专题13角知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题13角知题通关讲义 知识点01：角的定义 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。公共端点叫角的顶点，两条射线叫角的两条边。 动态定义：一条射线绕着它的端点旋转到另一位置所形成的图形。起始射线叫始边，终止射线叫终边。 关键点：角的两条边是射线，可无限延伸。 知识点02：平角与周角的定义 一条射线绕着它的端点旋转，当终边旋转到和始边成一条直线时，所成的角叫作平角，如图 1 所示；旋转到终边和始边再次重合时，所成的角叫作周角，如图 2 所示。 知识点03：角的表示方法（规范无错误，考试必考点） 知识点04：角的度量（基础核心，无复杂计算） 度量单位：度（°）、分（′）、秒（″） ，遵循 “六十进制”（和时间换算一致，易理解）。 换算关系（必背，考试直接考）：1∘=60′，1′=60′′，1∘=3600′′（简单记：大单位换小单位乘 60，小单位换大单位除以 60）。 度量工具：用直尺配套的量角器，测量时注意 “顶点对齐量角器中心、一条边对齐 0 刻度线”，避免读错刻度。 知识点05:角的分类 补充说明 平角、周角仅作基础了解，不深入考查计算，重点掌握前 3 种（锐角、直角、钝角）。 易错点：平角不是 “一条直线”，而是 “两条反向射线组成的角”，考试常考辨析。 知识点06：比较角的大小 度量法：用量角器量出度数，度数大的角更大。 叠合法（形的比较）： 将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，就可以比较大小。如图，先让两个角的顶点 O 与 O′重合，再让一条边 OB 与 O′D 重合，使另一条边 OA 和 O′C 落在 OB（或 O′D）的同侧。 知识点07：用度量器作一个角等于已知角 知识点08:角的核心运算（基础易懂，无复杂步骤） （一）角的和差运算 核心逻辑：两个角可以直接相加、相减，结果仍为角（单位统一为度、分、秒）。 示例：∠1=30∘20′，∠2=25∘40′，则∠1+∠2=56∘，∠1−∠2=4∘40′（注意分的加减，满 60 进 1、不够减借 1 当 60）。 （二）角的平分线（高频考点） 定义：从角的顶点出发，画一条射线，把这个角分成两个完全相等的小角，这条射线就是角的平分线。 核心结论：若 OC 是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC（简单记：平分就是 “平均分”，两个小角相等）。 易错提醒：平分线是 “射线”，不是线段，没有长度，只表示平分角度的位置。 知识点09：余角与补角 1. 定义 互余：两个角和为90，称这两个角互为余角； 互补：两个角和为180，称这两个角互为补角。 2. 核心性质 同角（等角）的余角相等； 同角（等角）的补角相等。 3. 关键提醒 互余、互补只看度数和，与位置无关，不需要相邻。 1、角的概念理解偏差 易错提醒：角是由两条具有公共端点的射线所组成的图形；两条射线必须共享同一个公共端点；任意两条射线不能直接构成角；角的大小仅由两边张开程度决定，与射线的长短没有关系。 2、角的表示方法使用错误 易错提醒：采用单个大写字母表示角时，该顶点处只能存在唯一的一个角；顶点处含有多个角时，禁止只用一个大写字母表示；使用三个大写字母表示角，顶点字母必须写在中间位置。 3、度、分、秒单位换算错误 易错提醒：角度为六十进制，1=60'}，1'=60''；度分秒换算不能使用十进制；高级单位换算为低级单位乘以60，低级单位换算为高级单位除以60。 4、图形中角的个数统计错误 易错提醒：数角需要按照有序顺序统计，防止重复计数或者漏计；依次选取每一条射线作为起始边向后统计；根据题目要求确定是否计入平角，不可额外多加平角。 5、角平分线判定条件掌握不完整 易错提醒：射线OC为AOB的角平分线，则AOC=COB=AOB；判定角平分线需要同时满足两个条件：射线位于角的内部，分割得到两个相等的角；仅 AOC=COB时，射线可能处于角的外部，不能判定该射线为角平分线。 6、余角概念判定错误 易错提醒：两个角的度数之和等于90，则两个角互为余角；余角只取决于角度数值，和角所处位置无关；余角描述属于两角之间的相互关系，不能单独称某一个角为余角。 7、补角概念判定错误 易错提醒：两个角的度数之和等于180，则两个角互为补角；补角只取决于角度数值，和角所处位置无关；补角描述属于两角之间的相互关系，不能单独称某一个角为补角。 8、余角、补角性质记忆混淆 易错提醒：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等；区分90°与180°对应的性质；“同角”、“等角”两种情况该性质均可成立。 9、角度计算没有分类讨论造成漏解 易错提醒：题干未给出射线确切位置时，射线既可以在角的内部，也可以在角的外部；直接默认射线位于角的内部进行运算，会造成结果遗漏，需要分类进行求解。 题型 考察方向 难度 题型一 角的概念理解 ★ 题型二 角的表示方法 ★ 题型三 角的分类 ★ 题型四 钟面角 ★★ 题型五 方向角的表示 ★★ 题型六 与方向角有关的计算题 ★★ 题型七 角的单位与角度制 ★ 题型八 角的度数大小比较 ★ 题型九 角的比较 ★ 题型十 三角板中角度计算问题 ★★ 题型十一 几何图形中角度计算问题 ★★ 题型十二 角度的四则运算 ★ 题型十三 实际问题中角度计算问题 ★★ 题型十四 尺规作一个角等于已知角 ★★ 题型十五 角平分线的有关计算 ★★ 题型十六 角 n 等分线的有关计算 ★★ 题型十七 求一个角的余角 ★ 题型十八 求一个角的补角 ★ 题型十九 与余角、补角有关的计算 ★★ 题型二十 同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 ★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 角的概念理解 1．如图所示，其中小于的角共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．如图，给出下列说法：①和是同一个角；②和是同一个角；③和是同一个角；④和不是同一个角．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．观察图形，回答下列问题． (1)如图1，在比较与这两条路径的长短时，写出你已学过的可以用到的一个事实 ，结果为：的路径 的路径（填“大于”、“小于”或“等于”）； (2)如图2，的路径 的路径（填“大于”、“小于”或“等于”）； (3)如图3，写出所有以点C为顶点的角 ，写出所有以为边的角 ． 题型二 角的表示方法 4．如图，可以表示成或________，可以表示成________，可以表示成________或________． 5．如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在内画2条射线时，则图中共有6个角：在内画3条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在内画条射线时，图中共有___________个角． 6．对于如图所示的角，描述错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．若是的平分线，则 C． D．可以用表示 题型三 角的分类 7．如图，下列四个城市相应钟表指示的时刻，其中时针与分针所成角是锐角的是（    ） A． B． C．   D．   8．下列各角中，是钝角的是（    ） A．周角 B．平角 C．2锐角 D．直角 9．如图所示，∠BOD＝45°，那么不大于90°的角有___个，它们的度数之和是____． 题型四 钟面角 10．时钟的表面上，分针转动两周时，时针同时转过的角是________度． 11．钟面上，分针从数字“”绕中心顺时针旋转到数字“”，旋转了( )；分针从数字“”绕中心顺时针旋转后指向数字( )． 12．如果现在是，那么经过______分钟，分针与时针第一次相遇． 13．（钟表问题）如图，假设某星球的一天只有小时，每小时分钟，那么点分时，时针和分针所形成的锐角是_________度． 题型五 方向角的表示 14．如图，射线表示________方向，射线表示________方向． 15．海面上灯塔位于一艘船的北偏东50°的方向上，那么这艘船位于灯塔的_________． 16．如图，我们知道射线OA表示的方向是北偏东40°．∠AOB=100°,那么射线OB表示的方向是_____． 题型六 与方向角有关的计算题 17．如图，已知的方向为北偏西，，则的方向为（    ） A．南偏西 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏东 18．小明同学从地出发沿北偏东的方向到地，再由地沿南偏西的方向到地，则______． 19．某轮船在处，测得灯塔在北偏东的方向上，测得灯塔在南偏东 的方向上，则__________． 题型七 角的单位与角度制 20．．依次填________，________，________． 21．从3点15分开始到时针与分针第一次成角，需要的时间是________分． 22．下列关系式正确的是　　 A． B． C． D． 题型八 角的度数大小比较 23．一个钝角减去一个锐角所得的差是（    ） A．直角 B．锐角 C．钝角 D．以上三种都有可能 24．若，，，则（  ） A． B． C． D． 25．如图，已知，用量角器度量的度数为__________． 题型九 角的比较 26．如图所示的正方形网格，则________．（填“”“”或“”） 27．如图所示，由正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么与的大小关系是__．（填“＞”，“＜”或“＝”） 28．如图所示，点A、O、E在一条直线上，，那么下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 题型十 三角板中角度计算问题 29．把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则的大小为（    ） A． B． C． D． 30．将两块直角三角板的直角顶点重合为如图所示位置，若=，则=__________． 31．如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，的大小是（    ） A．25° B．35° C．55° D．65° 题型十一 几何图形中角度计算问题 32．如图所示，点A、O、B在同一条直线上，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 33．如图，在内部引两条射线，．若，，，则的度数为______． 34．如图，在内部有三条射线依次分布，若，，则（   ） A． B． C． D． 题型十二 角度的四则运算 35．下列角度的计算或换算正确的是（   ） A． B． C． D． 36．如图，A地和地都是海上观测站，A地在灯塔的北偏东方向，，则地在灯塔的（    ） A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．南偏西方向 D．东偏南方向 37．已知如图，，，小明想过点引一条射线，使（与都小于平角），那么的度数是（    ） A． B．或 C． D．或 题型十三 实际问题中角度计算问题 38．“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为______． 39．如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是______． 40．如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 题型十四 尺规作一个角等于已知角 41．下列作图属于尺规作图的是（    ） A．用量角器画出，使 B．用三角板画出，使 C．用三角板画 D．借助没有刻度的直尺和圆规作，使 42．用尺规作一个角等于已知角：如图，已知，求作，使．可以通过以下步骤作图： ①作射线；②以点为圆心，以为半径画弧交于点；③以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点；④过点作射线，即为所求作的角；⑤以点为圆心，以为半径画弧交前面的弧于点．则下列排序正确的是（   ） A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．①②③⑤④ D．①⑤②③④ 43．如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 题型十五 角平分线的有关计算 44．如图，，平分，，度数是______． 45．如图，点是直线上一点，．平分，于点，则________度． 46．如图所示，点A、C、B三点共线，，、、分别平分，，，下列结论： ①；②； ③；④； 其中正确的有：（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十六 角 n 等分线的有关计算 47．射线是的四等分线，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 48．如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为__________．    49．如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D． 题型十七 求一个角的余角 50．若，则的余角的大小是（     ） A． B． C． D． 51．已知与互为余角，，则的度数是________． 52．如图，将一副三角板的两直角顶点重合放置，已知，则的余角的度数为______． 题型十八 求一个角的补角 53．已知一个角的度数是，则这个角的补角的度数是（     ） A． B． C． D． 54．如图，直线，交于点．若，则的补角的度数为（     ）． A． B． C． D． 55．如图，，直线经过点．在下面的五个式子中：①；②；③；④；⑤，等于的补角的式子的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型十九 与余角、补角有关的计算 56．已知与互余，与互补，若，则_______． 57．如图，射线、、、、分别对应量角器上外圈的，，，， 刻度，则关于与的关系可表述为____________． 58．如图，已知，平分，图中有m对互余的角；图中有n对互补的角，则m， n的值分别为（　　） A． B． C． D． 题型十九 与余角、补角有关的计算 59．数学课堂上，探究“对顶角相等”时，进行了如下推理，其推理的依据为（    ） 因为，所以．（依据：_____） A．同角的余角相等 B．等式的基本性质 C．邻补角的定义 D．同角的补角相等 60．如图，点C是射线OA上一点，过C作，垂足为D，作，垂足为C，交OB于点E．给出下列结论：①是的余角；②；③图中互余的角共有3对；④．其中正确结论有______． 61．如图，是直线上一点，，则图中互余的角、互补的角分别有（   ） A．3对、3对 B．4对、7对 C．4对、4对 D．4对、5对 解答题 1．计算： (1) (2)． 2．如图，已知，用直尺和圆规作一个角，使（不写作法，保留作图痕迹）． 3．如图，是直线上一点，是直线上方过点的一条射线，．若射线在内，的大小为，射线在直线上方，且． (1)用的代数式表示________； (2)当时，求的值； (3)若射线在内，且，当，，三条射线中的一条射线是另两条射线组成的夹角的平分线时，请直接写出的值． 4．综合与实践 【问题情境】 某校六年级数学学习小组在课后综合实践活动中，进行“玩转三角板”的探究活动． 【问题实践】 为直线上一点，过点在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点重合，射线和三角板均可以围绕点旋转（旋转时始终在直线上方）． 【解决问题】你来试试吧！ (1)如图，若，当三角板的直角边与重合，________，________； (2)如图，若将三角板绕点逆时针旋转一定角度得到图，此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； 【深入探究】 (3)未来可期小组受到启发进行了进一步动态探究： 如图，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果直接写出旋转过程中与之间的数量关系． 5．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． (1)如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则______； (2)如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则________． 6．如图，是直线上一点，平分，平分，与互补．求的度数． 补全下面的解题过程，括号内填推理的依据． 解：因为是直线上一点， 所以①． 因为与互补， 所以②． 所以．（③） 因为平分，平分， 所以，． 所以④． 所以⑤． 7．如图所示，O点是学校所在的位置，A小区位于学校南偏东，B小区位于学校西北方向，在A小区和B小区之间有一条公路（射线）平分． (1) 度； 度； (2) 度； (3)公路上的车站D相对于学校O的方位是 ． 8．“时钟里的数学”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，时钟上的时针和分针都绕其轴心顺时针旋转，分针每分钟旋转一周，时针每60分钟旋转． 我们规定：旋转速度旋转角度旋转时间． (1)分针的旋转速度为每分钟转 度，时针的旋转速度为每分钟转 度； (2)如图1，时钟的时间为，我们可以理解成如图2的数学模型，时针为射线，分针为射线． ①求经过多少分钟，分针与时针第一次重合； ②如图3，在时，在的左侧作．在后，分针与时针旋转的过程中，保持不动，平分始终成立，求在之间的55分钟内，经过多少分钟，？（本小题中的角均指小于的角） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13角知题通关讲义 知识点01：角的定义 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。公共端点叫角的顶点，两条射线叫角的两条边。 动态定义：一条射线绕着它的端点旋转到另一位置所形成的图形。起始射线叫始边，终止射线叫终边。 关键点：角的两条边是射线，可无限延伸。 知识点02：平角与周角的定义 一条射线绕着它的端点旋转，当终边旋转到和始边成一条直线时，所成的角叫作平角，如图 1 所示；旋转到终边和始边再次重合时，所成的角叫作周角，如图 2 所示。 知识点03：角的表示方法（规范无错误，考试必考点） 知识点04：角的度量（基础核心，无复杂计算） 度量单位：度（°）、分（′）、秒（″） ，遵循 “六十进制”（和时间换算一致，易理解）。 换算关系（必背，考试直接考）：1∘=60′，1′=60′′，1∘=3600′′（简单记：大单位换小单位乘 60，小单位换大单位除以 60）。 度量工具：用直尺配套的量角器，测量时注意 “顶点对齐量角器中心、一条边对齐 0 刻度线”，避免读错刻度。 知识点05:角的分类 补充说明 平角、周角仅作基础了解，不深入考查计算，重点掌握前 3 种（锐角、直角、钝角）。 易错点：平角不是 “一条直线”，而是 “两条反向射线组成的角”，考试常考辨析。 知识点06：比较角的大小 度量法：用量角器量出度数，度数大的角更大。 叠合法（形的比较）： 将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，就可以比较大小。如图，先让两个角的顶点 O 与 O′重合，再让一条边 OB 与 O′D 重合，使另一条边 OA 和 O′C 落在 OB（或 O′D）的同侧。 知识点07：用度量器作一个角等于已知角 知识点08:角的核心运算（基础易懂，无复杂步骤） （一）角的和差运算 核心逻辑：两个角可以直接相加、相减，结果仍为角（单位统一为度、分、秒）。 示例：∠1=30∘20′，∠2=25∘40′，则∠1+∠2=56∘，∠1−∠2=4∘40′（注意分的加减，满 60 进 1、不够减借 1 当 60）。 （二）角的平分线（高频考点） 定义：从角的顶点出发，画一条射线，把这个角分成两个完全相等的小角，这条射线就是角的平分线。 核心结论：若 OC 是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC（简单记：平分就是 “平均分”，两个小角相等）。 易错提醒：平分线是 “射线”，不是线段，没有长度，只表示平分角度的位置。 知识点09：余角与补角 1. 定义 互余：两个角和为90，称这两个角互为余角； 互补：两个角和为180，称这两个角互为补角。 2. 核心性质 同角（等角）的余角相等； 同角（等角）的补角相等。 3. 关键提醒 互余、互补只看度数和，与位置无关，不需要相邻。 1、角的概念理解偏差 易错提醒：角是由两条具有公共端点的射线所组成的图形；两条射线必须共享同一个公共端点；任意两条射线不能直接构成角；角的大小仅由两边张开程度决定，与射线的长短没有关系。 2、角的表示方法使用错误 易错提醒：采用单个大写字母表示角时，该顶点处只能存在唯一的一个角；顶点处含有多个角时，禁止只用一个大写字母表示；使用三个大写字母表示角，顶点字母必须写在中间位置。 3、度、分、秒单位换算错误 易错提醒：角度为六十进制，1=60'}，1'=60''；度分秒换算不能使用十进制；高级单位换算为低级单位乘以60，低级单位换算为高级单位除以60。 4、图形中角的个数统计错误 易错提醒：数角需要按照有序顺序统计，防止重复计数或者漏计；依次选取每一条射线作为起始边向后统计；根据题目要求确定是否计入平角，不可额外多加平角。 5、角平分线判定条件掌握不完整 易错提醒：射线OC为AOB的角平分线，则AOC=COB=AOB；判定角平分线需要同时满足两个条件：射线位于角的内部，分割得到两个相等的角；仅 AOC=COB时，射线可能处于角的外部，不能判定该射线为角平分线。 6、余角概念判定错误 易错提醒：两个角的度数之和等于90，则两个角互为余角；余角只取决于角度数值，和角所处位置无关；余角描述属于两角之间的相互关系，不能单独称某一个角为余角。 7、补角概念判定错误 易错提醒：两个角的度数之和等于180，则两个角互为补角；补角只取决于角度数值，和角所处位置无关；补角描述属于两角之间的相互关系，不能单独称某一个角为补角。 8、余角、补角性质记忆混淆 易错提醒：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等；区分90°与180°对应的性质；“同角”、“等角”两种情况该性质均可成立。 9、角度计算没有分类讨论造成漏解 易错提醒：题干未给出射线确切位置时，射线既可以在角的内部，也可以在角的外部；直接默认射线位于角的内部进行运算，会造成结果遗漏，需要分类进行求解。 题型 考察方向 难度 题型一 角的概念理解 ★ 题型二 角的表示方法 ★ 题型三 角的分类 ★ 题型四 钟面角 ★★ 题型五 方向角的表示 ★★ 题型六 与方向角有关的计算题 ★★ 题型七 角的单位与角度制 ★ 题型八 角的度数大小比较 ★ 题型九 角的比较 ★ 题型十 三角板中角度计算问题 ★★ 题型十一 几何图形中角度计算问题 ★★ 题型十二 角度的四则运算 ★ 题型十三 实际问题中角度计算问题 ★★ 题型十四 尺规作一个角等于已知角 ★★ 题型十五 角平分线的有关计算 ★★ 题型十六 角 n 等分线的有关计算 ★★ 题型十七 求一个角的余角 ★ 题型十八 求一个角的补角 ★ 题型十九 与余角、补角有关的计算 ★★ 题型二十 同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 ★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 角的概念理解 1．如图所示，其中小于的角共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了角的识别，熟练掌握有公共端点的两条射线组成的图形叫做角是解答本题的关键． 的角即为平角，要找小于的角，即是找小于平角的角观察图形，分别找出以O为顶点的角有哪些，就可找出所有的角． 【详解】解：小于的角有， ∴有5个， 故选：C． 2．如图，给出下列说法：①和是同一个角；②和是同一个角；③和是同一个角；④和不是同一个角．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】角是由有公共的端点的两条射线组成的图形，注意是同一个角必须满足：（1）顶点相同；（2）两边所在的射线相同． 【详解】解：根据角的定义可知： ①与满足顶点相同，两边所在的射线相同．和是同一个角，说法正确，符合题意； ②和满足顶点相同，两边所在的射线相同．和是同一个角，说法正确，符合题意； ③和的顶点相同，两边所在的射线不相同．和不是同一个角，说法错误，不符合题意； ④和的顶点不相同，两边所在的射线也不相同．和不是同一个角，说法正确，符合题意． 说法正确的有三个， 故选：C． 【点睛】角是由有公共的端点的两条射线组成的图形，注意是同一个角必须满足：（1）顶点相同；（2）两边所在的射线相同，解决问题的关键是掌握角的概念以及特征． 3．观察图形，回答下列问题． (1)如图1，在比较与这两条路径的长短时，写出你已学过的可以用到的一个事实 ，结果为：的路径 的路径（填“大于”、“小于”或“等于”）； (2)如图2，的路径 的路径（填“大于”、“小于”或“等于”）； (3)如图3，写出所有以点C为顶点的角 ，写出所有以为边的角 ． 【答案】(1)两点之间线段最短，大于 (2)小于 (3)， ． 【分析】（1）根据两点之间，线段最短即可得结论； （2）根据两点之间，线段最短即可判断； （3）根据角的定义即可解答． 【详解】（1）解：用到的一个事实是：两点之间，线段最短，结果为：的路径大于的路径； （2）解：如图所示，延长交于点， 由两点之间，线段最短可知：大于，故大于， 同理可得：大于， ∴大于， ∴大于，即的路径小于的路径； （3）解：以点C为顶点的角有， 以为边的角有． 题型二 角的表示方法 4．如图，可以表示成或________，可以表示成________，可以表示成________或________． 【答案】 B BAD ACB 【分析】根据角的表示方法可得可以表示成或，可以表示成，可以表示成或，据此可得出答案． 【详解】解：根据角的表示方法可得可以表示成或， 可以表示成， 可以表示成或． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了角的表示方法，准确识图，解决问题的关键是熟练掌握角的表示方法． 5．如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在内画2条射线时，则图中共有6个角：在内画3条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在内画条射线时，图中共有___________个角． 【答案】 【分析】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律． 根据图形数出即可得出前三个的答案，根据结果得出规律． 【详解】解：在内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有个角， 故答案为：． 6．对于如图所示的角，描述错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．若是的平分线，则 C． D．可以用表示 【答案】D 【分析】本题考查角的表示方法，角平分线的定义，角的和差关系；根据角度表示的方法：可以在角的两边上各取一个点，将角的顶点放在中间，用三个大写字母表示一个角；也可用一个希腊字母表示一个角；当一个顶点处只有一个角时，可用顶点的大写字母表示这个角，据此判断A、D选项；用角平分线的定义、角的和差关系可判断B、C选项． 【详解】解：A、由图可知：与表示同一个角，故A不符合题意； B、由角平分线的定义可得：若是的平分线，则，故B不符合题意； C、由图可知：，故C不符合题意； D、当一个顶点处有两个或两个以上角时，不能用顶点的大写字母表示角，不可以用表示，故D符合题意． 故选：D． 题型三 角的分类 7．如图，下列四个城市相应钟表指示的时刻，其中时针与分针所成角是锐角的是（    ） A． B． C．   D．   【答案】A 【分析】本题主要考查了角的分类，根据锐角是0到90度的角进行求解即可． 【详解】解；A、图中时针与分针所成角的度数在0到90度之间，是锐角，符合题意； B、图中时针与分针所成角的度数是0度，不是锐角，不符合题意； C、图中时针与分针所成角的度数大于90度，不是锐角，不符合题意； D、图中时针与分针所成角的度数等于90度，不是锐角，不符合题意； 故选A． 8．下列各角中，是钝角的是（    ） A．周角 B．平角 C．2锐角 D．直角 【答案】B 【分析】根据周角、平角、直角的度数计算出各角，再根据钝角定义判定即可． 【详解】解：A、周角是直角，故此选项不符合题意； B、平角是钝角，故此选项符合题意； C、∵锐角，当锐角时，2锐角，2锐角是锐角；当锐角时，2锐角，2锐角是直角；当锐角时，2锐角，2锐角是钝角；故此选项不符合题意； D、∵直角是锐角，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查角的分类，熟练掌握大于90度且小于180度的角叫钝角是解题的关键． 9．如图所示，∠BOD＝45°，那么不大于90°的角有___个，它们的度数之和是____． 【答案】 10 450° 【分析】(1)∠AOE＝90°，故图中所有的角都是不大于90°的角； (2)将所有的角相加，发现有的角相加等于∠EOA，即和为90°，而有的角相加等于∠BOD，即和为45°，将这样的角凑在一起计算，即可求出所有角的度数. 【详解】不大于 90°的角有∠EOD，∠EOC，∠EOB，∠EOA，∠DOC，∠DOB，∠DOA，∠COB，∠COA，∠BOA共10个； 它们的度数之和是(∠EOD＋∠DOA)＋(∠EOC＋∠COA)＋(∠ EOB＋∠BOA)＋[(∠DOC＋∠COB)＋∠DOB]＋∠EOA＝90°＋90°＋90°＋(45°＋45°)＋90°＝450°. 故答案为10；450°. 【点睛】此题主要考查角的表示与和差关系，解题的关键是熟知角的定义运算法则. 题型四 钟面角 10．时钟的表面上，分针转动两周时，时针同时转过的角是________度． 【答案】 【分析】分针转动周对应经过小时，转动周即经过小时，钟面一圈为，被平均分为个对应小时的大格，先求每小时时针转过的角度，再计算小时转过的总角度． 【详解】解：∵分针转动1周对应经过小时， ∴分针转动两周对应经过小时， ∵钟面一圈总角度为，且被平均分为个对应小时的大格， ∴每经过小时，时针转过的角度为， ∴经过小时，时针转过的总角度为． 11．钟面上，分针从数字“”绕中心顺时针旋转到数字“”，旋转了( )；分针从数字“”绕中心顺时针旋转后指向数字( )． 【答案】 【分析】根据钟面角的性质可知分针转动一个大格，旋转了，即可得出答案；再根据分针顺时针旋转，即转动6个大格，可得答案． 【详解】解：根据题意可知分针转动一个大格旋转了， ∴分针从数字“1”绕中心顺时针旋转到数字“4”，即转动了3个大格， 则分针旋转了； 分针从数字“5”绕中心顺时针旋转， 分针转动了个大格， 即分针从数字“5”绕中心顺时针旋转后指向数字为“11”． 12．如果现在是，那么经过______分钟，分针与时针第一次相遇． 【答案】 【分析】本题主要考查钟面角问题，熟练掌握时针与分针的速度以及追赶问题的求解方法是解题的关键． 先明确时针和分针的速度，再计算出时分针与时针的夹角，最后根据追赶问题公式求出相遇所需时间． 【详解】解：时针速度：/分钟， 分针速度：/分钟 时，时针与分针的夹角为： 设经过分钟，分针与时针第一次相遇，可得 ， ， ， 故答案为：． 13．（钟表问题）如图，假设某星球的一天只有小时，每小时分钟，那么点分时，时针和分针所形成的锐角是_________度． 【答案】 【分析】本题考查对钟面上的角的知识以及该知识的延伸，知道周角是度，根据这些求出时针和分针每走1小时和一分钟各是多少度，然后再计算即可解答．首先要明确，分针转圈是度，然后假设从点开始，求出点分时，分针和时针各走了多少度，然后相加即可． 【详解】解：设正上方为度，一天只有小时，每小时分钟， 根据题意可知，时针每走小时，转动的度数为(度)， 分针每走分钟，转动(度)， 点分时小时， 那么时针转动度数为：(度)， 分针转动：(度)， 时针和分针所形成的锐角(度)． 故答案为：度． 题型五 方向角的表示 14．如图，射线表示________方向，射线表示________方向． 【答案】 北偏东 南偏西 【详解】解：射线表示北偏东方向，射线表示南偏西方向． 15．海面上灯塔位于一艘船的北偏东50°的方向上，那么这艘船位于灯塔的_________． 【答案】南偏西50° 【分析】根据两点间方位角相反角度相等即可得到答案 【详解】∵灯塔位于一艘船的北偏东50°的方向上， ∴这艘船位于灯塔的南偏西50°方向上， 故答案为：南偏西50°. 【点睛】此题考查方位角，两点互看的方位角的特点：方向相反，角度相等，正确掌握两点间方位角的特点即可正确解答. 16．如图，我们知道射线OA表示的方向是北偏东40°．∠AOB=100°,那么射线OB表示的方向是_____． 【答案】北偏西60°． 【分析】根据方位角的定义，即可解答． 【详解】∵射线OA表示的方向是北偏东40°．∠AOB=100°, ∴射线OB表示的方向是北偏西60°； 故答案为：北偏西60°． 【点睛】本题考查了方向角，解决本题的关键是熟记方向角的定义． 题型六 与方向角有关的计算题 17．如图，已知的方向为北偏西，，则的方向为（    ） A．南偏西 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏东 【答案】D 【分析】本题考查方位角，根据图示得出在北偏东方向的度数即可． 【详解】解：由题意知，的方向为北偏东，即北偏东， 故选：D． 18．小明同学从地出发沿北偏东的方向到地，再由地沿南偏西的方向到地，则______． 【答案】40° 【分析】可根据题意画出示意图求解即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 由图可知， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是方位角，根据题意确定点A、B、C的位置是解此题的关键． 19．某轮船在处，测得灯塔在北偏东的方向上，测得灯塔在南偏东 的方向上，则__________． 【答案】 【分析】根据方位角的性质即可求出的度数． 【详解】根据题意得 故答案为：80°． 【点睛】本题考查了方位角的度数问题，掌握方位角的性质是解题的关键． 题型七 角的单位与角度制 20．．依次填________，________，________． 【答案】 20 15 36 【分析】利用度分秒的进制换算规则，，，将度数的小数部分逐级换算为分和秒即可得到结果． 【详解】解：∵度分秒为进制，满足，， ∴的整数部分就是度数的整数部分，即； 将小数部分换算为分：，得到分的整数部分为； 再将分的小数部分换算为秒：， ∴． 21．从3点15分开始到时针与分针第一次成角，需要的时间是________分． 【答案】 【分析】设分针每分钟旋转的角度为，可用表示出时针每分钟旋转的角度，角，再根据点整时时针领先分针，作为追及问题，由于3点15分时分针与时针夹角为，小于，从而可得出分针必须追上时针并超出时针，然后根据从3点整算起，求出所需时间，再从3点15分开始到时针与分针第一次成角，求出所需时间即可． 【详解】解：设分针每分钟旋转的角度为， 则时针每分钟旋转的角度为， 角为， 点整时时针领先分针， 作为追及问题，由于3点15分时分钟与时针夹角为，小于， 所以分针必须追上时针并超出时针， 从3点整算起，所需时间（分）， 则从3点15分开始到时针与分针第一次成角， 所需时间（分）． 22．下列关系式正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】度分秒的换算,根据1°=60′，1′=60″求得结果 【详解】解：A、15.5°=15°30′，错误； B、15.5°=15°30′，错误； C、15.5°=15°30'＞15°5’，正确； D、15.5°=15°30'＞15°5’，错误； 故选C． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，相对比较简单，注意以60为进制即可． 题型八 角的度数大小比较 23．一个钝角减去一个锐角所得的差是（    ） A．直角 B．锐角 C．钝角 D．以上三种都有可能 【答案】D 【分析】根据角的分类和直角，锐角，钝角的定义，可知锐角大于小于，钝角大于小于，直角为，所以一个钝角减去一个锐角的差可能为锐角、直角、钝角三种都可能，由此判定即可． 【详解】由锐角大于小于，钝角大于小于，直角为，所以一个钝角减去一个锐角的差可能为锐角、直角、钝角三种都可能， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的分类，利用锐角、直角、钝角的定义，判定角度大小即可． 24．若，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】∠A、∠B已经是度、分、秒的形式，只要将∠C化为度、分、秒的形式，即可比较大小． 【详解】解：∵，，=60°15′， ∴∠A＞∠B＞∠C． 故选：A． 【点睛】主要考查了两个角比较大小．在比较时要注意统一单位后再比较. 25．如图，已知，用量角器度量的度数为__________． 【答案】 【分析】根据量角器的使用方法量角即可得到答案； 【详解】解：根据量角器的使用方法，量得图中的度数为50°， 故答案为：50°． 【点睛】本题主要考查了量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键． 题型九 角的比较 26．如图所示的正方形网格，则________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，由，即可解答． 【详解】解：由图可得，， ， 故答案为：． 27．如图所示，由正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么与的大小关系是__．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【分析】如图：连接，则，又，即． 【详解】解：如图：连接， 由题意得：， ∵， ∴． 故答案为：＞． 【点睛】本题主要考查了角的大小比较，根据方格作出是解答本题的关键． 28．如图所示，点A、O、E在一条直线上，，那么下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的和与差进行比较，，即；利用，选项D正确，再减去共同角，可得，由此得到正确选项． 【详解】∵ ∴即，所以A正确； ∵ ∴，所以D正确； ∴即，所以B正确． 故选C． 【点睛】考查角的和与差的知识点，学生要掌握等量代换的方法找到相等的角，熟悉了解角的和与差是解题的关键． 题型十 三角板中角度计算问题 29．把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】识别图中两块三角板的类型及其对应角的度数，利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：由图可知，是由两块三角板的两个角拼接而成． ． 30．将两块直角三角板的直角顶点重合为如图所示位置，若=，则=__________． 【答案】20° 【分析】根据题意，可知∠AOB=∠COD=90°，∠AOC=∠BOD，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，有∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOB=∠COD， ∴∠AOC=∠BOD， ∵∠AOD=110°， ∴∠AOC=∠BOD=110°90°=20°； 故答案为：20°. 【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，以及角的和差，解题的关键是正确得到∠AOC=∠BOD. 31．如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，的大小是（    ） A．25° B．35° C．55° D．65° 【答案】C 【分析】根据∠BAC=60°，∠1=25°，求出∠EAC的度数，再根据∠2=90°-∠EAC，即可求出∠2的度数． 【详解】解：∵∠BAC=60°，∠1=25°， ∴∠EAC=35°， ∵∠EAD=90°， ∴∠2=90°-∠EAC=90°-35°=55°； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了涉及三角板之间的角度的计算，关键是求出∠EAC的度数，是一道基础题． 题型十一 几何图形中角度计算问题 32．如图所示，点A、O、B在同一条直线上，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出，然后结合平角求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 33．如图，在内部引两条射线，．若，，，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】此题考查了几何图形中角度的计算，根据已知可得，则，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 34．如图，在内部有三条射线依次分布，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差倍关系，设，可得，，进而得到，再根据角的和差关系即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 题型十二 角度的四则运算 35．下列角度的计算或换算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角度的计算和换算，正确掌握角度的换算是解答本题的关键．运用角度的计算和换算方法逐一计算判断即可． 【详解】解:Ａ.，原式计算错误，故本选项不符合题意； Ｂ.，原式计算错误，故本选项不符合题意； C.，正确，故本选项符合题意； D.，原式计算错误，故本选项不符合题意； 故选：C 36．如图，A地和地都是海上观测站，A地在灯塔的北偏东方向，，则地在灯塔的（    ） A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．南偏西方向 D．东偏南方向 【答案】B 【分析】本题考查度分秒的换算、方向角，掌握度分秒的换算关系及方向角的计算方法是解题的关键． B地在灯塔O的南偏东方向或东偏南方向，分别计算相应角度即可． 【详解】解：∵， ∴B地在灯塔O的南偏东方向． 故选：B． 37．已知如图，，，小明想过点引一条射线，使（与都小于平角），那么的度数是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】分OD在∠AOB的内部与外部两种情况，画出图形求解即可． 【详解】解：①当OD在∠AOB内部时，如图①， ∵，∠AOB=100°， ∴∠BOD=∠AOB=×100°=75°， ∴∠BOC=∠BOD-∠BOC=75°-30°=45°．   ②当OD在∠AOB外部时，如图②， ∵，∴∠AOD:∠AOB=1:2， ∴∠AOD=50°， 又∠AOC=∠AOB-∠BOC=100°-30°=70°， ∴∠COD=∠AOD+∠AOC=50°+70°=120°， 故∠COD的度数为45°或120°． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了角的计算，根据已知进行分类讨论是解题关键． 题型十三 实际问题中角度计算问题 38．“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了方位角的计算，角度的计算，如图，根据题意得，由即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意：， 则， ∴， 故答案为：． 39．如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是______． 【答案】或 【分析】本题考查平移的性质，分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解． 【详解】解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 当点在的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 40．如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据方位角以及平行线的性质可得∠2=∠3=、∠1=，则∠ABE＝∠1+∠2，最后计算即可． 【详解】解：如图： ∵小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处 ∴∠2=∠3=，∠1= ∴∠ABE＝∠1+∠2=138°． 故答案为D． 【点睛】本题主要考查了方位角和角的运用，正确认识方位角成为解答本题的关键． 题型十四 尺规作一个角等于已知角 41．下列作图属于尺规作图的是（    ） A．用量角器画出，使 B．用三角板画出，使 C．用三角板画 D．借助没有刻度的直尺和圆规作，使 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图的定义，根据尺规作图是指仅借助没有刻度的直尺和圆规完成的作图，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A选项用量角器作图，不符合尺规作图定义； B选项用三角板作图，不符合尺规作图定义； C选项用三角板作图，不符合尺规作图定义； D选项借助没有刻度的直尺和圆规作角，符合尺规作图定义． 故选：D． 42．用尺规作一个角等于已知角：如图，已知，求作，使．可以通过以下步骤作图： ①作射线；②以点为圆心，以为半径画弧交于点；③以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点；④过点作射线，即为所求作的角；⑤以点为圆心，以为半径画弧交前面的弧于点．则下列排序正确的是（   ） A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．①②③⑤④ D．①⑤②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角的步骤，熟练掌握尺规作图的基本原理和顺序是解题的关键． 先回忆尺规作一个角等于已知角的完整步骤，再对照题目给出的五个步骤进行逻辑排序． 【详解】解：①作射线； ③以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点； ②以点为圆心，以为半径画弧交于点； ⑤以点为圆心，以为半径画弧交前面的弧于点； ④过点作射线，即为所求作的角． ∴正确排序为：①③②⑤④， 故选：． 43．如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图中尺规作图的痕迹，可得，进而判定，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得，故B选项正确； ∴， ∴，，故选项A、D正确； ∵，，而和的关系不确定， ∴和的关系不确定，故C选项错误． 题型十五 角平分线的有关计算 44．如图，，平分，，度数是______． 【答案】70 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的运算，掌握角平分线的定义是解题关键 根据角平分线的定义，得到，再通过角度的和差计算求解即可 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， 故答案为： 70． 45．如图，点是直线上一点，．平分，于点，则________度． 【答案】 【详解】解：点是直线上一点，， ． 平分， ． ， ． 46．如图所示，点A、C、B三点共线，，、、分别平分，，，下列结论： ①；②； ③；④； 其中正确的有：（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 由角平分线的定义得出，，，结合已知条件可得出，，即可判断①②，再由平角的定义和角度的和差即可得出，即可判断③，由角的等量代换可得出，由即可得出，即可判断④． 【详解】解：①如图所示， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴ ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∴， ，故③正确； ∵ ∵ ∴，故④错误． 综上所述，正确的结论是①②③，共3个． 故选：C． 题型十六 角 n 等分线的有关计算 47．射线是的四等分线，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角等分线的有关计算．根据射线是的四等分线，将角均分为四份，是其中的2份，即可求解． 【详解】解：∵射线是的四等分线，， ∴， ∴， 故选：B． 48．如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为__________．    【答案】或 【分析】本题主要考查了垂直的定义、余角的性质、角等分线等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 先根据余角的定义可得，再根据是的三等分线可得或，据此分两种情况解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的三等分线， ∴或， ∵，， ∴当时，； 当时，； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 49．如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度的计算，角的数量问题，根据题意可得每一个小角的度数为，进而将所有角的度数相加即可求解． 【详解】∵四条射线五等分， ∴每个小角的度数为．如图， 图中所有锐角的和为 ， 故选：A． 题型十七 求一个角的余角 50．若，则的余角的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互为余角的两个角的和为，计算即可求解． 【详解】解：∵互为余角的两个角的和为， ∴的余角为：． 51．已知与互为余角，，则的度数是________． 【答案】 【分析】根据互为余角的两个角的和为即可求解，掌握余角的定义是解题的关键． 【详解】解：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴． 52．如图，将一副三角板的两直角顶点重合放置，已知，则的余角的度数为______． 【答案】/30度 【分析】先求得，进而根据余角的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的余角的度数为． 题型十八 求一个角的补角 53．已知一个角的度数是，则这个角的补角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互补两个角的和是求解即可． 【详解】解：这个角的补角等于． 54．如图，直线，交于点．若，则的补角的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角相等可得，继而根据补角的定义得到的补角的度数． 【详解】解：∵直线，交于点， ∴， ∴的补角的度数为． 55．如图，，直线经过点．在下面的五个式子中：①；②；③；④；⑤，等于的补角的式子的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据已知条件得到∠1+∠2=90°，∠2+∠3=180°，利用补角定义依次判断即可． 【详解】解：∵， ∴∠1+∠2=90°， ∵直线经过点， ∴∠2+∠3=180°， ①；②是等于的补角的式子， ∵2（∠1+∠2）=180°， ∴∠2=180°-（），故③符合题意； ∵∠3=180°-∠2，∠1=90°-∠2， ∴=2（180°-∠2）-2（90°-∠2）-∠2=，故④符合题意； ∵， ∴⑤不符合题意， 故选：C． 【点睛】此题考查了补角的定义：相加得180度的两个角叫互为补角，根据图形对角度进行和差计算是解题的关键． 题型十九 与余角、补角有关的计算 56．已知与互余，与互补，若，则_______． 【答案】 【分析】先根据互余的定义结合已知条件求出，再根据互补的定义求出即可． 【详解】解：∵，与互余， ∴， ∵与互补， ∴． 57．如图，射线、、、、分别对应量角器上外圈的，，，， 刻度，则关于与的关系可表述为____________． 【答案】互余 【分析】由题意可知，，，再求出可得与互余． 【详解】由题意可知：，，， ∴， ∴，即与互余． 58．如图，已知，平分，图中有m对互余的角；图中有n对互补的角，则m， n的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了补角和余角的定义，角平分线的定义，根据题意可得，则由周角的定义可得，根据角平分线的定义可得，再根据度数之和为90度的两个角互余，度数之和为180度的两个角互补即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，即与互补， ∴，即与互补； ∵， ∴与互余； ∵平分， ∴， ∴， ∴与互余，与互补， ∴互余的角有两对，互补的角有三对， ∴， 故选：B． 题型十九 与余角、补角有关的计算 59．数学课堂上，探究“对顶角相等”时，进行了如下推理，其推理的依据为（    ） 因为，所以．（依据：_____） A．同角的余角相等 B．等式的基本性质 C．邻补角的定义 D．同角的补角相等 【答案】D 【详解】解：∵（平角的定义）， 所以（同角的补角相等）． 60．如图，点C是射线OA上一点，过C作，垂足为D，作，垂足为C，交OB于点E．给出下列结论：①是的余角；②；③图中互余的角共有3对；④．其中正确结论有______． 【答案】①②④ 【分析】根据垂直可得直角，根据互余的定义，以及余角的性质，可得答案． 【详解】解：由，， 可得∠ODC=∠EDC=∠ECO=∠ECA=90°， 所以∠1+∠DCE=∠ECO=90°，∠1+∠AOB=180°-∠ODC=90°， 即∠1是的余角，， 故①②正确； 又因为∠CED+∠DCE=180°-∠EDC=90°，∠1+∠DCE =90°， 所以∠1=∠CED， 所以（等角的补角相等） 故④正确； ∠1与∠DCE互余，∠1与∠AOB互余，∠CED与∠DCE互余，∠AOB与∠CEO互余， 所以互余的角不止3对， 故③错误， 故答案为①②④ 【点睛】本题考查余角的定义，余角和补角的性质，等量代换的运用是解题的关键． 61．如图，是直线上一点，，则图中互余的角、互补的角分别有（   ） A．3对、3对 B．4对、7对 C．4对、4对 D．4对、5对 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角的判断，掌握根据角的和为找互余的角，和为找互补的角是解题的关键； 先根据已知的直角条件，找出互余的角，即和为的角对；再找出互补的角，即和为的角对，然后统计对数． 【详解】解：已知， ∴，，，， ∴，， 由此可知： 互余的角有：与，与，与，与，共对； 互补的角有：与，与，与，与，与，与，与，共对 故选：B． 解答题 1．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了度分秒的加减计算，熟练掌握换算方法是解题的关键． （1）先计算括号内的加法，两个度数相加，需要将度与度，分与分，秒与秒对应相加，分或秒的结果满60分别化为度和分．再计算减法，两个度数相减，借化为，借化为，然后进行计算即可． （2）先计算乘法，再计算减法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．如图，已知，用直尺和圆规作一个角，使（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】如图，即为所求． 【详解】略 3．如图，是直线上一点，是直线上方过点的一条射线，．若射线在内，的大小为，射线在直线上方，且． (1)用的代数式表示________； (2)当时，求的值； (3)若射线在内，且，当，，三条射线中的一条射线是另两条射线组成的夹角的平分线时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)的值为或 (3)的值为或 【分析】（1）根据，即可得出答案； （2）分射线在射线左边或射线在射线右边两种情形讨论，分别列出一元一次方程计算即可； （3）根据，得射线在射线左边，分当射线是射线与射线组成的夹角的平分线与射线是射线与射线组成的夹角的平分线时，分别列方程解决问题． 【详解】（1）解：如图所示， ∵，，， ∴， （2）解：∵的大小为，， ∴， ①如图所示，当射线在射线左边时， ∵，， ∴， 解得； ②当射线在射线右边时， ∵，， ∴， 解得； 综上，的值为或； （3）解：由题意可知， ∵， ∴射线在射线左边， ①如图， 当射线是射线与射线组成的夹角的平分线时， 此时，（此时与重合）， ∵，， ∴， 解得； ②如图， 当射线是射线与射线组成的夹角的平分线时， 此时，， ∵，； ∴； 解得． 综上所述，或． 4．综合与实践 【问题情境】 某校六年级数学学习小组在课后综合实践活动中，进行“玩转三角板”的探究活动． 【问题实践】 为直线上一点，过点在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点重合，射线和三角板均可以围绕点旋转（旋转时始终在直线上方）． 【解决问题】你来试试吧！ (1)如图，若，当三角板的直角边与重合，________，________； (2)如图，若将三角板绕点逆时针旋转一定角度得到图，此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； 【深入探究】 (3)未来可期小组受到启发进行了进一步动态探究： 如图，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果直接写出旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)平分， ， ， ，， ， 是的平分线， (3)， 【分析】（1）由邻补角和余角的定义求解即可； （2）由角平分线的定义可得，再根据，利用平角的定义可得、，进而得到即可说明； （3）根据、，求出，，再根据平分，得到，即可求出此时的度数；猜想，根据角平分线的定义，余角，补角的定义得到，即． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴，，． （2）略 （3）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 猜想：， ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 5．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． (1)如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则______； (2)如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则________． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了新定义——角的分位线．熟练掌握新定义和利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）求出，根据，分别为与的3分位线，（，），得，则； （2）根据、分别为与的5分位线，得或；或，当， 时，，不合题意；当，时，， 得；当，时，，得；当，时，，不合题意． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，分别为与的3分位线，（，）， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵射线为的5分位线， ∴，即，或，即； ∵射线为的5分位线， ∴，即，或，即， 当，时，则， ∵， ∴此时不满足题意； 当，时， 则， ∴， ∴； 当，时， 则， ∴； 当，时， 则， ∴此时不满足题意； 综上所述，或． 故答案为：或． 6．如图，是直线上一点，平分，平分，与互补．求的度数． 补全下面的解题过程，括号内填推理的依据． 解：因为是直线上一点， 所以①． 因为与互补， 所以②． 所以．（③） 因为平分，平分， 所以，． 所以④． 所以⑤． 【答案】；；同角的补角相等；； 【分析】本题主要考查了平角的定义、角平分线的定义、补角的性质，熟练掌握同角的补角相等及角平分线的定义是解题的关键．先利用平角定义得到与的和为．再根据“同角的补角相等”推出．接着由角平分线的性质，把用表示出来．最后代入互补关系的等式中，计算出的度数，从而得到的度数． 【详解】解：因为是直线上一点， 所以． 因为与互补， 所以． 所以．（同角的补角相等） 因为平分，平分， 所以，． 所以． 所以． 故答案为：；；同角的补角相等；；． 7．如图所示，O点是学校所在的位置，A小区位于学校南偏东，B小区位于学校西北方向，在A小区和B小区之间有一条公路（射线）平分． (1) 度； 度； (2) 度； (3)公路上的车站D相对于学校O的方位是 ． 【答案】(1)15；45； (2)75； (3)北偏东． 【分析】本题考查了方位角的概念及角度计算，涉及角平分线的性质，解题的关键是理解"南偏东""西北方向"等方位角的含义，明确不同方向之间的角度关系，并结合角平分线计算角度． （1）南偏东指从正南方向向东偏，正东与正南夹角为，故；西北方向即北偏西，与正北方向的夹角为，故． （2）先求在南偏东，B在北偏西，两者夹角（劣角）为；因平分，故． 在北偏西，在B与A之间，，即从B向东偏；计算得：北偏西向东偏，最终方位为北偏东． 【详解】（1）解：对于南偏东指从正南方向向东偏转，正东与正南方向的夹角为，因此． 对于西北方向即北偏西，指从正北方向向西偏转，因此． 故答案为：． （2）解：先求的度数： A小区在南偏东，B小区在北偏西，南北方向夹角为， 因此． 因射线平分，故． 故答案为：． （3）解：B小区在北偏西，射线在内部且， 即从B小区向东偏转． 计算相对于正北方向的偏转角度：从北偏西向东偏转，相当于从正北方向向东偏转，因此车站D相对于学校O的方位是北偏东． 故答案为：北偏东． 8．“时钟里的数学”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，时钟上的时针和分针都绕其轴心顺时针旋转，分针每分钟旋转一周，时针每60分钟旋转． 我们规定：旋转速度旋转角度旋转时间． (1)分针的旋转速度为每分钟转 度，时针的旋转速度为每分钟转 度； (2)如图1，时钟的时间为，我们可以理解成如图2的数学模型，时针为射线，分针为射线． ①求经过多少分钟，分针与时针第一次重合； ②如图3，在时，在的左侧作．在后，分针与时针旋转的过程中，保持不动，平分始终成立，求在之间的55分钟内，经过多少分钟，？（本小题中的角均指小于的角） 【答案】(1)； (2)①；②或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，注意分类讨论及数形结合是解题的关键． （1）根据题意直接计算旋转角度即可； （2）①根据重合，可得，再解方程即可； ②根据题意，分，在左边时，当，在右边时，当时三种情况进行讨论，再列出方程求解． 【详解】（1）由题可知，分针的旋转速度为每分钟转， 时针旋转一周为12小时，共分， 则时针的旋转速度为每分钟转； （2）①由（1）可知，， 设经过分钟，分针与时针第一次重合， ， 解得； 答：经过分钟，分针与时针第一次重合； ②设经过分钟， （i）当，在左边时，如图， ， 平分， ，， ，解得， 又时，， 此时，在右边，不符合题意； （ii）当，在右边时，如图， ， 平分， ，， ，解得， 又时，， 此时，在右边，符合题意； （iii）当时，如图， ， 平分， ，， ， 解得； 综上，经过或分钟，． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $