精品解析：云南昆明市第三中学2023-2024学年高一上学期12月能力测试数学试题

昆明市第三中学高2026届高一12月月考 数学学科能力测试 考试时间120分钟，满分150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的选项中，符合题目仅有一项） 1. 设，且，若集合，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，所以 2. 函数的最小值是（ ） A. 不存在 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】令，则，利用函数的单调性即可. 【详解】令，则，. 因为，所以. 因为函数在区间上单调递增，所以. 所以函数没有最小值. 3. 下列命题中，真命题是（ ） A. B. ； C. ， D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】选项A：恒成立，故A错. 选项B：当且时，等式不成立，故B错. 选项C：当时，推出，故C错. 选项D： (1)当时， ；（2）当时， . ，D正确. 4. 如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的性质结合二次函数的单调性即可求出的取值范围. 【详解】是底数大于的指数函数，在上严格单调递增， 要让整体在上单调，只需保证在上单调即可， 令，则函数开口向上，对称轴为， 单调递减区间是，单调递增区间是， 在上单调，只需满足对称轴不在内部， 即：或，解得或， 故的取值范围. 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性的性质，结合零点存在性定理即可判断. 【详解】因为在区间上单调递增， 所以函数是上的单调增函数，故图象是连续不断的曲线，那么 对于A，当时，,，故A错误; 对于B，,故B正确; 对于C，,故C错误； 对于D，,故D错误. 6. 已知函数是奇函数，是偶函数，则 A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的性质，可以求出的值，由偶函数的性质，可以求出的值，利用对数的运算公式，可以求出的值. 【详解】因为函数是奇函数，所以，即， 因为是偶函数，所以， 因此，故本题选A. 【点睛】本题考查了奇偶函数的性质，考查了对数的运算，考查了数学运算能力. 7. 已知方程与方程的实数解分别是，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为方程与方程的实数解分别是， 令， 则函数与的交点横坐标为，函数与的交点横坐标为， 函数，，的图像如下图所示： 故. 8. 已知，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题可通过确定、、三个数的取值范围来得出、、三个数的大小. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以， 故选：D. 二、多选题（本大题共4小题每小题5分，共20分.每小题有多个选项符合题目要求） 9. 已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】依题意可得、两个数一个大于，一个大于且小于，再分类讨论，结合指数函数的性质判断即可； 【详解】解：令，解得、，根据二次函数图形可知，、两个数一个大于，一个大于且小于，①当，时，则在定义域上单调递增，且，即，所以满足条件的函数图形为C； ②当，时，则在定义域上单调递减，且，所以满足条件的函数图形为A； 故选：AC 10. 下列命题中正确的有（ ） A. 是第一象限角 B. 若与的终边关于轴对称，则 C. 若，且角与角的终边相同，则的值是或 D. 终边在直线上的角的集合可以表示为 【答案】BC 【解析】 【详解】，故是第四象限角，A错误； 若与的终边关于轴对称，则，B正确； 若角与角的终边相同，则，即， 又，故的值是或，C正确； 终边在直线上的角的集合为，故D错误. 11. 给出下列命题，其中的正确命题是（ ） A. 的值可以对函数用二分法求得其近似值； B. 函数在定义域上单调递减 C. 是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数或 D. 函数与的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】A. 考查二分法的适用条件必须满足连续且存在； B.复合函数单调性，由外层函数和内层函数的单调性确定最终函数单调性； C. 已知函数的奇偶性，由函数值求自变量的值，分类讨论求解； D.反函数的性质，图像关于直线对称. 【详解】是函数的一个零点，且函数连续不断，所以由区间不断用二分法可求得其近似值，A选项正确； 函数，所以，即，解得， 所以函数的定义域为， 令， 在R上单调递增，所以在上单调递减， 因为单调递增，由复合函数单调性可知， 函数在上单调递减，B选项正确； 是定义在上的奇函数，当时，， 当时，若，无实数解； 当时，若，解得， 所以，的解为，选项错误； 函数与互为反函数， 所以图象关于直线对称，选项正确. 12. 已知函数，下列是关于函数的零点个数的判断，其中正确的是（） A. 当时，有个零点 B. 当时，有个零点 C. 当时，有个零点 D. 当时，有个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】通过换元法令，将问题转化为求解复合方程的根，根据分段函数的定义，分两种情况解出即可. 【详解】令，则原方程等价于， 当时，方程，即，此时需根据的正负讨论： 若，解得（满足）， 此时有两个可能的值：和由情形得出的， 对于，代入： 当时， （解）； 当时，（解），共解， 对于， 当时， （解）； 当时，（解），共解， 因此总共有个零点，选项B正确； 若，解得，与前提矛盾，故舍去， 当时，方程，解得唯一确定的，结合的讨论： 若，此时仅有，代入： 当时， ，与矛盾舍去； 当时，（解），因此总共有个零点，选项D正确， 综上所述，当时有个零点，当时有个零点，正确选项为B和D. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 有四个幂函数：①；②；③；④某同学研究了其中的一个函数，并给出了这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是的子集；（3）在上单调递增.则他研究的函数是___________填序号. 【答案】① 【解析】 【分析】根据幂函数的性质分别写出四个函数的奇偶性、值域和单调性，再结合题干找出满足题意的即可. 【详解】对于①，定义域为，定义域关于原点对称， ，是偶函数， 在上单调递增，值域为，满足上述性质； 对于②，定义域为，定义域关于原点对称， ，故为奇函数，不满足； 对于③，定义域为，定义域关于原点对称， ，是偶函数， 在上单调递增，故在上单调递减，不满足； 对于④，定义域为，定义域关于原点对称， ，是奇函数，不满足. 14. 已知函数且的图像恒过定点，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据指数函数及对数函数的性质即可求得定点坐标. 【详解】根据指数函数及对数函数的性质可知，, 故函数(且）经过定点，即, 所以. 15. 若某扇形的面积为，半径为，弧长满足，则该扇形圆心角的弧度数是___________ 【答案】5或 【解析】 【分析】由扇形的面积公式构造关于，的方程组，解出方程，由圆心角即可算出圆心角大小的弧度数． 【详解】据题意得，解得或. 所以该扇形圆心角的弧度数是或. 16. 函数，令，则不等式的解集是___________. 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况，分类讨论，求出不等式的解集 【详解】当时，由得，即， 即，，即， 令，则，解得， 即，其中，解得， 当时，由得，即， 即，，即， 令，则，解得， 即，其中，解得， 其中，故， 综上，不等式的解集为. 四、解答题（本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：. 【答案】 【解析】 【分析】根据根式与分数指数幂相互转化规则，指数及对数的运算性质计算即可得解. 【详解】原式 18. 图中质点在半径为的圆周上逆时针运动，其初始位置为. （1）指出终边落在直线上的角的集合； （2）当第次运动到位置时，求质点所经过的弧长和该弧长所在的扇形的面积. 【答案】（1） （2）弧长，面积 【解析】 【分析】（1）根据终边角的定义写出角的集合； （2）由弧长公式计算弧长，再结合面积公式计算即可. 【小问1详解】 由题意可知，， 所以终边落在直线上的角的集合为 . 【小问2详解】 由题意得， 所以由弧长公式可知质点所经过的长度. 扫过的扇形的面积. 19. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的值域. 【答案】（1）单调递增区间，单调递减区间 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出定义域，通过换元法，结合二次函数的图像和性质，对数函数的图像和性质求解； （2）通过换元法，设，利用定义域求出的范围，利用二次函数的图像和性质求出值域. 【小问1详解】 令， 则定义域为； 设， 则在上为单调递增函数，在上为单调递减函数； 又函数在上为单调递增函数. 由复合函数的单调性可知的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 设，由得， 则可化为， 该二次函数开口向上，对称轴为，在上为减函数，在上为增函数， 当时，；当，；，. 则的值域为. 20. （1）已知函数，求函数的解析式. （2）已知函数的定义域为，求函数的定义域. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）通过换元法求解，设，则，代入得解； （2）由函数中的范围求出的范围，从而得到函数中的范围，计算出的范围就是函数的定义域. 【详解】解：（1）设，则，，代入， 可得，所以. （2）由得， 则的定义域为； 则中必满足， 整理得， 解得， 则的定义域为. 21. 某科研团队对某一生物生长规律进行研究,发现其生长蔓延的速度越来越快.开始在某水域投放一定面积的该生物,经过2个月其覆盖面积为18平方米,经过3个月其覆盖面积达到27平方米.该生物覆盖面积(单位：平方米)与经过时间个月的关系有两个函数模型与可供选择. （1）试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的函数解析式; （2）问约经过几个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍(参考数据:) 【答案】（1）应选更合适，函数解析式为 （2） 【解析】 【分析】 （1）因为函数中,随的增长而增长的速度越来越快,而函数中,随的增长而增长的速度越来越慢,根据已知条件应选更合适,结合已知,即可求得该模型的函数解析式; （2）由（Ⅰ）知,当时,,所以原先投放的此生物的面积为8平方米,设经过个月该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍,则有,即可求得答案. 【详解】（1） 函数中,随的增长而增长的速度越来越快, 而函数中,随的增长而增长的速度越来越慢, 根据已知条件应选更合适 由已知得,解得 函数解析式为 （2）由（1）知,当时,,所以原先投放的此生物的面积为8平方米; 设经过个月该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍, 有 解得 约经过个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍. 【点睛】本题考查了求解模型解析式和求解指数方程,解题关键是掌握函数的基础知识解题关键,考查了分析能力和计算能力. 22. 已知函数. （1）解不等式； （2）若函数在上有零点，求的取值范围； （3）若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，通过换元，将原不等式转化为关于的一元二次不等式，再求解即可； （2）设，通过换元，将函数在上有零点转化为在上有解，利用二次函数求出的值域即可得解； （3）通过解方程组求出和的解析式，通过换元，将原不等式转化为在上恒成立，再利用对勾函数求出的最大值即可得解. 【小问1详解】 设，，原不等式可化为， 整理可得，解得， 即，解得， 所以不等式的解集为； 【小问2详解】 设，由可得， 则在上有零点等价于在上有解， 也即在上有解， 令，由二次函数的知识可得， 当时，；当时，， 所以函数的值域为，故的取值范围为； 【小问3详解】 由题意可得①，②， 联立①②可解得. 不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，因为函数在上单调递增，所以， 所以在上恒成立. 由对勾函数可知在上单调递增， 所以当时，有最大值， 所以即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第三中学高2026届高一12月月考 数学学科能力测试 考试时间120分钟，满分150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的选项中，符合题目仅有一项） 1. 设，且，若集合，则为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的最小值是（ ） A. 不存在 B. 2 C. 1 D. 0 3. 下列命题中，真命题是（ ） A. B. ； C. ， D. 若，则 4. 如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（） A. B. C. D. 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是奇函数，是偶函数，则 A. B. C. D. 3 7. 已知方程与方程的实数解分别是，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题每小题5分，共20分.每小题有多个选项符合题目要求） 9. 已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中正确的有（ ） A. 是第一象限角 B. 若与的终边关于轴对称，则 C. 若，且角与角的终边相同，则的值是或 D. 终边在直线上的角的集合可以表示为 11. 给出下列命题，其中的正确命题是（ ） A. 的值可以对函数用二分法求得其近似值； B. 函数在定义域上单调递减 C. 是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数或 D. 函数与的图象关于直线对称 12. 已知函数，下列是关于函数的零点个数的判断，其中正确的是（） A. 当时，有个零点 B. 当时，有个零点 C. 当时，有个零点 D. 当时，有个零点 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 有四个幂函数：①；②；③；④某同学研究了其中的一个函数，并给出了这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是的子集；（3）在上单调递增.则他研究的函数是___________填序号. 14. 已知函数且的图像恒过定点，则______. 15. 若某扇形的面积为，半径为，弧长满足，则该扇形圆心角的弧度数是___________ 16. 函数，令，则不等式的解集是___________. 四、解答题（本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：. 18. 图中质点在半径为的圆周上逆时针运动，其初始位置为. （1）指出终边落在直线上的角的集合； （2）当第次运动到位置时，求质点所经过的弧长和该弧长所在的扇形的面积. 19. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的值域. 20. （1）已知函数，求函数的解析式. （2）已知函数的定义域为，求函数的定义域. 21. 某科研团队对某一生物生长规律进行研究,发现其生长蔓延的速度越来越快.开始在某水域投放一定面积的该生物,经过2个月其覆盖面积为18平方米,经过3个月其覆盖面积达到27平方米.该生物覆盖面积(单位：平方米)与经过时间个月的关系有两个函数模型与可供选择. （1）试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的函数解析式; （2）问约经过几个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍(参考数据:) 22. 已知函数. （1）解不等式； （2）若函数在上有零点，求的取值范围； （3）若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $