05平面向量、复数专项训练 （新高考）-2027届高三数学一轮复习

2027年高中数学一轮复习热点考点精练 05平面向量、复数 热点考点一：复数四则运算（除法分母实数化、共轭复数） 一、单选题 1．已知，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数相等求参数的值. 【详解】因为， 所以， 所以，解得， 故选:B. 2．已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出． 【详解】由可得，，所以， 故选：B. 3．若复数满足，则（   ） A． B． C． D．125 【答案】B 【分析】据复数的模长结合乘法运算可得复数，再由共轭复数的概念和模长公式即可求解. 【详解】，则，则，则. 故选：B. 4．已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】由是关于的方程的一个根，则是关于的方程的一个根，结合根与系数的关系求解即可. 【详解】由是关于的方程的一个根， 则是关于的方程的一个根， 则，， 即，，则， 故选：D. 二、多选题 5．已知复数，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据复数的运算性质以及模的运算公式对应各个选项逐个判断即可求解． 【详解】设，，其中. 对于选项A: ，所以与不一定相等，故选项A错误； 对于选项B: 因为， 所以， 因为， 所以,故选项B正确； 对于选项C: 因为, 所有 因为， 所以,故选项C正确； 对于选项D:因为，所以 ，而与不一定相等,故选项D错误； 故选：BC. 6．已知复数均不为0，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】设出、，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得. 【详解】设、； 对A：设，则， ，故A错误； 对B： ，又，即有，故B正确； 对C：，则， ，，则， 即有，故C正确； 对D： ， ， 故，故D正确. 故选：BCD. 7．设，为复数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于AC，举反例排除即可；对于B，由即可推出；对于D，由即可推出． 【详解】对于A，易知当，时，，但，故A错误； 对于B，，，则，故B正确； 对于C，易知当，时，， 此时，故C错误； 对于D，，，故D正确. 8．在复平面内，复数，正确的是（    ） A．复数的模长为1 B．复数在复平面内对应的点在第二象限 C．复数是方程的解 D．复数满足 【答案】AC 【分析】根据复数的除法运算法则化简复数得，进而可判断AB,将代入方程中即可验证C，根据复数的几何意义即可判断D. 【详解】由得，则 对于A,，故A正确， 对于B, 复数在复平面内对应的点为，故该点位于第四象限，故B错误， 对于C, ,故是的复数根，故C正确， 对于D，设复数对应的向量为到,复数对应的向量为,由得的距离为1，故复数对应点的在以为圆心，半径为1的圆上，故的最大值为，故D错误， 故选：AC 三、填空题 9．是虚数单位，复数满足，则________． 【答案】 【分析】设出复数以及共轭复数，利用复数相等可得参数值，根据模长公式，可得答案. 【详解】设，则共轭复数， 由，则，解得， 所以. 故答案为：. 10．已知是虚数单位，化简的结果为_________． 【答案】/ 【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，然后计算其运算结果即可. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 11．为虚数单位，复数的共轭复数为___________． 【答案】 【分析】借助复数运算法则求出该复数后利用共轭复数定义即可得. 【详解】，故复数的共轭复数为. 12．若是关于的方程的复数根，则____________． 【答案】31 【分析】易知是方程的另一个复数根，结合韦达定理计算即可求解. 【详解】因为是关于的方程的一个复数根， 所以是关于的方程的另一个复数根， 由韦达定理得，解得， 所以. 故答案为：31 热点考点二：平面向量数量积（模长、垂直、夹角） 一、单选题 1．设，是共线的单位向量，则的值（   ） A．等于2 B．等于0 C．大于2 D．等于0或等于2 【答案】D 【分析】根据题意，分两个向量同向时和反向进行讨论即可． 【详解】与是共线的单位向量， ∴， 当两个向量同向时，，则； 当两个向量反向时，，则． 故选：D． 2．若向量与垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两向量垂直的坐标关系求出，再利用向量模长的计算公式求解. 【详解】，所以，所以， 所以. 故选：A 3．已知向量 ，满足， ，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值. 【详解】，，，. ， 因此，. 故选：D. 【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 二、多选题 4．若平面向量满足且，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为5 C．的最小值为2 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】由向量方向间的关系，判断的最大值和最小值；由，通过的最值，计算的最值. 【详解】当向量方向相同，与方向相反时，满足， 此时有最小值，A选项错误； 当向量方向相同时，满足， 此时有最大值，B选项正确； ，有，即，则， 向量方向相同时，的最小值为0，的最小值为3，C选项错误； 向量方向相反时，的最大值为2，的最大值为，D选项正确. 故选：BD 5．已知向量，，则（    ） A．向量的夹角为 B．若，则 C．向量在向量上的投影向量为 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据向量夹角的坐标运算、向量垂直的坐标表示、投影向量的求法、向量平行的坐标表示依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，，， ，又， ，A正确； 对于B，，，解得：，B正确； 对于C，向量在向量上的投影向量为，C错误； 对于D，，， ，，解得：，D正确. 故选：ABD. 6．已知向量，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．已知，若，则 D．与夹角的余弦值为 【答案】BC 【分析】由向量垂直的坐标表示可判断A错误，利用模长的坐标公式可得B正确，再由向量平行的坐标表示可判断C正确，利用夹角的坐标公式计算可知D错误. 【详解】对于A，易知，所以不垂直，即A错误； 对于B，，可得，可得B正确； 对于C，由且可得，解得，即C正确； 对于D，设与的夹角为，所以，可得D错误. 故选：BC 三、填空题 7．已知向量满足，，且，则________. 【答案】 【分析】 根据复数模长公式计算即可. 【详解】. 故答案为：. 8．已知向量，，若与垂直，则____________. 【答案】 【分析】由向量线性运算、垂直的坐标表示列方程求得，再应用坐标公式求. 【详解】由题设，又与垂直， 所以，可得. 所以. 故答案为： 9．已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为__________. 【答案】 【分析】根据条件，利用投影向量的定义得到，再利用向量夹角公式，即可求解. 【详解】因在上的投影向量为，即， 则，又，则得， 所以， 又，故向量与向量的夹角为， 故答案为：. 热点考点三：平面向量坐标运算（加减、数乘、共线） 一、单选题 1．已知向量，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】利用向量的坐标运算求解. 【详解】，， ， . 故选：B. 2．如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量的线性运算可得，即可求出，进而求出的值. 【详解】 ， 所以，所以， 所以， . 故选：D. 3．在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立坐标系，表示出的坐标，根据是线段上的动点用参数表示点的函数，从而题目可转换为关于的二次函数在闭区间上的最小值问题. 【详解】由题以点为坐标原点，为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为，E是线段中点， 所以， 而是线段上的动点， 从而可设， 所以点的坐标是， 所以， ， 所以当时，的最小值是. 故选：C. 二、多选题 4．下列说法正确的是（  ） A．在中，已知，，，则 B．向量，，则 C．向量，可以作为平面向量的一组基底 D．已知点，点P是线段的三等分点，则点P的坐标可以为 【答案】AC 【分析】对于A，应用正弦定理求解即可；对于B，，再计算模长即可判断；对于C，判断是否共线即可；对于D，设，分和求解即可． 【详解】对于A，，，， 由正弦定理得，即，解得，故A正确； 对于B，，则，故B错误； 对于C，，不共线， 即向量，可以作为平面向量的一组基底，故C正确； 对于D，点P是线段的三等分点，设， ①，即，解得，； ②，即，解得，； 则点P的坐标不可能为，故D错误． 故选：AC． 5．已知向量，满足：，则（   ） A． B．与夹角的余弦值为 C．在上的投影向量坐标为 D．（）的最小值为1 【答案】AD 【详解】选项A：由，知， 平方可得 ，则成立； 选项B：，故不成立； 选项C：在上的投影向量为，故不成立； 选项D： 所以当时，取得最小值，正确. 6．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量是 【答案】BCD 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算逐项判断. 【详解】对于A：，故A错误. 对于B：，因为，所以，故B正确； 对于C：，则，故C正确； 对于D：在上的投影向量是，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 7．已知，，若，则____________. 【答案】2 【分析】由向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为，所以，即，解得. 故答案为：2. 8．在中，已知点，，与交于点，则点的坐标为________. 【答案】 【分析】将相交条件转化为向量共线建立点坐标满足的方程组，求解即可. 【详解】因为点，， 所以，. 设，则，而， 因为三点共线，所以与共线， 所以，即. 而， ， 因为三点共线，所以与共线， 所以，即. 由，得， 所以点M的坐标为. 故答案为：. 9．已知点，若向量与=同向， =，则点的坐标为________. 【答案】（5，4） 【分析】设，则，，则， ，解得，得到答案. 【详解】设，则，，则，故， ，故，故. 故答案为：. 【点睛】本题考查了向量平行，向量的模，意在考查学生的计算能力和转化能力. 热点考点四：复数的模、复数几何意义（复平面对应点） 一、单选题 1．已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的乘法求出对应的点结合该点在第二象限判断即可. 【详解】， 所以复数在复平面内对应的点为， 因为该点在第二象限，所以，，则， 所以，即，所以. 2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程即可判断得解. 【详解】令，由，得， 点在以为圆心，1为半径的圆上，位于第四象限， 故选：D 3．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据复数与复平面内点的对应关系求出复数，再根据复数的除法运算法则计算. 【详解】已知复数对应的点的坐标是，所以. 将代入，可得. 即：. 故选：B. 二、多选题 4．已知复数在复平面内对应的点分别为和，则（   ） A． B．的虚部为1 C．存在，使得 D．在复平面内对应的点不可能在第四象限 【答案】AD 【详解】由题设. 对于A，显然，于是，故A正确； 对于，其虚部为，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于， 若其在复平面内对应的点在第四象限，则,不等式组无解，故D正确． 5．复数，满足，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意根据韦达定理建立一元二次方程，求得复数，根据模长公式以及复数四则运算，可得答案. 【详解】依题意得，复数，是方程的两个根， 可得， 解得，则，， 所以，故选项A正确； ，故选项B正确； ，故选项C错误； ，故选项D正确． 故选：ABD． 6．已知复数满足，则下列结论正确的是（    ） A．可能为 B． C．的实部与虚部之积不大于3 D．在复平面内对应的点可能是 【答案】BCD 【分析】设，可得.对于AD：根据复数的概念和几何意义分析判断即可；对于B：根据共轭复数结合复数乘法运算即可；对于C：利用基本不等式分析判断即可. 【详解】设，则， 可得，即. 对于选项A：若，即，不满足，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：因为，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的实部与虚部之积不大于3，故C正确； 对于选项D：若在复平面内对应的点是， 即，满足，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题 7．设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则______． 【答案】 【分析】借助复数运算法则与虚轴上的点的性质计算即可得. 【详解】， 由该复数在复平面内对应的点位于虚轴上， 则其实部为，即有，解得. 8．关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】解出方程，可得其对应的点，对于方程，讨论其，进一步分析计算即可. 【详解】因为的解为 ， 设所对应的两点分别为， 则，， 设的解所对应的两点分别为，， 记为,,， 当，即时，因为关于轴对称， 且，，关于轴对称，显然四点共圆； 当，即或时， 此时,,，且， 故此圆的圆心为，半径， 又圆心到的距离， 解得， 综上：, 故答案为：. 9．已知复数z满足，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可. 【详解】设， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 故答案为： 热点考点五：平面向量线性运算、平面向量基本定理 一、单选题 1．在中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得 ， 所以. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 2．在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：C. 3．在中，，点E在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算将用与表示出来，再利用向量共线定理的推理即可得解. 【详解】因为，所以， 则 ， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C 二、多选题 4．已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】对于AB，根据平面向量的线性运算求解判断即可；对于C，由A知，，利用三点共线可得，即可判断；对于D，由C知，，根据基本不等式“1”的妙用求解判断即可. 【详解】对于A，由题意得，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A知，， 由于M、O、N三点共线，可知，即，故C正确； 对于D，由C知，，且，， 所以， 当且仅当 ，即时取得等号， 所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC    5．下列命题正确的是（    ） A．若，则存在唯一实数使得 B．“”是“”的必要不充分条件 C．已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底 D．若点为的重心，则 【答案】BCD 【分析】A注意、为零向量，则不唯一，即可判断；B根据充分、必要性的定义，结合条件间的推出关系判断；C根据基底的性质判断；D由重心是中线的交点，应用向量加法、数乘的几何意义判断. 【详解】A：若、为零向量，满足前提，但不唯一，错； B：对于，如非零向量，显然此时不成立； 对于，必有，故“”是“”的必要不充分条件，对； C：由为不共线的向量，若，，显然无解， 所以也不共线，故可作为平面的一组基底，对； D：由重心是中线的交点，如下图示为平行四边形，过的中点， 则，且，故，对. 故选：BCD 6．下列说法正确的是（   ） A．已知，，则的最小值为6 B．在中，若，则为钝角三角形 C．在中，若点满足，则为的垂心 D．若，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】对于选项A，根据向量数量积的运算律将展开，再结合向量夹角的范围即可求其最小值； 对于选项B，根据向量数量积的定义，可判断为锐角，进而判断的形状； 对于选项C，根据向量数量积的运算律对已知条件进行变形，即可推出点的性质； 对于选项D，根据向量投影向量的定义，即可求解. 【详解】对于A选项，因为，，所以， 又，所以，所以， 当，即反向共线时等号成立，故A正确； 对于B选项，由， 又，所以，即为钝角，所以为锐角， 故不能判断为钝角三角形，故B错误； 对于C选项，因为，即，所以，所以，即， 同理，由，得，即， 由，得，即， 所以为的垂心，故C正确； 对于D选项，因为，，与的夹角为， 所以在方向上的投影向量为，故D正确． 综上所述，选项ACD都正确. 三、填空题 7．如图，在中，，E是CD的中点.设，.则_________. 【答案】 【分析】根据题意结合向量的线性运算求解即可，注意比例关系. 【详解】因为，且E是CD的中点， 则， 且，，所以. 故答案为：. 8．如图，在中，，，与相交于点P，若，则_____________，_____________． 【答案】 【分析】根据共线定理，结合向量的线性运算，即可列方程组求解. 【详解】，P，C三点共线，故设，同理可设， 由题可知 ， 又 ， 所以可得，解得， 故，所以，． 故答案为：； 9．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值. 【详解】，，， ， 解得， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， , ∵，∴的坐标为, 又∵,则，设，则（其中）， ，， ， 所以，当时，取得最小值. 故答案为：；. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高中数学一轮复习热点考点精练 05平面向量、复数 热点考点一：复数四则运算（除法分母实数化、共轭复数） 一、单选题 1．已知，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 3．若复数满足，则（   ） A． B． C． D．125 4．已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 二、多选题 5．已知复数，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 6．已知复数均不为0，则（    ） A． B． C． D． 7．设，为复数，若，则（   ） A． B． C． D． 8．在复平面内，复数，正确的是（    ） A．复数的模长为1 B．复数在复平面内对应的点在第二象限 C．复数是方程的解 D．复数满足 三、填空题 9．是虚数单位，复数满足，则________． 10．已知是虚数单位，化简的结果为_________． 11．为虚数单位，复数的共轭复数为___________． 12．若是关于的方程的复数根，则____________． 热点考点二：平面向量数量积（模长、垂直、夹角） 一、单选题 1．设，是共线的单位向量，则的值（   ） A．等于2 B．等于0 C．大于2 D．等于0或等于2 2．若向量与垂直，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量 ，满足， ，，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 4．若平面向量满足且，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为5 C．的最小值为2 D．的最大值为 5．已知向量，，则（    ） A．向量的夹角为 B．若，则 C．向量在向量上的投影向量为 D．若，则 6．已知向量，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．已知，若，则 D．与夹角的余弦值为 三、填空题 7．已知向量满足，，且，则________. 8．已知向量，，若与垂直，则____________. 9．已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为__________. 热点考点三：平面向量坐标运算（加减、数乘、共线） 一、单选题 1．已知向量，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．下列说法正确的是（  ） A．在中，已知，，，则 B．向量，，则 C．向量，可以作为平面向量的一组基底 D．已知点，点P是线段的三等分点，则点P的坐标可以为 5．已知向量，满足：，则（   ） A． B．与夹角的余弦值为 C．在上的投影向量坐标为 D．（）的最小值为1 6．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量是 三、填空题 7．已知，，若，则____________. 8．在中，已知点，，与交于点，则点的坐标为________. 9．已知点，若向量与=同向， =，则点的坐标为________. 热点考点四：复数的模、复数几何意义（复平面对应点） 一、单选题 1．已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．已知复数在复平面内对应的点分别为和，则（   ） A． B．的虚部为1 C．存在，使得 D．在复平面内对应的点不可能在第四象限 5．复数，满足，，则（   ）． A． B． C． D． 6．已知复数满足，则下列结论正确的是（    ） A．可能为 B． C．的实部与虚部之积不大于3 D．在复平面内对应的点可能是 三、填空题 7．设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则______． 8．关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是______. 9．已知复数z满足，则的最小值是_________． 热点考点五：平面向量线性运算、平面向量基本定理 一、单选题 1．在中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D． 2．在中，，则（    ） A． B．C．D． 3．在中，，点E在上，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（   ） A． B． C． D．的最小值为   5．下列命题正确的是（    ） A．若，则存在唯一实数使得 B．“”是“”的必要不充分条件 C．已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底 D．若点为的重心，则 6．下列说法正确的是（   ） A．已知，，则的最小值为6 B．在中，若，则为钝角三角形 C．在中，若点满足，则为的垂心 D．若，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为 三、填空题 7．如图，在中，，E是CD的中点.设，.则_________. 8．如图，在中，，，与相交于点P，若，则_____________，_____________． 9．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________． 学科网（北京）股份有限公司 $