为， 令，即，整理得，即， 解得，即的取值范围为. 17.（2026·安徽池州·二模）已知圆C的圆心在y轴上，若圆C过点且与直线相切，则圆C的半径为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【详解】设圆心坐标为，半径为， 由题意可得， 解得， 所以圆C的半径为. 18.（25-26高二上·重庆·期中）直线与圆相切，则实数m等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】由的圆心为，半径为1， 由直线与圆相切，则，可得. 故选：C 题型07直线过定点问题题型07 19.（24-25高二上·广东珠海·阶段检测）已知点，，圆，直线分别与圆相切，切点为.若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由圆方程可得：圆心，半径， 若为圆上一点，则， 当存在且时，在点处的切线斜率， 在点处的切线方程为：，整理可得：； 当不存在或时，或，此时在点处的切线方程满足； 在圆上任意一点处的切线方程为； 设，，则，， 将代入直线方程可得：， 点坐标满足直线的方程， 即直线方程为：，即， 令，解得：，，直线恒过定点， ，为线段中点，，即， 点轨迹是以为直径的圆，又中点为，， 点轨迹是以为圆心，为半径的圆， . 故选：B. 20.（25-26高三下·河南·开学考试）若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，所以，当时，曲线为； 当时，曲线为， 显然为半圆，如图所示，易得直线 经过定点，当直线与相切时， ，,所以，易得， 故当时，直线与曲线恰有三个公共点，即的取值范围为． 故选：D． 21.（25-26高二上·安徽合肥·期中）经过直线上一动点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为点为直线上一动点， 设，，是圆的切线， ，，是圆与以为直径的两圆的公共弦， 的中点为，可得以为直径的圆的方程为： ① 又，② ①与②相减得：， 化为， 由可得， 可得总满足直线方程，即过定点， 故选：A． 题型08已知圆的弦长求方程或参数题型08 22.（26-27高三·全国·一轮复习）直线被圆截得的弦长为2，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线被圆截得的弦长为，而该圆半径为2， 因此圆心到该直线的距离，又， 即，所以直线的斜率. 23.（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，将直线整理为一般式：； 设 为圆心到直线 的距离，则 ， 所以 ，解得 ，即 ， 由点到直线的距离公式： ，解得 ，即 . 24.（2026·江西赣州·二模）直线与把圆分成长度相等的三段弧，则（   ） A．1 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】 由题意得，圆的方程为，所以圆心，半径， 如图所示，直线与把圆分成长度相等的三段弧， 因此为等边三角形，，因此圆心到直线的距离， 而圆心到直线的距离，即，两边同时平方后化简得， 同理，对于直线，也满足方程 ， 因此是二次方程的两个不相等的实根， 根据韦达定理有， 所以 ，故C正确. 1.（25-26高二上·山东·阶段检测）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【分析】由圆的方程得圆心，即可求得直线的斜率，由切线的性质求得切线的斜率，然后写出切线方程. 【详解】圆的圆心为，则直线的斜率， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即， 所以，则切线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故选：C. 2.（25-26高二上·天津河西·期中）已知圆经过点，则圆在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【分析】根据圆的方程确定圆心并求得，应用点斜式写出切线方程. 【详解】设圆心C，则，设切线斜率，则，， 点斜式，整理得. 故选：D 3.（25-26高二上·江苏扬州·期中）作圆上一点处的切线，直线与直线平行，则直线与的距离为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离、求点到直线的距离、过圆上一点的圆的切线方程 【分析】由切线可得，则可求的斜率，由可解，且平行线距离转化为点到直线距离，代入公式求解即可. 【详解】由圆可得圆心，则， 由切线可得，则， 由可得，， 则直线与的距离为点到直线的距离， ， 故选：A. 4.（25-26高二上·贵州毕节·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程 【分析】分直线斜率是否存在，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】圆的圆心是，半径为. 直线过原点，且斜率不存在时，方程为， 圆心到直线的距离是，此时直线和圆不相切，故直线斜率不存在时无法成立； 当斜率存在时，设直线方程为：，即， 圆心到直线的距离为，解得， 即，即. 故选：C 5.（25-26高二下·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、切线长 【分析】点在圆上，分析可得，要使四边形面积取到最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【详解】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 6.（25-26高三上·山东临沂·期末）莱莫恩（Lemoine）定理指出：过的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB所在直线交于点D，E，F，则D，E，F三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine线.在平面直角坐标系中，若的三个顶点坐标分别为，，，则该三角形的Lemoine线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、求过已知三点的圆的标准方程、过圆上一点的圆的切线方程 【分析】根据莱莫恩定理的定义，首先求出的外接圆方程，然后求出顶点A处的切线与对边BC所在直线的交点D的坐标，同理求出顶点B处的切线与对边CA所在直线的交点E的坐标，最后由D，E两点坐标即可确定Lemoine线的方程. 【详解】设的外接圆方程为， 则，解得， 即外接圆方程为，即， 外接圆在处的切线方程的斜率为，所以， 所以在处的切线方程为，直线的方程为， 联立，即得即得， 外接圆在处的切线方程的斜率为，所以， 所以在处的切线方程为，直线的方程为， 联立，即得即得， 则直线的方程为，即， 即该三角形的Lemoine线方程为. 故选：B. 1.（25-26高二下·河南驻马店·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】切线长、由标准方程确定圆心和半径 【分析】根据两点间距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解. 【详解】由 可得， 所以，进而可得， 故， 所以四边形的面积为. 2.（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、切线长 【分析】根据光线反射的性质将光线从到经过的路程转化为的长度，然后利用勾股定理计算即可. 【详解】 设为点关于轴对称的对称点，则， 根据光线反射的性质可得光线从到经过的路程等于， 圆的方程可整理为，所以圆心，半径， 所以，. 3.（2026·江苏·模拟预测）已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】已知切线求参数 【详解】直线，斜率，且点在直线上. 直线顺时针旋转后与原直线垂直，故旋转后直线斜率. 由点斜式得旋转后直线方程，整理得. 圆的圆心为，半径. 直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，由点到直线距离公式 化简得，解得或. 4．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）圆心为且与直线相切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、已知切线求参数 【分析】先设出圆的方程，根据相切的性质可求半径，进而可得答案. 【详解】设圆的方程为， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，即， 所以. 故选：A 1.（2026·山东菏泽·二模）已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（） A． B． C． D．10 【答案】B 【知识点】直线过定点问题、过圆内定点的弦长最值（范围）、圆的弦长与中点弦 【分析】先确定直线所过的定点，然后根据圆的性质，当直线与圆心和定点的连线垂直时，直线被圆C截得的弦长最短，最后利用垂径定理求出弦长的最小值即可. 【详解】 由整理为： ， 所以联立方程组得， 解得，即直线恒过定点， 因为，所以圆心，半径， 所以圆心到定点的距离为：， 所以点在圆内，直线与圆始终相交， 当最大时，弦长最小；当直线时，， 所以弦长最小值为：. 2.（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【知识点】圆的弦长与中点弦 【详解】圆可化为，得圆心，半径 用点到直线的距离公式，直线，圆心到直线的距离： 弦长 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 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