精品解析：云南省昆明市第一中学西山学校2026-2027学年高一上学期9月质量检测数学试卷

昆一中西山学校高2029届2026~2027学年秋季学期9月质量检测 高一数学试卷 （全卷四个大题，共19小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟） 命题、审题人：蔡永刚、吴绍龙 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、班级、座位号填写在答题卡及试卷上，并在答题卡的规定位置用2B铅笔准确填涂准考证号. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交予监考教师，试卷自行妥善保管. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的. 1. 已知集合，则＝（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 ，则 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知集合，，且，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（   ） A. B. C. 1或-1 D. 4 8. 对于集合，，定义，且，，设，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得的0分． 9. 设，若，则实数的取值可以是 （ ） A. 0 B. C. 1 D. 3 10. 若关于的不等式恰有4个整数解，则（ ） A. 的值可以是 B. 的值不可能是 C. 的最大值是8 D. 的最小值是7 11. 下列选项正确的是（ ） A. 若正实数，满足，则 B. 若，则的最小值为 C. 若正实数，满足，则的最大值为 D. 若正数，满足，且，则，均为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 定义集合，若集合，，则集合中包含______个元素． 13. 若，则的取值范围_____________． 14. 已知，，，．若命题p，命题q至少有一个为真命题，则实数m的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解下列不等式： （1）； （2）； （3） 16. 根据题意，求解下列问题： （1）已知，求的最小值，并求出取最小值时的值； （2）已知，求的最大值，并求出取最大值时的值； （3）已知，，且，若恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知集合，， （1）若，求实数的值． （2）若，求实数的取值范围． 18. 已知函数． （1）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集； （3）若且方程有两个正实数根，求的最小值． 19. 通过前面一个月的学习，大家认识了一个朋友：基本不等式.即当时有（当且仅当时不等式取“＝”）.我们称为正数a，b的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数.这只是均值不等式的一个简化版本.均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由Chebycheff在1882年发表的论文中首次提出.均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式.它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系.它表明：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等. （1）写出时算术平均数与几何平均数之间的关系，并写出取等号的条件（无需证明）； （2）利用你写出的式子，求的最小值； （3）如图，把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子.问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆一中西山学校高2029届2026~2027学年秋季学期9月质量检测 高一数学试卷 （全卷四个大题，共19小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟） 命题、审题人：蔡永刚、吴绍龙 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、班级、座位号填写在答题卡及试卷上，并在答题卡的规定位置用2B铅笔准确填涂准考证号. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交予监考教师，试卷自行妥善保管. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的. 1. 已知集合，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由绝对值不等式可得，即； 已知，因此. 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 ，则 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例排除A、B、C三个错误选项，再结合不等式的基本性质判断D选项正确. 【详解】对于A：若取，，满足，但，，，故A错误； 对于B：若取，，满足，但，故B错误； 对于C：若取，，满足，但，故C错误； 对于D：由可知，即，由不等式的性质可得，故D正确. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】运用充分条件和必要条件的概念判定即可. 【详解】“”不一定得到“”，如，但是“”一定得到“”. 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B.   4. 已知集合，，且，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合B中元素都属于A求解，注意进行检验特别是元素的互异性. 【详解】若，则，此时，不合题意， 若，则或，时，不合题意，时，满足题意. 所以，从而的取值集合为. 5. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵ ，，且， ∴ ， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，，满足，等号可取. ∴的最小值为. 6. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过对进行分类讨论来求解不等式恒成立问题. 【详解】首先，若，明显不恒成立. 若，恒成立. 若，可知当时最大， 所以即可， 解得. 所以综上所述，. 7. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（   ） A. B. C. 1或-1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，且，解得， 因为，所以，解得或（舍去）. 所以实数的值为. 8. 对于集合，，定义，且，，设，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先求解集合、的值域，再根据新定义运算分别计算和，最终求两者的并集得到结果. 【详解】对于集合，根据二次根式的非负性，，因此 ，即. 对于集合，由可得，因此，即 因为，且，所以，. 又因为，所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得的0分． 9. 设，若，则实数的取值可以是 （ ） A. 0 B. C. 1 D. 3 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，求得，且， 分和，两种情况讨论，列出方程，即可求解. 【详解】由集合，因为，所以， 当时，即方程无实根，可得； 当时，可得， 若，解得，此时，满足； 若，解得，此时，满足， 综上可得，实数的值可以是或或. 故选：ABC. 10. 若关于的不等式恰有4个整数解，则（ ） A. 的值可以是 B. 的值不可能是 C. 的最大值是8 D. 的最小值是7 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二次方程根的大小讨论，求出解集，然后利用解集中恰有4个整数解建立不等式即可求解. 【详解】令，解得或. 当时，不等式的解集为，则； 当时，不等式无解，所以不符合题意； 当时，不等式的解集为，则. 综上，的取值范围是. 对照选项知的值可以是，的最大值是8正确. 故选：AC 11. 下列选项正确的是（ ） A. 若正实数，满足，则 B. 若，则的最小值为 C. 若正实数，满足，则的最大值为 D. 若正数，满足，且，则，均为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式的性质、二次函数最值、不等式放缩等方法逐项判断，注意基本不等式取等号的条件是否满足. 【详解】选项A：正实数满足，由基本不等式， 可得，当且仅当时取等号，A正确； 选项B：令，则，原式转化为， 由基本不等式得，但等号成立条件为，与矛盾，等号无法取到，B错误； 选项C：由，得， 则， 当时，取最大值为，选项C正确； 选项D，因为正数，满足，则， 前面等号在时取到，后面等号当且仅当，即①时取等号， 又因为，所以，即， 又因为，所以②， 由①②得，，即，均为定值，选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 定义集合，若集合，，则集合中包含______个元素． 【答案】3 【解析】 【分析】利用定义作集合运算，注意元素的互异性即可. 【详解】因为集合，， 根据定义可得， 所以集合中包含3个元素， 故答案为：3 13. 若，则的取值范围_____________． 【答案】5＜＜10. 【解析】 【分析】用已知形式表示未知，设，解出的值，再分别求出范围，利用同向不等式可加性求解. 【详解】由题设，， 则，解得，所以， ， 所以. 故答案为：5＜＜10. 【点睛】此题考查不等式的相关性质，通过已知代数式的范围求未知代数式的范围，一定用已知代数式表示出未知代数式，切不可通过加减关系分别求出两个字母的范围再求解. 14. 已知，，，．若命题p，命题q至少有一个为真命题，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：根据题意得真或真，再依次分析真和真时的的取值范围，最后求并集即可得答案；方法二：若命题p，q均为假命题，求出的范围，再求补集即可. 【详解】方法一：当p是真命题时，；当q是真命题时，方程的判别式，解得．因此，当命题p，命题q至少有一个为真命题时，或，即． 方法二：若命题p，q均为假命题，则m需满足解得．则当命题p，命题q至少有一个为真命题时，． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解下列不等式： （1）； （2）； （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由得，即，故或， 故的解集为. 【小问2详解】 由得，故， 故的解集为. 【小问3详解】 由得，即，即， 解得，故不等式的解集为. 16. 根据题意，求解下列问题： （1）已知，求的最小值，并求出取最小值时的值； （2）已知，求的最大值，并求出取最大值时的值； （3）已知，，且，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 最小值为，此时 （2） 最大值为，此时 （3） 【解析】 【分析】（1）变形配凑，利用基本不等式求最小值； （2）分子分母同除以，借助基本不等式求分母最小值，进而得到函数最大值； （3）利用乘法求的最小值，再用恒成立条件转化为一元二次不等式求解参数范围. 【小问1详解】 由得，将函数变形为： ， 根据基本不等式，得： ， 因此，当且仅当时等号成立，解得（舍去，不符合的条件）， 故的最小值为12，此时. 【小问2详解】 由，将函数分子分母同除以得： . 根据基本不等式得，当且仅当即时等号成立. 因此分母，故，故的最大值为，此时. 【小问3详解】 已知且，利用乘1法构造代数式： ， 根据基本不等式得，当且仅当，结合， 解得时等号成立，因此的最小值为. 由恒成立条件得，即，因式分解得，解得， 故实数的取值范围为. 17. 已知集合，， （1）若，求实数的值． （2）若，求实数的取值范围． 【答案】⑴；⑵或 【解析】 【分析】(1)由，则得，求出实数的值 (2)由，则，然后分类讨论求出结果 【详解】⑴由意得，所以 ⑵因为，所以，所以或或或 当时，，解得； 当 时，解得； 当 时，无解； 当 时，解得； 综上得：或 【点睛】本题考查了集合的并集和交集的转化，将题目中的语句转化为子集问题然后求出结果，在求解过程中不要漏掉空集情况的讨论． 18. 已知函数． （1）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集； （3）若且方程有两个正实数根，求的最小值． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集 为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解 集为. （3） 【解析】 【分析】（1）将原不等式整理为标准二次不等式，分二次项系数为和不为两种情况，结合恒成立条件求的取值范围； （2）对不等式左边因式分解，根据的不同取值比较对应方程两根大小，分类求解不等式解集； （3）代入整理方程，利用韦达定理将所求代数式转化为关于参数的函数，结合正根条件确定的范围，再用基本不等式求最小值. 【小问1详解】 由题意对任意恒成立，整理得恒成立： ① 当时，不等式为，恒成立，符合条件； ② 当时，需满足，解得. 综上，实数的取值范围. 【小问2详解】 不等式因式分解得，分类讨论： ① 当时，，解集为； ② 当时，不等式化为，解得，解集为； ③当时，，解集为； ④当时，不等式化为，解集为； ⑤当时，，解集为. 综上可得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 当时，原方程整理为， 设两根为，由韦达定理得，， 因方程有两个正实根，恒成立， 故只需满足，即，解得. 所求代数式变形为 ， 代入韦达定理结果得， 令（），则，代入得， 由基本不等式得，当且仅当即（舍去）时等号成立， 此时满足，故的最小值为. 19. 通过前面一个月的学习，大家认识了一个朋友：基本不等式.即当时有（当且仅当时不等式取“＝”）.我们称为正数a，b的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数.这只是均值不等式的一个简化版本.均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由Chebycheff在1882年发表的论文中首次提出.均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式.它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系.它表明：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等. （1）写出时算术平均数与几何平均数之间的关系，并写出取等号的条件（无需证明）； （2）利用你写出的式子，求的最小值； （3）如图，把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子.问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 【答案】（1） 当时，若，可得， 即算术平均数与几何平均数的关系为，当且仅当时，等号成立. （2） （3）切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大， 【解析】 【分析】（1）由题意得，当，，即可求解； （2）由（1），当时，，即可求解； （3）设小正方形的边长为，得到盒子的容积为则，利用不等式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）中，当，可得， 可得时，， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【小问3详解】 解：设小正方形的边长为，则盒子高为，底边边长为， 可得盒子的容积为，其中， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大，最大容积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $