专题04 二次根式的运算（期中真题汇编，上海专用）八年级数学上学期

专题04 二次根式的运算 8大高频考点概览 考点01 同类二次根式识别（选择/填空） 考点02 二次根式加减运算 考点03 二次根式乘除运算 考点04 二次根式比较大小（填空） 考点05 二次根式混合运算（期中计算题核心） 考点06 基础分母有理化 考点07 化简求值（期中解答压轴小问） 考点08二次根式的应用（解答题） 地 城 考点01 同类二次根式识别（选择/填空） 1．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·期中）以下各组二次根式中，是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知m为正整数，如果与是同类二次根式，那么m的最小值是（    ）． A．2 B．3 C．6 D．8 5．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）如果与是同类二次根式，那么_______． 6．（25-26八年级上·上海青浦·期中）若最简二次根式与是同类二次根式．则_______． 7．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为________________． 8．（25-26八年级上·上海普陀·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么_________． 9．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）若两最简根式和是同类二次根式，则的值的平方根是______． 地 城 考点02 二次根式加减运算 10．（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（     ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·上海·期中）把四张一模一样的长方形纸片按如图所示的方式摆放，形成大正方形，它的面积是．图中空白部分是一个小正方形．如果，那么这个小正方形的周长为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·上海·期中）计算：_____． 13．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）计算：__________． 14．（24-25八年级上·上海·期中）计算：．（） 15．（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 16．（25-26八年级上·上海闵行·期末）计算：． 17．（25-26八年级上·上海青浦·期中）计算：． 18．（25-26八年级上·上海宝山·期中）计算： 19．（25-26八年级上·上海松江·期中）计算：； 20．（25-26八年级上·上海闵行·期中）计算：． 地 城 考点03 二次根式乘除运算 21．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）计算：_________． 22．（24-25八年级上·上海青浦·期中）计算：＝_____． 23．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算：________________． 24．（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 25．（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 26．（25-26八年级上·上海崇明·期中）计算： 27．（25-26八年级上·上海崇明·期末）计算：． 28．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）计算： 29．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）计算：（）． 地 城 考点04 二次根式比较大小（填空） 30．（25-26八年级上·上海·期中）比较大小∶ _____ ． 31．（24-25八年级上·上海·期中）比较大小：_________ 32．（24-25八年级上·上海·期中）比较大小：______（填“”，“”，“”）． 33．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）比较大小：__________（填“>”“<”或“=”） 34．（25-26八年级上·上海·期中）比较大小： __________   (用“”、“”或“”填空)． 35．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）比较大小：_____（填“”“”或“”）． 地 城 考点05 二次根式混合运算（期中计算题核心） 36．（24-25八年级上·上海·期中）计算：； 37．（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 38．（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 39．（25-26八年级上·上海·期中）计算： 40．（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 41．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）（1）计算：     （2）计算： 42．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）计算 (1) (2)． 43．（25-26八年级上·上海·期中）计算： (1)． (2)（其中）． 44．（25-26八年级上·上海·期中）计算： (1)． (2) 45．（25-26八年级上·上海长宁·期中）计算： (1) (2)（，） (3)． 地 城 考点06 基础分母有理化 46．（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，与 互为有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 47．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如果，，那么、的关系是（    ） A． B． C． D． 48．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）下列式子中，是的有理化因式的是（    ） A． B． C． D． 49．（24-25八年级上·上海·期中）把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 50．（24-25八年级上·上海·期中）分母有理化：_______． 51．（25-26八年级上·上海·期中）写出的有理化因式是______． 52．（25-26八年级上·上海·期末）为有理数，且为无理数，的一个有理化因式是______． 53．（24-25八年级上·上海·期末）二次根式的有理化因式可以是 ______． 54．（25-26八年级上·上海·期中）二次根式除法可以这样做：如果，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为 ③比较两个二次根式的大小： ④计算： 以上结论正确的是________．（写出所有正确的序号） 地 城 考点07 化简求值（期中解答压轴小问） 55． （25-26八年级上·上海奉贤·期中）先化简再求值：，其中． 56．（24-25八年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中：，． 57．（25-26八年级上·上海·期中）先化简再求值∶，其中， 58．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）先化简，再求值：，其中，． 59．（25-26八年级上·上海·期中）化简求值：当时，求代数式的值． 60．（25-26八年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 61．（25-26八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 62．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）（1）计算： （2）已知，求的值． 63．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知的小数部分为，的小数部分为． 先化简，再求值：． 地 城 考点08 二次根式的应用（解答题） 64．（25-26八年级上·上海宝山·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)小明说物体从的高空落到地面的时间是从的高空落到地面时间的倍，他的说法正确吗？请说明理由； (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量（）高度（），某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：砸伤无防护人体只需要的能量） 65．（25-26八年级上·上海闵行·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体．其下落的时间（单位：）和下落高度（单位：）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间为_________． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 66．（24-25八年级上·上海青浦·期中）观察下列各式及其验证过程： 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)按照上述规律，直接写出用（为任意自然数，且）表示的等式． 67．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）高空抛物是一种不文明的行为，会带来很大的社会危害，即使是一个苹果从高处坠落也可能造成严重伤害． (1)研究表明，忽略空气阻力时，物体自由下落的落地所需时间（单位：）和高度（单位：）满足公式，其中．假设一个物体从的高处自由下落，如果忽略空气阻力，那么这个物体落到地面大约需要多少秒时间？（结果保留根号） (2)物体从高空自由落下时由于运动而具有能量，实验表明，当动能超过焦的物体有可能对无防护的人体造成伤害．已知物体从高空自由落下，物体落地时的动能（单位：焦）可以用物体质量（单位：）和初始位置的高度（单位：）近似表示．公式为，其中．假设从高度为的空中落下一个质量为的苹果，请问是否可能会对楼下的行人造成伤害（行人身高和空气阻力忽略不计）请通过计算说明理由． 68．（25-26八年级上·上海·期中）阅读材料，回答下列问题： （一）已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”． （二）分数和分式有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化为整式与真分式的和的形式，如； (1)在①，②，③，④这些分式中，属于假分式的是_____（填序号）： (2)已知，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？求出该最小值． 69．（25-26八年级上·上海·期末）阅读材料： 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，；… 小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 根据题意，得，移项可得． 根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得． 整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则的值是． (3)若和为相差的两个整数，求的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次根式的运算 8大高频考点概览 考点01 同类二次根式识别（选择/填空） 考点02 二次根式加减运算 考点03 二次根式乘除运算 考点04 二次根式比较大小（填空） 考点05 二次根式混合运算（期中计算题核心） 考点06 基础分母有理化 考点07 化简求值（期中解答压轴小问） 考点08二次根式的应用（解答题） 地 城 考点01 同类二次根式识别（选择/填空） 1．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查二次根式的化简和同类二次根式的概念，能与合并的二次根式必须是化为最简二次根式后被开方数为3，据此求解判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故不能与合并，不符合题意； B、与不是同类二次根式，故不能与合并，不符合题意； C、与不是同类二次根式，故不能与合并，不符合题意； D、与是同类二次根式，故能与合并，符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海·期中）以下各组二次根式中，是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题主要考查同类二次根式的判断，同类二次根式需化简后被开方数相同．选项D中两个二次根式化简后都被开方数为10s，因此是同类二次根式；其他选项化简后被开方数均不同． 【详解】解： A：，被开方数为，不符合题意； B：，化为最简二次根式后被开方数为，，被开方数为，不符合题意； C：被开方数为，被开方数不同，不符合题意； D：， ， 两者被开方数均为，是同类二次根式，符合题意． 故选：D． 3．（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简、最简二次根式的判断、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式．二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，据此把四个选项中的二次根式化简为最简二次根式，比较被开方数是否与相同． 【详解】解：A、∵，被开方数为5，与不同，故此选项不符合题意； B、∵，被开方数为2，与相同，故此选项符合题意； C、∵，不是二次根式，故此选项不符合题意； D、∵，被开方数为5，与不同，故此选项不符合题意． ∴ 故选：B． 4．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知m为正整数，如果与是同类二次根式，那么m的最小值是（    ）． A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，利用二次根式的性质化简，解题的关键在于正确掌握同类二次根式定义． 根据同类二次根式需化简后根号内部分相同．先将化简为，则需可化为（k为正整数）形式，即m需为3乘以一个完全平方数．求m的最小值，即取最小完全平方数1，进而即可得到m的最小值． 【详解】解：∵， ∴ 化简后根号内部分为3． ∵ 与是同类二次根式， ∴ 可化为（k为正整数），即． 当时，为最小值． ∴ m的最小值为3． 故选：B． 5．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）如果与是同类二次根式，那么_______． 【答案】1 【知识点】二次根式有意义的条件、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式的定义、二次根式有意义的条件，根据题意得出，求解即可得出的值，再结合二次根式有意义的条件判断即可得解． 【详解】解：由已知，得， 解得或1， 当时，，不合题意， ∴． 故答案为：1． 6．（25-26八年级上·上海青浦·期中）若最简二次根式与是同类二次根式．则_______． 【答案】4 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，根据题意列方程，求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式， ∴ ， 解得 ， 当时，，，符合题意． 故答案为：4． 7．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为________________． 【答案】 【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式．根据同类二次根式的定义，将化为最简二次根式后，被开方数为5，因此令的被开方数等于5，解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，，其被开方数为5， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·上海普陀·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么_________． 【答案】 【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，解一元一次方程，根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，得出，解方程即可得解，熟练掌握同类二次根式的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴被开方数相等，即， 解得：， 故答案为． 9．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）若两最简根式和是同类二次根式，则的值的平方根是______． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、构造二元一次方程组求解、同类二次根式 【分析】根据同类二次根式的定义，列出方程，求解即可， 【详解】解：由题意可得：，解得 的平方根为 故答案为： 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 地 城 考点02 二次根式加减运算 10．（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的加法运算，根据题意，分，，以及化简后为被开方数为2的同类二次根式，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或或化简后为被开方数为2的同类二次根式， 当时，此时不是整数，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当化简后为被开方数为2的同类二次根式时：设， ∴， ∴， 当时，，符合题意，此时，故； 当时，，符合题意，此时，故； 综上：； 故选D． 11．（25-26八年级上·上海·期中）把四张一模一样的长方形纸片按如图所示的方式摆放，形成大正方形，它的面积是．图中空白部分是一个小正方形．如果，那么这个小正方形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】算术平方根的实际应用、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用以及正方形周长的计算，熟练掌握算术平方根的定义和正方形周长公式是解题的关键． 先根据大正方形面积求出边长，再结合的长度求出长方形的宽，进而得到小正方形的边长，最后计算其周长． 【详解】解：∵ 大正方形的面积是， ∴ 大正方形的边长， ∵ ， ∴ 长方形的宽为， ∴ 小正方形的边长为， ∴ 小正方形的周长为， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·上海·期中）计算：_____． 【答案】/ 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】此题考查了二次根式的加减运算，化简后合并同类二次根式即可． 【详解】解： 故答案为： 13．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）计算：__________． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，先运用二次根式性质化简，再根据二次根式的加减混合运算进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·上海·期中）计算：．（） 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【详解】解： ． 15．（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简、因式分解的应用 【分析】先运用平方差公式和提取公因式分解分子，然后约分，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 16．（25-26八年级上·上海闵行·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加减运算． 先化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 17．（25-26八年级上·上海青浦·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】根据二次根式的性质，二次根式的加减解答即可． 本题考查了二次根式的性质，加减运算，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解： ． 18．（25-26八年级上·上海宝山·期中）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先把原式整理得出，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 19．（25-26八年级上·上海松江·期中）计算：； 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，根据合并同类二次根式法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 20．（25-26八年级上·上海闵行·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算、求一个数的立方根 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，求一个数的立方根；先根据二次根式的性质和立方根的定义化简，再合并同类二次根式，即可求解． 【详解】解： 地 城 考点03 二次根式乘除运算 21．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）计算：_________． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】根据二次根式的乘除法则进行计算即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的乘除，掌握运算法则是解题的关键． 22．（24-25八年级上·上海青浦·期中）计算：＝_____． 【答案】1 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案． 【详解】 解：原式= = = =1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除，正确掌握相关运算法则是解题关键． 23．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算：________________． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查二次根式的乘除法，先化简，将除法转化为乘法，然后进行乘法运算，通过约分得到结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 24．（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】利用二次根式乘除运算法则，分别计算系数部分和被开方数部分，再化简即可得到结果． 【详解】解： ． 25．（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 26．（25-26八年级上·上海崇明·期中）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算． 根据二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变计算，再把结果化为最简二次根式． 【详解】解： ． 27．（25-26八年级上·上海崇明·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的乘除混合运算等知识点，灵活运用二次根式的混合运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，然后运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 28．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查二次根式乘除法，根据二次根式乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 29．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）计算：（）． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算；根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 地 城 考点04 二次根式比较大小（填空） 30．（25-26八年级上·上海·期中）比较大小∶ _____ ． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、比较二次根式的大小 【分析】本题考查二次根式比较大小，通过计算两个表达式的差值，并判断差值的正负来比较大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 31．（24-25八年级上·上海·期中）比较大小：_________ 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、比较二次根式的大小 【分析】本题考查二次根式的大小比较，利用二次根式的性质将根号外的系数转入根号内是解题的关键． 利用二次根式的性质将和变形，再比较大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 32．（24-25八年级上·上海·期中）比较大小：______（填“”，“”，“”）． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】根据，，比较解答即可． 【详解】解： ，， ， ∵， ∴， 故， 即， 因此， 即． 33．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）比较大小：__________（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【知识点】利用二次根式的性质化简、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了比较二次根式的大小．先整理，根据，得，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：>． 34．（25-26八年级上·上海·期中）比较大小： __________   (用“”、“”或“”填空)． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了二次根式的大小比较．通过计算两数的差，根据差的符号判断大小关系，即可求解． 【详解】解：， 由于，所以， 因此 ， 故 ． 故答案为：． 35．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）比较大小：_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、比较二次根式的大小、实数的大小比较 【分析】本题考查了二次根式比较大小的方法，进行完全平方公式的运用是解决本题的关键． 通过比较两个数平方的大小来间接比较这两个数的大小． 【详解】解：因为， ， 因为，所以，即， 因为，，所以． 故答案为：． 地 城 考点05 二次根式混合运算（期中计算题核心） 36．（24-25八年级上·上海·期中）计算：； 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【详解】解： ． 37．（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【详解】解：原式 38．（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算．先计算括号内的表达式，合并同类二次根式，然后利用乘除法则进行化简． 【详解】解： ． 39．（25-26八年级上·上海·期中）计算： 【答案】2 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，原式先将括号内的进行化简合并，再计算除法即可． 【详解】解： ． 40．（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】先运用二次根式的性质化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可； 【详解】解： 41．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）（1）计算：     （2）计算： 【答案】（1） （2） 【知识点】二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据二次根式的性质，二次根式的除法和乘法法则计算，再合并同类二次根式即可；（2）先逐项化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 42．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）计算 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． ()先拆分根式除法并化简，再对分式分母有理化，最后去括号合并同类项，得出结果； ()先利用二次根式的性质化简，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 43．（25-26八年级上·上海·期中）计算： (1)． (2)（其中）． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算、实数的混合运算 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，二次根式的混合运算，掌握化简运算法则是解题的关键． （1）首先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后计算加减即可； （2）先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘除法即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 44．（25-26八年级上·上海·期中）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算等知识点，运用二次根式的性质化简二次根式以及混合运算法则是解答本题的关键． （1）先运用二次根式的性质对二次根式进行化简，然后再运用二次根式加减法则计算即可； （2）先运用二次根式的性质对二次根式进行化简，然后再运用二次根式乘除法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意得：， 45．（25-26八年级上·上海长宁·期中）计算： (1) (2)（，） (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的乘除混合运算、二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先利用二次根式的性质化简各部分，再计算乘法，最后计算加减； （2）先利用二次根式的性质化简各部分，再计算乘除； （3）前面用分配律计算，后面用平方差公式计算，再利用二次根式的性质化简，最后得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）（，） ； （3） ． 地 城 考点06 基础分母有理化 46．（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，与 互为有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查有理化因式，根据有理化因式需满足相乘后结果为有理式，对于，其有理化因式应为本身或相反数，因平方后可得有理式或，即可得出结果． 【详解】解：∵，结果为有理式， ∴ 与 互为有理化因式； 故选A． 47．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如果，，那么、的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分母有理化 【分析】本题主要考查了分母有理数化，先把分母有理数化即可得出答案. 【详解】解：。 ∵， ∴， 故选：B. 48．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）下列式子中，是的有理化因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分母有理化 【分析】根据有理化因式的特点：单项式的有理化因式就是他本身，多项式的有理化因式就是与它配成平方差公式的那个多项式．然后根据题意就可以求出其解． 【详解】由题意，得的有理化因式是：， 故选：A． 【点睛】本题考查有理化因式，单项式的有理化因式就是他本身，多项式的有理化因式就是与它配成平方差公式的那个多项式． 49．（24-25八年级上·上海·期中）把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分母有理化、利用二次根式的性质化简、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了分母有理化，涉及到了因式分解等知识，解题关键是掌握式子恒等变形的方法，注意分子分母同乘或除以一个不为零的数或式子，原式的值才不变，本题据此依次判断即可． 【详解】解：A、将式子的分子分母同乘以，式子的值不变，故该选项正确，不符合题意； B、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； C、因为有可能为0，所以分子分母同时乘以错误，故该选项符合题意； D、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； 故选：C ． 50．（24-25八年级上·上海·期中）分母有理化：_______． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、分母有理化 【详解】． 51．（25-26八年级上·上海·期中）写出的有理化因式是______． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，掌握有理化因式的定义是解题的关键．利用平方差公式解答即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴分母 的有理化因式为， 即 的有理化因式为， 故答案为：． 52．（25-26八年级上·上海·期末）为有理数，且为无理数，的一个有理化因式是______． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式． 根据有理化因式的定义，两个根式的积不含有根号时互为有理化因式． 【详解】解：∵，为有理数， ∴为有理数，的有理化因式是． 故答案为：． 53．（24-25八年级上·上海·期末）二次根式的有理化因式可以是 ______． 【答案】/ 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式运算法则是解题的关键． 根据分母有理化因式的特征进行解答即可． 【详解】解：， ∴二次根式的有理化因式可以是， 故答案为： 54．（25-26八年级上·上海·期中）二次根式除法可以这样做：如果，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为 ③比较两个二次根式的大小： ④计算： 以上结论正确的是________．（写出所有正确的序号） 【答案】①③④ 【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化． ①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化； ②估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简； ③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小； ④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值． 【详解】解：①， 故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①正确； ②∵a是的小数部分， ∴， 故，故②错误； ③，， ，， ∵，， 故， ∴， 故 即，故③正确； ④， ， ， ， 故 ，故④正确． 故答案为：①③④． 地 城 考点07 化简求值（期中解答压轴小问） 55．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分母有理化、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，分母有理化，已知字母的值求代数式的值．正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，则，化简，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ； 把代入， 得． 56．（24-25八年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中：，． 【答案】 ， 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的乘除混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】先对括号内式子通分，再将除法转化为乘法，利用平方差公式化简后，代入、的值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，代入得： 原式． 57．（25-26八年级上·上海·期中）先化简再求值∶，其中， 【答案】， 【知识点】利用二次根式的性质化简、分式化简求值、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查二次根式的化简求值，分式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质与分式的性质是解题的关键． 先化简得，则，再化简，然后把代入化简式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 当时，原式． 58．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题关键是利用乘法公式化简． 先利用平方差公式、完全平方公式进行约分，然后合并同类二次根式，再代入求解． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 59．（25-26八年级上·上海·期中）化简求值：当时，求代数式的值． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式、分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则和对分子进行因式分解． 先对分子进行因式分解，再约分，合并即可化简，然后代入求解即可． 【详解】解： 当时，原式． 60．（25-26八年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，先通分化简表达式，再求出，从而求出，最后代入数值计算． 【详解】解： ∵ ∴， ∴， ∴原式． 61．（25-26八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 【答案】， 【知识点】利用二次根式的性质化简、已知条件式，化简求值 【分析】本题重点考查了二次根式的混合运算，化简求值，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)，同时本题还运用到了平方差公式和完全平方差公式，熟练掌握二次根式混合运算顺序以及平方差和完全平方差公式是本题求解的关键． 先将左边括号的代数式构造平方差公式和完全平方差公式，约掉相同的公因式，并相加减得左边括号代数式，右边括号代数式通分，再约掉相同的公因式，最终得到化简后的代数式。代入的值，即可完成求解． 【详解】解：由题意知，， 原式 ， 将，代入得， 原式 62．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）（1）计算： （2）已知，求的值． 【答案】 （1）；（2） 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、利用二次根式的性质化简、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查二次根式混合运算和二次根式化简求值，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则． （1）先算乘除法，化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先将分母有理化为，由，再把所求式子化简为，将代入即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ∵， ∴， ∴ ， 则原式． 63．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知的小数部分为，的小数部分为． 先化简，再求值：． 【答案】， 【知识点】二次根式的混合运算、无理数整数部分的有关计算 【分析】此题考查了二次根式的化简求值，先根据题意求出的整数部分为，的整数部分为1，，，再利用二次根式的运算法则进行计算得到化简结果，再把，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为，的整数部分为1， ∴的小数部分为，的小数部分为， ∴原式 地 城 考点08 二次根式的应用（解答题） 64．（25-26八年级上·上海宝山·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)小明说物体从的高空落到地面的时间是从的高空落到地面时间的倍，他的说法正确吗？请说明理由； (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量（）高度（），某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：砸伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1) 不正确，理由如下： 由题意得，当时，， 当时，， ， 说法不正确； (2)这个鸡蛋在下落过程中所带能量为； 启示：严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人． 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查的知识点是二次根式的应用，解题关键是理解公式，正确运算代入求值． （1）将、分别代入公式求出时间，再进行比较即可得解； （2）利用公式求出，代入能量计算公式即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：当时，， 解得， 鸡蛋下落过程中所带能量为， ， 启示：严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人． 65．（25-26八年级上·上海闵行·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体．其下落的时间（单位：）和下落高度（单位：）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间为_________． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)2 (2) 能量为，会对无防护人体造成伤害 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． （1）根据公式，代入计算即可． （2）先根据公式，求得高度，再根据公式物体质量×高度，计算能量即可． 【详解】（1）∵，， ∴． 故答案为：2； （2）∵，, ∴， ∴， ∴，而 ∴， 故，会对无防护人体造成伤害． 66．（24-25八年级上·上海青浦·期中）观察下列各式及其验证过程： 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)按照上述规律，直接写出用（为任意自然数，且）表示的等式． 【答案】(1) 猜想：， 验证：； (2)（n为任意自然数，且） 【知识点】二次根式的应用 【分析】（1）根据题中所给的式子进行验证即可； （2）根据题中式子的验证过程找出规律即可． 【详解】（1）略 （2）（为任意自然数，且），证明如下： （为任意自然数，且）． 【点睛】本题是一个找规律的题目，主要考查了二次根式的性质与化简，观察时，既要注意等式的左右两边的关系，还要注意右边必须是一种特殊形式． 67．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）高空抛物是一种不文明的行为，会带来很大的社会危害，即使是一个苹果从高处坠落也可能造成严重伤害． (1)研究表明，忽略空气阻力时，物体自由下落的落地所需时间（单位：）和高度（单位：）满足公式，其中．假设一个物体从的高处自由下落，如果忽略空气阻力，那么这个物体落到地面大约需要多少秒时间？（结果保留根号） (2)物体从高空自由落下时由于运动而具有能量，实验表明，当动能超过焦的物体有可能对无防护的人体造成伤害．已知物体从高空自由落下，物体落地时的动能（单位：焦）可以用物体质量（单位：）和初始位置的高度（单位：）近似表示．公式为，其中．假设从高度为的空中落下一个质量为的苹果，请问是否可能会对楼下的行人造成伤害（行人身高和空气阻力忽略不计）请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)可能造成伤害，理由如下 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式的实际应用，通过具体情境考查二次根式，读懂题意，理解题中现实情境相关的公式，正确运算代入求值是解决本题的关键．． （1）先根据已知条件求出h的值，再代入公式即可得时间； （2）根据公式，代入计算公式求出这个苹果产生的动能，即可判断． 【详解】（1）解∶ 物体从的高处自由下落， ． 故答案为∶； （2）解∶ 可能造成伤害，理由如下∶ ，，， （焦）焦 答：可能会对楼下的行人造成伤害． 68．（25-26八年级上·上海·期中）阅读材料，回答下列问题： （一）已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”． （二）分数和分式有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化为整式与真分式的和的形式，如； (1)在①，②，③，④这些分式中，属于假分式的是_____（填序号）： (2)已知，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？求出该最小值． 【答案】(1)②④ (2) (3)当 时，最小值为3 【知识点】分式的求值、二次根式的应用、分式的判断 【分析】本题为新定义问题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键． （1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解； （2）先根据，得到，进而得到，即可得到，利用倒数的定义即可求出； （3）先求出，再将变形为根据（一）结论得到，即可求出当且仅当，即时，有最小值，最小值为3． 【详解】（1）解：在①，②③④这些分式中，属于假分式的是：②，④. 故答案为：②④ （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）解：由题意，， ∴． 原式 ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴原式的最小值为3． 69．（25-26八年级上·上海·期末）阅读材料： 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，；… 小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 根据题意，得，移项可得． 根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得． 整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则的值是． (3)若和为相差的两个整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、利用二次根式的性质化简、二次根式的应用 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． ()根据证明过程补全即可； ()根据已知结论，得出，求出的值即可； ()根据题意，得，将等式两边同时平方，整理后求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 等式两边同时平方，得， 整理得， 故答案为：； （2）解：由题意可知，， ∴，即， 故答案为：. （3）解：根据题意，得， 等式两边同时平方，得， 整理得： ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $