第三章 2 第3课时 用三边判定三角形相似&第4课时 黄金分割-【益卷】2026-2027学年九年级上册数学课时作业（北师大版·新教材）

..△ABF∽△CDE. .∠ABC=∠CDE. 13.解：(1)如图①，在0A上取一点E,使0E=0C,连 接EB. ① ∠BOE=∠D0C,OB=OD, .△OBE≌△ODC(SAS). ∴.EB=CD,∠OEB=∠OCD 又，∠AEB+∠OEB=180°，∠OAB+∠OCD=180°， .∠AEB=∠OAB. .EB=AB. ..AB=CD. (2)如图②，在OA上取一点E,使OE=k0C,连 接EB. ② OB=kOD, OB OE OD-OC =h6. ∠AOB=∠COD, .△OEB∽△OCD. EB_OB=k. :.∠0EB=L0CD,CDOD .EB=kCD. :∠OAB+∠OCD=180°，∠AEB+∠OEB=180°， 20 ∴.∠OAB=∠AEB. ∴.EB=AB. ∴.AB=kCD. 第3课时用三边判定三角形相似 1.D2.D 3.△CAB,三边成比例的两个三角形相似 8 4. 5.2 3 6.证明：AB=5,BC=√2+22=√5，AC=√/12+32= √10，DE=2,DF=√12+1=√2，EF=√1+32=√/10， AB5-√10BC510AC-0 EF 10 2 'DF2 2 'DE 2 AB BC AC EF DF DE .∴.△ABC∽△EFD 7.证明：(1). AB BC AC AD DE AE .△ABC∽△ADE. ∴.∠BAC=∠DAE .∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠CAE. (2∠B0=Lc,e, .∴.△BAD△CAE. 4 8.B9.45° 9或5 10. L熊：0品长0=∠ (2)相似.理由如下： 如图，过点D,D'分别作DE∥BC,D'E'∥B'C',DE交 AC于点E,D'E交A'C于点E. E DE∥BC, .∠AED=∠ACB,∠ADE=∠ABC. .△ADE△ABC. AD DE AE ∴AB BC AC 同理可得把瓷瓷 AD_A'D ·ABA'B) D'E'DE B'CBC BC DE B'C D'E" 同理可得B4E AC A'C AC-AE A'C'-A'E' AC A'C', 即ECE'C AC A'C EC AC EC A'C" CD=AC BC ·C'D'A'CB'C CD EC DE ·C'D'E'C'D'E ∴.△DCE∽△D'C'E'. ∴.∠CED=∠CE'D. ·DE∥BC, .∠CED+∠ACB=180°. 同理可得∠C'ED'+∠A'C'B'=180° .ACB=∠A'CB' :AC、BC A'C'B'C' .△ABCM△A'B'C. 第4课时黄金分割 1.C 2.A 3.3-√5 4.D 5.⑤+1 2 6.（1)证明：，AB=AC, 1 六∠ABC=∠C=2(180°-LA)=720 .BD平分∠ABC交AC于点D, ∴.∠ABD=∠CBD=36°=∠A. ∴.∠BDC=180°-36°-72°=72°=∠C. ∴.DA=DB,BD=BC. ∴.AD=BD=BC. ,∠CBD=∠A,∠C=LC, ∴.△BDCM△ABC. BCCD ·ACBC AD CD AC AD ∴点D是线段AC的黄金分割点 (2)解：设AD=x,则CD=AC-AD=1-x. 轮0片- 1x x2=1-x, 解得x=V5-x2=-√5-1（舍去）. 2,2= 21 即心的长为5引 3相似三角形判定定理的证明 第1课时平行线分线段成比例 1.B2.D3.C4.D5.A6.6 7.解：FE∥CD, AE AF ·ACAD AC=4E·AD_4x520 AF 33 ∴.CE=AC-AE 20-4=8 3 31 .'DE∥BC, 、AD AE AF3 ABAC AD 5 ·AB54 5 Γ3 8.B 9.证明：如图，过点C作CE∥AD交BA的延长线于 点E. ∴.∠AEC=∠BAD,∠DAC=∠ACE. ,AD是△ABC的角平分线， .∴.∠BAD=∠DAC .∴.∠AEC=∠ACE. ∴.AC=AE. AD∥CE, BD AB ·DCAE 22 BD AB ·DCAC 10.（1)解：如图①，取0D的中点E,连接DE. C为OB的中点， ∴.CE为△OBD的中位线. ∴.CEBD. AP AD ∴pCDE AD 1 A02 .AD=D0. ∴.AD=2DE. AP P02 D C 图① 图② (2)①解：如图②，取OD的中点E,连接DE. C为OB的中点， ∴.CE为△OBD的中位线. .CE//BD. AP AD PC DE 01 A04, .D0=3AD. .2DE=3AD.第3课时用三边 基础过关 1.若△ABC的三边长分别是3,5,6，则与△ABC相似 的△DEF的边可能是() A.DE=6,DF=8,EF=10 B.DE=9,EF=18,DF=25 C.DE=1,EF=2,DF=2.5 D.DE=6,DF=10,EF=12 2.若△ABC的每条边长增加各自的10%得到△A'B'C', 则∠B'的度数与其对应角∠B的度数相比( A.增加了10% B.减少了10% C.增加了(1+10%) D.没有改变 3.如图，D,E,F分别是△ABC各边的中点，则△DEF∽ ,理由是 4.已知等腰△ABC的两边长分别是4和9，等腰 △DEF的腰长为6，则当它的底边长为 时，等腰△ABC和等腰△DEF相似. 5.中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰 宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂。如 图所示是中国象棋的棋盘（各个小正方形的边长 均相等)，根据“马走日”的规则，“马”应该落在位 置 处，能使“马”“炮”“兵”所在位置的 格点构成的三角形与“帅”“车”“相”所在位置的 格点构成的三角形相似. 马 4 炮2) 3 相 判定三角形相似 6.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的 5×8的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在网格 的格点上.求证：△ABC∽△EFD. B 7周，在A4C和△40E中怨-能-仁求注： (1)∠BAD=∠CAE; (2)△BAD△CAE. 能力提升 8.一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm, 30cm,36cm,要做一个与它相似的铝质三角形框 架，现有长为27cm,45cm的两根铝材，要求以其 中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余 料)作为另外两边.截法有() A.0种B.1种C.2种D.3种 37 9.如图，四边形ABCD,CDEF,EFGH都是正方形，则 ∠1+∠2= 10.将纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落 在边AC上，记为点B',折痕为EF,已知AB=AC= 8,BC=10,若以点B',F,C为顶点的三角形与 △ABC相似，则BF的长是 11.如图，在△ABC和△A'B'C中，D,D'分别是AB, AD A'D' AB上的点ABAB (1)当CD=AC、AB CD AC-AR时，求证：△ABC△A'BC 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写 其中的空格： ① ② 器光8 △4BC△HB'C △4DC△ADC ② 38 (2)当CD=AC-BC CD-AC-BC时，判断△ABC与△A'BC 是否相似，并说明理由. o D 第4课时 基础过关 1.已知点P为线段AB的黄金分割点，且AP<PB, 则() A.AP2=AB·PB B.AB2=AP·PB C.PB2=AP·AB D.AP·BP=AB 2.黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地 应用于建筑和艺术中.如图，已知点P是笛子AB 的黄金分割点(BP>AP),若笛子AB的长为50cm, 则PB的长为( ···”” A A.25(√5-1)cm B.25(3-√5)cm c.5-1 D.35 2 cm 2 cm 3.采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，AB是 已知线段，过点B作BD1AB,使BD=AB,连接 DA,在DA上截取DE=DB;在AB上截取AC=AE, 点C就是线段AB的黄金分割点.若AB=2,则BC 的长为 能力提升 4宽与长的比是5 二的矩形叫黄金矩形.心理测试 2 表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、 匀称的美感.现在，按照如下的步骤作图： 第一步：作一个正方形ABCD; 第二步：分别取AD,BC的中点M,N,连接MW; 第三步：以点N为圆心，ND长为半径画弧，交BC 的延长线于点E; 第四步：过点E作EF⊥AD,交AD的延长线于 点F 则所作图形中是黄金矩形的是( 黄全分割 A.矩形MNCD B.矩形DCEF C.矩形MNEF D.矩形DCEF和ABEF 5.如图，点E是正方形ABCD的边AB上的黄金分割 点，且AE>EB,以AE为边作正方形AEHF,点F在 AD上，延长EH交CD于点I,连接BF交EI于点 G,连接BI,则SABC:S△FcH的值为 6,如图①，点C在线段AB上，我们知道，若满足4C TAB TC则称点C为线段AB的黄金分割点：如图②， 在△ABC中，AB=AC=1,∠A=36°，BD平分∠ABC 交AC于点D. (1)求证：点D是线段AC的黄金分割点； (2)求线段AD的长 图① 图② 39