2026－2027学年苏科版数学九年级上册第一次月考重难点强化突破

2026—2027苏科版九上数学第一次月考重难点强化突破 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （测试范围：前2章 考试时间:120分钟 试卷满分:150分) 一、单选题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 3．下列各点在反比例函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 4．双曲线上有两点，若，则的值为（     ） A．-1 B．0 C．1 D．2 5．2026年暑期，某景区接待游客数量逐月增长．已知7月份接待游客20万人次，9月份接待游客28.8万人次．若该景区接待游客数量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 6．已知a是方程的根，的值为（     ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 7．已知点都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（     ） A． B． C．或 D． 8．设反比例函数（k为常数，）．已知当时，的最大值为，则当时，的最大值为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 9．已知反比例函数，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 10．在反比例函数中，当时，，则____． 11．若关于的一元二次方程有一个根为，则该方程的另一个根为________ 12．若m、n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 13．若函数是反比例函数，则k的值为__________． 14．已知，，是反比例函数图象上的三个点，若，则，，的大小关系为________．（用“”连接） 15．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 16．如图，反比例函数上两点，的横坐标分别为m，，则的面积是______． 17．关于的方程，下列说法中正确的有________（填序号）． ①若，则该方程没有实数根； ②若，则该方程的两个根互为相反数； ③若，则该方程一定有两个实数根； ④若该方程的一个根是，则另一个根是． 18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． （第16题） （第17题） 三、解答题（本大题共10小题，共计96分，其中19、20、21、22每题8分，23、24、25、26每题10分，27、28每题12分，解答题要有必要的文字说明） 19．解下列方程． (1) (2) 20．已知反比例函数． (1)指出它的图象所在的象限． (2)设，且和对应的函数值分别为和，判断与的大小关系． 21．某气球内充满了一定的质量的气体，当温度不变时，气球内的压力P（千帕）是气球的体积V（立方米）的反比例函数，其图象如图所示（注：千帕是一种压强单位）． (1)求这个函数的解析式； (2)当气球的体积为0.8立方米时，气球内的压力是多少千帕？ 22．已知关于x的方程． (1)若该方程的一个根为1，求m的值和该方程的另一个根； (2)求证：不论m取何值时，该方程都有两个不等实数根． 23．新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的个小矩形，求道路的宽度． 24．某社区为推进终身学习，分两批采购科普类和艺术类学习资料．第一批采购时，科普类资料订购量比艺术类资料的3倍多200本，科普类资料单价为12元，艺术类资料单价为20元，总计支出13600元． (1)求第一批采购的艺术类资料和科普类资料各多少本？ (2)第二批采购时，正值“全民学习月”活动，科普类资料需求增加，单价有所上涨．社区决定，若科普类资料单价每上涨2元，采购数量就比第一批减少40本．艺术类资料单价不变，采购数量比第一批增加，最终第二批采购总资金比第一批增加了4640元，且科普类资料采购单价不超过20元，求科普类资料的采购单价为多少元？ 25．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，x的取值范围； (3)分别连接和，求的面积． 26．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 27．按要求完成下列各题： (1)用适当的方法解方程：． (2)下面是小宣解方程的过程，请认真阅读并回答问题． 解：等号左边因式分解，得，…第一步 方程两边同时除以，得，……第二步 移项、合并同类项，得：．……第三步 ①以上解方程的过程，从第________步开始出错，错误的原因是__________________________． ②直接写出正确的解． 28．阅读材料：双曲线向右平移1个单位后的表达式是什么？针对这个问题，某同学给出了以下猜想及证明． 猜想：平移后的表达式为 证明：设双曲线上任意一点的坐标为则平移后的坐标为令，则，所以 (1)利用以上结论，写出双曲线向左平移1个单位后的表达式：______． (2)仿照上述证明过程，请写出双曲线向下平移2个单位后的表达式，并证明． (3)问题解决：请根据以上探究方法，直接填空． ①双曲线绕点顺时针旋转90°后的表达式为______； ②双曲线绕点顺时针旋转90°后的表达式为______． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026—2027苏科版九上数学第一次月考重难点强化突破》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A B B D C B 1．A 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件：整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2． 【详解】解：A.符合一元二次方程的定义，符合题意； B.含两个未知数，不符合题意； C.是一元一次方程，不符合题意； D.分母含未知数，不符合题意． 2．B 【详解】解：移项得， 配方得，即 3．A 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征逐一验证即可． 【详解】解：反比例函数图象上的点满足， ， 点在函数图象上，故选项A符合题意； ，，，均不等于， 其余选项的点均不在函数图象上． 4．B 【详解】解：∵点，在双曲线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．B 【分析】明确7月到9月共经历2次月增长，结合增长前后的游客数量列方程． 【详解】解：设该景区接待游客数量的月平均增长率为x， 可列方程． 6．D 【分析】利用方程根的定义，对三次项降次后代入求值． 【详解】解：是方程的根， ，即，， ． 7．C 【分析】反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需分点在第一、三象限两种情况讨论． 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小． 将代入，得 ． 当点在第一象限时，，此时，满足； 当点在第三象限时，， ∵ ，且第三象限内随增大而减小， ∴ ． 综上，的取值范围是或． 8．B 【分析】先根据已知区间的最大值判断的符号，求出的值，再结合反比例函数的增减性求目标区间的最大值． 【详解】解：∵当时，的最大值为， ∴， ∵反比例函数中时，每个象限内随的增大而减小， ∴在中，取最小值时，取得最大值， 将，代入，得， ∴反比例函数解析式为， ∵当时，，随的增大而减小， ∴取最小值3时，取得最大值，为． 9． 【分析】根据反比例函数的性质，当时，随增大而减小，可得比例系数，据此列不等式求解的范围． 【详解】解：∵反比例函数，当时，随增大而减小， ∴图象分布在一三象限， ∴ 解得． 10． 【分析】将已知的和的值代入反比例函数解析式，即可计算得到的值． 【详解】解：当时，， 将，代入， 得， 解得． 11． 【分析】设方程的另一个根为m，根据根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵是方程的根， ∴， 解得， ∴该方程的另一个根为． 12．4 【详解】解：由根与系数的关系，得，， 所以． 13．0 【分析】根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，据此列式求解即可． 【详解】解：函数是反比例函数， ∴且， 解得． 14． 【分析】根据反比例函数比例系数小于0，判断函数图象所在象限和增减性，再结合三个点横坐标的范围，判断每个点所在象限，进而比较纵坐标大小． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 又∵， ∴和在第二象限，在第四象限， ∴ ，即． 15．且 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，方程有两个不相等实数根时判别式大于，分别求解不等式得到的范围． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 计算得， 化简得， 解得． 综上，的取值范围是且． 16．6 【分析】过点作轴，过点作轴，垂足分别为、，根据已知条件可求，，再利用求面积． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，垂足分别为、， 、两点在反比例函数的图象上，且、的横坐标分别是，， ∴，， ． 17．①③/③① 【分析】对四个说法逐一利用一元二次方程判别式和方程根的性质验证，即可得到正确结论． 【详解】解：① 对于一元二次方程，由根的判别式可知，若，方程没有实数根，故①正确； ② 若，举反例：，方程为，没有实数根，不存在互为相反数的两个根，故②错误； ③ 若，原方程变形为，此时判别式，方程一定有两个实数根，故③正确； ④ 该结论只有当为有理数时才成立，若系数为无理数，另一个根不一定是，举反例：方程，一个根为，另一个根为，故④错误， 因此正确的序号为①③． 18． 或 【分析】直接利用图象法找到直线在双曲线上方时的自变量的范围即可. 【详解】解：由图象可知，当时，的取值范围是 或 . 19．(1) (2)， 【详解】（1）解： ， 或， 解得； （2）解：， ， 或， 解得，. 20．(1)图象位于第二、第四象限 (2) 【分析】当时，图象经过二、四象限，每个象限内，随的增大而增大；当时，图象经过一、三象限，每个象限内，随的增大而减小． 【详解】（1）解：， 图象位于第二、第四象限； （2）当时，随的增大而增大， ． 21．(1) (2)120千帕 【分析】（1）设反比例函数为，将A点坐标代入求解即可； （2）把立方米代入计算即可． 【详解】（1）解：设反比例函数为， 将代入得， 解得：， 即； （2）解：把立方米代入中，得千帕． 22．(1)，另一根为 (2) 证明：， ∵， ∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法． （1）将代入方程求出m的值，再求解方程即可得到另一个根即可； （2）证明一元二次方程的根的判别式恒为正即可． 【详解】（1）解：将代入方程得， 解得：， 此方程为， 因式分解为， ∴，， 解得：，， ∴方程的另一个根为； （2）略 23．道路宽度为1m 【分析】设道路宽度为，则6个小矩形的合并在一起的长为，宽为，结合6个小矩形的面积之和为列出方程，求解即可． 【详解】解：设道路宽度为，依题意得 ， 解得，（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 24．(1)第一批采购的艺术类资料200本，科普类资料800本 (2)科普类资料的采购单价为18元 【分析】（1 ）设艺术类资料采购x本，科普类资料采购本，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果； （2 ）设科普类资料采购单价为a元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设艺术类资料采购x本，科普类资料采购本， 由题意得：， 解得，  所以 答：第一批采购的艺术类资料200本，科普类资料800本； （2）解：设科普类资料采购单价为a元， 由题意得：， 整理可得：， 解得：，， 采购单价不超过20元， ． 答：科普类资料的采购单价为18元． 25．(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）将点，代入，解方程组，可得，，从而可得反比例函数的解析式，以及点，将，代入，解方程组，可得，，从而可得一次函数的解析式； （2）根据两个图象的交点坐标，即可得时，的取值范围． （3）设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，先分别求出，和，最后再根据求解即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为： ，点， 将代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：一次函数与反比例函数交于点， 根据一次函数和反比例函数的图象得：当时，x的取值范围是：或； （3）解：设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，如图所示： 对于，当时，，当时，， ∴D的坐标为，点C的坐标为， ， ， 点，， ， ，， ． 26．(1)， (2)或 (3)当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 【分析】（1）把点坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）只需要根据函数图像找到一次函数图像在反比例函数图像下方时自变量的取值范围即可； （3）如图：作点B关于x轴的对称点D，连接，则，由轴对称的性质可得；由两点距离计算公式可得，则可推出的周长，根据，可推出当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，利用两点距离计算公式可得，则的周长的最小值为；求出直线解析式为，易得． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，， ∴，解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：由函数图像可知，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或． （3）解；如图：作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为， 则， 解得：， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴． 综上，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 27．(1) (2)①二；方程两边同时除以，未考虑可能为0； ② 【分析】（1）利用配方法解该方程即可； （2）①题目中解方程的过程中，两边同时除以时，未考虑可能为0（0不能作除数），因此解题出错；②将原方程整理为，然后求解即可． 【详解】（1）解： 移项，得， 配方，得，即， ∴， ∴； （2）解：①从第二步开始出错‌，错误原因是方程两边同时除以时，未考虑可能为0（0不能作除数），导致丢根，需要满足． ②， ， ， ， ∴或， 即． 28．(1) (2)； 证明如下：设双曲线上任意一点的坐标为则此点向下平移2个单位后的坐标为，令，，所以． (3)①；② 【分析】（1）仿照证明即可完成； （2）仿照证明即可完成； （3）仿照证明解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，双曲线向左平移1个单位后的表达式为 （2）解：略． （3）解：①设双曲线上任意一点的坐标为则此点绕点顺时针旋转90°后的坐标为，令，，则，． ②设双曲线上任意一点的坐标为则此点绕点顺时针旋转90°后的坐标为，令，，所以，． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $