专题02 复数专项训练-2027届高考数学一轮复习（新高考全国卷）

专题02复数 群哥高中数学辅导资料 专题02复数 一、核心知识 1.虚数单位子=-1。i的幂以4为周期：14=1，k*1=i,k+2=-1,4k3=-i一一看指数除以 4的余数即可。 2.代数形式z=a+bi(a,b∈R):a是实部，b是虚部。b=0时是实数，b≠0时是虚数， a=0且b≠0时才是纯虚数。 3.“纯虚数”是两条：Q=0且b≠0。只写Q=0会把z=0也算进去，这是本专题第一号丢分 点。 4.复数相等：a+bi=c+di~a=c且b=d,前提是四个数都是实数一一题目不给这个前提就不能 这样比。 5.共轭复数2=a-bi;zz=z=a2+b2,且z+z=2a,z-2=2bi。 6.模1z=√a2+b2。性质：z1z2=z1lz2l, [z"l=lzl. 7.四则运算：加减按实部虚部分别合并；乘法按多项式展开后把换成-1；除法分子分母同乘分 母的共轭。 8三个要背的常用式：(1+1-2i1--21.出-i。 9.几何意义：z=a+bi对应点Z(a,b、对应向量OZ;|z是点到原点的距离，z1-Z2是两点 间的距离。 10.常见轨迹：z-Z0=r是圆，|z-z1=|z-z2是两点连线的垂直平分线。 11.实系数一元二次方程在复数范围内必有两个根：判别式小于零时，两根互为共轭虚数。 1/10 专题02复数 群哥高中数学辅导资料 二、题型精练 题型一复数的概念与分类 【方法与技巧】 复数这一章的题，第一步永远是“化代数形式”：见到除法先分母实数化，见到2立刻换成一1，化成 a+bi再看问什么。 ①判断类别一一实数看b=0,虚数看b≠0，纯虚数看a=0且b≠0，一步一步来，别跳。 ②求参数一一把条件翻译成实部、虚部的方程或不等式，解完一定回代检验（尤其是纯虚数的b≠0）。 ③看象限一一实部是横坐标、虚部是纵坐标，画个点就清楚了；求参数范围时是两条不等式取交集。 【例题精讲】 1.己知复数z=(m2-3m+2)+(m2-1)i(m∈R)是纯虚数，则m=() A.1 B.1或2 C.2 D.-1 2.复数z=(a2-4)+(a+2)i(a∈R)是实数，则a=() A.2 B.-2 C.±2 D.0 3.若(x+y)+(x-y)i=3+i(x,y∈R),则() A.x=2,y=1 B.X=1,y=2 C.x=3,y=1 D.x=2,y=-1 【变式训练】 1.若复数z=(m-1)+(m2-1)i(m∈R)是纯虚数，则() A.m=1 B.m=-1 C.m=±1 D.不存在这样的m 2.复数z=(a2-1)+(a-1)i(a∈R)是虚数，则() A.a≠±1 B.a>1 C.a≠1 D.a≠-1 2/10 专题02复数 群哥高中数学辅导资料 3.已知复数z=1+(a-1)i(a∈R)的实部与虚部相等，则a=() A.1 B.2 c.0 D.-1 4.若复数z=(m2-2m-3)+(m-1i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（ A.（-1,3) B.(1,3 C.(1,+∞ D.（-1,1) 5.设z是复数，则“z是纯虚数”是“z的实部为0”的() A.必要不充分条件 B.充要条件 C.既不充分也不必要条件 D.充分不必要条件 6.下列关于复数的命题中，正确的是() A.任意两个复数都不能比较大小 B.若212+z22=0,则21=22=0 C.若2是纯虚数，则z<0 D.若|z=1,则z=±1 【巩固练习】 1.已知复数z=(m2-4)+(m2-3m+2)i(m∈R)是纯虚数，则m=() A.-2 B.2 C.±2 D.1 2.若复数z=(a-3)+(a-9)i=0(a∈R),则a=() A.-3 B.±3 C.0 D.3 3.已知复数z=(2m-1)+(m+3)i(m∈R)的实部比虚部大0，则m=() A.2 B.-4 c.0 D.4 4.已知Z1=a+2i,Z2=3+bi(a,b∈R),且z1=z2,则a-b=() A.-1 B.5 c.1 D.-5 5.复数z=(m2-2m)+(m-2)i(m∈R)为实数，则m=() A.0 B.0或2 C.2 D.-2 6.若复数z=(k2-1)+(k2-3k+2)i(k∈R)对应的点在虚轴上，则k=() A.1 B.-1 c.0 D.±1 7.己知复数2满足2+7=4，z7=13,则z= 8.若2为纯虚数，且z=2,则z= 3/10 专题02复数 群哥高中数学辅导资料 题型二复数的四则运算与1的周期性 【方法与技巧】 运算题不难，难的是算得快又不出错，靠的是记结论而不是硬乘。 ①乘法一一按多项式展开，卫换-1，实虚部分别合并。 ②除法一一分子分母同乘分母的共轭，分母立刻变成实数α+b2。 ③i的高次幂一一除以4看余数；连续幂求和一一每4项一组和为0，剩余几项单独算。 ④方程一一设Z=a+bi代入，利用复数相等化归成实数方程组。 【例题精讲】 1.计算(2+i)(1-2i)=() A.4+3i B.-3i c.5-3i D.4-3i 3+4=(） 2.计算1-2i A.-1-2i B.-1+2i C.1+2i D.2+i 3.12025=() A.-i B.i c.1 D.-1 【变式训练】 1.计算(1+i)2=() A.-2i B.2 C.2i D.1+2i 2.计算1 1-i=() A.-i B.i c.-1 D.1 3.i+i++…+2024=() A.0 B.i C.-1 D.1 4/10 专题02复数 群哥高中数学辅导资料 4.若(1+2i)z=3-4i,则z=() A.-1+2i B.1-2i c.-1-2i 5.计算(1+i)4=() A.4 B.-4i C.4i D.-4 6.已知z=1+i,则z2-2z=() A.-2+2i B.2 C.-2 D.0 【巩固练习】 1.计算(2-i2=() A.3+4i B.5-4i C.3-4i D.3 2.计算(1+2i)(2+i)=() A.5 B.5i c.4+5i D.-5i () 1-i 1+i -1+i A.2 B.2 c.1-i D.2 4.若z1-i)=2+2i,则z=() A.-2i B.2 C.2i D.1+i 5.72023=() A.i B.-i C.-1 D.1 6.计算(1+i)°=() A.-32i B.32 C.-32 D.32i 7.若复数2满足z+2五=3+i,则z= 8.在复数范围内，方程x2+2X+5=0的两根为 5/10 专题02复数 群哥高中数学辅导资料 题型三复数的模与模的最值 【方法与技巧】 模的题有两条路：代数法（用|zP=z乙）和几何法（看成圆上的点到定点的距离），几何法几乎总是更 快。 ①求模一一优先用|z122=|Z1川22分开算，别先乘再开方。 ②定圆一一z一Z=r是以Z0对应点为圆心、”为半径的圆，先把圆心和半径写出来。 ③求最值一一定点到圆心距离为d:定点在圆外时最近d-r、最远d+r;定点在圆内时最近r-d 最远r+d。先判断d与r谁大，这一步决定用哪个式子。 【例题精讲】 1.(1+i2-i川=() A.V10 B.5 c.V2+5 D.3 2.已知z=1,则|z-2-2i训的最大值为() A.2V2 B.3 c.2V2+1 D.2V2-1 3+41=(） 1-i B.5V2 2 c.5 D. 5R2 2 【变式训练】 1+i 1.设z=1- 则z=() A.1 B.2 C.2 D.0 2.若z=3-4i,则|z=() A.7 B.7 c.5 D.25 6/10 专题02复数 群哥高中数学辅导资料 3.若复数2满足z-1=1,则|z的最大值为() A.2 B.1 c.2 D.3 4.若z=2,则z+1+i的最小值为() A.2-2 B.2 C.2+V2 D.1 5.若|z=1,则|z-+z+的最小值为() A.2V2 B.2 c.1 D.V2 6.若z-3+4=2,则z的最大值为() A.5 B.3 c.V29 D.7 【巩固练习】 1.已知|z=1,则|z-3的最小值为() A.3 B.1 C.2 D.4 2.若复数z满足zz=25,则|z=() A.5 B.25 c.5 D.625 3.若z=(1+2i2,则|z=() A.5 B.25 c.3 D.5 4.已知|z1=3,|z2=4,1z1+z2=5,则|z1-z2=() A.7 B.7 c.5 D.1 5.若|z=1,则|z+1的最大值为() A.1 B.2 c.2 D.4 6.若复数z满足|z-1=z+1,则z的() A.虚部为0 B.实部为1 C.模为1 D.实部为0 7.已知z=1,则|z-2的取值范围是 8.已知z=2,则|z-3训的最大值为 7/10 专题02复数 群哥高中数学辅导资料 题型四复数的几何意义 【方法与技巧】 复数、复平面内的点、平面向量是一回事，看到一个就能换成另外两个。 ①找点一一z=a+bi对应(a,b):z对应(a,-b)(关于实轴对称)。 ②算距离一—z1-z2引，不用套两点距离公式。 ③看轨迹一一z-Z0=r是圆，|z-z1=|z-Z2是中垂线，先把几何对象认出来再动笔。 ④区域一一z≤r是圆盘（含边界），面积是πr2。 【例题精讲】 1.复数(1+i)(2-i)在复平面内对应的点位于() A.第二象限 B.第三象限 C.第四象限 D.第一象限 2.若复数z满足|z-1=1,则z对应的点的轨迹是（) A.以(1,0)为中心的椭圆 B.以(1,0)为圆心、1为半径的圆 C.一条直线 D.两条射线 3.若复数z满足z-=z-1,则z对应的点的轨迹是() A.以原点为圆心的圆 B.直线y=-X C.抛物线 D.连接(0,1)与(1,0)的线段的垂直平分线 【变式训练】 1.复数z=2-3i对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.复平面内，复数1+i与1-i对应的两点之间的距离为() A.2 B.2 c.2V2 D.1 8/10 专题02复数 群哥高中数学辅导资料 3.若复数z对应的点在第二象限，则五对应的点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第四象限 D.第三象限 4.若复数z对应的点为（1，-2，则对应的点为() A.（-1,-2) B.（-1,2) c.（1,2) D.(2,1) 5.在复平面内，满足z≤2的点构成的区域的面积为() A.2π B.4π c.4 D.π 6.若复数z=a+bi(a,b∈R)对应的点在直线y=x上，则() A.a=-b B.a=b C.a=0 D.b=0 【巩固练习】 1.若复数z满足|z-1-训=2，则|z的最大值为() A.2+2 B.2 C.2 D.3 2.若向量OZ对应的复数为3-4i,则1OZ=() A.7 B.7 c.5 D.25 3.复数Z1=1+2i与z2=4-2i对应的两点之间的距离为() A.5 B.V13 C.3 D.17 4.若|z=1,则2对应的点的集合是() A.一条直线 B.以原点为圆心、1为半径的圆 C.两条射线 D.一个点 5.若|z=1,则z-2对应的点到原点的距离的最小值为() A.2 B.1 c.3 D.0 6.若复数Z对应的点在第三象限，则() A.实部小于0且虚部小于0 B.实部大于0且虚部小于0 C.实部大于0且虚部大于0 D.实部小于0且虚部大于0 7.若复数z满足|z-2=z-2,则z对应的点的轨迹方程为 8.已知z=1,则|z-3+4的最小值为 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1.设z=(1+i(1-i),则z的虚部为() A.2 B.1 C.-2 D.0 9/10 专题02复数 群哥高中数学辅导资料 2 A.1 B.2 C.2 2 D.2 3.已知复数z满足z+z=6,z7=25,则z=() A.3+4i B.3±4i c.3-4i D.±5 4.12024+2025=() A.1+i B.1-i c.-1+i D.0 5.若复数z对应的点为（-1,2，则|z=() A.5 B.3 c.5 D.1 6.在复数范围内，方程x2-4x+13=0的两根为() A.2+3i B.2±3i c.-2±3i D.4±6i 7.若复数z满足|z-1=2,则|z的最大值为() A.3 B.2 c.1 D.V5 8.若（1+i)z=2,则z=() A.1+i B.-1-i c.1-i D.2-2i 【多项选择题】 9.下列关于复数的结论中，正确的是() A.z=zZ B.Z1Z2=Z1Z2 C.z1+z2≤z1+z2 D.若z12+z2=0,则21=22=0 10.已知复数z=1+i,则下列结论正确的是() A.z2-2i B.|z=2 C.z4=-4 D.z3=-2+2i 11.关于复数的几何意义，下列结论正确的是() A.z表示2对应的点到原点的距离 B.Z1-Z2表示两复数对应点之间的距离 C.|z-1=z+1|表示以原点为圆心的圆 D.互为共轭的两个复数对应的点关于实轴对称 【填空题】 12.若z=(2+i(1+2i),则z= 13.已知z=1,则z-3-4川的最小值为 14.若复数z满足z(2-i)=5,则z= 10/10专题02 复数 群哥高中数学辅导资料 专题02 复数 一、核心知识 1．虚数单位 。 的幂以 为周期：，，，——看指数除以 的余数即可。 2．代数形式 （）： 是实部， 是虚部。 时是实数， 时是虚数， 且 时才是纯虚数。 3．“纯虚数”是两条： 且 。只写 会把 也算进去，这是本专题第一号丢分点。 4．复数相等： 且 ，前提是四个数都是实数——题目不给这个前提就不能这样比。 5．共轭复数 ；，且 ，。 6．模 。性质：，，。 7．四则运算：加减按实部虚部分别合并；乘法按多项式展开后把 换成 ；除法分子分母同乘分母的共轭。 8．三个要背的常用式：，，。 9．几何意义： 对应点 、对应向量 ； 是点到原点的距离， 是两点间的距离。 10．常见轨迹： 是圆， 是两点连线的垂直平分线。 11．实系数一元二次方程在复数范围内必有两个根；判别式小于零时，两根互为共轭虚数。 二、题型精练 题型一　复数的概念与分类 【方法与技巧】 复数这一章的题，第一步永远是“化代数形式”：见到除法先分母实数化，见到 立刻换成 ，化成 再看问什么。 ①判断类别——实数看 ，虚数看 ，纯虚数看 且 ，一步一步来，别跳。 ②求参数——把条件翻译成实部、虚部的方程或不等式，解完一定回代检验（尤其是纯虚数的 ）。 ③看象限——实部是横坐标、虚部是纵坐标，画个点就清楚了；求参数范围时是两条不等式取交集。 【例题精讲】 1．已知复数 （）是纯虚数，则 （　　） A． B． 或 C． D． 【答案】C 【详解】纯虚数要两条同时成立：实部 ，得 或 ；虚部 ，即 。取交集得 。只写 的，是忘了此时虚部也为零， 根本不是纯虚数。故选：C。 2．复数 （）是实数，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】复数为实数只要求虚部为零：，得 。此时实部 ，，仍是实数，符合题意。故选：B。 3．若 （），则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】复数相等要实部、虚部分别相等：，，解得 ，。前提是 都是实数——这一点题目不给就不能这样比。故选：A。 【变式训练】 1．若复数 （）是纯虚数，则（　　） A． B． C． D．不存在这样的 【答案】D 【详解】实部为零得 ，代回虚部 ，虚部也是零，此时 是实数，不是纯虚数； 时实部为 ，更不是。所以这样的 不存在。故选：D。 2．复数 （）是虚数，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】“是虚数”只要求虚部不为零：，即 。别和“纯虚数”混为一谈，纯虚数还得多一条实部为零。故选：C。 3．已知复数 （）的实部与虚部相等，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】实部是 ，虚部是 ，令 得 。故选：B。 4．若复数 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】第二象限要实部为负、虚部为正： 得 ， 得 ，两条取交集得 。故选：B。 5．设 是复数，则“ 是纯虚数”是“ 的实部为 ”的（　　） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【详解】纯虚数 实部为零，充分性成立；反过来实部为零还可能是 ，推不出纯虚数，必要性不成立。故为充分不必要条件。故选：D。 6．下列关于复数的命题中，正确的是（　　） A．任意两个复数都不能比较大小 B．若 ，则 C．若 是纯虚数，则 D．若 ，则 【答案】C 【详解】（）时 ，第一项正确；两个实数可以比较大小，第二项错；取 ，，有 ，第三项错； 也满足 ，第四项错。故选：C。 【巩固练习】 1．已知复数 （）是纯虚数，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】实部 得 ；虚部 即 且 ，故 。故选：A。 2．若复数 （），则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 要实部、虚部同时为零： 且 ，同时成立只有 。故选：D。 3．已知复数 （）的实部比虚部大 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】实部 ，虚部 ，令 得 。故选：D。 4．已知 ，（），且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由复数相等得 ，，所以 。故选：C。 5．复数 （）为实数，则 （　　） A． B． 或 C． D． 【答案】C 【详解】虚部为零：，得 。此时实部 ，，是实数。故选：C。 6．若复数 （）对应的点在虚轴上，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在虚轴上就是实部为零：，得 。虚部此时分别是 或 ，都不影响“在虚轴上”这个结论（原点也在虚轴上）。故选：D。 7．已知复数 满足 ，，则 　　　　．　　　　 【答案】 【详解】设 （），则 。由 得 ；由 得 ，。故 。故答案为：。 8．若 为纯虚数，且 ，则 　　　　．　　　　 【答案】 【详解】设 （ 且 ），，得 ，故 。故答案为：。 题型二　复数的四则运算与 i 的周期性 【方法与技巧】 运算题不难，难的是算得快又不出错，靠的是记结论而不是硬乘。 ①乘法——按多项式展开， 换 ，实虚部分别合并。 ②除法——分子分母同乘分母的共轭，分母立刻变成实数 。 ③ 的高次幂——除以 看余数；连续幂求和——每 项一组和为 ，剩余几项单独算。 ④方程——设 代入，利用复数相等化归成实数方程组。 【例题精讲】 1．计算 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】按多项式展开：。关键一步是把 换成 。故选：D。 2．计算 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分子分母同乘分母的共轭复数 ：。分母化实这一步不能省。故选：B。 3．（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 的幂以 为周期：，余数为 ，故 。看余数就行，不用真去乘。故选：B。 【变式训练】 1．计算 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。这个结论要和 配着记。故选：C。 2．计算 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。也可以直接记结论 、。故选：A。 3．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】每连续四项之和 ，而 正好整周期，故总和为 。项数不是 的倍数时，把余下的几项单独算。故选：A。 4．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选：C。 5．计算 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。先平方再平方，比硬展开四次方省事。故选：D。 6．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，故 。故选：C。 【巩固练习】 1．计算 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选：C。 2．计算 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。实部正好抵消，结果是纯虚数。故选：B。 3．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。分子分母同乘 即可。故选：A。 4．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选：C。 5．（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，余数为 ，故 。故选：B。 6．计算 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选：D。 7．若复数 满足 ，则 　　　　．　　　　 【答案】 【详解】设 （），则 。比较实部虚部得 ，，即 ，，故 。故答案为：。 8．在复数范围内，方程 的两根为　　　　．　　　　 【答案】 【详解】，在实数范围内无解；在复数范围内 。实系数方程的虚根成对出现，且互为共轭。故答案为：。 题型三　复数的模与模的最值 【方法与技巧】 模的题有两条路：代数法（用 ）和几何法（看成圆上的点到定点的距离），几何法几乎总是更快。 ①求模——优先用 分开算，别先乘再开方。 ②定圆—— 是以 对应点为圆心、 为半径的圆，先把圆心和半径写出来。 ③求最值——定点到圆心距离为 ：定点在圆外时最近 、最远 ；定点在圆内时最近 、最远 。先判断 与 谁大，这一步决定用哪个式子。 【例题精讲】 1．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】模可以分开算：。先算乘积再求模也行，但没有这一步省事。故选：A。 2．已知 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 表示 在单位圆上， 是圆上的点到定点 的距离。定点到圆心距离为 ，最大距离等于“圆心距 半径”，即 。故选：C。 3．（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。除法的模等于模的商。故选：D。 【变式训练】 1．设 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ；也可直接用 。故选：A。 2．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。注意是平方和开根号，不是直接相加。故选：C。 3．若复数 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 是以 为圆心、 为半径的圆，圆上的点到原点最远距离为圆心距 加半径 ，等于 。故选：A。 4．若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，是圆 上的点到定点 的距离。定点到圆心距离为 ，说明定点在圆内，最近距离等于“半径 圆心距”，即 。定点在圆内还是圆外，这一步必须先判断。故选：A。 5．若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由三角不等式 ，等号在 落在线段 上时成立；单位圆上取 即可取到 。故选：B。 6．若 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 是以 为圆心、 为半径的圆，圆心到原点距离为 ，故 最大值为 。故选：D。 【巩固练习】 1．已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】单位圆上的点到 的最短距离为圆心距 减半径 ，等于 。故选：C。 2．若复数 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，故 。常用结论 要记牢。故选：A。 3．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选：D。 4．已知 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】用平行四边形恒等式：，代入得 ，故 。故选：C。 5．若 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由三角不等式 ，当 即 时取到 。故选：B。 6．若复数 满足 ，则 的（　　） A．虚部为 B．实部为 C．模为 D．实部为 【答案】D 【详解】 表示 对应的点到 与 距离相等，即在这两点连线的垂直平分线上，也就是虚轴，故实部为 。故选：D。 7．已知 ，则 的取值范围是　　　　．　　　　 【答案】 【详解】单位圆上的点到 的距离：圆心距为 ，半径为 ，故最近 ，最远 ，取值范围是 。故答案为：。 8．已知 ，则 的最大值为　　　　．　　　　 【答案】 【详解】以原点为圆心、 为半径的圆上的点到 的最大距离为圆心距 加半径 ，等于 。故答案为：。 题型四　复数的几何意义 【方法与技巧】 复数、复平面内的点、平面向量是一回事，看到一个就能换成另外两个。 ①找点—— 对应 ； 对应 （关于实轴对称）。 ②算距离——，不用套两点距离公式。 ③看轨迹—— 是圆， 是中垂线，先把几何对象认出来再动笔。 ④区域—— 是圆盘（含边界），面积是 。 【例题精讲】 1．复数 在复平面内对应的点位于（　　） A．第二象限 B．第三象限 C．第四象限 D．第一象限 【答案】D 【详解】，对应点为 ，在第一象限。先化代数形式再看坐标，别凭感觉。故选：D。 2．若复数 满足 ，则 对应的点的轨迹是（　　） A．以 为中心的椭圆 B．以 为圆心、 为半径的圆 C．一条直线 D．两条射线 【答案】B 【详解】 即动点到定点 的距离恒为 ，轨迹是以 为圆心、 为半径的圆。看到 就该想到圆。故选：B。 3．若复数 满足 ，则 对应的点的轨迹是（　　） A．以原点为圆心的圆 B．直线 C．抛物线 D．连接 与 的线段的垂直平分线 【答案】D 【详解】 与 分别是动点到 和 的距离，两者相等说明动点在这两点连线的垂直平分线上。故选：D。 【变式训练】 1．复数 对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】对应点为 ，在第四象限。故选：D。 2．复平面内，复数 与 对应的两点之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两点分别是 与 ，距离为 。用 算最快。故选：A。 3．若复数 对应的点在第二象限，则 对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．第三象限 【答案】D 【详解】共轭复数对应点关于实轴对称：。第二象限的点 对称后为 ，在第三象限。故选：D。 4．若复数 对应的点为 ，则 对应的点为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】关于实轴对称，横坐标不变、纵坐标变号，得 。故选：C。 5．在复平面内，满足 的点构成的区域的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 表示以原点为圆心、 为半径的圆盘（含边界），面积为 。故选：B。 6．若复数 （）对应的点在直线 上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对应点为 ，落在 上即 。故选：B。 【巩固练习】 1．若复数 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】轨迹是以 为圆心、 为半径的圆，圆心到原点距离为 ，故 最大值为 。故选：A。 2．若向量 对应的复数为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】向量的模就是对应复数的模：。复数、点、向量三者是一回事。故选：C。 3．复数 与 对应的两点之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两点为 与 ，距离为 。故选：A。 4．若 ，则 对应的点的集合是（　　） A．一条直线 B．以原点为圆心、 为半径的圆 C．两条射线 D．一个点 【答案】B 【详解】 表示到原点距离为 的点的全体，即单位圆。若是 则是圆内（不含边界）。故选：B。 5．若 ，则 对应的点到原点的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】即 的最小值：单位圆上的点到 的最短距离为圆心距 减半径 ，等于 。故选：B。 6．若复数 对应的点在第三象限，则（　　） A．实部小于 且虚部小于 B．实部大于 且虚部小于 C．实部大于 且虚部大于 D．实部小于 且虚部大于 【答案】D 【详解】设 ，则 ，对应点为 。它在第三象限，故 且 ，即 且 。所以 本身实部小于 、虚部大于 。选 A 的，是把 与 弄反了。故选：D。 7．若复数 满足 ，则 对应的点的轨迹方程为　　　　．　　　　 【答案】 【详解】动点到 与 距离相等，轨迹是这两点连线的垂直平分线。连线斜率为 ，中点为 ，故垂直平分线为 。故答案为：。 8．已知 ，则 的最小值为　　　　．　　　　 【答案】 【详解】，定点 到原点距离为 ，故单位圆上的点到该点的最短距离为 。故答案为：。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．设 ，则 的虚部为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 ，虚部为 。注意虚部是实数 ，不是 。故选：A。 2．（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故原式 。故选：B。 3．已知复数 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设 ，由 得 ；由 得 ，故 。两个都要写，只写一个会漏解。故选：B。 4．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 除以 余 ，； 余 ，。故和为 。故选：A。 5．若复数 对应的点为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】共轭不改变模：。故选：A。 6．在复数范围内，方程 的两根为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，。两根互为共轭。故选：B。 7．若复数 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆心 到原点距离为 ，半径为 ，故 最大值为 。故选：A。 8．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选：C。 【多项选择题】 9．下列关于复数的结论中，正确的是（　　） A． B． C． D．若 ，则 【答案】ABC 【详解】，A 对；积的模等于模的积，B 对；三角不等式，C 对；取 ，，则 ，但两根都不为零，D 错。故选：ABC。 10．已知复数 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，A 对； 不是 ，B 错；，C 对；，D 对。故选：ACD。 11．关于复数的几何意义，下列结论正确的是（　　） A． 表示 对应的点到原点的距离 B． 表示两复数对应点之间的距离 C． 表示以原点为圆心的圆 D．互为共轭的两个复数对应的点关于实轴对称 【答案】ABD 【详解】模的几何意义就是到原点的距离，A 对； 是两点间距离，B 对； 是到 与 距离相等的点的轨迹，是一条直线（虚轴），不是圆，C 错；共轭对应点关于实轴对称，D 对。故选：ABD。 【填空题】 12．若 ，则 　　　　．　　　　 【答案】 【详解】，故 ；也可直接用 。故答案为：。 13．已知 ，则 的最小值为　　　　．　　　　 【答案】 【详解】定点 到原点距离为 ，单位圆上的点到该点的最短距离为 。故答案为：。 14．若复数 满足 ，则 　　　　．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $