第25-26单元解答题高频易错题考点汇总训练（七大类型）-2026-2027学年人教版数学九年级上册《典例全解·题型通关》

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第25-26单元解答题高频易错题考点汇总训练（七大类型） 目录 考点一一元二次方程的概念 1 考点二解一元二次方程 2 考点三实际问题与一元二次方程 3 考点四二次函数的概念 4 考点五二次函数的图象和性质 5 考点六二次函数与一元二次方程 7 考点七实际问题与二次函数 8 考点一一元二次方程的概念 1．下列方程中，哪些是一元二次方程？是一元二次方程的，指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）； （2）； （3）； （4）． 2．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．如． （1）判断是否为一元二次方程． （2）判断和是否是方程的根． 3．如图，四边形是证明勾股定理时用到的图形，是和的边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）写出一个“勾系一元二次方程”： （2）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且的面积是，求四边形的周长． 考点二解一元二次方程 4．按要求解方程： （1）（配方法） （2）（适当方法） 5．已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）问：是否存在等腰，，另外两条边是该方程的根，若存在，求的周长，若不存在，说明理由． 6．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）若关于的方程是“邻根方程”，且，求的值． 考点三实际问题与一元二次方程 7．冬季和春季是传染病高发季节，有1人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有个人患了流感． （1）每轮传染中平均一个人传染几个人? （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，共有多少个人患流感? 8．在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天的销售量为20件．通过市场调查发现，售价每降价10元，每天可多售出20件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 9．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． （1）某电商平台数据显示，该毛绒小马月份销量为万件，月份销量已增至万件．求该电商平台“哭哭马”月到月销量的月平均增长率． （2）某商铺以每件元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为元/件时，日销量为件．售价每降低元，日销量可增加件．借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到元，则每件应降价多少元？ 考点四二次函数的概念 10．用的篱笆围成一个矩形的花圃，设垂直于墙的一边长为，矩形的面积为（墙足够长）． （1）写出关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）当时，矩形的面积为多少? 11．已知长方体的高是，底面是边长为的正方形，它的表面积是，体积是． （1）分别写出S与x，V与x之间的关系式； （2）对于（1）中的两个函数，S和V分别是关于x的二次函数吗？ 12．已知函数，m是常数． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，求m的值． 考点五二次函数的图象和性质 13．已知函数，和． （1）在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象； （2）分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）试讨论函数的性质． 14．如图，点在抛物线：上，且在抛物线的对称轴右侧． （1）写出的对称轴和的最大值； （2）求的值，并求出点到对称轴的距离； （3）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及的一段，分别记为，．平移该胶片，使及的一段所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 15．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，P是第一象限内抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为n． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求线段的最大值，并求此时n的值； （3）在（2）的条件下，当线段取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 考点六二次函数与一元二次方程 16．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，点M是二次函数图象的顶点，连接AM、BM，求的面积． 17．已知二次函数（为常数，且）． （1）若点在该函数图象上，求的值； （2）判断该二次函数的图象与轴是否存在一固定的公共点，若存在，求出这个点的坐标；若不存在，说明理由； （3）已知一次函数．若对于任意的，都有，求的值． 18．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）在直线的下方的抛物线上，是否存在点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 考点七实际问题与二次函数 19．如图，某农户要用长的篱笆，在练江边靠墙（墙长）围一块长方形苗圃（靠墙的一边不围），苗圃的一边垂直于墙． （1）设垂直于墙的一边长为，求苗圃面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为多少时，苗圃的面积最大？最大面积是多少平方米？ 20．如图是抛物线形的拱桥，水面的宽为10米，拱顶离水面4米． （1）求抛物线的解析式． （2）若水面上升1米，则水面的宽度是多少米？ （3）在（2）的条件下，有一艘有物资的船准备从桥下通过，船身及物资如图所示，这艘船宽，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面．这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 21．中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元/盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，商家发现售价定为80元/盒时，每天可售出100盒；每盒的售价每降低1元时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼每盒的售价降低x元时，商家每天销售该品牌月饼的利润为y元． （1）求出y关于x的函数解析式； （2）要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应降低多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第25-26单元解答题高频易错题考点汇总训练（七大类型） 目录 考点一一元二次方程的概念 1 考点二解一元二次方程 3 考点三实际问题与一元二次方程 6 考点四二次函数的概念 9 考点五二次函数的图象和性质 11 考点六二次函数与一元二次方程 17 考点七实际问题与二次函数 21 考点一一元二次方程的概念 1．下列方程中，哪些是一元二次方程？是一元二次方程的，指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）是一元二次方程；二次项系数为，一次项系数为，常数项为． （2）不是一元二次方程． （3）是一元二次方程；二次项系数为，一次项系数为，常数项为． （4）是一元二次方程；二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【解答】（1）解：化成一般形式为：，答案略； （2）解：化成一般形式为：，答案略； （3）解：化成一般形式为：，答案略； （4）解：化成一般形式为：，答案略． 2．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．如． （1）判断是否为一元二次方程． （2）判断和是否是方程的根． 【答案】（1）是 （2）不是  是 【分析】本题考查了新定义运算、一元二次方程的定义以及方程根的检验方法，掌握新运算的转化规则和方程根的验证方法是解题的关键． （1）根据新运算的法则，将展开并整理成整式方程形式，再根据一元二次方程的定义进行判断； （2）先根据新运算将转化为整式方程，再将和分别代入方程，通过检验等式是否成立来判断是否为方程的根． 【解答】（1）解：由题意可得， 整理，得， 是一元二次方程． （2）解：由题意可得， 整理，得． 当时，， 不是方程的根． 当时，， 是方程的根． 3．如图，四边形是证明勾股定理时用到的图形，是和的边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）写出一个“勾系一元二次方程”： （2）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且的面积是，求四边形的周长． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） 【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可； （2）根据一元二次方程的根的定义，得到，由三角形面积公式，得到，再结合勾股定理，得出，，即可求出四边形的周长． 【解答】（1）解：3、4、5为勾股数， 令，，， 写出一个“勾系一元二次方程”为； （2）解：是“勾系一元二次方程”的一个根， ， ， 的面积是25， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍）， ， 四边形的周长为：． 考点二解一元二次方程 4．按要求解方程： （1）（配方法） （2）（适当方法） 【答案】（1）, （2）, 【解答】（1）解：， ， ， ， ， 解得，； （2）解：， ，，， ， ， 解得，. 5．已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）问：是否存在等腰，，另外两条边是该方程的根，若存在，求的周长，若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：对于方程，，，， ， ∵ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根； （2）解：不存在这样的等腰， 理由如下：解方程， 配方得， 开方得， ∴ ，． ∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴另外两条边的长度不相等，即等腰三角形的相等边为其中一条边与相等， 分两种情况： ① 若，则， 解得， 此时， 边长不能为0，不符合题意，舍去； ② 若，则， 解得， 此时， 三角形三边长为、、， ∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去． 综上所述，不存在这样的等腰． 【分析】（1）根据根的判别式证明即可； （2）先解方程得到，，再根据等腰三角形的两条边是方程的解，得到是方程的解，据此求出方程的两个根，进而确定的三边长，结合构成三角形的条件求解即可． 【解答】（1）略 （2）略 6．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）若关于的方程是“邻根方程”，且，求的值． 【答案】（1）方程不是“邻根方程”，计算如下： ， 或 ∴，． ， ∴一元二次方程不是“邻根方程”． （2）， 【分析】（1）先用因式分解法解一元二次方程，再根据定义判断即可； （2）设方程的根为，，且，由定义以及根与系数的关系就得到，，，再结合已知条件代入求解即可． 【解答】（1）略 （2）解：设方程的根为，，且， 则，，． 将代入，得． 化简得， 解得． ． ． ，即， 解得，． 考点三实际问题与一元二次方程 7．冬季和春季是传染病高发季节，有1人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有个人患了流感． （1）每轮传染中平均一个人传染几个人? （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，共有多少个人患流感? 【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染个人 （2）经过三轮传染后，共有个人患流感 【分析】（1）先设每轮平均一人传染人，第一轮后总患者，第二轮总患者等于原有患者加上第二轮新增患者，列出等式化简为求解即可； （2）用两轮后的总人数加上第三轮新增感染人数即可得到三轮后全部患病人数． 【解答】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人，则过一轮传染后共有个人患了流感，过两轮传染后共有个人患了流感， 由题意得， 两边同时开平方得， 解得或（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染个人； （2）解：（个）， 答：经过三轮传染后，共有个人患流感． 8．在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天的销售量为20件．通过市场调查发现，售价每降价10元，每天可多售出20件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为． （2）售价应降低元． 【分析】（1）根据月平均增长率相同的条件，结合12月与2月的销售量列一元二次方程求解； （2）根据总利润=单件利润×销售量的等量关系列方程，结合尽量减少库存的要求选取符合题意的解． 【解答】（1）解：设月平均增长率为． ∵2024年12月销售量为5万件，近三个月月平均增长率相同，2025年2月销售量为7.2万件． ∴． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：月平均增长率为． （2）解：设售价应降低元． ∵进价为每件60元，原售价为每件100元，原每天销量为20件，售价每降价10元每天可多售出20件，每天销售获利1200元． ∴单件利润为元，每天销售量为件． ∴． 整理得． 解得，． ∵要求尽量减少库存，即每天销售量尽可能大． ∴选择降价幅度更大的． 答：售价应降低元． 9．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． （1）某电商平台数据显示，该毛绒小马月份销量为万件，月份销量已增至万件．求该电商平台“哭哭马”月到月销量的月平均增长率． （2）某商铺以每件元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为元/件时，日销量为件．售价每降低元，日销量可增加件．借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到元，则每件应降价多少元？ 【答案】（1） 该电商平台“哭哭马”月到月销量的月平均增长率为 （2） 每件应降价元 【分析】（1）根据月平均增长率的增长规律，结合月与月的销量列一元二次方程求解； （2）利用“日总利润单件利润日销售量”的等量关系列方程，结合尽快减少库存的条件选取符合题意的解． 【解答】（1）解： 设该电商平台“哭哭马”月到月销量的月平均增长率为， ∵月份销量为万件， ∴月份销量为万件， 依题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：该电商平台“哭哭马”月到月销量的月平均增长率为． （2）解：设每件应降价元， ∵进价为元/件，原售价元/件，原日销量件，售价每降低元日销量增加件， ∴降价后单件利润为元，日销量为件， 依题意得：， 整理得， 解得，， ∵要尽快减少库存，需日销量尽可能大， ∴选择更大的降价幅度，即． 答：每件应降价元． 考点四二次函数的概念 10．用的篱笆围成一个矩形的花圃，设垂直于墙的一边长为，矩形的面积为（墙足够长）． （1）写出关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）当时，矩形的面积为多少? 【答案】（1）． （2） 【分析】（1）篱笆只围三边，垂直墙的两边长度都是，平行于墙的边长为；矩形面积长宽，由此列出二次函数，再根据边长大于0求自变量范围； （2）直接代入第一问解析式求值． 【解答】（1）解：垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 矩形面积：， 又矩形边长必须大于0， ， 解得：， 函数解析式：，自变量取值范围． （2）解：把代入解析式： ， 当时，矩形面积为． 11．已知长方体的高是，底面是边长为的正方形，它的表面积是，体积是． （1）分别写出S与x，V与x之间的关系式； （2）对于（1）中的两个函数，S和V分别是关于x的二次函数吗？ 【答案】（1） （2）S和V都是关于x的二次函数 【分析】（1）直接利用长方体的表面积和体积公式分别求解即可； （2）利用二次函数的定义得出答案． 【解答】（1）解：由题意，得 ， ； （2）解：根据二次函数的定义，可知 是S关于x的二次函数， 是V关于x的二次函数， 即S和V都是关于x的二次函数． 12．已知函数，m是常数． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，求m的值． 【答案】（1）； （2）且 【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的定义，当且时，这个函数是一次函数；当时，这个函数是二次函数，据此即可求解； 【解答】（1）解：当且时，这个函数是一次函数， 此时：； （2）当时，这个函数是二次函数， 此时：且 考点五二次函数的图象和性质 13．已知函数，和． （1）在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象； （2）分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）试讨论函数的性质． 【答案】（1） 解：列表： x … 0 1 2 … … … 列表： x … … … … 列表： x … … … … 如图所示为所求： （2） ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为. （3） 函数开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大.函数有最小值，最小值为． 【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可； （2）利用顶点式二次函数的特征，可直接得到开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）观察图象即可解决问题． 【解答】（1）略 （2）解：对于顶点形式的二次函数，决定开口方向，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：函数开口向上，对称轴为直线， 因此当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，有最小值． 14．如图，点在抛物线：上，且在抛物线的对称轴右侧． （1）写出的对称轴和的最大值； （2）求的值，并求出点到对称轴的距离； （3）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及的一段，分别记为，．平移该胶片，使及的一段所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 【答案】（1）直线，的最大值为4 （2）；点到对称轴的距离为1 （3）移动的最短路程为 【分析】（1）将二次函数变形为即可求解； （2）将代入解析式可得a的值，结合对称轴的位置可得点到对称轴的距离； （3）根据平移前后解析式求出顶点间距离，即为移动的最短路程． 【解答】（1）解： ， 当时，y取最大值4， 抛物线的对称轴为直线，的最大值为4； （2）解：将代入，得：， 解得或， 对称轴为直线，在抛物线的对称轴右侧， ，点到对称轴的距离为：； （3）解：由（1）得抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为， 平移后所得抛物线的解析式， 抛物线的顶点坐标为， 平移前后两顶点间直线距离为：， 移动的最短路程为． 15．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，P是第一象限内抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为n． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求线段的最大值，并求此时n的值； （3）在（2）的条件下，当线段取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）当时，线段有最大值，最大值为； （3）存在．点M的坐标为、、． 【分析】（1）将代入求出，进而求出直线的函数解析式，得到点B的坐标为，将，代入中求解即可； （2）由题意可知，得到，过点P作轴于点E，交于点F，根据勾股定理求出，根据点P的横坐标为可知，，则，求出解析式，进而根据二次函数的性质作答即可； （3）由（2）得取最大值时，P点坐标为，分两种情况根据平行四边形的性质作答即可． 【解答】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为． 将代入中，得， ∴直线的函数解析式为． 当时，，∴点B的坐标为． 将，代入中， 得解得 ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：，， ， ． 如图，过点P作轴于点E，交于点F， ， ． ， ． ∵点P的横坐标为， ，， ， ． ，， ∴当时，线段有最大值，最大值为． （3）解：由（2）得取最大值时，P点坐标为，已知， 设（，M在x轴正半轴），以B、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：为平行四边形的边或为平行四边形的对角线. ①当为平行四边形的边时，如图， 可知， 此时N的纵坐标为4， 代入抛物线， 解得或（对应点P，舍去）， 即． ∴， 由平行四边形对边平行且相等，得 或 即或； ②当为平行四边形的对角线时，如图， 根据平行四边形的性质可知，， 即，， 解得：，， 即 将代入得， 解得​， 当时，， 当时，（舍去）， ∴M点为； 综上所述，∴点M的坐标为、、． 考点六二次函数与一元二次方程 16．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，点M是二次函数图象的顶点，连接AM、BM，求的面积． 【答案】8 【分析】先根据，确定点A，点B的坐标，抛物线的顶点坐标，根据，解答即可． 【解答】解：根据题意，得二次函数的图象与x轴交于A、B两点， 令， 得， 解得． ， ， ， ， ∴． 17．已知二次函数（为常数，且）． （1）若点在该函数图象上，求的值； （2）判断该二次函数的图象与轴是否存在一固定的公共点，若存在，求出这个点的坐标；若不存在，说明理由； （3）已知一次函数．若对于任意的，都有，求的值． 【答案】（1） （2）存在，这个固定的公共点的坐标为 （3） 【分析】（1）将代入计算即可； （2）令，解方程即可求解； （3）根据得出，设，根据，抛物线开口向上，，得出，即可求解． 【解答】（1）解：将点代入， 得． 解得． （2）解：二次函数的图象与轴存在一固定的公共点． 令，即． 解得，． 当时，恒成立， ∴这个固定的公共点的坐标为． （3）解：，， ． 设． ，抛物线开口向上，， ． ． 18．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）在直线的下方的抛物线上，是否存在点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标是时，有最大面积，最大面积是． 【分析】（1）根据直线的解析式求出点、的坐标，再根据抛物线的对称性求出点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）根据抛物线的对称轴是，可以求出抛物线的最小值为，最大值为，即可得到的取值范围； （3）过点作直线轴，交直线于点，设点的坐标是，即可得到点的坐标为，根据三角形的面积公式可得：，根据二次函数的性质可知当点的坐标是时，有最大面积，最大面积是． 【解答】（1）解：当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， 设点的坐标是， 抛物线的对称轴为直线， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 当时，可得：， 点的坐标是， 把点、、的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线有最小值，最小值为， 当时，， 当时，， 当时，； （3）解：设点的坐标是， 如下图所示，过点作直线轴，交直线于点， 则点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 整理可得：， 当时有最大面积，最大面积是， 此时，即点的坐标是． 考点七实际问题与二次函数 19．如图，某农户要用长的篱笆，在练江边靠墙（墙长）围一块长方形苗圃（靠墙的一边不围），苗圃的一边垂直于墙． （1）设垂直于墙的一边长为，求苗圃面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为多少时，苗圃的面积最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】（1）函数关系式为，自变量x的取值范围为 （2）当垂直于墙的一边长为时，苗圃面积最大，最大面积为450平方米 【分析】（1）垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，然后根据长方形面积公式建立函数关系式，再由且解不等式组求解自变量x的取值范围； （2）将函数关系式配方，利用二次函数的性质求解即可． 【解答】（1）解：垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， 由题意得， 由且，得， ∴函数关系式为，自变量x的取值范围为； （2）解： ∵，且在自变量取值范围内， ∴当时，S最大 答：当垂直于墙的一边长为时，苗圃面积最大，最大面积为450平方米 20．如图是抛物线形的拱桥，水面的宽为10米，拱顶离水面4米． （1）求抛物线的解析式． （2）若水面上升1米，则水面的宽度是多少米？ （3）在（2）的条件下，有一艘有物资的船准备从桥下通过，船身及物资如图所示，这艘船宽，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面．这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 【答案】（1） （2）米 （3）这艘船能从这座拱桥下通过 【分析】（1）以所在直线为x轴，以的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点，可设抛物线的解析式为，把点代入，即可求解； （2）求出当时，x的取值，即可求解； （3）求出当船在拱桥正中心行驶时，拱桥高出水面的高度，即可求解． 【解答】（1）解：如图，以所在直线为x轴，以的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于， 当时，， 解得：， 此时水面的宽度是米； （3）解：∵船宽， ∴当船在拱桥正中心行驶时，船边缘的横坐标为， 当时，， 此时拱桥高出水面的高度为米， ∵物资顶部距水面，且， ∴这艘船能从这座拱桥下通过． 21．中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元/盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，商家发现售价定为80元/盒时，每天可售出100盒；每盒的售价每降低1元时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼每盒的售价降低x元时，商家每天销售该品牌月饼的利润为y元． （1）求出y关于x的函数解析式； （2）要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应降低多少元？ 【答案】（1）（） （2）每盒月饼的售价应降低6元 【解答】（1）解：售价定为80元/盒时，每天可售出100盒；售价每降低1元时，每天可多售出5盒，则： 答：y关于x的函数解析式为，且． （2）将代入解析式，可得： 解得， 因为要尽快减少库存，所以x越大越好，故取． 答：每盒月饼的售价应降低6元． 学科网（北京）股份有限公司 $