云南省名校协作体2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

高一数学 考生注意 中 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第二章。 吹 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.下列关系中正确的是 A.0∈N” B.π任Q D.{0)=☑ 2.命题“Vx∈R,x2+1>4x”的否定是 : A.Hx∈R,x2+1<4x B.3x∈R,x2+1<4x C.Vx∈R,x2+1≤4x D.3x∈R,x2+1≤4x 3.已知集合M=(x|-3<x<5),N={x|x=2k,k∈N},则M∩N= A.{2,4) B.{0,2,4)} 童 C.{-2,0,2,4)》 D.{0,1,2,3,4) 4.设a,b∈R,则“ab=0”是“√a2+b2=0”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 赵 5.若a<b<0,则 A.6>al B-日>-8 c>号 D}治 【高一第一次月考·数学第1页（共4页）】 27-T-067A 6.已知全集U={-1,0,1,2,3,4),集合A={x∈N|-1<x<4),B=(2,4),则图中阴影部分 表示的集合的真子集个数为 A.3 B.4 C.7 D.8 7.不等式一x2一|x+6>0的解集为 A.{x|-2<x<3} B.{x-2<x<2} C.{xx<-2,或x>3} D.{xx<一3，或x>2} 8.已知>0，y>0,且2xy一y十1=0，则当2+y取得最小值时，号- A是 B. C.3√2-4 D.32-4 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知命题p:Hx∈N,x2>0,命题q:3x∈R,x3<x2,则 A.一p是真命题 B.g是假命题 C.p和一g都是真命题 D.饣和一q都是假命题 10.下列各式中，最小值为2的是 Ax+ B.十1 C.√x2+2+1 Wx2+2 D+-2 11.用card(P)表示有限集合P中元素的个数，若集合A={x|2x2+ax一1=0)，B=(x|(x2+ ax)(x2+ax十1)=0)，则 A.card(A)=2 B.Ha∈R,card(B)≥2 C.若集合M={a∈R|card(A)-card(B)|=1),则card(M)=3 D.若|card(A)一card(B)=2,则-2<a<2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若集合A={x-一3，x一6,4)，且7∈A,则x= 13.已知x>0,y>0且x≠y,M=x3+y3,N=xy2+x2y,则M与N的大小关系为 14.已知命题：“Vx>2,己2十3x>m一2恒成立”是真命题，则实数m的取值范围是 【高一第一次月考·数学第2页（共4页）】 27-T-067A 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 is 15.(本小题满分13分) 已知全集U={x|x≤5}，集合A={x|-2<x<3},B=(x|-1≤-x+1≤4). (1)求A∩B,AUB; (2)求A∩(CuB),(CuA)U(CuB). 16.(本小题满分15分) 已知集合M=(x2a-3<<a+1),N={z当<0 (1)若MUN=N,求实数a的取值范围； (2)若x∈M是x∈N的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 17.(本小题满分15分) 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度为16）的矩形菜园，设菜园的边长分 别为xm,ym. (1)若菜园面积为64m2,则x,y为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长度为30m,则x,y为何值时，菜园的面积最大？ 最大面积是多少？ 【高一第一次月考·数学第3页（共4页）】 27-T-067A 18.(本小题满分17分) (1)已知x>3,求x十4的最小值： (2)求√2x(4-x)的最大值； （3)已知>1，求十7的最大值 19.(本小题满分17分) 如 柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的.最初于1821年被柯西 提出，其积分形式在1859被布尼亚科夫斯基提出，其证明由施瓦兹于1888年给出.故历史 上，该不等式又称为柯西一布尼亚科夫斯基一施瓦茨不等式.它在数学分析学中占有十分重 长 要的地位.柯西不等式的一般形式为：设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn∈R,(a号十a十… +a)(b所+b2十…十b)≥(a1b1十a2b2十…十anbn)2,当且仅当b:=0(i=1,2,…,n)或存在 一个数，使得a;=kb.(i=1,2,…,n)时，等号成立 现给出二维柯西不等式：(a2+b2)(c2十d)≥(ac十bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立， 郑 (1)证明二维柯西不等式； (2)已知一1<x<2,y∈R,且2x2一xy十6x-y十4=0，求√2-x十√2十y的最大值； (3)已知x,y,z∈R,且x十y十z=1.若(x+1)2+(y-2)2+(z+a)2≥1恒成立，求a的取 值范围. : 【高一第一次月考·数学第4页（共4页）】 27-T-067A参考答案、提示及评分细则 1.B0EN:,故A错误；πEQ,故B正确；号EZ,故C错误；(0}≠⑦，故D错误.故选B 2.D命题“Hx∈R,x2+1>4x”的否定为：3x∈R,x2+1≤4x.故选D. 3.B因为M={x|-3<x<5},N={x|x=2k,k∈N},所以M∩N={0,2,4〉.故选B. 4.C取a=0,b=1,则ab=0,但√a+b2=1≠0，充分性不成立；又√a2+b2=|a|+b2=0台a=b=0→ab=0, 必要性成立，所以“ab=0”是“√a十=0”的必要不充分条件.故选C. 5D因为a<<0,所以61<a,A错误：-}-(-古）=古-日-b<0,所以-日<-方B错误： 名-号=叶0<0，所以名<号，C错误号总=a-)>0,D正疏放 ab 选D. 6.A根据题意，图中阴影部分区域表示为Cu(AUB).因为A={x∈N*|一1<x<4}={1,2,3},所以AUB= {1,2,3,4},Cu(AUB)={-1,0},所以其真子集的个数为22一1=3.故选A. 7.B不等式可化为|x|2+|x-6<0,即-3<|x<2,解得-2<x<2.故选B. &D由>0>0，且2xy-y+1=0,得2x+号=1，所以+y=(2x+号)(+)=2y+3+y≥ 2V2。+3=2厄+3，当且仅当2y即x=2y=2+1时等号成立，所以士+y取得最小 xy 值时号262千2故选 9.AD命题p:Hx∈N,x2>0,当x=0时，x2=0,故命题p为假命题，则p:3x∈N,x2≤0，为真命题；命题 q:3x∈R,x3<x2,当x=一1时，-1<1，故命题q为真命题，则q:Hx∈R,x3≥x2,为假命题，故AD正 确，BC错误.故选AD. 10,BD当<0时，x+子<0，A错误；由基本不等式可知F+2+≥2的取等条件为r+2=1,而 √/x2+2 此方程无实数根，等号无法取到，C错误.故选BD 11.AC对于方程2x2十ax-1=0,有△1=a2+8>0,所以card(A)=2,A正确；当a=0时，B={0},此时 card(B)=l,B错误；若|card(A)-card(B)|=l,由card(A)=2,得card(B)=l或3.当card(B)=l 时，易知a=0;当card(B)=3时，方程x2十ax=0有2个不同的根x=0和x2=一a,方程x2十a.x+1=0 【高一第一次月考·数学参考答案第1页（共4页）】 27-T-067A a≠0， 只有1个根（异于0，一a),则 解得a=±2，所以M={一2,0,2}，即card(M)=3,C正确； △2=a2-4=0, 若|card(A)-card(B)|=2,由card(A)=2,card(B)≥l,得card(B)=4,所以方程x2十a.x=0有2个不 (a≠0， 同的根x1=0和x2=一a,方程x2十a.x十1=0有2个不同的根（异于0，一a),则 解得a< △2=a2-4>0, 一2或a>2,D错误.故选AC. 12.13因为7∈A,所以有x一3=7，或x-6=7,解得x=10或x=13.当x=10时，x-6=10-6=4,不符合 集合元素的互异性，故舍去；当x=13时，x一3=13一3=10≠4，符合集合元素的互异性. 13.>N.M-N=(x3+y3)-（xy2+x2y)=x(x2-y2)-y(x2-y2)=(x2-y2)(x-y)= (x-y)2(x+y),由x>0,y>0且x≠y知，(x-y)2(x+y)>0,.M-N>0,即M>N. 14.(mm<23+8}因为Vx>2,2+3x>m-2恒成立，所以m-2<(2十3x)又因为x>2,所 以x-2>0,所以，2+3x=2+3(-2)+6≥2V2×3(x-2)+6=2+6,当且仅当，2= 3(x一2D,即x=2+号时取等号，所以m-2<2厅+6，解得m<2v万+8，即实数m的取值范围 是{mm<2√3+8}. 15.解：(1)因为集合B={x一1≤一x十1≤4}={x一3≤x≤2}，…2分 所以A∩B={x|-2<x<3}∩{x|-3≤x≤2}={x|一2<x≤2}，…4分 AUB={x-2<x<3}U{x-3≤x≤2}={x-3≤x<3).…6分 (2)因为全集U={xx≤5}，A={x|一2<x<3},B={x|一3≤x≤2}， 所以CA={xl≤-2或3≤x≤5}，CuB={x|x<-3或2<x≤5}，…9分 所以A∩(CuB)={x-2<x<3》∩{xx<-3或2<x≤5}={x2<x<3},…11分 (CuA)U(CuB)={x|x≤-2或3≤x≤5}U{xx<-3或2<≤5}={xlx≤-2或2<x≤5). 13分 16解N={<0)=tx-2<x<1,… 2分 (1)由MUN=N,得MN,…4分 当M=⑦时，2a-3≥a+1,解得a≥4；… 6分 2a-3<a+1, 当M≠⑦时，2a一3≥一2，不等式组无解，…7分 a+1≤1， 【高一第一次月考·数学参考答案第2页（共4页）】 27-T-067A 故实数a的取值范围为{aa≥4). 8分 (2)因为x∈M是x∈N的必要不充分条件，所以NM, 10分 2a-3≤-2 (等号不同时成立)，解得0≤≤2， 14分 a+1≥1， 故实数a的取值范围为|a0≤a≤} 15分 17.解：(1)由题可得y=64(0<x≤16，y>0),篱笆总长为x十2y,…2分 所以x十2y≥2√2.xy=16V2,…5分 当且仅当x=2y,即x=8√2，y=4V2时，等号成立， 又0<8V2≤16，所以当x=8V2,y=4V2时，所用篱笆总长最小.…7分 (2)由题可得x十2y=30,… 8分 所以菜园面积5=y=号x·2≤号(2生2)-2， 12分 当且仅当x=2y=15,即x=15,y=号时，等号成立， 所以x=15,y=受时，菜因的面积最大，.最大面积为受m。.…15分 18解：(1)因为x>3,所以x-3>0,所以x+3=x-3+43+3≥2√x一3)X十3=7，…3分 当且仅当x一3一兰3时，即x=5时取等号， 所以当>3时x叶写的最小值是7.…5分 x≥0， a≤0， (2)由题意知2x(4一x)≥0，即 或 解得0≤x≤4，…7分 (4-x≥0，(4-x≤0， 所以V2x(4-)=2x(4-x)≤2X+号=22， 2 …9分 当且仅当x=4一x,即x=2时，取得等号， 所以√2x(4一x)的最大值是2√2.… 11分 (3)令x一1=1，则x=十1，>0，… 12分 所以2d+7Fa+D-4++77-2++4-221. …15分 4 一2 【高一第一次月考·数学参考答案第3页（共4页）】 27-T-067A 当且仅当1=4，即1=2时，等号成立。 所以产十7的最大值为2 …17分 19.(1)证明：(a2+b2)(c2+d)-(ac+bd)2 =a2c2+a2d2+6c2+62d2-a2c2-2acbd-bd2 =a2d2+b2 c2-2acbd =(ad一bc)2≥0，当且仅当ad=bc时等号成立. ∴.（a2十b2)（c2十)≥(ac十bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立.…4分 (2)解：由2x2-xy+6x-y+4=0,得(x+1)(2x-y十4)=0， -1<x<2,y∈R,2z-y十4=0，y=2x+4,…6分 √2-x+√2+y=√2-x+√/2+2x+4=√2-x+√2x+6 =√2-x十√2√x十3， 由二维柯西不等式得： (√2-x+2x+3)≤[1+(2)2]·[（√2-x)2+(√x+3)2] =3·(2-x+3+x)=15, 当且仅当2·V2-=V+3,即x=号时等号成立。… …9分 ∴√2-元+√2√x+3≤I5,√2-x十√2十y的最大值是15.…10分 (3)解：由三维柯西不等式得： (12+12+12)·C(x+1)2+(y-2)2+(x+a)2]≥(x+1+y-2+z+a)2. “x+叶=1(x+1)2+(y-22+(e+a)≥号， 当且仅当x=号-1，y=号十2,2=一号时等号成立，… 15分 又(x+1)+(y-2)2+(+a)≥1恒成立写≥1， ∴.a≥3或a≤一√5，即a的取值范围是（一o∞，一√5]U[√5，十o∞）.…17分 【高一第一次月考·数学参考答案第4页（共4页）】 27-T-067A