北京市北京师范大学附属中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试卷

北京师大附中2026一2027学年（上）高三10月月考 数学试卷 班级： 姓名： 学号： 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项 (1)己知集合A={x|lOg2x≤1}，B={xx2-4x+3<0),则A∩B= (A)(0,3) (B)L,2] (C)(1,3) (D)(-0,3) (2)在复平面内，复数乙=3-i的共轭复数，对应的点位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (3)设a,b,ceR,且a<b<0,则下列不等式一定成立的是 (A)ac2<bc2 (B)1<1 (C)a2>b2 a b D周 (4)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a=4,S3=S2+S4,则{an}的公差为 (A)0 (B)-1 (C)-2 (D)-3 (5)向量a,b在单位正方形网格中的位置如图所示，则a·b= (A)5 (B)-5 (C)0 (D)1 (6)己知函数f(x)=sinx+|sinx|,下列关于函数f(x)的说法正确的是 (A)f(x)是奇函数 (B)f(x)的最小正周期是π (C)f(x)在(0，D)上单调递增 (D)f(x)的值域为[0,2] (7)“a∈[-2,2]'是“对任意x>0,x2+ax+1≥0”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 北京师大附中2026一2027学年（上）高三10月月考数学试卷第1页（共6页) (8》设函数f血r+es@~0.若f因在区向管受上单调。在送间0孕 上存在零点，且f受=f(,则w的值为 (B)3 (C) 10 (D)4 3 (9)已知函数f(x)= 3x+a,x<a, 存在最大值，则a的取值范围是 4x-x2,x≥a. (A)[0,1 (B)[0,2] (C)[L,+∞) (D)(-0,1] (10)“行百里者半九十”这句话最早见于《战国策·秦策五》，它的原意是走一百里的 路程走到九十里只能算走了一半.这可以认为是一种心理效应，比喻做事越接近成功越困 难，越要认真对待.某同学尝试用函数观点对这句话进行分析，并作出如下设定： ①设做一件事的完成度为x,心理完成度y=f(x)是关于x的函数，且x,y∈[O,], “x=0”表示刚开始做这件事，“x=1”表示完成这件事，x数值越大，完成度越高. y=f(x)的图象经过(0,0)，L,): ②x与1的差距每缩小90%，y与1的差距便缩小50%，即对于任意的x∈[0,1)， 都存在唯一的飞∈0，，当七-本：09时，f)-f2-05 1-x1 1-f(x) 根据上述设定，函数y=f(x)的图象可以是 、A B 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分 (11)函数fx)=Ve-1的定义域为 (12)已知向量a=1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m= (13)若函数f(x)=sinx-cosx在区间[0，a]单调递增，则a的最大值是 北京师大附中2026一2027学年（上）高三10月月考数学试卷第2页（共6页） 14)已知关面向量0A,0B,0c清足：10MH01,<010C<0a0C背 且<AB,0C- .若OC=mOA+nOB(m,neR).请写出一组符合条件的m,n的 值 (15)已知数列{a,}满足，a+=2a-1,4>0,给出下列四个结论： ①当a=2时，{an}为递增数列； ②存在a,使得{an}为常数列： ③当a1= 6+巨时，a,}为递减数列： ④存在无穷多个数列{a,}满足如下性质：存在正整数N,使得当1≤n≤N时任意两 项均不等且当n>N时各项均相等. 其中正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 (16)(本小题13分) 卫知函数因=2nx0+6N2+爱 (I)求f(x)的最小正周期和f(x)图象的对称轴： ()若xe0.,求方程f()=号的解集 北京师大附中2026一2027学年（上）高三10月月考数学试卷第3页（共6页） (17)(本小题14分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=4,sin2A=√5sinA. (I)求∠A; (IⅡ)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且 唯一，求BC边上的高 条件O:a=V万：条件②：△MBC面积为3N5:条件③：c0sB=-Y万 14 注：如果选择的条件不符合要求，第(IⅡ)问得0分；如果选择多个符合要求的 条件分别解答，按第一个解答计分. (18)(本小题14分) 为了拓宽学生视野，北京某高中设计了6条研究性学习路线这6条路线分为A、 B、C三种类型，如下表： 路线类型 A B C 路线 延安 遵义 杭州 上海 泰山 秦岭 每一位学生都要在高中阶段，从上述6条路线中选择2条不同的路线，完成相应的 研究性学习任务 假设学生甲、乙、丙三人都随机选择了2条不同路线。 (I)求甲选取的2条路线都为A类的概率： (IⅡ)设乙选取的2条路线中B类路线的数量为随机变量X,求X的分布列和数学期望 E(X); (III)在丙选取的2条路线中，分别记A,B,C类路线的数量为随机变量YA,Y。, Yc,记方差D=D(Y),D2=D(YA+YB),D=D(YA+Yc),直接写出D,D2 与D,的大小关系.（结论不要求证明） 北京师大附中2026一2027学年（上）高三10月月考数学试卷第4页（共6页) (19)(本小题14分) 已知函数f(x)=e(x2-2x+a). (I)若a=1,求f(x)的零点： (Ⅱ)若f(x)在x=2处取得极值，求f(x)的最小值， (20)(本小题15分) 已知函数f(x)=aln2x-xlnx+x. (I)若a=0,求f(x)在x=e处的切线方程： (Ⅱ)若a>0,讨论f(x)的单调性： (II)若a∈(0，l),f(e)<m恒成立，求常数m的最小值. 北京师大附中2026一2027学年（上）高三10月月考数学试卷第5页（共6页) (21)(本小题15分) 对于无穷数列{an},记b=max{a,a,…a}-min{a,4,,a.},keN，称也} 是{an}的收缩数列”.其中，max{a,a2,a},min{a,a2,,a}分别表示a,a2,,a 中的最大数和最小数 (I)若an=2n+1,直接写出{bn}的前4项； (Ⅱ)证明：b}的收缩数列仍是bn}: (m)记}的前n项和为S,若S+5,++5.=nn+a+n,b,neN, 29+ 2 求所有满足该条件的{an}. 北京师大附中2026一2027学年（上）高三10月月考数学试卷第6页（共6页) 高三10月月考数学参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) B A C D B D A C D B 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. (11)[0,+∞) (12)8 (13) 3 4 (14)m=n=1(答案不唯一，m=n,m>0,n>0即可)； (15)答案①②④ 三、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (16)(本小题13分)已知函数f(x)=2 sinxcosx+cos(2x+ 6 (I)求f(x)的最小正周期和f(x)图象的对称轴： ()若xe0,π]，求方程f(0=的解集， 解：答(Df)-2 sino+co2x+君-sm2x+cos2xcos名-sm2rsmg π 2 sin 2x+V3 2cos2x=sn(2x+,故f)的最小正周期T=2 2 令2x+-+kk∈乙，解得x日+EZ 32 即所求图象的对称轴是x石+红，k∈乙。 (mD因为xe0,,所以2x+∈5,7 3 33 圆当2+写竖，即=导晋味o-片 4’12 故所求解集为下，15 4'12 北京师大附中2026一2027学年（上）高三10月月考数学试卷参考答案第1页（共6页） (17)（本小题14分)在△4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=4,sin2A=√5sinA. (I)求∠A: (Ⅱ)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求BC边上的高. 条件O:a=V万：条件②：△4BC面积为35：条件@：cosB=-7 14 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个 解答计分. 解答：(I)△4BC中，sinA>0,∠A∈(0，π) 由sin2A=5sinA=2 sin Ac0sA知cosA=)，故∠A=g (Ⅱ)不可选①，否则三角形有两解 若选② 5=csnA-方4=3可知b=35.由余弦定理=+-2次sA=7 故a-厅，所以8C边上的离即“对应的高：合-身万 若选③ cosB=- a,△4BC中，sinB>0,求得siBs3√ 14 故BC边上的高即a对应的高2s_acsinB=csinB=6万 aa 北京师大附中2026—2027学年（上)高三10月月考数学试卷参考答案第2页（共6页） (18)(本小题14分)为了拓宽学生视野，北京某高中设计了6条研究性学习路线这6条路线分为A、B、C三 种类型，如下表： 路线类型 A 路线 延安 遵义 杭州 上海 泰山 秦岭 每一位学生都要在高中阶段，从上述6条路线中选择2条不同的路线，完成相应的研究性学习任务假设学生 甲、乙、丙三人都随机选择了2条不同路线. (I)求甲选取的2条路线都为A类的概率； (Ⅱ)设乙选取的2条路线中B类路线的数量为X,求X的分布列和数学期望E(X)； (Ⅲ)在丙选取的2条路线中，分别记A,B,C类路线的数量为随机变量YA,Ya,Y,记方差D=D(Y), D2=D(Ya+YB),D=D(YA+Yc),直接写出D,D,与D的大小关系.（结论不要求证明） 解答：(I)在6条路线中，随机选取2条共有C2=15种， 因A类路线只有2处，故选取的2条路线都为A类仅1种方法 1 所以甲选取的2条路线都为A类的概率为 5 (Ⅱ)由题意可知，X∈{0,1,2) 则x-0会言Px=餐-言Px号 则X的分布列为： X 0 1 2 2-5 8 1 15 15 数学期为x)-0+12占日- (3)D=D2=D3· 北京师大附中2026一2027学年（上)高三10月月考数学试卷参考答案第3页（共6页) (19)(本小题14分)已知函数f(x)=e(x2-2x+a). (ID)若a=1,求f(x)的零点； (Ⅱ)若f(x)在x=2处取得极值，求f(x)的最小值. 解答：(I)f(x)=e*(x2-2x+a) 若a=1,则f(x)=e*(x2-2x+1)=e(x-1)2,e>0,故零点仅有x=1 (Ⅱ)f(x)=e(x2-2x+a),f'(x)=e(x2+a-2)由x=2为极值点，令f'(2)=0, 解得a=-2此时f'(x)=e'(x2-4) 当x<-2时，f'(x)>0,f(x)递增 当-2<<2时，f'(x)<0,f(x)递减 当x>2时，f'(x)>0,f()递增，因此x=2为极小值点，符合题意 且x∈(-2，+o)时，f(x)≥f(2)=-2e2 xe(←0，-2]时，e>0,x2≥4，-2x≥4，x2-2x-2>0,即f0>0>f(2) 综上，f(x)的最小值=-2e2 北京师大附中2026一2027学年（上）高三10月月考数学试卷参考答案第4页（共6页） (20)(本小题15分)已知函数f()=alnx-xlnx+x, (I)若a=0,求f(x)在x=e处的切线方程，（Ⅱ）若a>0,讨论f(x)的单调性； (Ⅲ)若a∈(0，)，f(e）<m恒成立，求常数m的最小值. 解答：(I)若a=0,则f(x)=-xlnx+x=x(1-lnx),图象经过点(e,0).而f'(x)=-nx, f'(e)=-l,故所求切线方程为y=-x+e (若a>0,f)=an2x-xhx+x,函数的定义为0，o),所以f=2a.lhx-nx=2a--hx, 令f'(x)=0,得x=2a或lnx=0,即x=2a或x=1. ①0<2a<1时，即0<a<,当0<x<2a时，2a-x>0,lhx<0,所以f<0:当2a<x<1时， 2a-x<0,lnx<0,所以f'(x)>0;当x>1时，2a-x<0,nx>0,所以f'(x)<0.所以函数在(0,2a),L,+o)上单调 递诚，在[2a,1上单调递增. ②当2a=1,即a=1时，当0<x<1时，1-x>0,lnx<0,f()<0:当x>1时，1-x<0,lnx>0,fw<0. 所以函数在(0，+o)单调递减. @当2a>1时，即a>,当0<x<1时，2a-x>0hx<0,f<0,当1<x<2a时，2a-x>0l血x>0,所以 f'(x)>0,当x>2a时，2a-x<0,nx>0,所以f'(x)<0.所以函数在(0，I),(2a,+o)上单调递减，在l,2a]上单调 递增。 综上，… (Ⅲ)因f(e)=a(ne)2-elne“+e=a3+(I-a)e令g(a)=a3+(1-a)e“,a∈(0,1)，下面考虑g(a)的值域 g'(a)=3a2-e+1-a)e=a(3a-e),再令h(a)=3a-e°，则h(a)=3-e 因a∈(0,1)，所以1<e<e,得3-e°>0，即h(a)>0,所以h(a=3a-e在(0,1)上单调递增，且 h(0)=-e°=-1，h)=3-e>0.由零点存在定理，存在唯一a,e(0,),使得h(a)=3a。-e=0. 所以g'(a在(0,1)有唯一零点a,且当0<a<a,g'(a<0,当a<a<1,g'(a)>0, 所以g(a)在(0，a)上单调递减，在(ao,1)上单调递增， 且g(0)=03+1-0)e°=1，g)=13+(1-1)e'=1. 所以对a∈(0，)，都有g(a)<1成立.故常数m取值范围是1，+o),m最小值为1 北京师大附中2026一2027学年（上）高三10月月考数学试卷参考答案第5页（共6页） (21)（本小题15分)对于无穷数列{an},记b=max{a,a2,a}-min{a,a2,,a},keN,称{bn}是 {a}的“收缩数列”.其中，max{a,a2,a}，min{a,a,",a}分别表示a,2,…,a中的最大数和最小数. (I)若an=2n+1,直接写出{bn}的前4项；（Ⅱ）证明：{bn}的“收缩数列”仍是{bn}: 四)记{a}的前n项和为S若3+S,++S,=n+a+”?,b,neN,求所有满足该条件的{a 21+ 解答：(I)由an=2n+1可得{an}为递增数列，故{bn}的前4项为0,2,4,6. (Ⅱ)因为max{a,a2,…,an}≤max{a,a2,…,an}(n=1,2,3,…）, min{a,a2,…,an}≥min{a,a2,…,anl}(n=l,2,3,…）, 所以max{a,a,…,anl}-min{a,a2,…,an}≥max{a,a,…,an}-min{a,a2,…,an} 所以bn1≥bn(n=1,2,3,…）.又因为b=a-a1=0,所以max{b,b2,…,bn}-min{b,b2,…,bn}=bn-b=bn, 所以{凸n}的“收缩数列仍是{凸n}. (m由S+S++S,-初+4+n”-少6(a=12,3可得当m=1时，4=4： 29+1 2 当n=2时，2a+a2=3a1+b2,即b2=a2-a,所以a2≥a；当n=3时，3a1+2a2+a3=6a+3b,即 3b=2(a2-4)+(a-a)(*),若a≤a<a2,则b=a2-a,所以由(*)可得a=a2,与a4<a矛盾； 若a<a1≤a2,则b=a2-a,所以由(*)可得4-42=3(a-4)，所以4-42与a-a同号，这与a<4≤a2矛 盾；若a3≥42，则b=43-a,由(*)可得a3=42. 霜题满是+8+86a-2)前是心- la,n>142g. 经验证，左式=8+8++8=风+1+2++a-4,=m+心，-， 2 右式-+g。+。-a+4 29+ 2+ n(n-1) 24. 下面证明其它数列都不满足(3)的题设条件. a,n=1 由上述n≤3时的情况可知，n≤3时，an= a,n>14≥4是成立的. 假设a是首次不符合an= a,n=1 a,n>1%≥a的项，即4≤4=4==a4≠a, 由题设条件可得ka,+ k2-k-2。,k(k+1)。k(k-1) 24+- 24+ b(*), 2 北京师大附中2026一2027学年（上）高三10月月考数学试卷参考答案第6页（共6页） 若a≤a<a2,则由(*)式化简可得a=a2与a:<a2矛盾； 若4<454，则=4-4，所以由()可得4-4，-k,-4-4) 2 所以a-4与4-a.同号，这与a<a1≤a2矛盾； 所以a.≥a2,则b=a4-a,所以由（*)化简可得a:=a2. 这与假设a,≠a2矛盾. 所以不存在数列不满是=会4之4的a符合藏设条件 北京师大附中2026一2027学年（上)高三10月月考数学试卷参考答案第7页（共6页）