北京市第四中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

2026北京四中高三10月月考 数学 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1．已知，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则（ ） A． B． C． D． 3．若且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 5．在中，，，，则（ ） A． B．或 C．或 D． 6．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“”是“存在，使得”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知函数，若存在，，使得，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C． D． 8．当前很多居民都会关注住宅区的噪音问题．记p为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压p存在近似函数关系：，其中a为常数，且常数为听觉下限阈值．若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的100倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的3倍．若住宅夜间声压级超过50分贝即扰民，该住宅夜间不扰民情况下的声压为，则（ ） A．， B．， C．， D．， 9．已知函数，若方程有三个互不相等的实数解，则k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，若不等式对任意恒成立，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 11．函数的定义域是________． 12．已知，则________． 13．已知，则函数的最小值为________． 14．如图，在中，已知为角C的平分线，，，则________． 15．已知定义在上的函数与，将函数的零点从小到大排成数列．给出下列四个结论： ①； ②函数共有6个零点； ③对任意，存在，使得当时，总有； ④将函数的零点从小到大排成数列，则． （参考数据：） 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在答题纸上的相应位置作答．） 16．已知函数． （I）求的最小正周期及单调递增区间； （II）当时，求的最大值与最小值． 17．在中，． （I）求B的大小； （II）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积． 条件①：边上中线的长为； 条件②：； 条件③：． 18．已知函数． （I）当时，讨论的单调性； （II）若对任意，不等式恒成立，求m的取值范围． 19．已知椭圆经过点，离心率为． （I）求椭圆C的方程； （II）设椭圆C的右顶点为A，过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（均异于点A），直线，分别与直线交于点P，Q．求的值． 20．设函数． （I）求曲线在处的切线方程； （II）若函数存在两个极值点， （i）求a的取值范围； （ii）设和分别为的零点和极大值点，求证：． 21．已知集合（且），，且．若对于任意，，当时，总存在，使得，则称A是S的m元美子集． （I）判断下列集合是否是的3元美子集，请直接写出结论； ①；②． （II）若是的4元美子集，求的最小值； （III）若是（且）的m元美子集，求证：，并指出等号成立的条件． 学科网（北京）股份有限公司 $