6.3相交线 同步讲义 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

第6章 6.3 相交线 内 容 导 航 题型1 对顶角、邻补角 题型2 垂线 题型3 垂线段最短 考 点 演 练 题型1 对顶角、邻补角 解｜题｜知｜识 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 【典例1】下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝∠COF＝90°，图中与∠BOC互补的角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】下面各图中∠1和∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图1，直线AB和CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为点O，OF平分∠AOE． （1）若∠BOD：∠BOC＝2：7． ①求∠BOD的度数； ②求∠COF的度数； （2）如图2，将直线CD绕着点O旋转，OC始终在OA的上方当∠AOC为锐角时，在∠AOC的内部作射线OM，使得射线OM平分∠AOC．判断∠FOM的度数是否发生变化？如果不变，求出∠FOM的度数；如果变化，请说明理由． 题型2 垂线 解｜题｜知｜识 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 【典例1】如图，直线AB、CD、EF相交于点O，CD⊥EF，若∠1＝36°，则∠2等于（　　） A．26° B．36° C．44° D．54° 【变式1】如图，∠1＝20°，则∠2的度数是（　　） A．40° B．60° C．70° D．80° 【变式2】下列选项中，过点A画BC的垂线AD，三角板摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】阅读理解：从∠α（90°＜α＜180°）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠α互为补角，则称该射线为∠α的“分补线”．如图，点O在直线AB上，OC、OD在直线AB上方，且OC⊥OD，射线OE是∠BOC的“分补线“． （1）若∠AOC＝32°，且OE在∠COD内部，则∠COE＝　 　 ； （2）若OE平分∠AOD，求∠BOD的度数； （3）若OF是∠BOE的平分线，OG是∠AOD的平分线，∠EOF与∠COG的数量关系：　 ． 题型3 垂线段最短 解｜题｜知｜识 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 【典例1】如图，AC⊥BC，AC＝6，AB＝10，D是线段BC上的动点，则A，D两点之间的距离可能是（　　） A．4 B．5 C．8 D．11 【变式1】宇树科技UnitreeB2﹣W轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线AB到达岸边．其中蕴含的数学原理是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式2】如图，某污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水渠PQ，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道AB．这种铺设方法蕴含的数学原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．垂线段最短 【变式3】如图，P是直线l外一点，A、B、C是直线l上的三点，且PB与l垂直，在从点P到点A、从点P到直线l的多条道路中，点P到点A的最短路线是　 　 ，点P到直线l的最短路线是　 　 （只填写序号即可）． 过 关 验 收 1. 如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，则∠BOD的度数等于（　　） A．20° B．30° C．35° D．40° 2. 如图是一把剪刀示意图，当剪刀口∠AOB增加30°时，∠COD（　　） A．增加60° B．不变 C．减少30° D．增加30° 3. O是直线AB上一点，∠BOC＝62°45′，则∠AOC＝ 　 　 ． 4. 如图是某古城墙的一角，因墙角内设有石雕，无法直接测量墙角∠AOB的度数，小莉分别延长AO、BO至点C、D，测得∠DOC＝140°，则∠AOB＝　 　 °． 5. 如图，直线AB和CD交于点O，∠COE＝90°，OD平分∠BOF，∠BOE＝55°． （1）求∠AOC的度数； （2）求∠EOF的度数． 6. 如图，直线AB、EF相交于点O，OC平分∠BOE，∠AOE＝∠COD． （1）判断∠AOD和∠BOE的大小关系并说明理由； （2）若∠EOD＝30°，求∠COF的大小． 7. 如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于O，若∠EOF＝α，下列说法①∠AOC＝α﹣90°；②∠EOB＝180°﹣α；③∠AOF＝360°﹣2α，其中正确的是 　 　 ． 8. 如图，直线AB和CD交于点O，射线OE平分∠AOD，∠BOD＝46°．作射线OF⊥AB于点O，∠EOF的度数为　 　 ． 9. 如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于O． （1）∠EOB的余角是　 ；（写出图中所有符合要求的角） （2）若∠EOF＝130°，求∠AOC的度数． 10. 已知直线AB和CD相交于点O，射线OE⊥AB于O，射线OF⊥CD于O，且∠AOF＝25°，求∠BOC与∠EOF的度数． 11. 如图，已知直线AB、CD相交于点O，OF⊥AB，点O为垂足，OE平分∠COB． （1）若∠BOE＝67°，求∠COF的度数； （2）若∠BOE：∠COF＝5：4，求∠EOF的度数． 12. 如图，直线AB、CD交于点O，OF平分∠BOD，OE⊥CD，∠AOE＝40°，求∠BOF的度数． 阅读下面的解答过程并填空（理由或数学式）． 解：∵OE⊥CD（　 　 ）， ∴∠EOC＝　 　 °． ∵∠AOE+∠AOC＝∠EOC ，∠AOE＝40°， ∴∠AOC＝∠EOC﹣∠ ＝90°﹣40° ＝50°． ∵直线AB、CD交于点O（已知）， ∴∠BOD＝∠AOC＝50°（　 ）． ∵OF平分∠BOD（已知）， ∴∠ （角平分线定义）． 即　 　 °． 13. 如图，将一块三角形木板截去一部分后，发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两直线相交只有一个交点 B．垂线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．两点之间，线段最短 14. 如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 15. 立定跳远是某市体育中考项目之一，女生成绩达到或超过1.85m获得满分，达到或超过1.95m获得加分．如图，一女生在起跳线l上的点A处起跳，在点B处落下，过点B作BC⊥l，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（　　） A．BC可能为1.95m B．BC可能为1.80m C．AB可能为1.85m D．BC可能为1.90m 16. 木工师傅锯木板时，往往先用墨盒经过木板上的两个点弹出一条笔直的墨线，然后就可以使木板沿直线锯下．能解释这一实际应用的数学知识是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．点到直线之间，垂线段最短 D．经过一点有无数条直线 17. 如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 18. 如图，用三张卡片拼成如图①，图②所示的两个四边形，其周长分别为C1、C2． （1）请你根据所学知识解释：在直角三角形卡片中，“n＜m”的理由是 ．（填写正确选项的字母） A．两点之间线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 （2）分别计算C1、C2（用含m、n的代数式表示）； （3）比较与的大小，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 6.3 相交线 内 容 导 航 题型1 对顶角、邻补角 题型2 垂线 题型3 垂线段最短 考 点 演 练 题型1 对顶角、邻补角 解｜题｜知｜识 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 【典例1】下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、图中，∠1与∠2不是对顶角，不符合题意； B、图中，∠1与∠2不是对顶角，不符合题意； C、图中，∠1与∠2是对顶角，符合题意； D、图中，∠1与∠2不是对顶角，不符合题意； 故选：C． 【变式1】如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝∠COF＝90°，图中与∠BOC互补的角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵∠AOE＝∠COF＝90°，即∠AOC+∠COE＝∠COE+∠EOF＝90°， ∴∠AOC＝∠EOF， 又∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠AOC＝∠BOD＝∠EOF， ∵∠BOC+∠AOC＝180°，即∠BOC与∠AOC互为补角， ∴∠BOC互补的角有：∠AOC，∠BOD，∠EOF共3个， 故选：C． 【变式2】下面各图中∠1和∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据对顶角的概念，结合图形可知B答案中∠1和∠2是对顶角． 故选：B． 【变式3】如图1，直线AB和CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为点O，OF平分∠AOE． （1）若∠BOD：∠BOC＝2：7． ①求∠BOD的度数； ②求∠COF的度数； （2）如图2，将直线CD绕着点O旋转，OC始终在OA的上方当∠AOC为锐角时，在∠AOC的内部作射线OM，使得射线OM平分∠AOC．判断∠FOM的度数是否发生变化？如果不变，求出∠FOM的度数；如果变化，请说明理由． 【答案】（1）①40°；②25°； （2）∠FOM的度数不变，∠FOM＝45°． 【解答】解：（1）①∵∠BOD：∠BOC＝2：7，且∠BOD+∠BOC＝180°， ∴； ②∵∠BOD＝40°，EO⊥CD， ∴∠DOE＝∠COE＝90°， ∴∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝50°， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝130°， ∵OF 平分∠AOE， ∴， ∴∠COF＝∠COE﹣∠EOF＝90°﹣65°＝25°； （2）∠FOM的度数不变，∠FOM＝45°，理由如下： 设∠AOC＝α（α＜90°）， ∵OM平分∠AOC， ∴， ∵∠COE＝90°， ∴∠AOE＝∠COE+∠AOC＝90°+α， ∵OF 平分∠AOE， ∴， ∴∠FOM＝∠AOF﹣∠AOM＝45°αα＝45°． 题型2 垂线 解｜题｜知｜识 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 【典例1】如图，直线AB、CD、EF相交于点O，CD⊥EF，若∠1＝36°，则∠2等于（　　） A．26° B．36° C．44° D．54° 【答案】D 【解答】解：∵CD⊥EF， ∴∠COE＝90°， ∵∠1＝36°， ∴∠AOE＝90°﹣36°＝54°， ∴∠2＝∠AOE＝54°， 故选：D． 【变式1】如图，∠1＝20°，则∠2的度数是（　　） A．40° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 【解答】解：由题意可得：∠1+∠2＝90°， ∵∠1＝20°， ∴∠2＝90°﹣20°＝70°． 故选：C． 【变式2】下列选项中，过点A画BC的垂线AD，三角板摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：过点A画BC的垂线AD，三角板摆放正确的是选项D． 故选：D． 【变式3】阅读理解：从∠α（90°＜α＜180°）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠α互为补角，则称该射线为∠α的“分补线”．如图，点O在直线AB上，OC、OD在直线AB上方，且OC⊥OD，射线OE是∠BOC的“分补线“． （1）若∠AOC＝32°，且OE在∠COD内部，则∠COE＝　32°　 ； （2）若OE平分∠AOD，求∠BOD的度数； （3）若OF是∠BOE的平分线，OG是∠AOD的平分线，∠EOF与∠COG的数量关系：　∠EOF+∠COG＝45°或∠EOF＝2∠COG ． 【答案】（1）32°；58°； （2）∠BOD＝60°； （3）∠EOF+∠COG＝45°或∠EOF＝2∠COG． 【解答】解：（1）如图，射线OE是∠BOC 的“分补线”， ∵∠COE+∠BOC＝180°， ∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠COE＝∠AOC＝32°， 由条件可知∠COD＝90°， ∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝58°， 故答案为：32°； （2）如图， 由新定义可知∠COE+∠BOC＝180°， ∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠COE＝∠AOC， ∴∠AOE＝2∠COE， 由角平分线可知∠DOE＝∠AOE＝2∠COE， ∵∠COE+∠DOE＝90°， ∴∠COE＝30°， ∴∠AOC＝30°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝60°； （3）∠EOF+∠COG＝45°或∠EOF＝2∠COG； 理由：①OE在∠COD外部，即当∠BOE+∠BOC＝180°时， 由于∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOC＝∠BOE， 由角平分线定义可知：， ， ∵， ∴； ②OE在∠COD内部，即当∠COE+∠BOC＝180°时， 由于∠AOC+∠BOC＝180°， ∴， ∵∠BOE＝180°﹣∠AOE， ∴， ∵∠EOD＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣∠COE＝90°﹣∠AOC， ∴此情况，OF、OD重合， ∴， ∴∠EOF＝2∠COG． 综上，∠EOF+∠COG＝45°或∠EOF＝2∠COG． 故答案为：∠EOF+∠COG＝45°或∠EOF＝2∠COG． 题型3 垂线段最短 解｜题｜知｜识 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 【典例1】如图，AC⊥BC，AC＝6，AB＝10，D是线段BC上的动点，则A，D两点之间的距离可能是（　　） A．4 B．5 C．8 D．11 【答案】C 【解答】解：∵点D是线段BC上的动点，AC⊥BC，AC＝6，AB＝10， ∴AC≤AD≤AB， ∴6≤AD≤10． 故选：C． 【变式1】宇树科技UnitreeB2﹣W轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线AB到达岸边．其中蕴含的数学原理是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【解答】解：其中蕴含的数学原理是垂线段最短． 故选：C． 【变式2】如图，某污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水渠PQ，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道AB．这种铺设方法蕴含的数学原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．垂线段最短 【答案】D 【解答】解：根据题意可知这种铺设方法蕴含的数学原理是垂线段最短． 故选：D． 【变式3】如图，P是直线l外一点，A、B、C是直线l上的三点，且PB与l垂直，在从点P到点A、从点P到直线l的多条道路中，点P到点A的最短路线是　（3）　 ，点P到直线l的最短路线是　（4）　 （只填写序号即可）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①因为两点之间线段最短，所以在连接PA的所有路线中，点P到点A的最短路线是（3），（1分） ②线段BP是点P到直线L的垂线段，根据垂线段最短可知，（1）～（5）中，PB最短，所以点P到直线l的最短路线是（4）．（2分） 故答案为：（3）、（4）． 过 关 验 收 1. 如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，则∠BOD的度数等于（　　） A．20° B．30° C．35° D．40° 【答案】C 【解答】解：∵OA平分∠EOC，∠EOC＝70°， ∴∠AOC∠EOC＝35°， ∴∠BOD＝∠AOC＝35°． 故选：C． 2. 如图是一把剪刀示意图，当剪刀口∠AOB增加30°时，∠COD（　　） A．增加60° B．不变 C．减少30° D．增加30° 【答案】D 【解答】解：由对顶角的性质得到：∠COD＝∠AOB， ∴∠AOB增加30°时，那么∠COD增加30°， 故选：D． 3. O是直线AB上一点，∠BOC＝62°45′，则∠AOC＝ 　117°15′　 ． 【答案】117°15′． 【解答】解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOC＝62°45′， ∴∠AOC＝180°﹣62°45′＝179°60′﹣62°45′＝117°15′， 故答案为：117°15′． 4. 如图是某古城墙的一角，因墙角内设有石雕，无法直接测量墙角∠AOB的度数，小莉分别延长AO、BO至点C、D，测得∠DOC＝140°，则∠AOB＝　140　 °． 【答案】140． 【解答】解：∵延长AO、BO至点C、D，∠AOB与∠DOC是对顶角，∠DOC＝140°， ∴∠AOB＝∠DOC＝140°． 故答案为：140． 5. 如图，直线AB和CD交于点O，∠COE＝90°，OD平分∠BOF，∠BOE＝55°． （1）求∠AOC的度数； （2）求∠EOF的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠BOE＝55°，∠COE＝90°，而∠AOC+∠COE+∠BOE＝180°， ∴∠AOC＝180°﹣55°﹣90°＝35°， （2）∵∠DOE＝∠COE＝90°， ∴∠BOD＝90°﹣55°＝35°， 又∵DO平分∠BOF， ∴∠BOD＝∠DOF＝35°， ∴∠EOF＝55°+35°+35° ＝125°． 6. 如图，直线AB、EF相交于点O，OC平分∠BOE，∠AOE＝∠COD． （1）判断∠AOD和∠BOE的大小关系并说明理由； （2）若∠EOD＝30°，求∠COF的大小． 【答案】（1）∠AOD∠BOE，理由： ∵OC平分∠BOE， ∴∠BOC＝∠COE∠BOE， ∵∠AOE＝∠COD， ∴∠AOD+∠DOE＝∠COE+∠DOE， 即∠AOD＝∠COE， ∴∠AOD∠BOE； （2）130°． 【解答】解：（1）∠AOD∠BOE，理由： ∵OC平分∠BOE， ∴∠BOC＝∠COE∠BOE， ∵∠AOE＝∠COD， ∴∠AOD+∠DOE＝∠COE+∠DOE， 即∠AOD＝∠COE， ∴∠AOD∠BOE； （2）由（1）得，∠AOD＝∠COE＝∠BOC， ∵∠AOD+∠COE+∠BOC+∠DOE＝180°，而∠DOE＝30°， ∴∠AOD＝∠COE＝∠BOC50°， ∴∠COF＝180°﹣∠COE＝180°﹣50°＝130°． 7. 如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于O，若∠EOF＝α，下列说法①∠AOC＝α﹣90°；②∠EOB＝180°﹣α；③∠AOF＝360°﹣2α，其中正确的是 　①②③　 ． 【答案】①②③ 【解答】解：∵OE⊥CD于O，∠EOF＝α， ∴∠DOF＝α﹣90°， ∵OD平分∠BOF， ∴∠BOD＝∠FOD， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠AOC＝∠FOD， ∴∠AOC＝α﹣90°，①正确； ∴∠BOE＝180°﹣∠COE﹣∠AOC＝180°﹣90°﹣（α﹣90°）＝180°﹣α，②正确； ∴∠AOF＝180°﹣∠AOC﹣∠DOF＝180°﹣（α﹣90°）﹣（α﹣90°）＝360°﹣2α，③正确； 故答案为：①②③ 8. 如图，直线AB和CD交于点O，射线OE平分∠AOD，∠BOD＝46°．作射线OF⊥AB于点O，∠EOF的度数为　23°或157°　 ． 【答案】23°或157°． 【解答】解：当点F在CD上方时，如图所示， ∵∠BOD＝46°， ∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝134°． ∵OE平分∠AOD， ∴∠AOE∠AOD＝67°． ∵OF⊥AB， ∴∠AOF＝90°， ∴∠EOF＝∠AOF﹣∠AOE＝90°﹣67°＝23°； 当点F在CD下方时， 同理可得， ∠EOF＝∠AOF+∠AOE＝90°+67°＝157°， 综上所述，∠EOF的度数为23°或157°． 故答案为：23°或157°． 9. 如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于O． （1）∠EOB的余角是　∠BOD，∠AOC，∠DOF ；（写出图中所有符合要求的角） （2）若∠EOF＝130°，求∠AOC的度数． 【答案】（1）∠BOD，∠AOC，∠DOF； （2）40° 【解答】解：（1）∵直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于O， ∴∠EOB+∠BOD＝90°，∠BOD＝∠AOC＝∠DOF， ∴∠EOB的余角是∠BOD，∠AOC，∠DOF； （2）∵∠EOF＝130°， ∴∠DOF＝130°﹣90°＝40°， ∴∠AOC＝40°． 10. 已知直线AB和CD相交于点O，射线OE⊥AB于O，射线OF⊥CD于O，且∠AOF＝25°，求∠BOC与∠EOF的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵OF⊥CD， ∴∠FOD＝90°． ∴∠AOD＝∠AOF+∠FOD＝25°+90°＝115°． ∴∠BOC＝115°． ∵OE⊥AB， ∴∠AOE＝90°． ∴∠EOF＝90°﹣25°＝65°． 11. 如图，已知直线AB、CD相交于点O，OF⊥AB，点O为垂足，OE平分∠COB． （1）若∠BOE＝67°，求∠COF的度数； （2）若∠BOE：∠COF＝5：4，求∠EOF的度数． 【答案】（1）44°； （2）15°． 【解答】解：（1）∵OE平分∠COB，∠BOE＝67°， ∴∠BOC＝2∠BOE＝134°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝46°， ∵OF⊥AB， ∴∠AOF＝90°， ∴∠COF＝90°﹣∠AOC＝44°； （2）∵∠BOE：∠COF＝5：4， ∴设∠BOE＝5x，则∠COF＝4x， ∵OE平分∠COB， ∴∠COE＝∠BOE＝5x， ∴∠OEF＝x， ∴∠BOF＝6x， ∵∠BOF＝90°， ∴6x＝90°， ∴x＝15°， ∴∠EOF＝15°． 12. 如图，直线AB、CD交于点O，OF平分∠BOD，OE⊥CD，∠AOE＝40°，求∠BOF的度数． 阅读下面的解答过程并填空（理由或数学式）． 解：∵OE⊥CD（　已知　 ）， ∴∠EOC＝　90　 °． ∵∠AOE+∠AOC＝∠EOC ，∠AOE＝40°， ∴∠AOC＝∠EOC﹣∠AOE ＝90°﹣40° ＝50°． ∵直线AB、CD交于点O（已知）， ∴∠BOD＝∠AOC＝50°（　对顶角相等　 ）． ∵OF平分∠BOD（已知）， ∴∠BOD （角平分线定义）． 即　25　 °． 【答案】已知；90；EOC；AOE；对顶角相等；BOD；25． 【解答】解：∵OE⊥CD（已知）， ∴∠EOC＝90°． ∵∠AOE+∠AOC＝∠EOC，∠AOE＝40°， ∴∠AOC＝∠EOC﹣∠AOE ＝90°﹣40° ＝50°． ∵直线AB、CD交于点O（已知）， ∴∠BOD＝∠AOC＝50°（对顶角相等）． ∵OF平分∠BOD（已知）， ∴∠BOD（角平分线定义）． 即25°， 故答案为：已知；90；EOC；AOE；对顶角相等；BOD；25． 13. 如图，将一块三角形木板截去一部分后，发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两直线相交只有一个交点 B．垂线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【解答】解：根据线段的性质，两点之间，线段最短，可得这两段折线的长度之和大于被替换的原三角形的那条边的长度；原三角形的另外两条边长度未改变， 故剩余木板的周长比原三角形木板的周长大． 故选：D． 14. 如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【解答】解：这一想法体现的数学依据是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 故选：B． 15. 立定跳远是某市体育中考项目之一，女生成绩达到或超过1.85m获得满分，达到或超过1.95m获得加分．如图，一女生在起跳线l上的点A处起跳，在点B处落下，过点B作BC⊥l，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（　　） A．BC可能为1.95m B．BC可能为1.80m C．AB可能为1.85m D．BC可能为1.90m 【答案】D 【解答】解：∵女生成绩达到或超过1.85m获得满分，达到或超过1.95m获得加分，该女生获得满分但未加分， ∴1.85m≤BC＜1.95m， ∴选项A、B不符合题目要求，选项D符合题目要求， 又∵AB＞BC， ∴选项C错误，不符合题目要求． 故选：D． 16. 木工师傅锯木板时，往往先用墨盒经过木板上的两个点弹出一条笔直的墨线，然后就可以使木板沿直线锯下．能解释这一实际应用的数学知识是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．点到直线之间，垂线段最短 D．经过一点有无数条直线 【答案】A 【解答】解：能解释这一实际应用的数学知识是：两点确定一条直线． 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 17. 如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】A 【解答】解：用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 故选：A． 18. 如图，用三张卡片拼成如图①，图②所示的两个四边形，其周长分别为C1、C2． （1）请你根据所学知识解释：在直角三角形卡片中，“n＜m”的理由是 C ．（填写正确选项的字母） A．两点之间线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 （2）分别计算C1、C2（用含m、n的代数式表示）； （3）比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）C； （2）C1＝2m+4n；C2＝4m+2n； （3）．理由见解答过程． 【解答】解：（1）在直角三角形卡片中，“n＜m”的理由是垂线段最短， 故选：C； （2）如图所示， C1＝2m+4n；C2＝4m+2n； （3）， ∵n＜m， ∴n﹣m＜0， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $