2.4.2 圆的一般方程（第2课时：与圆有关的轨迹问题） 同步练习题-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4.2 圆的一般方程（第2课时：与圆有关的轨迹问题） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】（1）已知动点到定点的距离与到定点的距离之比为,求动点的轨迹方程； （2）已知圆，线段的一端点在圆上运动，另一个端点．求线段的中点的轨迹方程. 【例2】已知圆过原点和点，圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程． 【例3】已知点，O为坐标原点，若动点满足． (1)试求动点P的轨迹方程 (2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程． 【基础夯实】 一、单选题 1．已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知点、，点满足，记的轨迹为，下列说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线的方程为 C．点的轨迹所围成的面积为 D．点的轨迹所围成的面积为 4．已知的斜边为，且，，则直角边中点的轨迹方程是（   ） A． B． C．（且） D．（且） 5．已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知点A，B是圆C：上的两个动点，O为原点，点A，B，O共线，点D为AB的中点，则点D的轨迹长度为（    ） A． B．2π C． D． 二、多选题 7．在平面直角坐标系中，已知点，，动点C满足，则（    ） A．C的轨迹方程为 B．的面积最大值为3 C．的最大值为 D．B到直线AC的距离最大值为 8．已知点，，动点满足，则下面结论正确的为（    ） A．点的轨迹方程为 B．面积的最大值为4 C．点到点的距离的最大值为6 D．的最大值为18 9．已知曲线与轴交于，两点，，是曲线上任意两点，则（    ） A．曲线是中心对称图形 B．曲线圈成图形的面积为 C．的最大值为 D．的面积最大值为 三、填空题 10．设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是__________. 11．到两定点和的距离的比等于2（即），则动点的轨迹方程是_______． 12．已知向量，满足，则动点的轨迹方程是__________. 四、解答题 13．已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4.2 圆的一般方程（第2课时：与圆有关的轨迹问题） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】（1）已知动点到定点的距离与到定点的距离之比为,求动点的轨迹方程； （2）已知圆，线段的一端点在圆上运动，另一个端点．求线段的中点的轨迹方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设，根据结合两点间距离公式运算求解即可； （2）设，根据中点可得，代入圆的方程运算求解即可. 【详解】（1）设， 由题意可知：，即， 则，整理可得， 所以动点的轨迹方程为； （2）设， 因为点为线段的中点，且，则， 又因为点在圆上运动， 则，可得， 所以点的轨迹方程为. 【例2】已知圆过原点和点，圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两点距离公式可得，即可求解， （2）根据向量的坐标运算，利用相关点法即可求解轨迹方程. 【详解】（1）设圆心为，由题意可得， 则，解得，所以，圆的半径为， 故圆的方程为． （2）设点，共中，则，设点， 因为，则， 可得，可得， 因为点在圆上，则，即． 故点的轨迹方程为． 【例3】已知点，O为坐标原点，若动点满足． (1)试求动点P的轨迹方程 (2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，列出方程化简即得动点P的轨迹方程. （2）设出点的坐标，表示出点的坐标，代入点P的轨迹方程得解. 【详解】（1）由动点满足，得，化简得， 所以动点P的轨迹方程是. （2）设点，由轴于点，且是中点，得，即， 由（1）知，， 因此，整理得. 所以点M的轨迹方程是. 【基础夯实】 一、单选题 1．已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得为线段中点，再利用坐标代换法求出轨迹方程. 【详解】设点，由，得为线段中点，则点， 而点在圆上，因此，即， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 2．点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，， 因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则，即， 则点轨迹方程为. 故选：A. 3．已知点、，点满足，记的轨迹为，下列说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线的方程为 C．点的轨迹所围成的面积为 D．点的轨迹所围成的面积为 【答案】B 【分析】设点，由结合平面内两点间的距离公式化简可得曲线的方程，确定曲线的形状，结合圆的相关知识求解即可. 【详解】设点，由可得， 整理可得，故曲线的方程为， 所以，曲线是圆心为原点，半径为的圆，故点的轨迹所围成的面积为， B对，ACD错. 故选：B. 4．已知的斜边为，且，，则直角边中点的轨迹方程是（   ） A． B． C．（且） D．（且） 【答案】C 【分析】设，根据是线段的中点，得到，根据计算即可求得的轨迹方程. 【详解】设， 因为，是线段的中点， 由中点坐标公式得，所以， 即，所以， 由，得， 即， 又不能与重合，所以且，解得且， 动点的轨迹方程为（且）. 故选：C 5．已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据得到，代入圆中，得到轨迹方程. 【详解】设，因为，所以， 又在圆：上， 故，即的方程为． 故选：C 6．已知点A，B是圆C：上的两个动点，O为原点，点A，B，O共线，点D为AB的中点，则点D的轨迹长度为（    ） A． B．2π C． D． 【答案】C 【分析】根据D点的性质，求出轨迹方程，确定轨迹是一个新的圆，找到轨迹对应的圆心角度数，即可求出轨迹长度. 【详解】 由题意知，变形得，可知圆是以为圆心，以2为半径的圆，画出示意图，根据垂径定理可知，，则点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆的一部分. 如图，过原点作圆的切线切点分别为，连接. 易知，则，所以，同理可知可得， 当圆周角为时，圆心角为，则弧长轨迹. 故选：C. 二、多选题 7．在平面直角坐标系中，已知点，，动点C满足，则（    ） A．C的轨迹方程为 B．的面积最大值为3 C．的最大值为 D．B到直线AC的距离最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，由题意求出点的轨迹方程；对于B，由，可由点的轨迹方程得当的最大值，从而求得的面积的最大值；对于CD，当共线时，，点到直线的距离为0，当不共线时，由余弦定理结合基本不等式，求得的取值范围，从而求得的最大值，同时根据点到直线的距离为，可求得点到直线的距离的最大值． 【详解】对于A，设，由，得， 整理得，故A正确； 对于B，因为点的轨迹方程为，即， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 因为的面积为，所以当取最大值2时， 的面积取得最大值，最大值为，故B正确； 对于C，当共线时，；当不共线时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以，结合共线情形，所以， 综上的最大值为，故C错误； 对于D，当共线时，点到直线的距离为0； 当不共线时，点到直线的距离， 由选项C知，此时，所以， 所以点到直线的距离，结合共线情况可知， 综上点到直线的距离的最大值为，故D正确． 8．已知点，，动点满足，则下面结论正确的为（    ） A．点的轨迹方程为 B．面积的最大值为4 C．点到点的距离的最大值为6 D．的最大值为18 【答案】ACD 【分析】根据已知条件求出点的轨迹方程，再根据轨迹方程分别分析面积的最大值、点到点的距离的最大值以及的最大值. 【详解】设点，已知，，且， 可得：， 两边同时平方可得：即， 化简可得：， 配方可得：，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，A正确； 已知，，则， 因为点在圆上，所以点到轴的最大距离就是圆的半径， 根据三角形面积公式可得面积的最大值为：所以B错误； 点，圆心，则， 因为点在圆上，所以点到点的距离的最大值为，C正确； 设点，则，， 所以， 因为，即， 代入上式可得：， 因为点在圆上，所以， 当时，取得最大值，最大值为，D正确； 故选： ACD. 9．已知曲线与轴交于，两点，，是曲线上任意两点，则（    ） A．曲线是中心对称图形 B．曲线圈成图形的面积为 C．的最大值为 D．的面积最大值为 【答案】ABC 【分析】化简曲线方程，并作出大致图像，由图像可判断曲线是否为中心对称图形； 由对称性可先求其的面积再得到图形总面积；借助图像找到曲线上距离最大的两个点并求出距离；由图像找到使得取面积最大值的点的位置，并求出点的纵坐标的绝对值，然后求得此时的面积. 【详解】即， 则，即， 曲线是四个圆组合成图形，如图： 由图可知曲线是中心对称图形，A选项正确； 如图，∵，∴为圆的直径，∵，∴， ∴曲线圈成图形的面积为，B选正确； 如图，当且仅当两点与所在弧对应圆心四点在同一直线上时，距离最大， 由解析式可知：， ∴最大值为，C选项正确； 如图：当在曲线的最高点或最低点是三角形面积最大，即， 又，， ∴，D选项错误. 故选：ABC. 三、填空题 10．设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质可得，再利用圆的定义求出轨迹方程. 【详解】圆的圆心为，半径， 由切圆于点，得，而，则， 即，因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 所以点的轨迹方程是. 故答案为： 11．到两定点和的距离的比等于2（即），则动点的轨迹方程是_______． 【答案】 【分析】根据题设求出的表达式，建立方程并化简即可得出轨迹方程. 【详解】依题意，， 代入得， 整理可得，化简得， 则动点的轨迹方程为. 故答案为： 12．已知向量，满足，则动点的轨迹方程是__________. 【答案】 【分析】先计算出，利用向量垂直得到方程，求出轨迹方程. 【详解】， ，故， 即， 故答案为： 四、解答题 13．已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，分析可知点为直线与线段中垂线的交点，联立两直线方程，可得出点的坐标，即可求得的面积； （2）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （3）设点、，利用中点坐标公式得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）因为、，所以线段的中垂线方程为， 易知点为直线与直线的交点， 联立得，故点，故. （2）由（1）可知圆的半径为， 故圆的标准方程为. （3）设点、，由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得. 故点的轨迹方程为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $