3.2 探索三角形相似的条件主干题型巩固2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.2 探索三角形相似的条件 主干题型巩固2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E．若，则图中的相似三角形共有（   ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 2．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 3．如图，，补充下列条件之一，不一定能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各组条件中，一定能够判定与相似的是（    ） A．，； B．，，，； C．三边长分别为，，，三边之比为； D．，，． 5．下列命题中，是假命题的是（    ）． A．两个等边三角形相似 B．有一个角为20°的两个直角三角形相似 C．两个等腰直角三角形相似 D．两个直角三角形相似 6．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观，其中竖笔画起点为A，终点为C，交接处点B恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点是线段的黄金分割点，且，若表示以为一边的正方形的周长，表示长为，宽为的矩形的周长，则（   ） A． B． C． D． 8．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为2，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图2的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为2，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 二、填空题 9．如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 10．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D、E各点均为格点，则图中能用字母表示_________ ． 11．点C是线段的黄金分割点，若，则较长线段的长是___________（结果保留根号） 12．如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：①；②；③；④中的一个，能得出和相似的是：________（填序号）． 13．如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 三、解答题 14．如图，已知，点为边上一点，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 15．如图，、分别是的边、上的点，且，，，，证明：． 16．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上． (1)填空： ， ， ． (2)与相似吗？请说明理由． 17．如图，在矩形中，为线段上的一个动点（点不与 两点重合），连结接，过点作交于，连结．与是否相似？并说明理由； 18．黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论，后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割，使《几何原本》（如图1）成为最早的有关黄金分割的论著．20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就．下面的作法是由《几何原本》中给出的： 如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接； ②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形． 则点就是线段的黄金分割点． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D D C D B D A 1．【答案】A 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质以及相似三角形的判定，综合运用以上知识是解题的关键．由角平分线的定义和平行线性质以及已知条件，得到，，再判定相似的三角形即可． 【详解】解：∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴一共有4对相似三角形， 故选：A． 2．【答案】D 【知识点】勾股定理与网格问题、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的定理是解题关键．利用勾股定理分别求出每个三角形的三边长，再根据两三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似判断即可． 【详解】解：①中三角形三边分别为，2，， ②中三角形三边分别为，3，， ③中三角形三边分别为，，， ④中三角形三边分别为2，，， ∵， ∴是相似三角形的是①和④． 故选D． 3．【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查三角形相似的判定定理，熟练掌握三角形相似的判定条件是解题关键． 结合“两角对应相等”、“两边对应成比例且夹角相等”等判定规则对选项进行分析即可． 【详解】解：已知， 选项：，结合，根据“两角对应相等”，可判定； 选项：，则，即，结合，根据“两角对应相等”，可判定； 选项：，即，根据“两边对应成比例且夹角相等”，可判定； 选项：成比例的两边是与、与，它们的夹角并非已知的、，不一定能判定． 故选：． 4．【答案】C 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】A. ，，两角不一定对应相等，两个三角形不一定相似； B. ，，，； 有，其夹角不一定相等，两个三角形不一定相似； C. 三边长分别为，，，故三边之比为 ∵三边之比为； ∴三边对应成比例的两个三角形相似； D.，两边对应成比例，其夹角不一定相等，两个三角形不一定相似； 故选C． 【点睛】考查相似三角形的判定定理： （1）两角对应相等的两个三角形相似． （2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． （3）三边对应成比例的两个三角形相似． （4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 5．【答案】D 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断即可得． 【详解】A、两个等边三角形相似，此项是真命题，不符题意； B、有一个角为的两个直角三角形相似，此项是真命题，不符题意； C、两个等腰直角三角形相似，此项是真命题，不符题意； D、两个直角三角形只有一组角一定相等，则两个直角三角形不一定相似，此项是假命题，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 6．【答案】B 【知识点】黄金分割 【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段等于全线段乘以黄金比，直接代入计算即可求解． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且，是较长线段， ∴， ∵， ∴． 7．【答案】D 【知识点】比例的性质、黄金分割 【分析】本题主要考查了黄金分割，比例线段，理解和熟练掌握黄金分割定理是解题的关键． 根据黄金分割点，可得，根据比例的性质，得到，将代入，即可求解． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， ， 根据题意可知， ． 故选：D． 8．【答案】A 【知识点】相似多边形、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形以及相似多边形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据相似三角形的判定可得甲对，根据相似多边形的判定可得乙错，由此即可求解． 【详解】解：甲：如图所示， ∴，， ∴，故甲对； 乙：如图所示，设， ∴，， ∵， ∴原矩形与新矩形不相似，故乙错； 综上所述，甲对，乙错， 故选：A ． 9．【答案】和 【知识点】相似三角形的判定综合、利用两角对应相等判定相似 【分析】根据两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：和． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 10．【答案】 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】根据网格寻找相等的角度以及成比例的线段，即可得出结果． 【详解】解：根据题意可得：，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键． 11．【答案】 【知识点】黄金分割 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，为较长线段， ∴， ∵， ∴． 【点睛】黄金分割中较短线段与较长线段的长度之比等于较长线段的长度与整条线段的比等于． 12．【答案】①②③ 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论． 【详解】解：①，时，，故①符合题意； ②，时，，故②符合题意； ③，时， ，故③符合题意； ④，时，不能推出，故④不符合题意， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似． 13．【答案】3 【知识点】公式法解一元二次方程、两直线平行同旁内角互补、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】设，则，分两种情况：①当时；②当时；分别得出x的方程，解方程得出的长，即可得出结论． 【详解】∵，， ∴， ∴， 设，则， 分两种情况： ①当时， 即， 解得：； ②当时， 即， 解得：或4， 综上，当或3或4时，与是相似三角形，共3个． 14．【答案】如图所示． 【知识点】尺规作一个角等于已知角、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的判定，掌握作一个角等于已知角的方法是解题的关键． 【详解】解：作即可； ∵， 又∵ ∴． 15．【答案】 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 通过计算对应边的比例，结合公共角相等，利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”来证明． 【详解】略 16．【答案】(1)，， (2) 理由如下： 小正方形的边长均为1，，，，， 由可得，， ，， ． 【知识点】勾股定理与网格问题、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据勾股定理可求出与的长，根据网格特点可求出的度数； （2）先根据勾股定理求出，，，，然后根据三边对应成比例的两个三角形相似即可解答． 【详解】（1），， 故答案为：，，； （2）略 17．【答案】．理由见解析 【知识点】利用矩形的性质证明、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及等角的正切相等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．用，可得到和一对锐角相等，再加上一对直角相等，可证相似． 【详解】．理由如下： ， ， 四边形是矩形， ， ， 又， ． 18．【答案】如图，点就是线段的黄金分割点： 【知识点】作线段(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、黄金分割 【分析】本题考查线段中点以及正方形的尺规作图方法． 【详解】设，则， ， ， ， 所以点就是线段的黄金分割点 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $