2026-2027学年人教版数学九年级上册第一次月考模拟卷

2026-2027学年人教版数学九年级上学期第一次月考模拟卷 （满分120分，考试时间120分钟） 考试范围：第25,26章 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2．抛物线的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 3．在若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．1或 【答案】C 4．已知，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于方程，由根与系数的关系得，，∴． 5．若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于方程 ，其中，，，方程有两个不相等的实数根，，即，解得． 6．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵二次函数的解析式为，∴二次函数开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大，对称轴为直线，∵，，∴． 7．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（ ） A． B． C． D． 【答案】A 8．一次函数（a、b为常数，且）的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由一次函数的图象可知，，．对于二次函数，∵，∴抛物线开口向下．∵，∴抛物线顶点在轴正半轴． 9．在1~7月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息，如图所示，其中每千克成本和月份之间满足二次函数关系，每千克售价和月份之间满足一次函数关系，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份是（ ） A．1月份 B．2月份 C．5月份 D．7月份 【答案】C 【解析】设月份蔬菜每千克售价为元，每千克成本为元，设，代入得到，，解得，∴，根据二次函数图象可知，顶点为，经过点，设，把代入得到，，解得，∴，∴，∴当时，有最大值，即出售该种蔬菜每千克利润最大的月份是月份． 10．如图，抛物线（ ）的部分图象，其顶点坐标为，与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】抛物线开口向下，，抛物线与轴交于正半轴，，对称轴为直线，，即．，故②错误．，，故③错误．抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点在和之间．当时，，即．，，即，故①正确．抛物线的顶点坐标为，．．，故④正确．综上所述，正确的结论是①④，共2个． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．将抛物线向右平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为__________． 【答案】 12．如图，一次函数（ ）的图象与抛物线（ ）相交于A，B两点，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】或 13．某光电研究所研究某种合金的熔点，随着一些稀土材料的加入，合金的熔点逐渐变化，如图，三次实验的最高熔点恰好在同一抛物线上，则该抛物线的顶点坐标为_________． 【答案】 14．屏风历史悠久，是中国古代居室内的重要家具和装饰品，具有分隔、美化、挡风等作用．如图是一个屏芯长，宽的矩形黄花梨小座屏风示意图，屏芯周围被边框宽度相同的屏框包围．若整个屏风的面积为，则屏框的宽度为______． 【答案】5 【解析】设屏框的宽度为，由题意得：，解得：，（舍去），所以屏框的宽度为5． 15．定义：我们把函数与正比例函数的交点称为该函数的“不动点”．例如，求一次函数的“不动点”，联立方程，解得，则该一次函数的“不动点”为． 下列说法正确的序号是_______． ①函数的“不动点”为和； ②二次函数的一个“不动点”和一次函数的“不动点”相同，则； ③若二次函数的图象上存在两个“不动点”、，若，则； ④已知二次函数，直线：，将该二次函数在直线下方的图象沿直线翻折到直线上方，其余部分图象不变得到一个新的函数图象，若新的函数图象上恰有3个“不动点”，则的值为或． 【答案】② 【解析】∵“不动点”是函数与的交点， 联立和，得，即，解得或，∴不动点为和，故原说法错误，不符合题意； 一次函数与联立，得，解得，∴不动点为，代入二次函数，得，解得，故原说法正确，符合题意； 联立和，得，即，设不动点，，则，∴，∵，，∴，∴，解得，故原说法错误，不符合题意； 当直线经过点时，如图1，令时，则，则，把代入得，，解得：或（舍去），当直线与翻折部分只有一个交点时，如图2，的顶点坐标为，点沿直线：翻折后对应点的坐标为，∵直线：翻折后对称轴不变，∴翻折后的抛物线解析式为，与联立得，整理得，则，解得：；∴翻折后新函数与有个交点时，或，∴说法错误，不符合题意；综上，仅说法正确. 图1 图2 三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8分）用适当的方法解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 17．（8分）某同学解一元二次方程的步骤如下： 解：移项，得，…………………………① 两边同除以，得，………………………………② 解得．…………………………………………………………③ （1）上述解答过程中开始出现错误的是第 步．（填序号） （2）请写出你认为正确的解答过程． 【答案】（1）②； （2）解：， 移项，得， ∴， ∴或， ∴，． 18．（9分）已知二次函数． （1）直接写出抛物线的顶点坐标，并画出这个函数的图象； （2）①已知函数图象上两点和，若，请直接写出与的大小关系； ②当时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）解：∵， ∴函数图象的顶点坐标； 列表如下： 图象如下： （2）解：①；【解析】由（1）可知抛物线的对称轴为直线，∵，图象开口向下，∴当时，随的增大而减小，∵函数图象上两点和，，∴． ②．【解析】∵，图象开口向下，抛物线的对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小，当时，取得最小值，，∵顶点坐标为，则的最大值为，故当时，函数值的取值范围． 19．（9分）某社区为推进终身学习，分两批采购科普类和艺术类学习资料．第一批采购时，科普类资料订购量比艺术类资料的3倍多200本，科普类资料单价为12元，艺术类资料单价为20元，总计支出13600元． （1）求第一批采购的艺术类资料和科普类资料各多少本？ （2）第二批采购时，正值“全民学习月”活动，科普类资料需求增加，单价有所上涨．社区决定，若科普类资料单价每上涨2元，采购数量就比第一批减少40本．艺术类资料单价不变，采购数量比第一批增加，最终第二批采购总资金比第一批增加了4640元，且科普类资料采购单价不超过20元，求科普类资料的采购单价为多少元？ 【答案】（1）解：设艺术类资料采购x本，科普类资料采购本， 由题意得：， 解得，  所以 答：第一批采购的艺术类资料200本，科普类资料800本； （2）解：设科普类资料采购单价为a元， 由题意得：， 整理可得：， 解得，， 采购单价不超过20元， ． 答：科普类资料的采购单价为18元． 20．（9分）如图，在中，，，，动点 P从点 A 出发沿边向点B以的速度移动，同时动点Q从点 B 出发沿边向点 C 以的速度移动，当 P 运动到 B 点时 P、Q 两点同时停止运动，设运动时间为． （1） ； ；（用t的代数式表示） （2）D是的中点，连接、，t为何值时的面积为？ 【答案】（1），； （2）如图，过点D作于H， ∵，即，∴， 又∵D是的中点， ∴，是的中位线， ∴， 根据题意，得， 整理，得， 解得：，， 当或4时，的面积是． 21．（10分）已知二次函数（a为常数）的图象与y轴交于点． （1）求a的值． （2）当时，函数y的最大值与最小值之差为d， ①若，求m的值； ②若，，用含m的式子表示d，并写出m的取值范围． 【答案】（1）解：把点代入二次函数解析式 得，解得； （2）由（1）得二次函数解析式为，该函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ①已知，则自变量区间为， 分三种情况讨论： 情况1：自变量区间整体在对称轴左侧，即，也就是，此时函数y随x的增大而增大，y随x的减小而减小， ， 解得，满足，符合条件； 情况2：自变量区间整体在对称轴右侧，即，此时函数y随x的增大而减小，y随x的减小而增大， ， 解得，满足，符合条件； 情况3：自变量区间包含对称轴，即， 此时y的最大值为顶点函数值3， y的最小值大于，即y的最小值大于，差值小于，不满足，该情况无解， 综上，m的值为或； ②已知，，自变量区间全部位于对称轴的右侧，此时函数y随x的增大而减小，y随x的减小而增大， ， 解得， ， ，，解得， ，的取值范围是． 22．（10分）综合实践：怎样才能命中篮筐． 【活动背景】学校组织班级间篮球比赛，九年级同学向阳发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮的图片，并测量相应的数据进行研究． 【模型建立】如图所示，以向阳的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理 素材1 篮球出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2 当篮球恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，向阳在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 【解决问题】在初次投篮时，小组测得相关数据为：米，米，米，米． （1）向阳初次投篮时 命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） （2）该班数学兴趣小组同学对向阳的初次投篮数据进行研究后，让向阳同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． （3）在比赛过程中，向阳在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，向阳此次能否命中篮筐？请说明理由．如果不能命中，在不改变向阳离篮筐中心的水平距离、投篮方向及出手速度的前提下，该如何调整向阳的投篮策略才能命中呢？ 【答案】（1）不能；【解析】由题意，篮球运动轨迹为抛物线，顶点坐标为，设抛物线解析式为，代入出手点，可得，解得．所以抛物线解析式为，当时，，因为，不满足，所以不能命中篮筐． （2）解：已知向阳向前走了t米， 则抛物线向右平移t米解析式变为， 此时篮球恰好经过篮筐中心点， 代入得， 整理得，即， 解得， 当时，顶点横坐标为， 不符合“向前走”的实际情境，舍去． 答：的值为． （3）解：在离篮筐中心水平距离5米处起跳，即出手点横坐标为， 已知保持出手高度米， 则抛物线顶点横坐标为， 所以解析式为． 当时，， 因为，不满足命中条件， 所以不能命中篮筐． 设改变出手高度后，抛物线解析式为， 当时，， 当篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐， 则，即， 出手点坐标为，代入解析式， 所以， 答：不能命中篮筐，若要命中，则的取值范围是． 23．（12分）如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； （3）如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：∵，且， ∴，∴， 将，分别代入， 得，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得，∴，即， ∵，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 设直线解析式是，把，分别代入， 得，∴， ∴直线解析式是， 联立直线与抛物线：， 得， 解得（点B，舍去），， 将代入，得， ∴； （3）解：存在，符合条件的点有三个，坐标为，，．【解析】设直线解析式是，把，代入，得，∴，∴直线解析式是． ①当为菱形的对角线时，如图，设，则，∴，，四边形是菱形，∴，，∴四边形是正方形，∴，即轴，∴，，解得（不合题意舍去）或，此时，． ②当为菱形的边时，如图，作于点H，设，则，∴，，，∴，∴，解得：，，（不合题意舍去）．∴或．∴，， 综上所述，符合条件的点有三个，坐标为，，． 试卷第20页（共20页） 试卷第1页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版数学九年级上学期第一次月考模拟卷 （满分120分，考试时间120分钟） 考试范围：第25,26章 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．在若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．1或 4．已知，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 7．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（ ） A． B． C． D． 8．一次函数（a、b为常数，且）的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 9．在1~7月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息，如图所示，其中每千克成本和月份之间满足二次函数关系，每千克售价和月份之间满足一次函数关系，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份是（ ） A．1月份 B．2月份 C．5月份 D．7月份 第9题图 第10题图 10．如图，抛物线（ ）的部分图象，其顶点坐标为，与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．将抛物线向右平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为__________． 12．如图，一次函数（ ）的图象与抛物线（ ）相交于A，B两点，则关于x的不等式的解集为______． 第12题图 第13题图 13．某光电研究所研究某种合金的熔点，随着一些稀土材料的加入，合金的熔点逐渐变化，如图，三次实验的最高熔点恰好在同一抛物线上，则该抛物线的顶点坐标为_________． 14．屏风历史悠久，是中国古代居室内的重要家具和装饰品，具有分隔、美化、挡风等作用．如图是一个屏芯长，宽的矩形黄花梨小座屏风示意图，屏芯周围被边框宽度相同的屏框包围．若整个屏风的面积为，则屏框的宽度为______． 15．定义：我们把函数与正比例函数的交点称为该函数的“不动点”．例如，求一次函数的“不动点”，联立方程，解得，则该一次函数的“不动点”为． 下列说法正确的序号是_______． ①函数的“不动点”为和； ②二次函数的一个“不动点”和一次函数的“不动点”相同，则； ③若二次函数的图象上存在两个“不动点”、，若，则； ④已知二次函数，直线：，将该二次函数在直线下方的图象沿直线翻折到直线上方，其余部分图象不变得到一个新的函数图象，若新的函数图象上恰有3个“不动点”，则的值为或． 三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8分）用适当的方法解一元二次方程： （1）； （2）． 17．（8分）某同学解一元二次方程的步骤如下： 解：移项，得，…………………………① 两边同除以，得，………………………………② 解得．…………………………………………………………③ （1）上述解答过程中开始出现错误的是第 步．（填序号） （2）请写出你认为正确的解答过程． 18．（9分）已知二次函数． （1）直接写出抛物线的顶点坐标，并画出这个函数的图象； （2）①已知函数图象上两点和，若，请直接写出与的大小关系； ②当时，请直接写出的取值范围． 19．（9分）某社区为推进终身学习，分两批采购科普类和艺术类学习资料．第一批采购时，科普类资料订购量比艺术类资料的3倍多200本，科普类资料单价为12元，艺术类资料单价为20元，总计支出13600元． （1）求第一批采购的艺术类资料和科普类资料各多少本？ （2）第二批采购时，正值“全民学习月”活动，科普类资料需求增加，单价有所上涨．社区决定，若科普类资料单价每上涨2元，采购数量就比第一批减少40本．艺术类资料单价不变，采购数量比第一批增加，最终第二批采购总资金比第一批增加了4640元，且科普类资料采购单价不超过20元，求科普类资料的采购单价为多少元？ 20．（9分）如图，在中，，，，动点 P从点 A 出发沿边向点B以的速度移动，同时动点Q从点 B 出发沿边向点 C 以的速度移动，当 P 运动到 B 点时 P、Q 两点同时停止运动，设运动时间为． （1） ； ；（用t的代数式表示） （2）D是的中点，连接、，t为何值时的面积为？ 21．（10分）已知二次函数（a为常数）的图象与y轴交于点． （1）求a的值． （2）当时，函数y的最大值与最小值之差为d， ①若，求m的值； ②若，，用含m的式子表示d，并写出m的取值范围． 22．（10分）综合实践：怎样才能命中篮筐． 【活动背景】学校组织班级间篮球比赛，九年级同学向阳发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮的图片，并测量相应的数据进行研究． 【模型建立】如图所示，以向阳的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理 素材1 篮球出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2 当篮球恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，向阳在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 【解决问题】在初次投篮时，小组测得相关数据为：米，米，米，米． （1）向阳初次投篮时 命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） （2）该班数学兴趣小组同学对向阳的初次投篮数据进行研究后，让向阳同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． （3）在比赛过程中，向阳在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，向阳此次能否命中篮筐？请说明理由．如果不能命中，在不改变向阳离篮筐中心的水平距离、投篮方向及出手速度的前提下，该如何调整向阳的投篮策略才能命中呢？ 23．（12分）如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； （3）如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第20页（共20页） 试卷第1页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $