专题01 一元一次方程（含应用）全章23大常考题型（期中复习专项训练）七年级数学上学期新教材人教版五四制

专题01 一元一次方程 题型1 方程与方程的解 题型13 几何问题 题型2 已知方程的解求参数 题型14 动点问题（重点） 题型3 等式的基本性质 题型15 和差倍分问题 题型4 解一元一次方程（常考点） 题型16 水电费问题（重点） 题型5 已知一元一次方程的解求参数（重点） 题型17 行程问题 题型6 一元一次方程解的关系（常考点） 题型18 日历问题 题型7 绝对值方程（难点） 题型19 一元一次方程中的含参综合（难点） 题型8 配套问题（重点） 题型20 已知方程的解求另一个方程解（难点） 题型9 工程问题 题型21 一元一次方程与数轴结合（难点） 题型10 销售盈亏问题（重点） 题型22 一元一次方程的应用综合（难点） 题型11 方案选择问题（重点） 题型23 一元一次方程的新定义问题（难点） 题型12 数字问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 方程与方程的解（共4小题） 1．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值（    ） A．2或0 B．0 C．2或 D．2 2．（24-25七年级上·天津·期末）下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．以上答案都不是 3．（24-25七年级上·辽宁·期末）①②③④⑤⑥⑦中，是方程的是 ，是一元一次方程的是 (将序号写到横线上)． 4．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知是关于x的一元一次方程，求m的值． 题型二 已知方程的解求参数（共4小题） 5．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）若关于x的一元一次方程的解为，则代数式的值为（   ） A． B．3 C． D．2 6．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）下列结论： ①若是关于x的方程的一个解，则； ②若，则关于x的方程的解为； ③若，且，则一定是方程的解． 其中正确的结论有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 7．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）已知方程的解为．则代数式的值为 ． 8．（24-25七年级下·重庆万州·期末）小玉解关于的方程，在去分母时，方程右边的“”项没有乘以6，因而求得的解是，则的值为 ． 题型三 等式的基本性质（共4小题） 9．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列变形中，正确的是（    ） A．若，那么 B．若，那么 C．，那么 D．若，那么 10．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知x、y都是整数，利用等式性质，将下列各小题中的等式进行变形，然后填空． （1）如果，那么 ，这就是说，如果两个数的和为0，那么这两个数 ； （2）如果，那么 ，这就是说，如果两个数的积为1，那么这两个数 ； （3）如果，那么 ，，这就是说，如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为 ； （4）如果，那么x ，这就是说，如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为 ． 12．（24-25七年级上·陕西西安·期末）有下列条件：①；②；③；④；⑤，其中可以得到的条件有 ．（填序号） 题型四 解一元一次方程（共8小题） 13．（24-25七年级上·湖南张家界·期末）解方程：． 14．解方程： (1) (2) 15．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）解方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6)=1． 16．（24-25七年级上·全国·期末）解方程： (1) (2) 17．（24-25七年级上·广东东莞·期末）小舟同学解方程的过程如下．请你判断小舟同学的解法是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程． 解：去分母，去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 18．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）下面是小明解方程的过程： 解：去分母，得（第一步） 去括号，得（第二步） 移项，得（第三步） 合并同类项，得（第四步） 系数化为1，得（第五步） 根据解答过程完成下列任务． 任务一： ①上述解答过程中，第一步的变形依据是________________； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________； 任务二：请你写出解该方程的正确解题过程． 19．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）解下列方程： (1)； (2)． 20．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）解方程： (1)； (2)． 题型五 已知一元一次方程的解求参数（共4小题） 21．（24-25六年级下·山东淄博·期末）若不论取何值，关于的方程（，是常数）的解总是，则的值是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）已知关于的方程有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）小李同学在解关于x的一元一次方程去分母时，方程右边的1漏乘了3，因而求得方程的解为，请你帮助小李同学求出a的值，并求出原方程正确的解． 24．（24-25七年级上·江西赣州·期末）如果关于的方程的解与方程的解相同，求字母的值． 题型六 一元一次方程解的关系（共4小题） 25．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如果两个方程的解相同，那么我们把这两个方程称为同解方程．若关于x的一元一次方程与是同解方程，则的值为（   ） A．6 B．3 C． D． 26．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 28．（24-25七年级上·安徽六安·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程：与方程是“美好方程”，求的值． (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为，求的值． (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 题型七 绝对值方程（共4小题） 29．（24-25七年级下·四川乐山·期末）方程的解为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 30．（24-25七年级上·福建莆田·期末）若，则的值等于（   ） A．28或 B．或32 C．28或32 D．或 31．（24-25六年级下·上海宝山·期末）已知，那么 ． 32．解方程： 题型八 配套问题（共4小题） 33．（24-25七年级上·西藏拉萨·期末）一套仪器由两个A部件和三个B部件构成，用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？ 34．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）东胜区装备制造有限公司专门负责生产重型载货汽车的零部件．该公司现有工人120人专门负责生产M型号和L型号的零部件，每人每天可生产M型号零件30个或L型号零件40个（每人每天只能生产一种零件），一个M型号零件配两个L型号零件，且每天生产的M型号零件和L型号零件恰好配套．求该公司有多少工人生产M型号零件，有多少工人生产L型号零件？ 35．（24-25七年级上·四川成都·期末）综合与实践：利用长方形纸板制作礼品盒 七年级数学兴趣小组同学准备制作三种不同形状的礼品盒：长方体礼品盒，圆柱体礼品盒，底面为等边三角形的直三棱柱礼品盒．请回答下列问题： 【制作长方体礼品盒】第一小组同学选择长为，宽为的长方形纸板，如图1，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． (1)当剪去的小正方形的边长为5时，求该长方体礼品盒的体积． 【制作圆柱体礼品盒】第二小组同学选择两张长为，宽为的长方形纸板，如图2，一张作圆柱体的侧面，另一张裁出两个大小相等的最大圆； (2)它们能组装成高为24cm的圆柱体礼品盒吗，请说明理由． 【制作底面为等边三角形的直三棱柱礼品盒】如图3，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面组成．第三小组同学将某种规格的长方形纸板按照图示方法分别制作礼盒底面和侧面； (3)若第三小组同学用到13张长方形纸板时，裁剪的侧面和底面两种型号纸板恰好用完，请利用方程的知识求出这时他们能做多少个这种礼盒． 36．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）某工厂现有15木料，准备制作各种尺寸的圆桌和方桌，现用部分木料制作桌面，其余木料制作桌腿． (1)已知一张圆桌由一个桌面和三条桌腿组成，如果1木料可制作30个桌面，或制作60条桌腿．要使制作出的桌面、桌腿恰好配套，求制作桌面的木料为多少立方米？ (2)已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成．根据所给条件，解答下列问题： ①如果1木料可制作5个桌面，或制作30条桌腿，应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套？ ②如果3木料可制作30个桌面，或制作240条桌腿，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？ 题型九 工程问题（共4小题） 37．（24-25七年级上·广东韶关·期末）一项工作，甲单独做需天，乙单独做需天，如果两人合做天后，余下的工作再由甲做．则这项工作需要甲做多少天完成？ 38．（24-25七年级上·四川自贡·期末）整理一批数据，由一人做需要，现在先安排一些人做，然后再增加3人做，刚好完成这项工作的．问先安排做的人数是多少？ 39．（24-25七年级下·重庆万州·期末）列方程解决以下问题： (1)七年级四班共有学生48人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个．每个盒身匹配2个盒底，那么问有多少人制作盒身，多少人制作盒底， 才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． (2)甲、乙两公司承包了一项民生工程，甲公司单独完成需要40天，乙公司单独完成需要20天，甲、 乙公司先共同合作5天后，剩下的工程由甲公司完成，则比甲公司单独完成提前了几天？ 40．（24-25七年级上·广东深圳·期末）综合实践 【实践主题】“空中的士”起降位的建设规划 【实践背景】空中的士（也称电动垂直起降飞行器）即将成为城市空中常用交通工具，因为它能够像出租车一样提供点对点的快速通勤服务．2024年11月全国六个城市率先开展了空中的士（电动垂直起降飞行器）的试点．空中的士起飞与降落需要特定的场地，图1是空中的士的起降位． 某数学学习小组查阅资料后，自主设计了如图2所示的起降位（由操作区与安全区两部分构成的大正方形），其中安全区（阴影部分）的宽均为3米，操作区是边长为米的正方形（其中米为空中的士的机身长度）． 任务一  计算材料成本 （1）如图2所示，请用含代数表达式表示起降位的边长______米． （2）若，请计算下列问题 ①操作区的面积是______平方米，起降位的面积是______平方米，安全区（阴影部分）的面积是______平方米． ②若操作区的基础材料成本为500元/平方米，安全区的基础材料成本为100元/平方米，建设一个起降位的基础材料成本是______元． 任务二  预算施工资金 在限定日期内，某机场需建设2个满足的起降位，甲乙两队一起承接了这个工程，在工程完工时，统计发现甲队比乙队多做了10天．两工程队的施工效率与施工费用如表所示： 甲工程队 乙工程队 每天独立建设 40平方米 30平方米 每天施工费用 8万 6万 （3）目前预算施工费用350万元．确定这笔预算施工费用是否足够？如果不够，需要追加多少钱？（实际施工总费用=甲队施工总费用+乙队施工总费用，不再计算材料成本） 题型十 销售盈亏问题（共4小题） 41．（24-25七年级上·云南·期末）因教学需要，学校准备订购个排球和若干根跳绳，经过市场调查后发现排球元个，跳绳 元根． 某体育用品商店提供两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）： 方案： 买一个排球送一根跳绳； 方案：排球和跳绳都按定价的付款． 假设订购跳绳根（）． (1)若按方案购买，一共需付款 元； 若按方案购买，一共需付款 元；(用含的式子表示) (2)购买多少根跳绳时，两种方案所省的钱数一样多？ 42．（24-25七年级下·江西赣州·期末）2024年2月下旬，我省各地中小学陆续正常开学．开学之际，学生对书包的需求量增加．某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息： 信息一 信息二 商场从厂家购进A、B两款书包，其中A款书包7个，B款书包5个，共付款650元，已知每个B款书包的进价比每个A款书包贵10元． 商场将B款书包按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B款书包仍可获利． (1)求每个A款书包和B款书包的进价； (2)在信息二中，B款书包实际销售时打多少折出售？ 43．（24-25六年级下·山东泰安·期末）某店家销售一款网红春联，将这款春联的成本价提价后标价，又以七五折优惠卖出，结果每副春联仍获利8元，求这款春联每副的标价． 小敏用下面的框图直观地表示了店家从进货、标价到销售获利的过程： 分析：设这款春联的成本价为元／副 (1)请你用含的代数式补全框图中空缺的部分，并利用一元一次方程的知识求这款春联每副的标价． (2)该商店有两个进价不同的灯笼都卖了200元，其中一个盈利，另一个亏损．在这次买卖中，这家商店赚了还是赔了？请通过计算说明理由． 44．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）水果批发市场批发丰水梨的价格如表： 购买丰水梨（千克） 单价 不超过千克的部分 元千克 超过千克但不超过千克的部分 元千克 超过千克的部分 元千克 (1)若陈阿姨第一次购买丰水梨千克,需要付费______元；第二次购买丰水梨千克，需要付费______元；第三次购买丰水梨千克，（超过千克），需要付费______元（化简结果用含的式子表示）． (2)若陈阿姨购买丰水梨花了元，求她买了多少千克的丰水梨？ (3)若陈阿姨分两次共购买千克的丰水梨，且第一次购买的数量为千克（），请问她这两次购买丰水梨共需要付多少元？（化简结果用含的式子表示） 题型十一 方案选择问题（共4小题） 45．（24-25七年级上·吉林通化·期末）某市两超市分别推出如下促销方式：甲超市：全场均按八八折优惠；乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元打九折，超过500元的部分打八折．已知两家超市相同商品的标价都一样． (1)当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实际付款分别是多少元？ (2)某顾客在乙超市购物实际付款428元，试问该顾客的选择划算吗？请说明理由． 46．（25-26七年级上·全国·期末）光明学校组织七年级学生开展研学活动，已知研学基地的票价为每张20元，由各班班长负责买票，下面是一班班长与售票员咨询的对话： 班长：你好!我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团体票有优惠吗？ 售票员：你好!购票人数超过40人的团体票有两种优惠方案，如下： 方案一：若每人都购票，每张门票打八折； 方案二：若打九折，有5人可免票． (1)一班学生人数为50，选择了方案一购票，那么一班购票需要多少元？ (2)二班选择了方案二，购票费用为702元，那么二班有多少人？ (3)三班的学生人数为，三班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”请问三班有多少人？ 47．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）某校组织若干师生到故宫进行参观活动，若学校只租用座的客车，则刚好坐满；若只租用座的客车，则可少租用辆，但有一辆上只坐了一半座位，其余车辆都坐满． (1)参加此次活动的师生共有多少人？下面是解决该问题的两种方法，请完成两种方法的分析过程，并选择其中的一种方法完成解答． 方法一 分析：设该校租用座的客车需要辆，则参观总人数可表示为_____________；租用座的客车辆，则参观总人数又可以表示为____________，根据题意列方程． 方法二 分析：设该校参加此次活动的师生共有人，则租用座的客车需要____________辆；租用座的客车需要____________辆，根据题意列方程． (2)若座的客车每辆租金是元，座的客车每辆租金是元，如果只能单独租一种车，比较选用哪一种车，费用较少？ 48．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）某校为了丰富学生的学习生活，利用课后辅导时间开设了很多学生喜欢的社团．其中网球社团正式开课之前打算采购网球拍50支，网球筒（），经市场调查了解到该品牌网球拍定价150元支，网球40元筒．现有甲、乙两家体育用品商店有如下优惠方案： 甲商店：买一支网球拍送一筒网球； 乙商店：网球拍与网球均按九折付款． (1)用含的式子分别表示到甲、乙两家体育用品商店购买需要支付的费用（元）和（元）； (2)若，请通过计算说明学校到甲、乙两家体育用品商店中的哪一家购买更优惠； (3)若两家的优惠方案支付的费用相差450元，求的值． 题型十二 数字问题（共4小题） 49．（24-25七年级上·河北唐山·期末）数学课上，老师给出了一个计算规则： (1)若嘉嘉写出的有理数为“”，求最后的计算结果； (2)若淇淇经过正确计算后的结果为绝对值最小的有理数，求她写出的的值． 第①步：请你任意写出一个有理数； 第②步：将减去； 第③步：用2加上“第②步”中得到的有理数的一半，并算出计算结果． 50．（24-25七年级上·河北沧州·期末）将连续的奇数按下表方式排列，用正方形任意圈出四个数，如图，若圈出的四个数中，第一行第一列上的数表示为a，其余各数分别用b，c、d表示． (1)观察与发现：分别用含a的代数式表示b、c、d三个数：______；_____；_____； (2)归纳与总结：求这四个数的和（用含a的代数式表示，并化简）； (3)这四个数的和会等于112吗？如果会，请求出a值，如果不能，请说明理由．（列方程解答） 51．（24-25七年级下·广东深圳·期末）【定义】一个正整数除以它的各位数字之和，所得的商叫做这个数的平均商． 例如：的平均商的平均商的平均商． 【理解】（1）的平均商为______，的平均商为______； 【探究】（2）数学兴趣小组开展研究，首先计算部分两位数的平均商（保留两位小数），结果如表： 个位数字 平均商 十位数字 老师：“请同学们观察表格，谈谈你的发现．” 小明：“我发现，个位数字与十位数字相同的两位数的平均商相同．” 小莉：“我发现，当个位数字相同时，十位数字越小，平均商越小．” 请你再写出一条新的发现． 假设一个两位数的个位数字与十位数字都为，请结合计算，说明小明的说法是否合理． 【拓展】（3）利用上述研究思路，可以得出平均商最小的三位数是______． 52．（24-25七年级下·广东深圳·期末） 信息1 若一个两位数十位、个位上的数字分别为和，我们可将这个两位数记为，如；同理，一个三位数、四位数等也可以用此记法，如． 信息2 调换两位数的各个数位上的数字，可以得到一个新的两位数． 【信息理解】 （1）填空： ①可表示为________； ②若，则________． （2）的运算结果能被9整除，请说明其中的道理． 【迁移运用】 （3）小明利用运算程序设计了一个数学魔术，邀请小天参与体验． 步骤1：小明写下一个两位数； 步骤2：小天将一个两位数输入如图所示的运算程序，得到运算结果后，再将该结果减去； 步骤三：小明在未运用运算程序的情况下，直接说出了最终结果为四位数．请推测两位数与之间的数量关系．并简要说明理由． 题型十三 几何问题（共4小题） 53．小明和小慧两位同学在数学活动课上，把长为，宽为的若干张长方形白纸条粘合起来，小明按如图甲所示的方法粘合起来得到长方形，粘合部分的长度为，小慧按如图乙所示的方法粘合起来得到长方形，粘合部分的长度为． (1)求5张白纸条分别按图甲和图乙粘合后，总长度分别为多少厘米？ (2)用x张白纸条按甲粘合后，总长度为多少厘米？ (3)若长为，宽为的长方形白纸条共有100张，则应分给小明多少张长方形白纸条，才能使小明和小慧按各自要求粘合起来的长方形面积相等（要求100张长方形白纸条全部用完）． 54．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图：搭1个正六边形需要6条线段，组成6个顶点；搭2个正六边形，需要11条线段，组成10个顶点；搭3个正六边形，需要16条线段，组成14个顶点……，根据这个规律回答下列问题： (1)搭5个正六边形，需要 条线段，组成 个顶点． (2)搭个正六边形，需要 条线段，组成 个顶点． (3)10121条线段可以搭多少个正六边形，组成的顶点个数是多少？ 55．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在长方形中，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． (1)当点P在上运动时， _____．（用含t的代数式表示） (2)当点P在上运动时， _____（用含t的代数式表示）；当点P运动到的中点时，求线段的长； (3)当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值． (4)当点P在上运动时，连接．直接写出的面积是时t的值． 56．（24-25七年级上·广东阳江·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： ①，两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为________，点表示的数为________． (2)当为何值时，，两点相遇？写出相遇点所表示的数． (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中．线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由：若不变，请求出线段的长． 题型十四 动点问题（共4小题） 57．（24-25七年级上·河南开封·期末）对于数轴上的、、三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如，数轴上点、、表示的数分别是1、4、5、此时点是点、的“倍分点”． (1)当点表示数，点表示数2时，下列各数、0、1、4所对应的点是点、的“倍分点”的是______． (2)当点表示数、点表示数30时，为数轴上一个动点．若点是点、的“倍分点”，求此时点表示的数． 58．（24-25七年级上·广西南宁·期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b；则A，B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离_______线段的中点表示的数为_______； ②用含t的代数式表示：后，点P表示的数为_______，点Q表示的数为_______． (2)求P、Q两点相遇时，点P所表示的数． 59．（24-25七年级上·江苏南通·期末）已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x． (1)的长为 ； (2)如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是 ； (3)数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由． (4)如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值． 60．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，已知数轴上点表示原点，点表示的数为．动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回，点和点同时出发，同时停止．设运动的时间为秒． (1)如图1，当时，点表示的数为 ，点表示的数为 （用含的代数式表示）； (2)如图1，当时，若、两点的距离为单位长度，求的值； (3)如图2，数轴上从左到右依次是点、、、，线段，，在数轴上方作正方形与正方形，两个正方形随点和点运动，若两个正方形同时出发，求为何值时，两个正方形的重叠部分面积为． 题型十五 和差倍分问题（共4小题） 61．（25-26七年级上·江苏·期末）某数学兴趣小组原来男生和女生的人数相同．如果增加6名女生，那么女生人数是全组人数的，则这个数学兴趣小组原来有 人． 62．（24-25九年级上·陕西西安·期末）为落实国家关于中学生信息素养提升的若干要求，提升学生的信息素养，南湖未来学校举行了中学生信息素养提升实践活动．据统计，七年级和八年级共创作作品159个，且七年级创作的作品数量是八年级创作的作品数量的还少6个，求七年级创作的作品有多少个． 63．（24-25七年级下·河南信阳·期末）小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价如下表： 类别价格 款玩偶 款玩偶 进货价（元/个） 40 30 小李用1100元购进了，两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个？ 64．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）综合与实践 【项目背景】 干支纪年是中国传统的纪年方法，由十个天干和十二个地支搭配而成(如下图)． 十个天干与十二个地支中的前十个分别按顺序搭配，例如天干之“甲”与地支之“子”相搭配，便形成了干支纪年的第一个组合“甲子”，然后“乙”与“丑”搭配，形成“乙丑”，等等，第一个十年如下： 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 甲子 乙丑 丙寅 丁卯 戊辰 己巳 庚午 辛未 壬申 癸酉 第二个十年是把前一个十年未参与的“戌”和“亥”排在地支最前面，后面依次是“子、丑、寅、……”，天干和地支仍按顺序搭配，得到组合如下： 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 甲戌 乙亥 丙子 丁丑 戊寅 己卯 庚辰 辛巳 壬午 癸未 第三个十年从“甲申”开始，依此类推，周而复始． 【内容理解】 （1）干支纪年中， “甲丑”年(填“有”或“没有”)；干支纪年的一个周期为 年； 【问题探究】 （2）中国人民解放军诞生于丁卯年，建军70周年是 年(填干支组合)；在一个周期内，“甲子”年是第1年，“戊戌”年是第 年(填序号)． 【知识运用】 （3）小红是七年级学生，她的弟弟比她小5岁，甲辰年小红和弟弟的年龄之和刚好是爸爸年龄的一半，20年以后，小红和弟弟年龄之和比爸爸的年龄大1岁．用干支纪年表示，小红是哪一年出生的？ 题型十六 水电费问题（共4小题） 65．（24-25七年级下·江苏南京·期末）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 (1)小明家2月份用水量为，应缴纳水费______元； (2)为节约用水，小明家计划3月份的水费不超过92元，3月份最多能用多少水？ (3)已知小红家2月份和3月份共缴纳水费176元，这两个月的用水量一共是，且2月份用水量少于3月份．求小红家2月份、3月份用水量分别是多少？ 66．（24-25七年级上·江西南昌·期末）我国是一个缺水国家，在日常生活中，我们一拧水龙头，水就源源不断地流出来，可能丝毫感觉不到水的危机．但事实上，我们赖以生存的水，正日益短缺．目前，全世界还有超过10亿的人口用不上清洁的水，人类每年有310万人因饮用不洁水患病而死亡．节约用水，是我们每一个公民的基本素养之一．为鼓励居民节约用水，南昌市对居民用水收费实行“阶梯价”，2024年起年具体收费标准如下表．（阶梯价的含义：不超过360立方米，每立方米收费元，用水量在立方米，前360立方米按元/立方米收费，立方米之间按4.00/立方米收费，以此类推） 供水类型 阶梯分类 户用水量（立方米） 到户水价（元/立方米） 居民生活用水 第一阶梯 （含） 第二阶梯 （含） 4.00 第三阶梯 480以上 7.04 (1)若小红家2024年全年用水350立方米，则小红家应交水费__________元； (2)若小明家2024年交水费元，求小明家2024年用水量．（列方程解决问题） (3)若小刚家2024年交水费元，求小刚家2024年用水量．（列方程解决问题） 67．（24-25七年级上·浙江金华·期末）某市近期公布的居民用天然气阶梯价格方案如下： 第一档天然气用量 第二档天然气用量 第三档天然气用量 年用天然气量在及以下的部分，价格为每立方米元． 年用天然气量在以上不超过时，超过部分价格为每立方米元． 年用天然气量在以上时，超过部分价格为每立方米元． 依此方案请回答： (1)若小禾家今年使用天然气，则需缴纳天然气费为多少元？ (2)若某户今年缴纳天然气费2286元，求该用户今年使用天然气多少立方米． 68．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如表： 用水量 单价 不超过6m3的部分 2元/m3 超过6m3不超过10m3的部分 4元/m3 超出10m3的部分 8元/m3 如：某用户2月份用水9m3，则应缴水费：（元）． (1)某用户3月用水8m3应缴水费 　 　元； (2)已知某用户4月份缴水费22元，求该用户4月份的用水量； (3)如果该用户5、6月份共用水18m3（6月份用水量超过5月份用水量，且5月份用水量不超过8m3），共交水费52元，则该户居民5、6月份各用水多少m3？ 题型十七 行程问题（共4小题） 69．（25-26七年级上·甘肃·期末）甲地到乙地的高铁开通后，运行时间由原来的缩短至，运行里程比原来缩短了．已知动车组列车的平均速度比普通列车的平均速度快，求动车组列车的平均速度． 70．（24-25七年级上·陕西延安·期末）甲、乙两车分别从A、B两地沿同一直线相向而行，甲每小时比乙多行驶2千米，两车在上午8点同时出发，到上午10点两车还相距36千米，到中午12点两车又相距36千米．求A、B两地的距离． 71．（24-25七年级上·河南安阳·期末）以下是两张不同类型火车（“×××次”表示动车，“×××次”表示高铁列车）的车票（部分）： (1)根据车票中的信息填空：该列动车和高铁列车是______（选填“相”或“同”）向而行；该列动车比高铁列车发车______（选填“早”或“晚”）． (2)已知该列动车和高铁列车的平均速度分别为，两列火车的长度不计，如果两列火车都直达终点（即中途不停靠任何站点），高铁列车比动车早到，求A，B两地之间的距离． 72．（24-25七年级上·江西吉安·期末）周末小明和爸爸来到了一处农场，并体验了农场的骑马项目，马场有一个如图所示的长为的环形跑道，若把跑道从，，，处分成长度相等的四段，小明和爸爸在骑师的引导下分别从，两处同时出发，沿箭头方向相向而行，小明骑小马和爸爸骑大马的平均速度分别为，． (1)多久后两人首次相遇？并说出此时他们在跑道上的具体位置； (2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过多长时间两人相距？ 题型十八 日历问题（共4小题） 73．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图是由非负偶数排成的数阵： (1)填空：图中“H”形框中七个数的和是中间数的______倍； (2)在数阵中任意做一个这样的“H”形框，（1）中的关系是否仍成立？并写出理由； (3)用这样的“H”形框能框出和为2023的七个数吗？如果能，求出这七个数中间的数；如果不能，请写出理由． 74．（24-25七年级上·山西大同·期末）综合与实践 活动再现：在学习第四章《整式的加减》时，我们通过“数学活动”，探究了月历中数字之间的关系和变化规律． 操作发现：如图1是2024年10月的月历，小宇用带阴影的“十”字框框中5个数． (1)这5个数中，最小数与最大数的差是_________； (2)小宇发现当“十”字框任意移动时，框中的5个数之和始终是5的倍数，请通过计算说明他的发现成立． (3)小宇用如图2所示的“凹”字框在月历中任意框中5个数，将这5个数分别用字母a，b，c，d，e表示（如图3）． ①请用只含一个字母的代数式表示这5个数的和．（写出两个不同的代数式） ②这5个数的和能等于101吗？若能，请直接写出这5个数；若不能，请说明理由． 75．（24-25七年级上·宁夏固原·期末）如图是2023年12月份的日历，用一个正方形任意圈住4个数（如图），仔细观察这4个数，不改变正方形的大小，任意移动方框的位置，找出规律． (1)若把第一行第一列的那个数表示为a，其余各数分别用含a的代数式表示，请把表格补充完整． a (2)求这四个数的和（用含a的代数式表示，要求合并同类项化简）． (3)小明妈妈的生日快到了，小明想送妈妈一个生日礼物，可是却不知道妈妈的生日是几号，于是就问妈妈，可妈妈说我的生日那天在本月日历上横竖列相邻的四个数字的和68的四个数字里面，并且这四个数中最大的数字那天就是我的生日．请你帮助小明确定妈妈的生日． 76．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图1是2024年1月的日历表： (1)在图1中用优美的U形框“”框住五个数，其中最小的数为1，则U形框中的五个数字之和为______； (2)在图1中移动U形框的位置，若U形框框住的五个数字之和为68，则这五个数字中最大的数为______； (3)在图1日历表的基础上，继续将连续的自然数排列成如图2的数表，在图2中U形框框住的5个数字之和能等于2025吗？若能，分别写出U形框框住的5个数字：若不能，请说明理由． 题型十九 一元一次方程中的含参综合（共4小题） 77．（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知关于x的方程，若a为正整数时，方程的解也为正整数，则a的最大值是（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 78．若关于的方程的解是整数，则整数的取值有（   ） A．6个 B．5个 C．3个 D．2个 79．（24-25七年级下·重庆万州·期末）若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（     ） A． B． C． D．15 80．（2025七年级上·全国·期末）若关于x的一元一次方程的解是，其中a，m，k为常数．是否存在m的值使得关于y的方程无解？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 题型二十 已知方程的解求另一个方程解（共4小题） 81．（24-25六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 82．（25-26七年级上·安徽滁州·期末）我们给出一种定义：如果两个一元一次方程的解的和为，那么我们就称这两个方程互为“漂亮方程”．例如：方程和互为“漂亮方程”． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则的值为 ． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则关于的方程的解是 ． 83．（24-25七年级上·江苏南通·期末）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 84．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于的方程与是“和一方程”，求的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“和一方程”，求关于的一元一次方程的解． 题型二十一 一元一次方程与数轴结合（共4小题） 85．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．在数学的学习中，我们知道，若点A，B在数轴上分别表示有理数x，y，A和B两点之间的距离表示为，则．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示m与3的两点之间的距离可以表示为_______． (2)的最大值是_______； (3)已知m，n均为整数，且满足，请求出m，n的值． (4)已知，则满足条件的x的值是_______． 86．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图1．在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题：如图2：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足与互为相反数． (1)________，________，________； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与表示数________的点重合； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟后． ①________，________．（用含t的代数式表示） ②请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； ③探究：若点A，C向右运动，点B向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 87．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）【知识准备】 如图，（1）数轴上两点，表示的数分别为，，则，两点的距离为． （2）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． 【知识运用】已知数轴上，两点对应数分别为和，且，为数轴上的一个动点． (1)填空：________，________； (2)若点、点同时向左运动，点的速度为1个单位长度/秒，点的速度为3个单位长度/秒，则运动时间为________秒时，点可以追上点，此时点表示的数为________． (3)若点、点同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时，点从数轴上表示的点处出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动．设运动时间为秒，则经过多长时间后，点、点、点三点中，其中一点是另外两点的中点？ 88．（24-25七年级上·全国·期末）数轴上点与点的距离为个单位长度，点在原点的左侧，到原点的距离为个单位长度，点在点的右侧，点表示的数与点表示的数互为相反数，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒． (1)点表示的数为____________，点表示的数为____________，点表示的数为____________； (2)用含的代数式表示到点和点的距离：____________，____________； (3)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点． ①在点向点运动过程中，能否追上点？若能，求出点运动几秒追上点；若不能，请说明理由； ②在点开始运动后，两点之间的距离能否为个单位？ 如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 题型二十二 一元一次方程的应用综合（共4小题） 89．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）某车间生产的一套产品由3个A型部件和4个B型部件组成，该车间现有40个工人，每个工人每天能加工3个A型部件或6个B型部件．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种部件，并要求每天加工的A、B型部件数量正好组成若干套该产品． (1)按照这样的生产方式，该车间每天能配套生产组成多少套该产品？ (2)春节后工厂补充20名新工人，这些新工人只能独立进行B型部件的加工，且每人每天只能加工4个B型部件，则补充新工人后每天能配套生产多少套该产品？ 90．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）西湖龙井是中国十大名茶之一，因产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山而得名．在其三十多个品牌中，“狮峰龙井”和“梅坞龙井”尤为有名． 茶农李明种植了5亩“狮峰龙井”和10亩“梅坞龙井”，其中平均每亩“狮峰龙井”制成的茶叶重量是“梅坞龙井”的40%，今年共制成两种茶叶240千克． 两种茶叶的销售规格如下表： 狮峰龙井 梅坞龙井 装盒（克/盒） 125 250 售价（元/盒） 200 600 根据以上信息，回答下列问题： (1)求制成的“狮峰龙井”和“梅坞龙井”茶叶各多少千克？ (2)若销售这两种茶叶共盒．销售额为40000元，求销售“狮峰龙井”的数量．（用含的代数式表示） (3)若李明第一次销售两个品种茶叶共600盒，第二次销售时搞促销活动，对所有剩下的“狮峰龙井”打八折．两次销售完所有的茶叶后，他发现第二次的销售额比第一次的销售额多12800元．求第一次销售“狮峰龙井”多少盒？ 91．（24-25七年级下·吉林长春·期末） 如图， 在长方形中， 动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点Q从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿的路径运动，连结．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点Q的运动时间为t秒． (1)写出的长（用含t的代数式表示）． (2)当线段将长方形分割后，所得图形中存在轴对称图形时， ． (3)若点Q到达点A后，以原速度的2倍返回到点D，同时点P以原速度继续向点C运动．在点Q的整个运动过程中： ①当线段平分长方形的周长时，求的值； ②作点Q关于点D的中心对称点 直接写出． 的面积是面积的 时t的值． 92．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）移动公司推出A、B两种话费与流量套餐，套餐详情如表． 月基本费/元 主叫限定时长（min） 主叫超时费（元/min） 被叫 免费数据流量（） 流量超额费（元/） 套餐A 79 200 免费 15 3 套餐B 99 300 免费 20 2 套餐补充说明：①月结话费月基本费主叫超时费流量超额费： ②流量超额后以为单位计费（例如：套餐A流量超额，需另付元）． (1)若贝贝的爸爸使用套餐A，10月主叫时长为300分钟，使用的流量为，求他的月结话费为多少？ (2)若贝贝的爸爸11月份主叫时长为350分钟，使用的流量为（），贝贝通过计算发现，按A、B两种套餐计费的月结话费刚好相同，求a的值： (3)若贝贝的爸爸12月份主叫时长不足200分钟，请你根据他流量使用情况计算说明选用哪种套餐更省钱． 题型二十三 一元一次方程的新定义问题（共4小题） 93．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）定义：已知，分别是关于，的方程的解，若满足：（为正数），则称前者是后者的“属方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且满足，则称方程是方程的“属方程”． (1)下列方程是方程的“属方程”的是______（请填写正确的序号）； ①；②；③ (2)若关于的方程是关于的方程的“2属方程”，求整数的值； (3)若对于任何正数，关于的方程都是关于的方程的“属方程”，求的值． 94．（24-25七年级上·北京海淀·期末）如果关于的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是________方程； (2)已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整”方程，并说明理由； (3)若关于的方程是“分”方程，则关于的方程是_______方程． 95．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 96．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）小美喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，她给出一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“小美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，，所以为一元一次方程的“小美方程”． (1)已知关于的方程：是一元一次方程的“小美方程”吗？________（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，请求出的值； (3)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，求出的值． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题01 一元一次方程 题型1 方程与方程的解 题型13 几何问题 题型2 已知方程的解求参数 题型14 动点问题（重点） 题型3 等式的基本性质 题型15 和差倍分问题 题型4 解一元一次方程（常考点） 题型16 水电费问题（重点） 题型5 已知一元一次方程的解求参数（重点） 题型17 行程问题 题型6 一元一次方程解的关系（常考点） 题型18 日历问题 题型7 绝对值方程（难点） 题型19 一元一次方程中的含参综合（难点） 题型8 配套问题（重点） 题型20 已知方程的解求另一个方程解（难点） 题型9 工程问题 题型21 一元一次方程与数轴结合（难点） 题型10 销售盈亏问题（重点） 题型22 一元一次方程的应用综合（难点） 题型11 方案选择问题（重点） 题型23 一元一次方程的新定义问题（难点） 题型12 数字问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 方程与方程的解（共4小题） 1．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值（    ） A．2或0 B．0 C．2或 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的概念．根据一元一次方程的概念列出式子即可得出且即可得出答案． 【详解】解：若方程是关于的一元一次方程， 则，且， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级上·天津·期末）下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．以上答案都不是 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．据此即可求解． 【详解】解：①中未知数最高次数是2，不是一元一次方程； ②中含2个未知数，不是一元一次方程； ③是一元一次方程； ④中左边不是整式，不是一元一次方程； ⑤是一元一次方程； ⑥是一元一次方程； 综上可知，一元一次方程有3个， 故选B． 3．（24-25七年级上·辽宁·期末）①②③④⑤⑥⑦中，是方程的是 ，是一元一次方程的是 (将序号写到横线上)． 【答案】 ①②③④⑦ ③⑦ 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程进行判断即可． 【详解】解：①是方程，含有两个未知数，不是一元一次方程； ②是方程，但不是一元一次方程， ③，是一元一次方程， ④，是方程，但不是一元一次方程 ⑤，不含未知数，不是方程， ⑥，不是等式，不是方程， ⑦，是一元一次方程， 综上所述，是方程的是①②③④⑦，是一元一次方程的是③⑦ 故答案为：①②③④⑦；③⑦． 4．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知是关于x的一元一次方程，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，据此解答即可． 【详解】解：∵方程为关于x的一元一次方程， ∴项的系数为0．且x的系数不为0， ，即， 解得：， ， ， ． ∴． 题型二 已知方程的解求参数（共4小题） 5．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）若关于x的一元一次方程的解为，则代数式的值为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，将代入一元一次方程，再求出代数式的值即可． 【详解】解：因为一元一次方程的解是， 所以， 整理，得， 所以． 故选：A． 6．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）下列结论： ①若是关于x的方程的一个解，则； ②若，则关于x的方程的解为； ③若，且，则一定是方程的解． 其中正确的结论有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程解的定义．方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等． 【详解】解：①把代入得：，故结论正确； ②若，关于x的方程，移项，得：， 则，则原结论错误； ③把代入方程得，方程一定成立， 则一定是方程的解，结论正确． 故选：B． 7．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）已知方程的解为．则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据方程的解为，可以求得的值，然后整体代入所求式子计算即可． 【详解】解：方程的解为， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·重庆万州·期末）小玉解关于的方程，在去分母时，方程右边的“”项没有乘以6，因而求得的解是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，根据题意可得是方程的解，据此把代入方程中计算求解即可． 【详解】解：由题意得，是方程的解， ∴， 解得， 故答案为：． 题型三 等式的基本性质（共4小题） 9．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列变形中，正确的是（    ） A．若，那么 B．若，那么 C．，那么 D．若，那么 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，绝对值的意义及平方的非负性，解题的关键是掌握等式的基本性质：性质1：等式的两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式的两边同时乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等． 根据等式的基本性质，结合绝对值和平方的非负性进行判断． 【详解】解：A．若，那么，原变形不正确，故此选项不符合题意； B．若且，那么，原变形不正确，故此选项不符合题意； C，当，时，，但，原变形不正确，故此选项不符合题意； D．若，那么，原变形正确，故此选项符合题意． 故选：D． 10．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式性质1：等式两边加（或减）同一个数或式子，结果仍相等；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 根据等式的基本性质，逐一分析各选项是否符合条件，特别注意除数不能为零的情况． 【详解】A. 若，两边同时减1，得，符合等式性质1，正确． B. 若，由于分式成立隐含，两边乘c得，符合等式性质2，正确． C. 若，两边乘，因恒成立，得，符合等式性质2，正确． D. 若，当时，等式成立，但a和b不一定相等，因此直接推出需满足，此处未说明，变形错误． 故选：D． 11．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知x、y都是整数，利用等式性质，将下列各小题中的等式进行变形，然后填空． （1）如果，那么 ，这就是说，如果两个数的和为0，那么这两个数 ； （2）如果，那么 ，这就是说，如果两个数的积为1，那么这两个数 ； （3）如果，那么 ，，这就是说，如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为 ； （4）如果，那么x ，这就是说，如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为 ． 【答案】 互为相反数 互为倒数 【分析】本题考查等式的基本性质及相反数、倒数的概念．需通过变形等式，填入合适的数或关系． （1）根据等式的性质以及相反数的性质即可求解； （2）根据等式的性质以及倒数的定义，即可求解； （3）根据等式的性质以及相反数的性质即可求解； （4）根据等式的性质以及倒数的定义，即可求解． 【详解】（1）如果，那么，这就是说，如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数； 故答案为：， 互为相反数． （2）如果，那么，这就是说，如果两个数的积为1，那么这两个数互为倒数； 故答案为：，互为倒数． （3）如果，那么，这就是说，如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为； 故答案为：，． （4）如果，那么，这就是说，如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为． 故答案为：，． 12．（24-25七年级上·陕西西安·期末）有下列条件：①；②；③；④；⑤，其中可以得到的条件有 ．（填序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用等式的性质进行判断即可． 【详解】解：，两边同时加上4得，则①符合题意； ，当时，与不一定相等，则②不符合题意； ，两边同时加上6再同时除以3得，则③符合题意； ，那么，则④不符合题意； ，两边同时乘得，则⑤符合题意； 综上，可以得到的条件有①③⑤， 故答案为：①③⑤． 题型四 解一元一次方程（共8小题） 13．（24-25七年级上·湖南张家界·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解决问题的关键． 先去分母、再去括号、移项、合并同类项即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得． 14．解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法． （1）先移项，再合并同类项，最后化一次项系数为1； （2）先两边同时乘以6去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后化一次项系数为1． 【详解】（1）解：， 移项得， 合并得， 系数化为1得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并得． 15．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）解方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6)=1． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）去分母，去括号，移项、合并同类项，将的系数化为1即可． （2）去括号，移项、合并同类项，将的系数化为1即可； （3）方程去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解； （4）方程移项合并，把系数化为1，即可求出解； （5）方程去分母，移项合并，把系数化为1，即可求出解； （6）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ； （3）解： 去括号得：， 移项合并得：， 解得：； （4）解： 移项合并得：， 解得：； （5）解： 去分母得：， 移项合并得：， 解得：； （6）解： 去分母得：， 移项合并得：， 解得：． 16．（24-25七年级上·全国·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1． （1）先去括号，然后移项并合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后未知数系数化为1． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项、合并同类项，得， 方程两边同时除以，得 ； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 17．（24-25七年级上·广东东莞·期末）小舟同学解方程的过程如下．请你判断小舟同学的解法是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程． 解：去分母，去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 【答案】小舟同学的解法不正确．见解析 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把系数化为1即可，掌握解法步骤是解本题的关键． 【详解】解：小舟的解法错误， ， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得：． 18．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）下面是小明解方程的过程： 解：去分母，得（第一步） 去括号，得（第二步） 移项，得（第三步） 合并同类项，得（第四步） 系数化为1，得（第五步） 根据解答过程完成下列任务． 任务一： ①上述解答过程中，第一步的变形依据是________________； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________； 任务二：请你写出解该方程的正确解题过程． 【答案】任务一：①等式的性质二；②三，移项未变号；任务二：见解析 【分析】本题考查了解含有分母的一元一次方程，熟悉各步骤，注意各步的注意事项是解题的关键． 任务一：①第一步是去分母，其依据是等式的性质二，据此即可完成； ②观察每步变形知，第三步开始出现错误，原因是移项未变号； 任务二：按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行，即可求解． 【详解】解：任务一：①第一步是去分母，其依据是等式的性质二； 故答案为：等式的性质二； ②第三步开始出现错误，原因是移项未变号； 故答案为：三；移项未变号； 任务二：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 19．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为． 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解即可． 整理、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解即可． 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； （2）解：整理得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 20．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 题型五 已知一元一次方程的解求参数（共4小题） 21．（24-25六年级下·山东淄博·期末）若不论取何值，关于的方程（，是常数）的解总是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键；将代入中，化简得到，由不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是可知，k的值对方程没有影响，即可得到，求解即可． 【详解】解：不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是， ， ， ， ，， ， ， 故选：D． 22．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）已知关于的方程有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的特殊解问题，先解方程，再根据负整数解求解即可得到答案； 【详解】解：解方程得， ， ∵方程有负整数解， ∴等于或或或， 解得：或或或， ∵a是整数， ∴满足条件的整数a的值之和为：， 故选：A． 23．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）小李同学在解关于x的一元一次方程去分母时，方程右边的1漏乘了3，因而求得方程的解为，请你帮助小李同学求出a的值，并求出原方程正确的解． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元一次方程及一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 先根据错误的方法解得的值，将的值代入原方程得，再根据解一元一次方程的一般步骤即可求解， 【详解】解：根据错误的去分母得：， 将代入得：， 解得：， 则原方程为：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：． ∴方程正确的解为． 24．（24-25七年级上·江西赣州·期末）如果关于的方程的解与方程的解相同，求字母的值． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是解一元一次方程、已知一元一次方程的解，求参数，解题关键是熟练掌握一元一次方程的解法． 先按步骤解方程，得到该一元一次方程的解后代入方程，即可求得字母的值． 【详解】解：解方程， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 把代入方程， 得：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 故字母的值为． 题型六 一元一次方程解的关系（共4小题） 25．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如果两个方程的解相同，那么我们把这两个方程称为同解方程．若关于x的一元一次方程与是同解方程，则的值为（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次方程，理解同解方程的概念，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 先解关于x的一元一次方程，然后代入中，再解关于a得一元一次方程即可． 【详解】解： ， ∵方程与是同解方程， ∴将代入中 解得：． 故选：C． 26．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义和解法，观察两个方程，利用换元法是解题关键．设，利用“整体换元”的方法根据题中方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：设， 方程的解，即为的解， 的解为， ， 解得， 关于的一元一次方程的解为． 故选：D． 27．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义．将化为，根据一元一次方程的解的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵，即 ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， 解得：， 故答案为：． 28．（24-25七年级上·安徽六安·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程：与方程是“美好方程”，求的值． (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为，求的值． (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3)2025 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）由关于x的一元一次方程和是“美好方程”，可求出的解为，再将变形为，则，从而求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵关于x的方程与方程是“美好方程” ∴ ∴． （2）解：∵“美好方程”的两个解和为1 ∴另一个方程的解是 ∵两个解的差是8 ∴或 ∴或； （3）解：∵ ∴ ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程” ∴关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程可化为 ∴ ∴． 题型七 绝对值方程（共4小题） 29．（24-25七年级下·四川乐山·期末）方程的解为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据绝对值的定义可得或，据此解方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解方程，得， 解方程，得， ∴方程的解为或， 故选：B． 30．（24-25七年级上·福建莆田·期末）若，则的值等于（   ） A．28或 B．或32 C．28或32 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，解一元一次方程，根据绝对值的定义得到或，据此解方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得或， 故选：A． 31．（24-25六年级下·上海宝山·期末）已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了解绝对值方程，根据绝对值的意义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 32．解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值方程． 根据绝对值的意义逐步化简即可． 【详解】解：， ， 或， 所以或（不合题意，舍去）， 则， 或， 或（不合题意，舍去）， 或． 题型八 配套问题（共4小题） 33．（24-25七年级上·西藏拉萨·期末）一套仪器由两个A部件和三个B部件构成，用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？ 【答案】应用钢材做A部件，钢材做B部件，恰好配成这种仪器96套． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 根据题意设应用钢材做A部件，可知用钢材做B部件，再根据一套仪器由A，B部件的个数相等列出方程，求出解即可． 【详解】解：设应用钢材做A部件，钢材做B部件，根据题意得，， 解得， ， 套． 答：应用钢材做A部件，钢材做B部件，恰好配成这种仪器96套． 34．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）东胜区装备制造有限公司专门负责生产重型载货汽车的零部件．该公司现有工人120人专门负责生产M型号和L型号的零部件，每人每天可生产M型号零件30个或L型号零件40个（每人每天只能生产一种零件），一个M型号零件配两个L型号零件，且每天生产的M型号零件和L型号零件恰好配套．求该公司有多少工人生产M型号零件，有多少工人生产L型号零件？ 【答案】该公司有48工人生产M型号零件，有72工人生产L型号零件． 【分析】此题考查一元一次方程的实际应用，根据配套问题列方程解答即可，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：设该公司有x工人生产M型号零件，有工人生产L型号零件，则 解得， ∴， 答：该公司有48工人生产M型号零件，有72工人生产L型号零件． 35．（24-25七年级上·四川成都·期末）综合与实践：利用长方形纸板制作礼品盒 七年级数学兴趣小组同学准备制作三种不同形状的礼品盒：长方体礼品盒，圆柱体礼品盒，底面为等边三角形的直三棱柱礼品盒．请回答下列问题： 【制作长方体礼品盒】第一小组同学选择长为，宽为的长方形纸板，如图1，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． (1)当剪去的小正方形的边长为5时，求该长方体礼品盒的体积． 【制作圆柱体礼品盒】第二小组同学选择两张长为，宽为的长方形纸板，如图2，一张作圆柱体的侧面，另一张裁出两个大小相等的最大圆； (2)它们能组装成高为24cm的圆柱体礼品盒吗，请说明理由． 【制作底面为等边三角形的直三棱柱礼品盒】如图3，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面组成．第三小组同学将某种规格的长方形纸板按照图示方法分别制作礼盒底面和侧面； (3)若第三小组同学用到13张长方形纸板时，裁剪的侧面和底面两种型号纸板恰好用完，请利用方程的知识求出这时他们能做多少个这种礼盒． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)6个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，解题的关键是读懂题意，找出等量关系． （1）根据题意算出长方体礼品盒的长、宽、高，再根据体积公式计算即可． （2）根据题意算出底面圆周长，比较即可解答． （3）设用了y张纸板裁剪侧面，则用张纸板裁剪底面，故可裁剪出张侧面，张底面，根据配套条件列式算出，即可求解． 【详解】（1）解：当剪去的小正方形的边长为5时，长方体礼品盒的高为，长为，宽为的长方形纸板， 故该长方体礼品盒的体积为． （2）∵长为，宽为的长方形纸板，一张裁出两个大小相等的最大圆， ∴圆直径为， 要组装成高为24cm的圆柱体礼品盒， ∴这两个圆就是圆柱体的上下面，另一张作圆柱体的侧面， ∴是圆柱围起来的底面周长，是圆柱的高， 其周长为， ∵， ∴不能组装成高为的圆柱体礼品盒． （3）解∵第三小组同学用13张长方形纸板， 设用了y张纸板裁剪侧面，则用张纸板裁剪底面， 故可裁剪出张侧面，张底面， ∴， 即， ∴可以裁剪出18张侧面，12张底面， ∵一个三棱柱由2个底面，3个侧面， ∴， 故能制作底面为等边三角形的直三棱柱礼品盒的最多可剪6个三棱柱纸盒． 36．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）某工厂现有15木料，准备制作各种尺寸的圆桌和方桌，现用部分木料制作桌面，其余木料制作桌腿． (1)已知一张圆桌由一个桌面和三条桌腿组成，如果1木料可制作30个桌面，或制作60条桌腿．要使制作出的桌面、桌腿恰好配套，求制作桌面的木料为多少立方米？ (2)已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成．根据所给条件，解答下列问题： ①如果1木料可制作5个桌面，或制作30条桌腿，应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套？ ②如果3木料可制作30个桌面，或制作240条桌腿，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？ 【答案】(1)制作桌面的木料为 (2)①用木料制作桌面，用的木料制作桌腿，才能使做好的桌面和桌腿恰好配套②用木料制作桌面，用的木料制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设木料制作桌面，则用的木料制作桌腿，根据一张圆桌由一个桌面和三条桌腿组成，列出方程进行求解即可； （2）①设木料制作桌面，则用的木料制作桌腿，根据一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，列出方程进行求解即可； ②设木料制作桌面，则用的木料制作桌腿，根据一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，列出方程进行求解即可； 【详解】（1）解：设木料制作桌面，则用的木料制作桌腿，由题意，得： ， 解得：； 答：制作桌面的木料为； （2）①设木料制作桌面，则用的木料制作桌腿，由题意，得： ， 解得：； ∴， 答：用木料制作桌面，用的木料制作桌腿，才能使做好的桌面和桌腿恰好配套； ②设木料制作桌面，则用的木料制作桌腿，由题意，得： ， 解得：， ∴， 答：用木料制作桌面，用的木料制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子． 题型九 工程问题（共4小题） 37．（24-25七年级上·广东韶关·期末）一项工作，甲单独做需天，乙单独做需天，如果两人合做天后，余下的工作再由甲做．则这项工作需要甲做多少天完成？ 【答案】天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲还需天完成这项工作，根据题意列出方程求出的值进而即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设甲还需天完成这项工作， 由题意得，， 解得， （天）， 答：这项工作需要甲做天完成． 38．（24-25七年级上·四川自贡·期末）整理一批数据，由一人做需要，现在先安排一些人做，然后再增加3人做，刚好完成这项工作的．问先安排做的人数是多少？ 【答案】4 【分析】设先安排做的人数是x人，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用之工程问题，熟练掌握解题方法是解题的关键． 【详解】解：设先安排做的人数是x人， 根据题意，得， 解得． 答：先安排做的人数是4． 39．（24-25七年级下·重庆万州·期末）列方程解决以下问题： (1)七年级四班共有学生48人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个．每个盒身匹配2个盒底，那么问有多少人制作盒身，多少人制作盒底， 才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． (2)甲、乙两公司承包了一项民生工程，甲公司单独完成需要40天，乙公司单独完成需要20天，甲、 乙公司先共同合作5天后，剩下的工程由甲公司完成，则比甲公司单独完成提前了几天？ 【答案】(1)26,22 (2)10天 【分析】（1）设应有x人制作盒身，则有人制作盒底，根据题意，得，解方程即可． （2）共同合作5天后，设甲单独完成剩下工程需要x天，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，配套问题，工程问题，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设应有x人制作盒身，则有人制作盒底， 根据题意，得， 解得； 故， 答：应有26人制作盒身，则有22人制作盒底． （2）解：设甲单独完成剩下工程需要x天， 根据题意，得， 解得， 完成工程一共用（天）， 比甲公司单独完成提前了天． 答：比甲公司单独完成提前了10天． 40．（24-25七年级上·广东深圳·期末）综合实践 【实践主题】“空中的士”起降位的建设规划 【实践背景】空中的士（也称电动垂直起降飞行器）即将成为城市空中常用交通工具，因为它能够像出租车一样提供点对点的快速通勤服务．2024年11月全国六个城市率先开展了空中的士（电动垂直起降飞行器）的试点．空中的士起飞与降落需要特定的场地，图1是空中的士的起降位． 某数学学习小组查阅资料后，自主设计了如图2所示的起降位（由操作区与安全区两部分构成的大正方形），其中安全区（阴影部分）的宽均为3米，操作区是边长为米的正方形（其中米为空中的士的机身长度）． 任务一  计算材料成本 （1）如图2所示，请用含代数表达式表示起降位的边长______米． （2）若，请计算下列问题 ①操作区的面积是______平方米，起降位的面积是______平方米，安全区（阴影部分）的面积是______平方米． ②若操作区的基础材料成本为500元/平方米，安全区的基础材料成本为100元/平方米，建设一个起降位的基础材料成本是______元． 任务二  预算施工资金 在限定日期内，某机场需建设2个满足的起降位，甲乙两队一起承接了这个工程，在工程完工时，统计发现甲队比乙队多做了10天．两工程队的施工效率与施工费用如表所示： 甲工程队 乙工程队 每天独立建设 40平方米 30平方米 每天施工费用 8万 6万 （3）目前预算施工费用350万元．确定这笔预算施工费用是否足够？如果不够，需要追加多少钱？（实际施工总费用=甲队施工总费用+乙队施工总费用，不再计算材料成本） 【答案】（1）；（2）①576，900，324；②320400；（3）预算资金不够，需要追加10万元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，求出起降位面积和在工程完工时的甲乙两队的工作时间是解题关键． （1）安全区宽3米，围绕操作区四周，因此总边长为操作区边长加两侧安全区宽度，由此列代数式即可． （2）①根据，可求操作区、安全区的边长，进而求出各部分面积， ②根据总成本=操作区成本+安全区成本计算即可， （3）先根据工程量总和等于平方米列方程求出在工程完工时的甲乙两队的工作时间，进而求出总费用，再与预算施工费用相比即可解答． 【详解】解：（1）起降位的边长米； （2）①当时，操作区是边长米，操作区的面积是（平方米）； 起降位的边长米，起降位的面积是（平方米）； 安全区（阴影部分）的面积是（平方米）． ②建设一个起降位的基础材料成本（元） （3）设乙队工作 天，则甲队工作天．总施工面积为 平方米，列方程：   ， 解得 天，甲队工作 天．   总费用：甲队费用：（万元）；   乙队费用：（万元） ；   总费用： 万元．   预算万元不足，需追加万元． 答：这笔预算施工费用不够，需要追加10万元． 题型十 销售盈亏问题（共4小题） 41．（24-25七年级上·云南·期末）因教学需要，学校准备订购个排球和若干根跳绳，经过市场调查后发现排球元个，跳绳 元根． 某体育用品商店提供两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）： 方案： 买一个排球送一根跳绳； 方案：排球和跳绳都按定价的付款． 假设订购跳绳根（）． (1)若按方案购买，一共需付款 元； 若按方案购买，一共需付款 元；(用含的式子表示) (2)购买多少根跳绳时，两种方案所省的钱数一样多？ 【答案】(1)，； (2)购买根跳绳时，两种方案所省的钱数一样多． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （）利用“总价单价数量”，结合商店给出的两种优惠方案，可求出选择各方案所需费用； （）根据选择两种方案所省的钱数一样多，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：按方案购买，一共需付款（元）， 按方案购买，一共需付款（元）， 故答案为：，； （2）解：由题意得， 解得：， 答：购买根跳绳时，两种方案所省的钱数一样多． 42．（24-25七年级下·江西赣州·期末）2024年2月下旬，我省各地中小学陆续正常开学．开学之际，学生对书包的需求量增加．某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息： 信息一 信息二 商场从厂家购进A、B两款书包，其中A款书包7个，B款书包5个，共付款650元，已知每个B款书包的进价比每个A款书包贵10元． 商场将B款书包按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B款书包仍可获利． (1)求每个A款书包和B款书包的进价； (2)在信息二中，B款书包实际销售时打多少折出售？ 【答案】(1)每个款书包为50元，则B款书包为60元 (2)八折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设每个A款书包的进价是x元，则每个B款书包的进价是元，利用总价单价数量，结合“商场从厂家购进A、B两款书包，其中A款书包7个，B款书包5个，共付款650元”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即每个A款书包的进价），再将其代入中，即可求出每个B款书包的进价； （2）设B款书包实际销售时打a折出售，利用利润售价进价，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设每个A款书包为元，则B款书包为元 由题意可得： 解得：， ， 答：每个款书包为50元，则B款书包为60元； （2）解：设B款书包实际销售时打折出售 由题意可得： 解得：． 答：在信息二中，B款书包实际销售时打八折出售． 43．（24-25六年级下·山东泰安·期末）某店家销售一款网红春联，将这款春联的成本价提价后标价，又以七五折优惠卖出，结果每副春联仍获利8元，求这款春联每副的标价． 小敏用下面的框图直观地表示了店家从进货、标价到销售获利的过程： 分析：设这款春联的成本价为元／副 (1)请你用含的代数式补全框图中空缺的部分，并利用一元一次方程的知识求这款春联每副的标价． (2)该商店有两个进价不同的灯笼都卖了200元，其中一个盈利，另一个亏损．在这次买卖中，这家商店赚了还是赔了？请通过计算说明理由． 【答案】(1)见解析，64元 (2)亏损了元 【分析】本题考查一元一次方程的应用、列代数式，理解题意是解答的关键． （1）根据成本、标价、售价、利润的关系列代数式和方程，进而求解即可； （2）设盈利的灯笼成本价为元，亏损的灯笼成本价为元，根据题意分别求得a、b值，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意，①标价为（或者都对），②售价为（或者都对）； 则有， 解得：， （元）． 答：这款春联每副的标价是64元． （2）解：这次买卖中，这家商店赔了；理由如下： 设盈利的灯笼成本价为元，亏损的灯笼成本价为元， 根据题意得：, 解得：（约等于166.7或者167都对），， （元） 1．也可以不用方程，直接列式计算 2．学生也可以不求具体赔了多少，只比较大小也可以，，所以赔了 亏损了元． 44．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）水果批发市场批发丰水梨的价格如表： 购买丰水梨（千克） 单价 不超过千克的部分 元千克 超过千克但不超过千克的部分 元千克 超过千克的部分 元千克 (1)若陈阿姨第一次购买丰水梨千克,需要付费______元；第二次购买丰水梨千克，需要付费______元；第三次购买丰水梨千克，（超过千克），需要付费______元（化简结果用含的式子表示）． (2)若陈阿姨购买丰水梨花了元，求她买了多少千克的丰水梨？ (3)若陈阿姨分两次共购买千克的丰水梨，且第一次购买的数量为千克（），请问她这两次购买丰水梨共需要付多少元？（化简结果用含的式子表示） 【答案】(1)，，； (2)陈阿姨买了千克的丰水梨； (3)当时，需要付费元；当时，需要付费元． 【分析】本题考查了列代数式，有理数加法和乘法的应用，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出算式和代数式，再根据有理数运算，整式加减运算求解即可； （）由陈阿姨购买丰水梨花了元，可得陈阿姨购买丰水梨超过千克，再根据（）代数式列出方程，然后解方程即可； （）分当时和当时两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：陈阿姨第一次购买丰水梨千克,需要付费（元）； 第二次购买丰水梨千克，需要付费（元）； 第三次购买丰水梨千克，（超过千克），需要付费 （元） 故答案为：，，； （2）解：因为陈阿姨购买丰水梨花了元， ∴陈阿姨购买丰水梨超过千克， ∴， 解得：， 答：陈阿姨买了千克的丰水梨； （3）解：当时，需要付费元； 当时，需要付费元． 题型十一 方案选择问题（共4小题） 45．（24-25七年级上·吉林通化·期末）某市两超市分别推出如下促销方式：甲超市：全场均按八八折优惠；乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元打九折，超过500元的部分打八折．已知两家超市相同商品的标价都一样． (1)当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实际付款分别是多少元？ (2)某顾客在乙超市购物实际付款428元，试问该顾客的选择划算吗？请说明理由． 【答案】(1)甲超市实付款是352元、乙超市实付款是360元 (2)该顾客的选择不划算，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用. （1）根据甲乙两超市的促销方式代入计算即可； （2）根据计算可得该顾客原购物金额不超过500元，甲超市八八折,乙超市九折比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，一次性购物总额是400元时： 甲超市实付款：（元）， 乙超市实付款：（元）， 答：甲超市实付款是352元、乙超市实付款是360元． （2）解：∵（元），， ∴该顾客购物实际金额不多于500元， ∵甲超市：全场均按八八折优惠；乙超市：超过了200元而不超过500元一律打九折； ∴甲超市优惠， ∴该顾客的选择不划算. 46．（25-26七年级上·全国·期末）光明学校组织七年级学生开展研学活动，已知研学基地的票价为每张20元，由各班班长负责买票，下面是一班班长与售票员咨询的对话： 班长：你好!我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团体票有优惠吗？ 售票员：你好!购票人数超过40人的团体票有两种优惠方案，如下： 方案一：若每人都购票，每张门票打八折； 方案二：若打九折，有5人可免票． (1)一班学生人数为50，选择了方案一购票，那么一班购票需要多少元？ (2)二班选择了方案二，购票费用为702元，那么二班有多少人？ (3)三班的学生人数为，三班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”请问三班有多少人？ 【答案】(1)一班购票需要800元 (2)二班有44人 (3)三班有45人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据方案一列式计算即可； （2）设2班有x名学生，根据购票费用为702元，列出一元一次方程，解方程即可； （3）根据3班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知， ， 答：一班购票需要800元； （2）解：设二班有x人， 由题意，得 解得 答：二班有44人； （3）解：由题意，得 解得， 答：三班有45人． 47．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）某校组织若干师生到故宫进行参观活动，若学校只租用座的客车，则刚好坐满；若只租用座的客车，则可少租用辆，但有一辆上只坐了一半座位，其余车辆都坐满． (1)参加此次活动的师生共有多少人？下面是解决该问题的两种方法，请完成两种方法的分析过程，并选择其中的一种方法完成解答． 方法一 分析：设该校租用座的客车需要辆，则参观总人数可表示为_____________；租用座的客车辆，则参观总人数又可以表示为____________，根据题意列方程． 方法二 分析：设该校参加此次活动的师生共有人，则租用座的客车需要____________辆；租用座的客车需要____________辆，根据题意列方程． (2)若座的客车每辆租金是元，座的客车每辆租金是元，如果只能单独租一种车，比较选用哪一种车，费用较少？ 【答案】(1)方法一：；或；方法二：，或 (2)当时，选座车的费用高，应该选座车；当时，两种车的费用相等；当时，选座车的费用高，应该选座车 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，代数式，正确理解题意列出对应的方程和代数式是解题的关键． （1）根据题意，按照不同方法求解即可； （2）根据题意，分别求出选座车和选座车的费用，比较即可求解； 【详解】（1）方法一：；或 方法二：，或； 选方法一：由题意，得 解出 （人） 选方法二：由题意，得 或 解出； 故答案为：；或 ，或 （2）解：由题意，若选座车，费用 若选座车，费用 当时，选座车的费用高，应该选座车； 当时，两种车的费用相等； 当时，选座车的费用高，应该选座车． 48．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）某校为了丰富学生的学习生活，利用课后辅导时间开设了很多学生喜欢的社团．其中网球社团正式开课之前打算采购网球拍50支，网球筒（），经市场调查了解到该品牌网球拍定价150元支，网球40元筒．现有甲、乙两家体育用品商店有如下优惠方案： 甲商店：买一支网球拍送一筒网球； 乙商店：网球拍与网球均按九折付款． (1)用含的式子分别表示到甲、乙两家体育用品商店购买需要支付的费用（元）和（元）； (2)若，请通过计算说明学校到甲、乙两家体育用品商店中的哪一家购买更优惠； (3)若两家的优惠方案支付的费用相差450元，求的值． 【答案】(1)， (2)甲商店购买合算，计算见解析 (3)的值为425或200 【分析】本题考查了代数式的求值，列代数，一元一次方程的实际问题，根据题意列方程是解题关键． （1）按照对应的方案的计算方法分别列出代数式即可； （2）把代入求得的代数式求得数值，进一步比较得出答案即可； （3）根据甲、乙两家的优惠方案相差400元，可列方程即可． 【详解】（1）解：由题意知：， ； （2）解：当，， ， 因为， 所以甲商店购买合算； （3）解：根据题意得，或， 解得或， 所以的值为425或200． 题型十二 数字问题（共4小题） 49．（24-25七年级上·河北唐山·期末）数学课上，老师给出了一个计算规则： (1)若嘉嘉写出的有理数为“”，求最后的计算结果； (2)若淇淇经过正确计算后的结果为绝对值最小的有理数，求她写出的的值． 第①步：请你任意写出一个有理数； 第②步：将减去； 第③步：用2加上“第②步”中得到的有理数的一半，并算出计算结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，理解题意，正确列式计算即可得出答案，熟练掌握有理数的混合运算法则是解此题的关键． （1）根据题意列式，计算，即可求解． （2）根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意， （2）解：绝对值最小的有理数为， 依题意， 解得： 50．（24-25七年级上·河北沧州·期末）将连续的奇数按下表方式排列，用正方形任意圈出四个数，如图，若圈出的四个数中，第一行第一列上的数表示为a，其余各数分别用b，c、d表示． (1)观察与发现：分别用含a的代数式表示b、c、d三个数：______；_____；_____； (2)归纳与总结：求这四个数的和（用含a的代数式表示，并化简）； (3)这四个数的和会等于112吗？如果会，请求出a值，如果不能，请说明理由．（列方程解答） 【答案】(1)； (2)，； (3)这四个数的和不会等于112，理由如下 【分析】本题考查列代数式及一元一次方程的应用，解题的关键是观察表格，得到表格中数的关系，再列方程解决问题． （1）观察表格直接得到答案； （2）将四个数相加，合并同类项即可； （3）根据四个数的和等于112，列出方程，再检验即可． 【详解】（1）解：由图可得：第一行第一列上的数表示为，则，，， 故答案为：，，； （2）解：四个数的和是， （3）解：这四个数的和不会等于112，理由如下： ， ， 解得， 这四个数是22，24，32，34， 表中的数是连续的奇数， 故用正方形圈出的四个数的和不会等于112． 51．（24-25七年级下·广东深圳·期末）【定义】一个正整数除以它的各位数字之和，所得的商叫做这个数的平均商． 例如：的平均商的平均商的平均商． 【理解】（1）的平均商为______，的平均商为______； 【探究】（2）数学兴趣小组开展研究，首先计算部分两位数的平均商（保留两位小数），结果如表： 个位数字 平均商 十位数字 老师：“请同学们观察表格，谈谈你的发现．” 小明：“我发现，个位数字与十位数字相同的两位数的平均商相同．” 小莉：“我发现，当个位数字相同时，十位数字越小，平均商越小．” 请你再写出一条新的发现． 假设一个两位数的个位数字与十位数字都为，请结合计算，说明小明的说法是否合理． 【拓展】（3）利用上述研究思路，可以得出平均商最小的三位数是______． 【答案】（1）；；（2）见解析；合理，见解析；（3） 【分析】本题考查了新定义运算； （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）①根据表格可得，个位数字为的两位数的平均商均为； ②设个位与十位数字均为为到的整数，得出，即可求解； （3）设三位数的百位、十位、个位数字分别为、、，结合新定义，找到规律推导出平均商最小的三位数． 【详解】解：（1）的各位数字之和为，平均商为； 的各位数字之和为，平均商为， 答：的平均商为，的平均商为． （2）新发现：个位数字为的两位数的平均商均为如的平均商，的平均商等． 设个位与十位数字均为为到的整数， 则两位数为，各位数字之和为，平均商为， 因此，所有个位与十位数字相同的两位数的平均商均为，小明的说法合理． （3）设三位数的百位、十位、个位数字分别为、、，则三位数为，平均商为， 要使平均商最小，需分子尽可能小且分母尽可能大， 当百位最小，、十位和个位最大时，三位数为，各位数字之和为， 平均商为， 经检验，其他组合的平均商均大于． 答：平均商最小的三位数是． 52．（24-25七年级下·广东深圳·期末） 信息1 若一个两位数十位、个位上的数字分别为和，我们可将这个两位数记为，如；同理，一个三位数、四位数等也可以用此记法，如． 信息2 调换两位数的各个数位上的数字，可以得到一个新的两位数． 【信息理解】 （1）填空： ①可表示为________； ②若，则________． （2）的运算结果能被9整除，请说明其中的道理． 【迁移运用】 （3）小明利用运算程序设计了一个数学魔术，邀请小天参与体验． 步骤1：小明写下一个两位数； 步骤2：小天将一个两位数输入如图所示的运算程序，得到运算结果后，再将该结果减去； 步骤三：小明在未运用运算程序的情况下，直接说出了最终结果为四位数．请推测两位数与之间的数量关系．并简要说明理由． 【答案】（1）①；②2；（2）见解析；（3），见解析 【分析】本题考查整式加减的实际应用，列代数式，一元一次方程的实际应用，熟练掌握数字的表示方法，是解题的关键： （1）①根据题意，列出代数式即可；②根据数字的表示方法，列出方程进行求解即可； （2）根据数字的表示方法，进行整式的加减运算，求出结果后，进行判断即可； （3）根据流程图和数字的表示方法进行计算即可． 【详解】解：（1）①可表示为 ②∵， ∴， 解得：； 故答案为：2； （2）解：由信息1和信息2可知 能被9整除． （3），理由如下： 将输入运算程序，得： 减去得： 而四位数可以表示为：． 所以 即 所以 即． 题型十三 几何问题（共4小题） 53．小明和小慧两位同学在数学活动课上，把长为，宽为的若干张长方形白纸条粘合起来，小明按如图甲所示的方法粘合起来得到长方形，粘合部分的长度为，小慧按如图乙所示的方法粘合起来得到长方形，粘合部分的长度为． (1)求5张白纸条分别按图甲和图乙粘合后，总长度分别为多少厘米？ (2)用x张白纸条按甲粘合后，总长度为多少厘米？ (3)若长为，宽为的长方形白纸条共有100张，则应分给小明多少张长方形白纸条，才能使小明和小慧按各自要求粘合起来的长方形面积相等（要求100张长方形白纸条全部用完）． 【答案】(1)总长度分别为126厘米和34厘米 (2)总长度为厘米 (3)则应分给小明43张白纸条，才能使小明和小慧按各自要求粘合起来的长方形面积相等 【分析】本题考查了列代数式解决实际问题及一元一次方程的应用，解题的关键是明确“张纸条粘合时，重叠部分有个”，再根据甲、乙两种粘合方式的不变量（甲保持宽不变、乙保持长不变）分别计算总长度，最后结合面积相等关系列方程求解． （1）图甲：5张纸条总长度为，减去个粘合部分（每个），即；图乙：5张纸条总宽度为，减去个粘合部分（每个），即； （2）张纸条按甲粘合，总长度为，化简代数式； （3）设分给小明张，则小慧得张，分别表示甲、乙粘合后的长方形面积，根据面积相等列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：图甲粘合后总长度：， 图乙粘合后总长度：， 答：5张白纸条按图甲、图乙粘合后总长度分别为126厘米、34厘米． （2）解：张白纸条按甲粘合后总长度：， 答：用张白纸条按甲粘合后，总长度为厘米． （3）解：设分给小明张白纸条，则分给小慧张白纸条． 小明粘合后长方形面积：， 小慧粘合后总长度： 小慧粘合后长方形面积：， 由面积相等得：， 两边除以10：， 展开右边：， 移项：， 合并同类项：， 解得：． 答：应分给小明43张长方形白纸条． 54．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图：搭1个正六边形需要6条线段，组成6个顶点；搭2个正六边形，需要11条线段，组成10个顶点；搭3个正六边形，需要16条线段，组成14个顶点……，根据这个规律回答下列问题： (1)搭5个正六边形，需要 条线段，组成 个顶点． (2)搭个正六边形，需要 条线段，组成 个顶点． (3)10121条线段可以搭多少个正六边形，组成的顶点个数是多少？ 【答案】(1)， (2)， (3)10121条线段可以搭个正六边形，组成的顶点个数是． 【分析】本题考查的是图形类的规律探究，一元一次方程的应用； （1）先计算前几个图形的线段的数量，顶点的数量可得答案； （2）由（1）归纳可得规律； （3）由（2）的规律建立方程求解，并进一步计算即可． 【详解】（1）解：一个六边形有6条线段，有个顶点， 第2个图形有条线段，有个顶点， 第3个图形有条线段，有个顶点， …． ∴第5个图形有条线段；有个顶点， （2）解：归纳可得，第n个图形有条线段， 有个顶点． （3）解：由题意可得：， 解得：， ∴， ∴10121条线段可以搭个正六边形，组成的顶点个数是． 55．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在长方形中，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． (1)当点P在上运动时， _____．（用含t的代数式表示） (2)当点P在上运动时， _____（用含t的代数式表示）；当点P运动到的中点时，求线段的长； (3)当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值． (4)当点P在上运动时，连接．直接写出的面积是时t的值． 【答案】(1) (2)； (3)或 (4)t的值为或2 【分析】（1）求出，则； （2）先求出点P的运动路程再减去的长即可得到答案；根据题意可得方程，解方程求出t的值，然后再求出解得即可； （3）分两种情况：当点P在上运动时，当点P在上运动时，建立方程求解即可； （4）根据三角形面积公式求出，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当点P在上运动时，， ∴； （2）解：由题意得，当点P在上运动时， ； 由题意得，， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点P在上运动时，则， 解得：； 当点P在上运动时，则， 解得； 综上所述，当点P与点Q到点B的距离相等时，或； （4）解：∵的面积是， ∴， ∴， ∴或， 解得：或， ∴当的面积是时t的值为或2． 【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，三角形面积的计算，解题的关键是注意进行分类讨论． 56．（24-25七年级上·广东阳江·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： ①，两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为________，点表示的数为________． (2)当为何值时，，两点相遇？写出相遇点所表示的数． (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中．线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由：若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①，；②， (2)当为2时，，两点相遇，相遇点所表示的数为4 (3)点在运动过程中，线段的长度不变，线段的长为5 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，用含的代数式表示出点运动后表示的数是解题的关键． （1）①利用数轴上两点间的距离公式可求出的长，利用线段的中点表示的数，可求出线段的中点表示的数； ②根据点，的出发点、运动方向、运动速度及运动时间，即可用含的代数式表示出点，表示的数； （2）根据，两点相遇时两点表示的数相同，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出相遇点所表示的数； （3）当运动时间为秒时，点表示的数，点表示的数为，结合“点为的中点，点为的中点”，可得出点表示的数为，点表示的数为，再利用数轴上两点间的距离公式，可求出，进而可得出结论． 【详解】（1）解：①根据题意得：， 线段的中点表示的数为． 故答案为：，： ②秒后，点表示的数， 点表示的数为． 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， 解得：， ∴． 故当为2时，，两点相遇，相遇点所表示的数为4； （3）解：当运动时间为秒时，点表示的数，点表示的数为， ∵点为的中点，点为的中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴点在运动过程中．线段的长度不变，线段的长为5． 题型十四 动点问题（共4小题） 57．（24-25七年级上·河南开封·期末）对于数轴上的、、三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如，数轴上点、、表示的数分别是1、4、5、此时点是点、的“倍分点”． (1)当点表示数，点表示数2时，下列各数、0、1、4所对应的点是点、的“倍分点”的是______． (2)当点表示数、点表示数30时，为数轴上一个动点．若点是点、的“倍分点”，求此时点表示的数． 【答案】(1)1，4 (2)点表示的数为20或50或0或 【分析】本题考查实数与数轴，涉及数轴上两点之间距离求法、解一元一次方程等知识，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，数形结合是解题的关键． （1）根据定义，通过计算进行判断即可； （2）设点表示的数是，分两种情况讨论：当时和当时，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴所对应的点不是点的“倍分点”； ∵， ∴， ∴所对应的点不是点的“倍分点”； ∵， ∴， ∴所对应的点是点的“倍分点”； ∵， ∴， ∴所对应的点是点的“倍分点”； 故答案为：1，4； （2）解：设点表示的数是， 由点是点、的“倍分点”，可得或， 当时，， 解得或； 当时，， 解得或； 综上所述：点表示的数为20或50或0或． 58．（24-25七年级上·广西南宁·期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b；则A，B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离_______线段的中点表示的数为_______； ②用含t的代数式表示：后，点P表示的数为_______，点Q表示的数为_______． (2)求P、Q两点相遇时，点P所表示的数． 【答案】(1)①10，3；②，； (2)点P表示的数是 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． （1）①根据两点间的距离公式和线段中点的计算方法解答；②根据路程时间×速度和两点间的距离公式解答； （2）根据两点间的距离公式得到，结合已知条件列出方程并解答即可． 【详解】（1）解：①由题意得：，线段的中点为， 故答案为10，3； ②根据题意得点P表示的数为，点Q表示的数为， 故答案为：，； （2）∵t秒后，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∴， ∵P、Q两点相遇， ∴， 解得：， ∴当时，点P表示的数是． 59．（24-25七年级上·江苏南通·期末）已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x． (1)的长为 ； (2)如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是 ； (3)数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由． (4)如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值． 【答案】(1)4 (2) (3)存在，x的值是或5 (4)t的值为或4 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式，一元一次方程的求解．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键． （1）计算即可； （2）根据题意得：，即可求解； （3）分类讨论：①当点P在点M的左侧时，②P在点M和点N之间时，③点P在点N的右侧时，三种情况即可求解； （4）设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即．点P对应的数是，点M对应的数是，点N对应的数是．分类讨论①当点M和点N在点P同侧时，②当点M和点N在点P异侧时两种情况即可求解； 【详解】（1）解：的长为； 故答案为：4 （2）解：根据题意得：， 解得：； （3）解：①当点P在点M的左侧时． 根据题意得：． 解得：． ②P在点M和点N之间时， 则， 方程无解，即点P不可能在点M和点N之间． ③点P在点N的右侧时， ． 解得：． ∴x的值是或5； （4）解：设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即． 点P对应的数是，点M对应的数是，点N对应的数是． ①当点M和点N在点P同侧时，点M和点N重合， 所以，解得，符合题意． ②当点M和点N在点P异侧时，点M位于点P的左侧，点N位于点P的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点M在点P左侧，且点M运动的速度大于点P的速度，所以点M永远位于点P的左侧）， 故．． 所以，解得，符合题意． 综上所述，t的值为或4． 60．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，已知数轴上点表示原点，点表示的数为．动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回，点和点同时出发，同时停止．设运动的时间为秒． (1)如图1，当时，点表示的数为 ，点表示的数为 （用含的代数式表示）； (2)如图1，当时，若、两点的距离为单位长度，求的值； (3)如图2，数轴上从左到右依次是点、、、，线段，，在数轴上方作正方形与正方形，两个正方形随点和点运动，若两个正方形同时出发，求为何值时，两个正方形的重叠部分面积为． 【答案】(1)； (2) (3)当为秒或秒或秒时重叠部分面积为 【分析】本题考查数轴，一元一次方程的知识，解题的关键根据动点的运动轨迹，得到线段的表达式，根据题意，进行解答，即可． （1）根据数轴和运动情况即可作答； （2）根据、两点的距离为单位长度，列出方程，即可求解； （3）分情况讨论，当时，有两种情况，当时，有两种情况，分类讨论即． 【详解】（1）解：由题意得，动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动 ∴当时，表示的数为：， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回， ∴当时，表示的数为：； 故答案为：；． （2）解：由（1）可得，当时，表示的数为：，表示的数为：， ∴、两点的距离为单位长度时，， ∴． （3）解：∵动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动； ∴点表示的数为：， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回， ∴点在数轴上表示的数为：， 当，， 当点还没有折返时，存在两种情况： 如图，， ∵两个正方形的重叠部分面积为，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图，， ∵两个正方形的重叠部分面积为，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点折返后，存在两种情况： 如图，，， ∵两个正方形的重叠部分面积为，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，，， ∵两个正方形的重叠部分面积为，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴舍去， 综上所述，当为秒或秒或秒时重叠部分面积为． 题型十五 和差倍分问题（共4小题） 61．（25-26七年级上·江苏·期末）某数学兴趣小组原来男生和女生的人数相同．如果增加6名女生，那么女生人数是全组人数的，则这个数学兴趣小组原来有 人． 【答案】12 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意得到等量关系列得方程是解题的关键． 设这个兴趣小组原来的人数是人，根据再增加6名女生，那么女生人数占全组人数的，列方程求解． 【详解】解：设这个兴趣小组原来的人数是人， 则有， 解得， 答：这个兴趣小组原来的人数有12人. 故答案为：12． 62．（24-25九年级上·陕西西安·期末）为落实国家关于中学生信息素养提升的若干要求，提升学生的信息素养，南湖未来学校举行了中学生信息素养提升实践活动．据统计，七年级和八年级共创作作品159个，且七年级创作的作品数量是八年级创作的作品数量的还少6个，求七年级创作的作品有多少个． 【答案】60个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设七年级创作的作品有x个，八年级创作的作品有y个，根据“七年级和八年级共创作作品159个，且七年级创作的作品数量是八年级创作的作品数量的还少6个”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设七年级创作的作品有x个，八年级创作的作品有y个， 根据题意得：， 解得：． 答：七年级创作的作品有60个． 63．（24-25七年级下·河南信阳·期末）小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价如下表： 类别价格 款玩偶 款玩偶 进货价（元/个） 40 30 小李用1100元购进了，两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个？ 【答案】款玩偶购进个，款玩偶购进个 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设款玩偶购进个，根据小李用1100元购进了，两款玩偶共30个，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设款玩偶购进个，则款玩偶购进个， 由题意，得：， 解得：， ∴； 答：款玩偶购进个，款玩偶购进个． 64．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）综合与实践 【项目背景】 干支纪年是中国传统的纪年方法，由十个天干和十二个地支搭配而成(如下图)． 十个天干与十二个地支中的前十个分别按顺序搭配，例如天干之“甲”与地支之“子”相搭配，便形成了干支纪年的第一个组合“甲子”，然后“乙”与“丑”搭配，形成“乙丑”，等等，第一个十年如下： 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 甲子 乙丑 丙寅 丁卯 戊辰 己巳 庚午 辛未 壬申 癸酉 第二个十年是把前一个十年未参与的“戌”和“亥”排在地支最前面，后面依次是“子、丑、寅、……”，天干和地支仍按顺序搭配，得到组合如下： 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 甲戌 乙亥 丙子 丁丑 戊寅 己卯 庚辰 辛巳 壬午 癸未 第三个十年从“甲申”开始，依此类推，周而复始． 【内容理解】 （1）干支纪年中， “甲丑”年(填“有”或“没有”)；干支纪年的一个周期为 年； 【问题探究】 （2）中国人民解放军诞生于丁卯年，建军70周年是 年(填干支组合)；在一个周期内，“甲子”年是第1年，“戊戌”年是第 年(填序号)． 【知识运用】 （3）小红是七年级学生，她的弟弟比她小5岁，甲辰年小红和弟弟的年龄之和刚好是爸爸年龄的一半，20年以后，小红和弟弟年龄之和比爸爸的年龄大1岁．用干支纪年表示，小红是哪一年出生的？ 【答案】（1）没有，（2）丁丑，（3）壬辰年 【分析】本题考查考查了规律型：数字的变化类，一元一次方程的应用，读懂题目介绍的干支纪年法是解题的关键． （1）根据干支纪年表即可得到答案； （2）由干支纪年表中的信息即可得到答案； （3）设甲辰年小红的年龄为，则弟弟的年龄为，爸爸的年龄为，根据题意列方程，解方程，再根据干支纪年表中的信息，即可得到答案． 【详解】解：（1）如干支纪年表所示， 干支纪年中没有甲丑年，干支纪年的一个周期为年， 故答案为：没有，； （2）如干支纪年表所示，中国人民解放军诞生于丁卯年，建军70周年是丁丑年，在一个周期内，“甲子”年是第1年，“戊戌”年是第年， 故答案为：丁丑，； （3）设甲辰年小红的年龄为，则弟弟的年龄为，爸爸的年龄为，根据题意列方程得， 解得：， 如干支纪年表所示年之前为壬辰年， 小红是壬辰年出生的． 题型十六 水电费问题（共4小题） 65．（24-25七年级下·江苏南京·期末）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 (1)小明家2月份用水量为，应缴纳水费______元； (2)为节约用水，小明家计划3月份的水费不超过92元，3月份最多能用多少水？ (3)已知小红家2月份和3月份共缴纳水费176元，这两个月的用水量一共是，且2月份用水量少于3月份．求小红家2月份、3月份用水量分别是多少？ 【答案】(1)65 (2)小明家3月份最多能用水 (3)小红家2月份的用水量是，3月份用水量是 【点睛】本题考查一元一次方程、一元一次不等式的应用；能够理解题意，根据不同的取值范围列出相应的方程、代数式或不等式是解题的关键． （1）根据用水量，代入不同的单价，计算出应缴纳的水费； （2）根据应缴纳的水费范围列出不等式，求解用水量的范围，即可找出用水量的最大值； （3）分类进行讨论计算． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）， 应缴纳水费65元． 故答案为：65． （2）设小明家3月份能用水， （元），， ． 根据题意得：， 解得：， 的最大值为． 答：小明家3月份最多能用水; （3）设小红家2月份的用水量为，则小红家3月份的用水量为， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：， （）． 答：小红家2月份的用水量是，3月份用水量是． 66．（24-25七年级上·江西南昌·期末）我国是一个缺水国家，在日常生活中，我们一拧水龙头，水就源源不断地流出来，可能丝毫感觉不到水的危机．但事实上，我们赖以生存的水，正日益短缺．目前，全世界还有超过10亿的人口用不上清洁的水，人类每年有310万人因饮用不洁水患病而死亡．节约用水，是我们每一个公民的基本素养之一．为鼓励居民节约用水，南昌市对居民用水收费实行“阶梯价”，2024年起年具体收费标准如下表．（阶梯价的含义：不超过360立方米，每立方米收费元，用水量在立方米，前360立方米按元/立方米收费，立方米之间按4.00/立方米收费，以此类推） 供水类型 阶梯分类 户用水量（立方米） 到户水价（元/立方米） 居民生活用水 第一阶梯 （含） 第二阶梯 （含） 4.00 第三阶梯 480以上 7.04 (1)若小红家2024年全年用水350立方米，则小红家应交水费__________元； (2)若小明家2024年交水费元，求小明家2024年用水量．（列方程解决问题） (3)若小刚家2024年交水费元，求小刚家2024年用水量．（列方程解决问题） 【答案】(1)1043 (2)450立方米 (3)500立方米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据图表中的数量关系，列出算式和方程． （1）由于小刚家2024年全年用水350立方米，则按第一阶梯交费，根据总价单价数量列式计算即可； （2）先判断出小明家2024年交水费元，在第二阶梯，再根据题意列方程求解即可； （3）先判断出小刚家2024的用水量到达第三阶梯，再根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：（元）， ∴小红家应交水费1043元； （2）解：设小明家2024年用水立方米， ∵， ， ∴， ∴可得方程：， 解得， ∴小明家2024年用水450立方米； （3）解：设小刚家2024年用水立方米， ∵， ∴， ∴可得方程， 解得， ∴小刚家2024年用水500立方米． 67．（24-25七年级上·浙江金华·期末）某市近期公布的居民用天然气阶梯价格方案如下： 第一档天然气用量 第二档天然气用量 第三档天然气用量 年用天然气量在及以下的部分，价格为每立方米元． 年用天然气量在以上不超过时，超过部分价格为每立方米元． 年用天然气量在以上时，超过部分价格为每立方米元． 依此方案请回答： (1)若小禾家今年使用天然气，则需缴纳天然气费为多少元？ (2)若某户今年缴纳天然气费2286元，求该用户今年使用天然气多少立方米． 【答案】(1)1300元 (2)800立方米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分清各档用气量和对应价格是解答本题的关键． （1）根据题意得出天然气处于第二档天然气用量，计算求值即可． （2）先计算出第一档和第二档中年用天然气量分别为360立方米和600立方米应缴纳的费用之和为1578元，由得出该户今年使用天然气超过600立方米，设该户2023年使用天然气x立方米，根据等量关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：天然气处于第二档天然气用量， 需缴纳天然气费为元； （2）解：，， 该户今年使用天然气超过600立方米， 设该户今年使用天然气x立方米， 根据题意得：， 解得：， 该户今年使用天然气800立方米． 68．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如表： 用水量 单价 不超过6m3的部分 2元/m3 超过6m3不超过10m3的部分 4元/m3 超出10m3的部分 8元/m3 如：某用户2月份用水9m3，则应缴水费：（元）． (1)某用户3月用水8m3应缴水费 　 　元； (2)已知某用户4月份缴水费22元，求该用户4月份的用水量； (3)如果该用户5、6月份共用水18m3（6月份用水量超过5月份用水量，且5月份用水量不超过8m3），共交水费52元，则该户居民5、6月份各用水多少m3？ 【答案】(1)20 (2)该户4月份用水； (3)5月份用水，6月份用水量为． 【分析】此题考查了列代数式及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列式求解． （1）根据表格中的收费标准，求出水费即可； （2）根据缴水费22元，可得4月份用水量在6m3到10m3之间，故可求解； （3）根据6月份用水量超过5月份用水量，得到6月份用水量多于9m3，分①当时，②当时，③当时，，列方程可解答． 【详解】（1）解：则应缴水费：（元， 故答案为：20； （2）解：该用户4月份交水费22元，， 设该户居民4月份用水， 根据题意得出：， 解得：． 故该户4月份用水； （3）解：设该户居民5月份用水，则6月份用水， 该用户6月份用水量超过5月份用水量， ， ①当时，，根据题意得： ，解得：， ， 当时，无解． ②当时，，根据题意得： ， 解得：， 检验知：符合题意，此时； ③当时，，根据题意得： ， 化简得：． 当时，无解． 综上知：5月份用水，6月份用水量为． 题型十七 行程问题（共4小题） 69．（25-26七年级上·甘肃·期末）甲地到乙地的高铁开通后，运行时间由原来的缩短至，运行里程比原来缩短了．已知动车组列车的平均速度比普通列车的平均速度快，求动车组列车的平均速度． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． 设动车组列车的平均速度为，则普通列车的平均速度为，根据运行里程比原来缩短了建立方程解答即可． 【详解】解：设动车组列车的平均速度为，则普通列车的平均速度为， 由题意，得， 解得， 答：动车组列车的平均速度为． 70．（24-25七年级上·陕西延安·期末）甲、乙两车分别从A、B两地沿同一直线相向而行，甲每小时比乙多行驶2千米，两车在上午8点同时出发，到上午10点两车还相距36千米，到中午12点两车又相距36千米．求A、B两地的距离． 【答案】A、B两地的距离为108千米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意、设出未知数、找出合适的等量关系、列方程是解题的关键．设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为千米/时，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为千米/时， 由题意得，， 解得：， 所以甲车的速度为：（千米/时）， （千米）． 答：A、B两地的距离为108千米． 71．（24-25七年级上·河南安阳·期末）以下是两张不同类型火车（“×××次”表示动车，“×××次”表示高铁列车）的车票（部分）： (1)根据车票中的信息填空：该列动车和高铁列车是______（选填“相”或“同”）向而行；该列动车比高铁列车发车______（选填“早”或“晚”）． (2)已知该列动车和高铁列车的平均速度分别为，两列火车的长度不计，如果两列火车都直达终点（即中途不停靠任何站点），高铁列车比动车早到，求A，B两地之间的距离． 【答案】(1)同；早 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据车票中的信息即可得； （2）设两地之间的距离为，根据高铁列车比动车早到、动车比高铁列车早发车1小时建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：根据车票中的信息可知，该列动车和高铁列车都是从地开往地，动车的发车时间是2024年12月14日，高铁列车的发车时间是2024年12月14日， 所以该列动车和高铁列车是同向而行，该列动车比高铁列车发车早， 故答案为：同；早． （2）解：设两地之间的距离为， 由题意得：， 解得， 答：两地之间的距离为． 72．（24-25七年级上·江西吉安·期末）周末小明和爸爸来到了一处农场，并体验了农场的骑马项目，马场有一个如图所示的长为的环形跑道，若把跑道从，，，处分成长度相等的四段，小明和爸爸在骑师的引导下分别从，两处同时出发，沿箭头方向相向而行，小明骑小马和爸爸骑大马的平均速度分别为，． (1)多久后两人首次相遇？并说出此时他们在跑道上的具体位置； (2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过多长时间两人相距？ 【答案】(1)秒后两人首次相遇，此时他们在弯道上，且离B点37.5米的位置； (2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过5秒或45秒时，两人相距. 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是看清是相遇问题以及找到两人两人相距，所走得路程． （1）两人分别，两处同时出发，沿箭头方向相向出发，从图上可知首次相遇是个相遇问题，找到路程，知道速度，根据路程等于速度乘以时间，可列方程求解； （2）在首次相遇后第二次相遇前，又经过y秒两人相距，依然是行程问题，找到路程，知道速度，根据路程等于速度乘以时间，可列方程求解； 【详解】（1）解：设秒后两人首次相遇， 依题意得到方程． 解得． 小明的路程米， 答：秒后两人首次相遇，此时他们在弯道上，且离B点37.5米的位置； （2）解：设又经过秒后两人两人相距， 依题意得或 解得或． 答：在首次相遇后第二次相遇前，又经过5秒或45秒时，两人相距； 题型十八 日历问题（共4小题） 73．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图是由非负偶数排成的数阵： (1)填空：图中“H”形框中七个数的和是中间数的______倍； (2)在数阵中任意做一个这样的“H”形框，（1）中的关系是否仍成立？并写出理由； (3)用这样的“H”形框能框出和为2023的七个数吗？如果能，求出这七个数中间的数；如果不能，请写出理由． 【答案】(1)7 (2)仍成立，理由见解析 (3)不能框出和为2023的七个数，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，有理数四则混合运算的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出算式或方程，准确计算． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）根据题意列出代数式，求出七个数的和，然后进行判断即可； （3）设中间数为x，根据七个数的和为2023，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， 答：七个数的和为是中间数的7倍， 故答案为：7； （2）解：仍成立． 理由：设中间数为x，则另六个数为，，，，， ， 则七个数的和为： ， 故七个数的和为是中间数的7倍． （3）解：设中间数为x，依题得， 解得：， 因为289是奇数，不存在这样的数， 故不能框出和为2023的七个数． 74．（24-25七年级上·山西大同·期末）综合与实践 活动再现：在学习第四章《整式的加减》时，我们通过“数学活动”，探究了月历中数字之间的关系和变化规律． 操作发现：如图1是2024年10月的月历，小宇用带阴影的“十”字框框中5个数． (1)这5个数中，最小数与最大数的差是_________； (2)小宇发现当“十”字框任意移动时，框中的5个数之和始终是5的倍数，请通过计算说明他的发现成立． (3)小宇用如图2所示的“凹”字框在月历中任意框中5个数，将这5个数分别用字母a，b，c，d，e表示（如图3）． ①请用只含一个字母的代数式表示这5个数的和．（写出两个不同的代数式） ②这5个数的和能等于101吗？若能，请直接写出这5个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；（答案不唯一）②能；15，17，22，23，24 【分析】本题考查了一元一次方程的日历应用，列代数式，有理数的减法应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据这5个数中，最小数是，最大数是，进行减法运算，即可作答． （2）设正中心的数为x，则阴影框中其余的4个数为，，，．再列式，即可作答． （3）①根据这5个数分别用字母a，b，c，d，e表示，所以或，即可作答． ②能，依题意，列式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，这5个数中，最小数是，最大数是， ∴， 故答案为：； （2）解：设正中心的数为x， 则阴影框中其余的4个数为，，，． ∴． 则这5个数的和为． ∵是正整数， ∴当“十”字框任意移动时，框中的5个数之和始终是5的倍数． （3）解：①∵用如图2所示的“凹”字框在月历中任意框中5个数，将这5个数分别用字母a，b，c，d，e表示， ∴； 或者； ∴这5个数的和为或（答案不唯一） ②能，过程如下： 依题意，， 解得 则， ∴这5个数是15，17，22，23，24． 75．（24-25七年级上·宁夏固原·期末）如图是2023年12月份的日历，用一个正方形任意圈住4个数（如图），仔细观察这4个数，不改变正方形的大小，任意移动方框的位置，找出规律． (1)若把第一行第一列的那个数表示为a，其余各数分别用含a的代数式表示，请把表格补充完整． a (2)求这四个数的和（用含a的代数式表示，要求合并同类项化简）． (3)小明妈妈的生日快到了，小明想送妈妈一个生日礼物，可是却不知道妈妈的生日是几号，于是就问妈妈，可妈妈说我的生日那天在本月日历上横竖列相邻的四个数字的和68的四个数字里面，并且这四个数中最大的数字那天就是我的生日．请你帮助小明确定妈妈的生日． 【答案】(1)见解析 (2) (3)小明妈妈的生日是12月21日 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力． （1）利用已知数字分布规律进而得出答案； （2）表示出各数进而得出关系式； （3）利用（2）中所求进而得出的值，求出答案． 【详解】（1）解： 故答案为：，； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：， 解得：， ， 答：小明妈妈的生日是12月21日． 76．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图1是2024年1月的日历表： (1)在图1中用优美的U形框“”框住五个数，其中最小的数为1，则U形框中的五个数字之和为______； (2)在图1中移动U形框的位置，若U形框框住的五个数字之和为68，则这五个数字中最大的数为______； (3)在图1日历表的基础上，继续将连续的自然数排列成如图2的数表，在图2中U形框框住的5个数字之和能等于2025吗？若能，分别写出U形框框住的5个数字：若不能，请说明理由． 【答案】(1)38 (2)22 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用和列代数式，解决此类问题的关键在于找出题目中数字排列的规律，根据这个规律写出式子解决问题． （1）将五个数字直接相加即可； （2）设最小的数字为x，由图可知，在U形框中，最小的数在左上角，上下相邻的数：上面的数比下面的数少7，左右相邻的数：右边的数比左边的数大2，最下方的数为最小的数加上15，根据此规律即可列出代数式，根据（1）中得出的代数式，U形框框住的五个数字之和为68，算出x即可解答； （3）根据（2）中得出的代数式，U形框框住的五个数字之和等于2025，算出x，进而得出结论即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：38； （2）解：由图可知， 在U形框中，最小的数在左上角， 上下相邻的数：上面的数比下面的数少7， 左右相邻的数：右边的数比左边的数大2， 最下方的数为最小的数加上15， 设最小的数字为x， 则U形框框住的五个数字之和为：， ∵U形框框住的五个数字之和为68， ∴， 解得：， ∴这五个数字从小到大依次为7，9，14，16，22， 故答案为：22； （3）解：不能，理由如下： 若U形框框住的五个数字之和等于2025，则， 解得：， 因为x不是整数，所以不能框住． 题型十九 一元一次方程中的含参综合（共4小题） 77．（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知关于x的方程，若a为正整数时，方程的解也为正整数，则a的最大值是（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】先求的解，根据解的属性，解答即可． 本题考查了解方程，根据方程的解求值，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：， 解得， 由方程的解为正整数， 故， 解得， 又a为正整数， 故a的最大值是13， 故选：A． 78．若关于的方程的解是整数，则整数的取值有（   ） A．6个 B．5个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查了解含参一元一次方程的整数解问题，把字母当成已知数解方程，再根据为整数确定的值，最后统计的个数即可． 【详解】解：可化为： ， 即：. . 又为整数， 或或. 故选：． 79．（24-25七年级下·重庆万州·期末）若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（     ） A． B． C． D．15 【答案】A 【分析】先把代入方程，整理成关于k的一元一次方程，根据方程的解与k无关，得到关于k的方程有无数解，根据一元一次方程有无数解的条件，列式解答即可． 本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握方程有无数解的基本条件是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 80．（2025七年级上·全国·期末）若关于x的一元一次方程的解是，其中a，m，k为常数．是否存在m的值使得关于y的方程无解？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在m的值使得关于y的方程无解，m的值为 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 整理关于y的方程，得，若无解，则；解关于x的方程，得，根据则和即可求出m的值． 【详解】解：将关于y的方程整理， 得， ∵关于y的方程无解， ∴， ∴， 解方程， 得x， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴存在m的值使得关于y的方程无解，m的值为． 题型二十 已知方程的解求另一个方程解（共4小题） 81．（24-25六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． 先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义将关于y的方程变形，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ， 解得：， 方程与是“美好方程”， ， ， 可化为：， ， ， 故答案为：． 82．（25-26七年级上·安徽滁州·期末）我们给出一种定义：如果两个一元一次方程的解的和为，那么我们就称这两个方程互为“漂亮方程”．例如：方程和互为“漂亮方程”． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则的值为 ． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】（）分别求出方程的解，再根据“漂亮方程”的定义求出的值即可； （）分别求出方程的解，再根据“漂亮方程”的定义求出的值，然后把的值代入方程，解方程即可求解； 本题考查了解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：（）解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程与互为“漂亮方程”， ∴， 解得， 故答案为：； （）解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程与互为“漂亮方程”， ∴， 解得， ∴方程为， 解得， 故答案为：． 83．（24-25七年级上·江苏南通·期末）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义． 把关于的方程化成，然后根据关于的一元一次方程的解为，求出关于的一元一次方程的解即可． 【详解】解：， ， 观察知：关于y的方程，形式与变形后的关于x的方程相似， 令． 关于的一元一次方程的解为， 关于的一元一次方程的解为： ， 故答案为：． 84．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于的方程与是“和一方程”，求的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“和一方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，理解“和一方程”的定义是解题的关键． （1）分别求出两个方程的解，再根据“和一方程”的定义，列出关于m的方程，即可求解； （2）根据“和一方程”的定义，可得另一个解为，再根据两个“和一方程”的解的差为7，即可求解； （3）根据“和一方程”的定义，可得一元一次方程的解为，把方程变形为，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，解得：， ，解得：， ∵方程与是“和一方程”， ∴， 解得：； （2）解：∵两个“和一方程”的一个解为，则另一个解为， ∵两个“和一方程”的解的差为7， ∴或， 解得：或； （3）解：，解得：， ∵一元一次方程和是“和一方程”， ∴一元一次方程的解为， ∵方程变形为， ∴方程的解为， ∴． 题型二十一 一元一次方程与数轴结合（共4小题） 85．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．在数学的学习中，我们知道，若点A，B在数轴上分别表示有理数x，y，A和B两点之间的距离表示为，则．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示m与3的两点之间的距离可以表示为_______． (2)的最大值是_______； (3)已知m，n均为整数，且满足，请求出m，n的值． (4)已知，则满足条件的x的值是_______． 【答案】(1) (2)7 (3)或， (4)或 【分析】本题考查了数轴上表示的数，数轴上两点之间距离，绝对值的意义，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键． （1）根据题意，由数轴两点距离可得； （2）由题意知，表示m与1的距离，表示m与的距离，根据数轴分三种情况讨论可得绝对值差的最大值； （3）由（2）可知，，由m，n均为整数，可知均为整数，然后结合分类讨论即可； （4）根据数轴两点距离，分4种情况，，，，，分别化简已知式子，进而得到x的值． 【详解】（1）由题意可知，∵m与3的两点之间的距离为， ∴距离可以表示为； 故答案为：． （2）设数表示的点为A，数1表示的点为B，数m表示的点为C， 则， 当点C在点A的左侧，即时， ； 当点C在点A和点B之间，即时 ，此时； 当点C在点A的左侧，即时， ， 综上可知，的最大值是7． 故答案为：7； （3）由（2）可知，， ∵m，n均为整数， ∴均为整数， ∵ ∴或或或． 当时， 由（2）知，，则， ∴，解得． 由（2）知，，则， ∴，解得． 当时， 由（2）知，的最大值为4，故此时情况不符合题意，舍去． 当时， 由（2）知，，则， ∴，解得． 由（2）知，，则， ∴，解得． 当时 由（2）知，的最大值为，故此时情况不符合题意，舍去． 综上可知，，或，； （4）当时， ， 解得（不符合题意，舍去）； 当时， ， 解得； 当时， ，此时无解； 当时， ， 解得； 综上所述：x的值为或． 86．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图1．在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题：如图2：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足与互为相反数． (1)________，________，________； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与表示数________的点重合； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟后． ①________，________．（用含t的代数式表示） ②请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； ③探究：若点A，C向右运动，点B向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，，5 (2)3 (3)①，；②的值不会随着时间的变化而改变，其值为28；③当时，会随着时间的变化而改变．当时，，不会随着时间的变化而改变．理由见解析 【分析】本题考查了非负数的性质、数轴上两点之间的距离、利用数轴上的点表示有理数、数轴上的动点问题、整式的加减的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据最大负整数得，根据非负数的性质得出，，求解即可； （2）先求出折痕处的点表示的数，即可得出结果； （3）①先求出t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，再由数轴上两点间的距离公式计算即可得解； ②由①可得：，，再求出判断即可得解； ③由题意得：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，则，，再求出判断即可得解． 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴， ∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：，，5； （2）解：∵将数轴折叠，使得A点与C点重合， ∴折痕处的点表示的数为， ∴点B到1的距离为2，所以与点B重合的是：． 故答案为：3； （3）解：①由题意得：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， 故答案为：，； ②的值不会随着时间的变化而改变，理由如下： 由①可得：，， ∴， ∴的值不随着时间t的变化而改变，其值为定值； ③的值会随着时间的变化而改变，理由如下： 由题意得：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， ∴， ∴当时，，，会随着时间的变化而改变． 当时，，，不会随着时间的变化而改变． ∴综上所述，当时，会随着时间的变化而改变．当时，，不会随着时间的变化而改变． 87．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）【知识准备】 如图，（1）数轴上两点，表示的数分别为，，则，两点的距离为． （2）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． 【知识运用】已知数轴上，两点对应数分别为和，且，为数轴上的一个动点． (1)填空：________，________； (2)若点、点同时向左运动，点的速度为1个单位长度/秒，点的速度为3个单位长度/秒，则运动时间为________秒时，点可以追上点，此时点表示的数为________． (3)若点、点同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时，点从数轴上表示的点处出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动．设运动时间为秒，则经过多长时间后，点、点、点三点中，其中一点是另外两点的中点？ 【答案】(1)，6 (2)4， (3)2秒或6秒或10秒 【分析】此题重点考查非负数的性质、一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示运动过程中的点所对应的数是解题的关键． （1）由非负数的性质得，即可求出a、b； （2）设经过x秒点B追上点A，点A的速度为1个单位长度/秒，点B的速度为3个单位长度/秒，且两个点同时向左运动，所以点A、B对应的数分别是，当点B追上点A时，则两个点对应的数相同，所以，解方程求出x的值，再求出的值即可； （3）根据题意，点A、B、P对应的数分别为，分三种情况求t的值，一是点A是的中点；二是点P是的中点；三是当点B是的中点，分别利用中点坐标公式列出方程，解方程求出相应的t值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：设经过x秒点B追上点A，则点A对应的数是，点B对应的数是， 根据题意得， 解得， ∴， ∴运动4秒点B追上点A，此时点B表示的数是； （3）解：根据题意，点A对应的数是，点B对应的数是，点P对应的数是， 当点A是的中点时，则， 解得； 当点P是的中点时，则， 解得； 当点B是的中点时，则， 解得， 答：经过2秒、6秒或10秒，点A、点B、点P三点中其中一点是另外两点的中点． 88．（24-25七年级上·全国·期末）数轴上点与点的距离为个单位长度，点在原点的左侧，到原点的距离为个单位长度，点在点的右侧，点表示的数与点表示的数互为相反数，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒． (1)点表示的数为____________，点表示的数为____________，点表示的数为____________； (2)用含的代数式表示到点和点的距离：____________，____________； (3)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点． ①在点向点运动过程中，能否追上点？若能，求出点运动几秒追上点；若不能，请说明理由； ②在点开始运动后，两点之间的距离能否为个单位？ 如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)， (3)①能，秒；②能，点表示的数分别是，，， 【分析】（）根据点的位置可确定点表示的数，根据相反数的定义可确定点表示的数； （）根据两点间的距离公式解答即可； （）①在点向点运动过程中，设点运动秒追上点，根据点追上点时，点运动的路程点运动的路程，列出方程即可求解；②设点运动秒后，两点之间的距离为个单位，分两种情况：点从点向点运动时，又分点在点的左边与点在点的右边；点从点返回到点时，又分点在点的右边与点在点的左边，分别列出方程解答即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，数轴与有理数，相反数的定义，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在原点的左侧，到原点的距离为个单位长度， ∴点表示的数为， ∵点与点的距离为个单位长度，点在点的右侧， ∴点表示的数为， ∵点表示的数与点表示的数互为相反数， ∴点表示的数为， ∴答案为：，，； （2）解：由题意得，，， ∴答案为：，； （3）解：①能，理由如下： 在点向点运动过程中，设点运动秒追上点， 根据题意，得， 解得， 答：在点向点运动过程中，能追上点，点运动秒追上； ②点从点运动到点需秒， 设点运动秒后，两点之间的距离为个单位， 分两种情况： 点从点向点运动时： 如果点在点的左边，那么， 解得， 此时点表示的数是； 如果点在点的右边，那么， 解得， 此时点表示的数是； 点从点返回到点时： 如果点在点的右边，那么， 解得， 此时点表示的数是； 如果点在点的左边，那么， 解得， 此时点表示的数是； 综上所述，在点开始运动后，、两点之间的距离能为个单位，此时点表示的数分别是，，，． 题型二十二 一元一次方程的应用综合（共4小题） 89．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）某车间生产的一套产品由3个A型部件和4个B型部件组成，该车间现有40个工人，每个工人每天能加工3个A型部件或6个B型部件．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种部件，并要求每天加工的A、B型部件数量正好组成若干套该产品． (1)按照这样的生产方式，该车间每天能配套生产组成多少套该产品？ (2)春节后工厂补充20名新工人，这些新工人只能独立进行B型部件的加工，且每人每天只能加工4个B型部件，则补充新工人后每天能配套生产多少套该产品？ 【答案】(1)24 (2)32 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设有人生产A型部件，有 人生产B型部件；根据生产的两种部件正好配套，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，在将其代入中，即可求出结论； （2）设安排 个人生产A型部件，则安排个老员工生产B型部件；根据生产的两种部件正好配套，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，在将其代入中，即可求出结论； 【详解】（1）解：设有人生产A型部件，有 人生产B型部件； 根据题意：得 解得： 所以（套） 答：按照这样的生产方式，该车间每天能配套生产组成24套该产品. （2）解：设安排个老员工生产A型部件，则安排个老员工生产B型部件； 根据题意：得 解得： ∴（套） 答：补充新工人后每天能配套生产32套该产品. 90．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）西湖龙井是中国十大名茶之一，因产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山而得名．在其三十多个品牌中，“狮峰龙井”和“梅坞龙井”尤为有名． 茶农李明种植了5亩“狮峰龙井”和10亩“梅坞龙井”，其中平均每亩“狮峰龙井”制成的茶叶重量是“梅坞龙井”的40%，今年共制成两种茶叶240千克． 两种茶叶的销售规格如下表： 狮峰龙井 梅坞龙井 装盒（克/盒） 125 250 售价（元/盒） 200 600 根据以上信息，回答下列问题： (1)求制成的“狮峰龙井”和“梅坞龙井”茶叶各多少千克？ (2)若销售这两种茶叶共盒．销售额为40000元，求销售“狮峰龙井”的数量．（用含的代数式表示） (3)若李明第一次销售两个品种茶叶共600盒，第二次销售时搞促销活动，对所有剩下的“狮峰龙井”打八折．两次销售完所有的茶叶后，他发现第二次的销售额比第一次的销售额多12800元．求第一次销售“狮峰龙井”多少盒？ 【答案】(1)“狮峰龙井”40千克，“梅坞龙井”200千克 (2) (3)240 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），设制成“狮峰龙井”茶叶x千克，可表示“梅坞龙井”茶叶千克，根据茶叶重量得关系得出方程，求出解； 对于（2），先设销售“狮峰龙井”茶叶y盒，可得“梅坞龙井”茶叶盒，根据销售额等于40000列出方程，然后用含m的代数式表示即可； 对于（3），先求出今年制成“狮峰龙井”和 “梅坞龙井”茶叶的盒数，再设第一次销售“狮峰龙井”茶叶n盒，则第一次销售“梅乌龙井”茶叶盒，分别表示出第二次销售“狮峰龙井”和 “梅乌龙井”茶叶的盒数，根据两次销售额的差等于12800列出方程，求出解即可. 【详解】（1）解：设制成“狮峰龙井”茶叶x千克，则制成“梅坞龙井”茶叶千克，根据题意，得 ， 解得， ∴（千克）． 答：制成“狮峰龙井”茶叶40千克，“梅坞龙井”茶叶200千克； （2）解：设销售“狮峰龙井”茶叶y盒，则销售“梅坞龙井”茶叶盒，根据题意，得 ， 解得． 答：销售“狮峰龙井”茶叶盒； （3）解：今年制成“狮峰龙井”茶叶（盒），制成“梅坞龙井”茶叶（盒）． 设第一次销售“狮峰龙井”茶叶n盒，则第一次销售“梅乌龙井”茶叶盒，第二次销售“狮峰龙井”茶叶盒，“梅乌龙井”茶叶盒，根据题意，得 ， 解得， 答：第一次销售“狮峰龙井”240盒． 91．（24-25七年级下·吉林长春·期末） 如图， 在长方形中， 动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点Q从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿的路径运动，连结．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点Q的运动时间为t秒． (1)写出的长（用含t的代数式表示）． (2)当线段将长方形分割后，所得图形中存在轴对称图形时， ． (3)若点Q到达点A后，以原速度的2倍返回到点D，同时点P以原速度继续向点C运动．在点Q的整个运动过程中： ①当线段平分长方形的周长时，求的值； ②作点Q关于点D的中心对称点 直接写出． 的面积是面积的 时t的值． 【答案】(1)； (2)； (3)①或；②的面积是面积的 时t的值为或或． 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）分两种情况：当时，，当时，； （2）依题意可知，当线段将长方形分割后，所得图形中存在轴对称图形，则，得到，即，求解即可； （3）①分两种情况：当时，当时，分别求解即可； ②分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，， ∴， ∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点Q从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿的路径运动， ∴点到达点的时间为：， 点到达点的时间为：， 点到达点的时间为：， 当时，， 当时，， ∴； （2）解：依题意可知，当线段将长方形分割后，所得图形中存在轴对称图形，则，如图： ∴， ∴， 解得：， 故答案为：； （3）解：①点Q到达点A后，以原速度的2倍返回到点D的时间为：， 长方形的周长为：， 当平分周长时，， 当时， ， 解得：， 当时， ， 解得：； ②当时，，，如图： ∴， ∴， ， ∵的面积是△PCD面积的 ， ∴， 解得：， 当时，，，如图： ∴， ∴， ， ∵的面积是面积的 ， ∴， 解得：， 当时，，，如图： ∴， ∴， ， ∵的面积是面积的 ， ∴， 解得：， 综上，的面积是面积的 时t的值为或或． 92．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）移动公司推出A、B两种话费与流量套餐，套餐详情如表． 月基本费/元 主叫限定时长（min） 主叫超时费（元/min） 被叫 免费数据流量（） 流量超额费（元/） 套餐A 79 200 免费 15 3 套餐B 99 300 免费 20 2 套餐补充说明：①月结话费月基本费主叫超时费流量超额费： ②流量超额后以为单位计费（例如：套餐A流量超额，需另付元）． (1)若贝贝的爸爸使用套餐A，10月主叫时长为300分钟，使用的流量为，求他的月结话费为多少？ (2)若贝贝的爸爸11月份主叫时长为350分钟，使用的流量为（），贝贝通过计算发现，按A、B两种套餐计费的月结话费刚好相同，求a的值： (3)若贝贝的爸爸12月份主叫时长不足200分钟，请你根据他流量使用情况计算说明选用哪种套餐更省钱． 【答案】(1)元 (2) (3)当使用流量小于时，使用A套餐更省钱；当使用流量等于时，使用两种套餐一样省钱；当使用流量大于时，使用B套餐更省钱． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用： （1）根据所给的收费标准列式计算即可； （2）分别计算出两种方式的收费，再根据费用相同建立方程求解即可； （3）当时，套餐A的费用为79元，套餐B的费用为99元，则选择套餐A更省钱；当且套餐A的费用和套餐B的费用相同时，则，解得，则当时，选择套餐A更省钱；当时，两种套餐一样省钱；当时，选择套餐B更省钱；据此可得答案． 【详解】（1）解： 元， ∴他的月结话费为元； （2）解；由题意得，， 解得； （3）解：设贝贝的爸爸使用流量， 当时，套餐A的费用为79元，套餐B的费用为99元， ∵， ∴选择套餐A更省钱； 当且套餐A的费用和套餐B的费用相同时，则， 解得， ∴当时，选择套餐A更省钱； 当时，两种套餐一样省钱； 当时，选择套餐B更省钱； 综上所述，当使用流量小于时，使用A套餐更省钱；当使用流量等于时，使用两种套餐一样省钱；当使用流量大于时，使用B套餐更省钱． 题型二十三 一元一次方程的新定义问题（共4小题） 93．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）定义：已知，分别是关于，的方程的解，若满足：（为正数），则称前者是后者的“属方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且满足，则称方程是方程的“属方程”． (1)下列方程是方程的“属方程”的是______（请填写正确的序号）； ①；②；③ (2)若关于的方程是关于的方程的“2属方程”，求整数的值； (3)若对于任何正数，关于的方程都是关于的方程的“属方程”，求的值． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是理解题目中定义的“属方程”，通过解一元一次方程的方法求解． （1）先求出的解，再分别求出①，②，③三个方程的解，然后代入（为正数）进行逐一验证，即可得到答案； （2）先分别求出方程和方程的解，然后代入（为正数），即可求解的值； （3）先分别求出方程和方程的解，后代入（为正数），然后根据取任意正数方程都成立，即可求解的值； 【详解】（1）解：求得方程的解为， ①，求得，将，代入：（为正数），求得，属于“属方程”，即①正确； ②，求得，将，代入：（为正数），求得，不属于“属方程”，即②不正确； ③，求得，将，代入：（为正数），求得，属于“属方程”，即③正确； 故答案为：①③； （2）解：方程的解是， 方程的解是， 方程是方程的“2属方程”， ∴， 方程化简，得：， 解得：或， 为整数， ∴； （3）解：方程的解是， 方程的解是， 方程是方程的“属方程”， ∴， ， 即，或， 取任意正数方程都成立， ∴，或， 即，或， 经验证，当时，一个方程有唯一解，另一个方程无解，不满足题意， ∴． 94．（24-25七年级上·北京海淀·期末）如果关于的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是________方程； (2)已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整”方程，并说明理由； (3)若关于的方程是“分”方程，则关于的方程是_______方程． 【答案】(1)“分” (2)不可能，理由见解析 (3)“整” 【分析】（）求出方程的解，再根据定义判断即可； （）把代入方程，求出值即可判断； （）由“分”方程可得，再把所解方程转化为，代入计算即可求解； 本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程是“分”方程， 故答案为：“分”； （2）解：不可能，理由如下： 当方程是“整”方程时，， 把代入方程得，， 解得， ∵为整数， ∴关于的方程不能是“整”方程； （3）解：∵关于的方程是“分”方程， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵方程， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程是“整”方程， 故答案为：“整”． 95．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答即可． （1）解出和的解，再根据“和谐方程”的定义列式即可． （2）根据“和谐方程”的定义，则一个方程的解为：；另一个方程的解为：，分成两种情况即可求解． （3）先解出的解，再根据“和谐方程”的定义可得，即可列式求解和的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， 解得：， ∵， ∴， ∵与方程是“和谐方程”， ∴， ∴． （2）解：∵“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为， ∴另一个方程的解为：， ∴或， 解得：或， ∴的值为或． （3）解：∵， ∴， ∴方程的解为：， ∴， ∴， ∴， ∵取任何有理数上式都成立， ∴， 解得：， ∴． 96．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）小美喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，她给出一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“小美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，，所以为一元一次方程的“小美方程”． (1)已知关于的方程：是一元一次方程的“小美方程”吗？________（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，请求出的值； (3)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，求出的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）先化简绝对值得到，再解求出，最后计算作答即可； （2）先分别解方程求出，，再根据“小美方程”的定义计算即可； （3）先根据题意得到，再由得到，解得，将代入整理得到，最后计算即可． 【详解】（1）由得，； 解得：， 而， 所以是一元一次方程的“小美方程”， 故答案为：是； （2）解：∵ 解得：； 对于，解得； 由题意，当时，，解得：； （3）解：由题意，，即 由得：， 所以， 则， 把上式代入中，整理得：， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，一元一次方程的解法，正确理解“小美方程”是解题的关键． $