第3章 平面直角坐标系中的最值及面积 专题训练 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

平面直角坐标系中的最值及面积专题 培优训练1 坐标系中的最值问题 培优训练2 坐标系中的面积问题 培优训练1 坐标系中的最值问题 1．（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图，已知，，，，点为直线上一动点，连接，则线段的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂线段最短的性质，计算出面积即可计算出的最小值． 【详解】解：点为直线上一动点，根据垂线段最短的性质，当时，线段的值最小． 已知，，，， 过点作轴于点，交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，如图， ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为 ， ∴，，， ，，， 观察图形可知， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·安徽淮南·期末）如图，直线经过点，，动点P在y轴上，则的最小值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据垂线段最短可知，当时，最小，由点的坐标可求出的最小值． 【详解】解：如图， 当时，最小， ∵，， ∴轴， ∵点P在y轴上，且， ∴， ∴． ∴的最小值是2． 3．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内一点，且，点是轴上一动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】这是一道很典型的将军饮马问题，为定点，为动点，为定值．我们可以先求出的最小值之后减去定值即可． 以轴为对称轴，作点的对称点，连接，此时有最小值，减去，即可得到的最小值． 【详解】解：以轴为对称轴，作点的对称点，连接． 过点作垂直于交于 4．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线经过点，且与轴平行，点，分别是轴和直线上的动点，且轴，连接，当取得最小值时，点的坐标是__________． 【答案】 【分析】将点向上平移1个单位得到，连接、，设，则，证明，得到，当最小时，取得最小值，再根据为定值，从而得到取得最小值，求出直线的解析式，令求解即可得到答案．解题的关键是将转化为． 【详解】解：将点向上平移1个单位得到，连接、， 设，则， ∴，， ∴， ∴， 当，，三点共线时，最小，即取得最小值， 又∵直线经过点，且与轴平行，轴，则，为定值， ∴此时取得最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 5．（2022七年级下·湖南长沙·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴负半轴上，且，点M坐标为，N点为线段上一动点，P为线段上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】当，，三点共线且时，取得最小值，即为点到直线的距离，利用三角形面积公式建立等量关系求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点 ，由垂线段最短知，此时最小，最小值为线段的长，连接， 点，点，点， ，，， ， ，且， ， ， ，解得， 的最小值为． 6．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，、、，，、两点分别在线段、轴上，则的最小值为________． 【答案】12 【分析】连接，根据三角形三边不等关系可知：，当点P、N、M三点共线时，取得最小值，然后可得当时，有最小值，进而可得，则有，最后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 根据三角形三边不等关系可知：，当点P、N、M三点共线时，取得最小值， ∵、两点分别在线段、轴上，， ∴当时，有最小值，如图， ∵、、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为12． 7．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图，，，，，动点在线段上，动点在轴上，则的最小值是_______． 【答案】 【分析】连接，当、、三点共线，且时，的值最小，最小值是，根据题意可得，，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，当、、三点共线，且时，的值最小，最小值是， ，，， ，， ， ， ． 8．（26-27八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为，，． (1)已知与关于轴对称，请直接写出三个顶点的坐标，并在坐标系中画出； (2)在轴上找一点，使得的周长最小，请在坐标系中画出点的位置，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为： 【分析】（1）利用坐标系中对称点的特征得到的坐标，依次连接即可得到； （2）利用坐标系中对称点的特征得到的对称点，连接，交轴于点，此时的周长最小，从而得到点的坐标． 【详解】（1）解：、、， 关于轴的对称点为：，，， 故依次连接即可得到， 画图见答案处； （2）解：， 关于轴的对称点为， 连接，交轴于点，由两点之间线段最短得最短， 由轴对称的性质可知，， 此时的周长最小， 点的坐标为：，画图见答案处． 9．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出关于轴的对称图形，并写出点的坐标； (2)请在轴上画出点的位置，使得最短（保留作图痕迹，不写画法），并直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对称的性质即可作出图形； （2）根据对称的性质可知，当且仅当三点共线时，最小来求解． 【详解】（1）略； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ， ， 当三点共线时最短， ， 结合图形，得． 10．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在直角坐标系中，已知，点． (1)若点与关于轴对称，在直角坐标系中作出点，并写出点的坐标． (2)点为轴上一动点，求的最大值，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)的坐标为 (2)最大值，的坐标为 【分析】（1）依据关于轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数）来确定点的坐标并作图；（2）利用轴对称性质将转化为，再结合三角形三边关系确定的最大值，进而求出对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图， ∵，其关于轴对称的点的横坐标保持3不变，纵坐标为2的相反数， 因此的坐标为． 在直角坐标系中，找到横坐标为、纵坐标为的位置，标记该点即为． （2）解：由于点是关于轴的对称点，且点在轴上， ． ． 根据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边， 即． 当且仅当点在直线的延长线与轴的交点时，等号成立， 此时， 即的最大值为的长度． ，， ， ， ， ， ， 的最大值为． 11．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点的坐标是． (1)点的坐标为 ； (2)画出关于轴对称的； (3)的面积为 ； (4)已知点为轴上一点，若使得的周长最小，周长最小值为 ． 【答案】(1)． (2)如图：即为所求． (3) (4) 【分析】（1）直接根据坐标系确定点B的坐标即可； （2）先根据轴对称的性质确定点A、B、C关于y轴对称的对称点，然后再顺次连接即可； （3）直接运用割补法求解即可； （4）连接,交y轴于点P，连接，此时最小，周长最小值为，再根据三角形周长公式以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由平面直角坐标系中，的顶点的位置可得：点B的坐标为． （2）作图：略 （3）解：的面积为 （4）解：解：∵的周长最小， ∴最小， ∵，为定值， ∴当最小时，的周长最小， 连接，交y轴于点P，连接, ∵点A与关于y轴对称， ∴, ∴, 此时的值最小，则的周长最小， ∴周长最小值为． 12．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，、、 (1)在图中画出关于轴对称的； (2)求的面积． (3)在轴上有一动点，连接、，当的值最小时，此时，P的坐标为_________. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此得到对应点的坐标，再作图即可； （2）利用割补法求解即可； （3）根据轴对称的性质可得，则，故当三点共线时，有最小值，据此结合图形可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得； （3）解：如图所示，连接， 由轴对称的性质可得，则， ∴当三点共线时，有最小值， 由图可知，此时点P的坐标为． 13．（26-27八年级上·云南·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：、、． (1)在图中作，使和关于y轴对称； (2)写出点、、的坐标：（____，____）（____，____）（____，____） (3)点P是x轴上一个动点，请在图中画出点P，使得最小． 【答案】(1) (2)，， (3)或 【分析】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、点的坐标，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质画图即可． （2）根据点关于轴对称的坐标特征即可求出、、的坐标． （3）作关于x轴的对称点，连接，与轴的交点即是；作关于x轴的对称点，连接，与轴的交点即是． 【详解】（1）略 （2）解：和关于轴对称， 和的每个点坐标只变横坐标， ，，， ，，． （3）解：①为最小，是动点，作点关于x轴的对称点 最小， 三点共线最小， 连接，与交轴的交点即是点，如图所示， ②为最小，是动点，作点关于x轴的对称点， 最小， 三点共线最小， 连接，与交轴的交点即是点，如图所示， 14．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题： (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标，即（_____，_____）． (2)求出的面积． (3)在轴上存在一点使得最小，在图中画出点的位置（保留画图痕迹，不写画法）． 【答案】(1)， 则点 (2) (3) 【分析】（1）确定三角形顶点的坐标关于轴的对称点即可求解； （2）利用割补法求解面积即可； （3）作点关于轴的对称点，连接与轴交于点即为所求． 【详解】（1）解：由题可知点的坐标为，则关于轴对称点; （2）解：的面积为：； （3）解：作点关于轴的对称点，连接与轴交于点， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小，则最小． 15．（25-26八年级上·新疆塔城·期末）作图题：（不写作法）． 已知：如图所示．求作： (1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)在轴上求作一点，使最小． 【答案】(1)解：即为所求； ； (2)解：如图，点即为所求； 【分析】（1）根据轴对称的性质作图，再由图象写出坐标即可； （2）作点关于对称点，连接，与轴相交于点，由，即可推出点为所求点． 【详解】（1）略 （2）略 16．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)作出关于x轴对称的，并写出点，，的坐标； (2)在x轴上取一点P，使最短，请画出点P并直接写出点P的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求，，， (2)如图，点P即为所求， 【分析】（1）作出各顶点关于x轴的对称点，顺次连接即可，两点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数； （2）连接，由轴对称得，进而可得，因此点，P，B三点共线时，最短． 【详解】（1）略 （2）略 17．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在格点上，请你用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹． (1)求的面积； (2)画出关于直线的对称图形； (3)在上找到一点，使得最小，并直接写出这个最小值是_____． 【答案】(1)11 (2)如图，即为所作： (3)如图，点P即为所求，，10 【分析】（1）根据割补法求解即可 （2）在格点中找到各顶点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （3）作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，于是运用勾股定理可得解． 【详解】（1）解：的面积； （2）略 （3）解：略 由作图得：， 所以，，当三点在同一条直线上时，最小，最小值为的长度， 由勾股定理得， 即这个最小值是10． 18．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知 (1)在平面直角坐标系中画出，并求出的面积； (2)若点与点关于轴对称，则点的坐标为_____； (3)已知在轴上移动时，在（2）的条件下，求最小值． 【答案】(1) 如图所示，即为所求， (2) (3) 【分析】（1）先描点，再画出，根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解； （2）根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解； （3）作关于轴的对称点，连接交轴于点，则即为最小值，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：的面积为； （2）解：因为点与点关于轴对称，则点的坐标为； （3）解：如图， ∵， 作点关于轴的对称点，则，， ∴， 的最小值． 19．（25-26八年级下·河南安阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，在轴上求点，使的值最小． (1)画图并在图中标出点的位置． (2)求的最小值． 【答案】(1) 解：过点A作轴的对称点，连接与轴的交点记为，连接，如图所示： (2) 【分析】（1）理解题意，过点A作轴的对称点，连接与轴的交点记为，连接，此时的值最小； （2）结合网格特征，运用勾股定理进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， 此时， 即的最小值为． 20．（25-26八年级下·贵州遵义·阶段检测）【概念理解】如图，在平面直角坐标系中，任意两点，的位置关系有以下三种情形：①如果轴，则，；②如果轴，则，；③如果AB与x轴、y轴均不平行，过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两平行线相交于点C，则点C的坐标为，则，，由勾股定理得：． 【概念应用】 (1)在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标、、．则：______，______，______； 【迁移应用】 (2)若点M的坐标为，点N的坐标为，点P是x轴上的动点，求的最小值． 【答案】(1)，， (2)5 【分析】（1）根据题干中给定的方法进行求解即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，进而得到，根据两点间的距离公式求出的长即可. 【详解】（1）解：∵、、， ∴；；； （2）解：作点关于轴的对称点，连接， ∵点M的坐标为，点P是x轴上的动点， ∴，， ∴， ∴当点在线段上时，求的值最小，为的长， ∵，点N的坐标为， ∴. 培优训练2 坐标系中的面积问题 21．（25-26八年级下·上海崇明·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出关于轴对称的； (2)画出关于轴对称的； (3)求出的面积． 【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2) 解：如图，即为所求； (3)的面积为 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：的面积为． 22．（25-26八年级下·广西贵港·期中）按要求完成作图：已知三个点的坐标分别为． (1)作出关于轴对称的图形； (2)写出点，，的坐标及的面积． 【答案】(1) 即为所求， (2),,， 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，坐标，以及割补法求三角形面积，解题的关键是掌握轴对称变换的有关基础知识． （1）根据轴对称变换的性质，确定出，，的位置，然后顺次连接即可； （2）根据，，的位置，写出坐标即可，再利用割补法求解三角形面积即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：由图形可得，,,， ． 23．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）在平面直角坐标系中．三个顶点的位置如图所示． (1)直接写出点、、的坐标． (2)求的面积． (3)在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点的坐标：若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【分析】（1）根据图像直接写出坐标即可； （2）先过点、分别作轴于点，轴于点，再根据即可求解； （3）先根据点在轴上，设，过点分别作轴于点，再求出，结合三角形面积公式以及列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图形可知：，，． （2）解：如图，过点、分别作轴于点，轴于点， ∴， ∵，，， ∴． （3）解：由点在轴上，设， ∵， ∴， 如图，过点分别作轴于点， ∵点、点在轴上，且轴 ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴点的坐标为，． 24．（26-27八年级上·甘肃·期中）如图，已知的三个顶点分别为：、、． (1)请在图中作出关于y轴对称的图形； (2)写出D，E，F三点坐标； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)如图，就是所求作的三角形 (2)，， (3) 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴对称的对应点D、E、F的位置，然后顺次连接即可； （2）利用（1）中所画图形，进而得出各点坐标即可； （3）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：． 25．（26-27八年级上·黑龙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，． (1)在图中作出关于轴对称的； (2)写出，，三点的坐标： ， ， ． (3)在（1）（2）的条件下，连接，，直接写出的面积为 ． 【答案】(1)如图，为所作； (2)、、 (3) 【分析】（1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，，，然后顺次连接即可； （2）根据图形写出点，，的坐标即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据图形可得：、、． （3）解：连接，，如图所示： ． 26．（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）如图，在平面直角坐标系中点，的坐标分别为，，且，满足：，点的坐标为． (1)求，的值． (2)求三角形的面积． (3)若，两点位置不变，点在轴的什么位置时，三角形的面积是原三角形面积的倍． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用绝对值和算术平方根的非负性，求出、； （2）先算出轴上的长，以为底，点纵坐标为高，用三角形面积公式求面积； （3）设，结合面积倍数列含绝对值的方程，求出点坐标． 【详解】（1）解：， ，， ，． （2）解：据（1）可知点，的坐标分别为，， 则，， 故． （3）解：设， 当三角形的面积是原三角形面积的倍， 可得， 解得，即或， 故点坐标为或． 27．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的位置如图所示． (1)在图中作出关于轴对称的图形（请先用铅笔绘图，确认无误后，再用黑色水性笔描绘一遍）；并直接写出点的坐标_____； (2)直接写出的面积：_____； (3)已知点在轴上，且的面积等于4，求点的坐标． 【答案】(1)作图见解析， (2) (3)或 【分析】（1）画出三点关于轴对称的三点，依次连接即可，进而写出的坐标； （2）利用割补法求解即可； （3）设，由，求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，为所求： 则； （2）解：的面积为； （3）解：设，则， ∵的面积等于4，， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 28．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）如图，在直角坐标系中，A、B、C、D各点的坐标分别为、、、． (1)在给出的图形中，画出四边形关于y轴对称的四边形； (2)求四边形的面积． (3)若点P的坐标为，在x轴上是否存在点Q使得的面积为10．若存在求出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在，或． 【分析】（1）根据轴对称的定义描点连线即可； （2）根据割补法计算即可； （3）设，可知，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解： ； （3）解：设， ∴， ∵的面积为10，， ∴， ∴， 解得：或， 即点Q的坐标为或． 29．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，△的顶点坐标分别为，，． (1)画出△关于轴对称的△（其中点，，分别是，，的对应点，不写画法）； (2)点的坐标为__________，点的坐标为__________，点的坐标为__________； (3)求△的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】（1）（2）：利用关于y轴对称的点的坐标变换规律，因为关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变，所以可直接得出、、的坐标，再根据坐标描点得到． （3）可先计算的长度，再计算点到所在直线的距离，最后用三角形面积公式求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （3）△的面积． 30．（25-26八年级下·上海·期中）如图，的三个顶点的坐标分别为，，，将关于y轴对称得到． (1)画出，写出的坐标；______；______；______． (2)若内一点P的坐标是，则点P在内的对应点的坐标是______． (3)直接写出的面积：______． 【答案】(1) 图见解析，；； (2) (3) 5.5 【分析】（1）关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此得出点的坐标，再描点，连线画出对应的图形即可； （2）关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得答案； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：由题意得点P在内的对应点的坐标是； （3）解：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面直角坐标系中的最值及面积专题 培优训练1 坐标系中的最值问题 培优训练2 坐标系中的面积问题 培优训练1 坐标系中的最值问题 1．（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图，已知，，，，点为直线上一动点，连接，则线段的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·安徽淮南·期末）如图，直线经过点，，动点P在y轴上，则的最小值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内一点，且，点是轴上一动点，则的最小值为________． 4．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线经过点，且与轴平行，点，分别是轴和直线上的动点，且轴，连接，当取得最小值时，点的坐标是__________． 5．（2022七年级下·湖南长沙·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴负半轴上，且，点M坐标为，N点为线段上一动点，P为线段上一动点，则的最小值为______． 6．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，、、，，、两点分别在线段、轴上，则的最小值为________． 7．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图，，，，，动点在线段上，动点在轴上，则的最小值是_______． 8．（26-27八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为，，． (1)已知与关于轴对称，请直接写出三个顶点的坐标，并在坐标系中画出； (2)在轴上找一点，使得的周长最小，请在坐标系中画出点的位置，并直接写出点的坐标． 9．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出关于轴的对称图形，并写出点的坐标； (2)请在轴上画出点的位置，使得最短（保留作图痕迹，不写画法），并直接写出点的坐标． 10．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在直角坐标系中，已知，点． (1)若点与关于轴对称，在直角坐标系中作出点，并写出点的坐标． (2)点为轴上一动点，求的最大值，并直接写出点的坐标． 11．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点的坐标是． (1)点的坐标为 ； (2)画出关于轴对称的； (3)的面积为 ； (4)已知点为轴上一点，若使得的周长最小，周长最小值为 ． 12．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，、、 (1)在图中画出关于轴对称的； (2)求的面积． (3)在轴上有一动点，连接、，当的值最小时，此时，P的坐标为_________. 13．（26-27八年级上·云南·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：、、． (1)在图中作，使和关于y轴对称； (2)写出点、、的坐标：（____，____）（____，____）（____，____） (3)点P是x轴上一个动点，请在图中画出点P，使得最小． 14．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题： (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标，即（_____，_____）． (2)求出的面积． (3)在轴上存在一点使得最小，在图中画出点的位置（保留画图痕迹，不写画法）． 15．（25-26八年级上·新疆塔城·期末）作图题：（不写作法）． 已知：如图所示．求作： (1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)在轴上求作一点，使最小． 16．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)作出关于x轴对称的，并写出点，，的坐标； (2)在x轴上取一点P，使最短，请画出点P并直接写出点P的坐标． 17．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在格点上，请你用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹． (1)求的面积； (2)画出关于直线的对称图形； (3)在上找到一点，使得最小，并直接写出这个最小值是_____． 18．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知 (1)在平面直角坐标系中画出，并求出的面积； (2)若点与点关于轴对称，则点的坐标为_____； (3)已知在轴上移动时，在（2）的条件下，求最小值． 19．（25-26八年级下·河南安阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，在轴上求点，使的值最小． (1)画图并在图中标出点的位置． (2)求的最小值． 20．（25-26八年级下·贵州遵义·阶段检测）【概念理解】如图，在平面直角坐标系中，任意两点，的位置关系有以下三种情形：①如果轴，则，；②如果轴，则，；③如果AB与x轴、y轴均不平行，过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两平行线相交于点C，则点C的坐标为，则，，由勾股定理得：． 【概念应用】 (1)在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标、、．则：______，______，______； 【迁移应用】 (2)若点M的坐标为，点N的坐标为，点P是x轴上的动点，求的最小值． 培优训练2 坐标系中的面积问题 21．（25-26八年级下·上海崇明·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出关于轴对称的； (2)画出关于轴对称的； (3)求出的面积． 22．（25-26八年级下·广西贵港·期中）按要求完成作图：已知三个点的坐标分别为． (1)作出关于轴对称的图形； (2)写出点，，的坐标及的面积． 23．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）在平面直角坐标系中．三个顶点的位置如图所示． (1)直接写出点、、的坐标． (2)求的面积． (3)在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点的坐标：若不存在，说明理由． 24．（26-27八年级上·甘肃·期中）如图，已知的三个顶点分别为：、、． (1)请在图中作出关于y轴对称的图形； (2)写出D，E，F三点坐标； (3)求三角形的面积． 25．（26-27八年级上·黑龙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，． (1)在图中作出关于轴对称的； (2)写出，，三点的坐标： ， ， ． (3)在（1）（2）的条件下，连接，，直接写出的面积为 ． 26．（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）如图，在平面直角坐标系中点，的坐标分别为，，且，满足：，点的坐标为． (1)求，的值． (2)求三角形的面积． (3)若，两点位置不变，点在轴的什么位置时，三角形的面积是原三角形面积的倍． 27．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的位置如图所示． (1)在图中作出关于轴对称的图形（请先用铅笔绘图，确认无误后，再用黑色水性笔描绘一遍）；并直接写出点的坐标_____； (2)直接写出的面积：_____； (3)已知点在轴上，且的面积等于4，求点的坐标． 28．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）如图，在直角坐标系中，A、B、C、D各点的坐标分别为、、、． (1)在给出的图形中，画出四边形关于y轴对称的四边形； (2)求四边形的面积． (3)若点P的坐标为，在x轴上是否存在点Q使得的面积为10．若存在求出点Q的坐标． 29．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，△的顶点坐标分别为，，． (1)画出△关于轴对称的△（其中点，，分别是，，的对应点，不写画法）； (2)点的坐标为__________，点的坐标为__________，点的坐标为__________； (3)求△的面积． 30．（25-26八年级下·上海·期中）如图，的三个顶点的坐标分别为，，，将关于y轴对称得到． (1)画出，写出的坐标；______；______；______． (2)若内一点P的坐标是，则点P在内的对应点的坐标是______． (3)直接写出的面积：______． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $