精品解析：四川绵阳市盐亭县盐亭四校联考2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026年秋八年级上学期第一阶段学情调查 （数学） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题只有一个选项符合题目要求． 1. 传统建筑中的窗格样式丰富，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．小红设计了下列窗格图案，其中可以看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A， B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 2. 在中，边的对角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 【详解】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 3. 已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在三边长为3，a，7的三角形，则a的整数解有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式组，依据不等式组至少有两个整数解，得到，再根据存在以3，a，7为边的三角形，可得，进而得出a的取值范围，即可得到a的整数解个数． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组至少有两个整数解， ∴； 又∵存在以3，a，7为边的三角形， ∴，即， ∴a的取值范围是， ∴a的整数解有4个． 4. 如图所示的“画图仪”由两根有轨道槽的木条，组成，两根木条在点Q处相连并可绕点Q转动，另有长度与相等的两根木条，，其中木条的一端S固定在木条上的相应位置，木条可绕点S转动，分别调整点M和点T在相应轨道槽中的位置可改变的大小．若小华同学借助“画图仪”画图，摆出的位置恰好满足时，下列判断正确的是（　　） A. B. 平分 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，，先由等边对等角得，再由外角得，结合推出，进而得，最终推出，即可验证得D选项正确． 【详解】解：由题意得，，， ， ， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故A选项错误； ∵，，两角不相等， ∴不平分，故B选项错误； ∵，且， ∴，故C选项错误； ，且， ∴，故D选项正确． 5. 如图，在中，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果正好经过的重心，那么等于（ ） A. 4 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，设的重心是，连接，延长交于，由三角形的重心的性质可得，再结合矩形的性质和平行线分线段成比例及余角的性质证明，即可推出． 【详解】解：设的重心是，连接，延长交于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，，， ， ． 故选：B． 6. 观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（ ） A. B. C. 是的中点 D. 点在点的北偏东方向上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图中的作角的平分线，根据尺规作图的画法可知：是的角平分线，，，进而求得，即可得出结论，掌握角尺规作角平分线的方法是解题的关键． 【详解】解：根据尺规作图的画法可知：是的角平分线，，， 故、正确，不符合题意； 、无法证明是的中点， 故不正确，符合题意； 、由题意知， ∴， ∴点在点的北偏东方向上， 故正确，不符合题意． 故选：． 7. 如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A. 3 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠性质，勾股定理，解答即可． 本题考查了折叠性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， 故选：A． 8. 下列命题是假命题的是（　　） A. 对顶角相等 B. 全等三角形的面积相等 C. 如果，那么 D. 三角形三个内角的和等于 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假判断，对顶角，全等三角形的性质，以及三角形内角和定理，解题关键在于熟记定义定理． 根据对顶角，全等三角形的性质，不等式以及三角形内角和定理逐一判断即可． 【详解】解：由对顶角性质可知对顶角相等，A选项是真命题； 由全等三角形能够完全重合可知，两个全等的三角形面积相等，B选项是真命题； 由，可知或，C选项是假命题； 三角形三个内角的和等于，D选项是真命题； 故选：C． 9. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，速度为V，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，若存在某一时刻使与全等，则V为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题（一元一次方程的应用），全等三角形的性质等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 分、两种情形，分别求出速度为V． 【详解】解：设点Q的运动速度为， 由题意得：，，， ∵， ∴当时，，， 即：，， 解得：，， 所以点Q的运动速度为； 当时，，， ∴， 解得：， ∴， 解得：， 所以点Q的运动速度为， 综上，点Q的运动速度为或， 故选：D． 10. 如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，同高三角形的面积比，理解“同高三角形面积比等于底的比”是解题关键． 先由得，根据两个三角形的面积比推出，再由推出，最后由“同高三角形的面积比等于底的比”得出结果． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 与的高相等， ． 故选：． 11. 将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 12. 已知：如图，点C为线段上一点，、是等边三角形．下列说法：①；②；③平分；④；⑤，正确的有几个？（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】先利用手拉手模型证，即可得，①正确；再证，说明⑤正确，根据全等三角形的性质可得，，，证明是等边三角形，得出，根据平行线的判定说明②正确；过点C作于点P，于点Q，证明，说明点C在的角平分线上，可得③正确；无法证明④正确． 【详解】解：和是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， 即， 点C为线段上一点， 且， ∴， ， 在和中， ， ，故⑤正确； ，，， ，且， 是等边三角形， ， ，故②正确； 过点C作于点P，于点Q，如图所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴点C在的角平分线上， ∴平分，故③正确； 无法证明，故④错误； 综上，正确的是①②③⑤共4个． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．将答案填写在答题卡相应的横线上． 13. 在三角形中，①中线、②内角平分线、③高，一定在三角形内部的线段是_________．（填序号） 【答案】①② 【解析】 【分析】根据三角形中线，内角平分线，高的定义，分别判断三类线段在三角形中的位置，即可得到结果． 【详解】根据三角形相关定义可知，三角形的中线是顶点到对边中点的线段，任意三角形的中线都在三角形内部，三角形的内角平分线是三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段，任意三角形的内角平分线都在三角形内部； 对于三角形的高：锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形有两条高与直角边重合，钝角三角形有两条高在三角形外部，因此高不一定在三角形内部． 因此一定在三角形内部的线段是①②． 14. 如图，已知两个三角形全等，则_______． 【答案】##72度 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵两个三角形全等，且右边三角形中对的边为a， ∴由左边的三角形图可得． 15. 若一个多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形是 ___________边形． 【答案】九 【解析】 【分析】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题的关键．据此求解即可； 【详解】解：一个多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形的边数为， 故答案为：九． 16. 如图，，则的度数为_________． 【答案】60 【解析】 【分析】利用外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：由图可知， ∵， ∴； 故答案为：60． 【点睛】本题考查三角形的外角．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，是解题的关键． 17. 如图，在等腰中，，，点E以每秒1个单位从点A移到点B，点F以每秒1个单位从点D移到点A，则四边形面积的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用及三角函数、等腰三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握二次函数的应用及三角函数、等腰三角形的性质是解题的关键；设点E的运动时间为t秒，由题意易得，，过点F作于点H，过点D作于点G，则有，，然后根据三角函数及三角形面积可得到二次函数关系式，进而问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 过点F作于点H，过点D作于点G，如图所示： 设点E的运动时间为t秒，由题意得：， ∴，， ∴， ∴， ∵，且， ∴当时，四边形的面积为最小，最小值为； 故答案为：． 18. 如图，在中，，．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交，于点F，G．以G为圆心，长为半径画弧，交于点H，连接，．则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及基本作图的应用，解题的关键是根据作图步骤得出线段和角的等量关系，结合三角形内角和定理进行角度计算． 由作图可知是的垂直平分线，故以G为圆心、为半径画弧得从而利用等腰三角形性质得到角的等量关系，结合三角形内角和定理推出相关角的和为；根据及得出的度数，进而计算出的度数；最后利用三角形外角性质求出的度数． 【详解】解：由题意得到：垂直平分， ∴，又由作图知， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 如图，把两根长度不相等钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），测量出的长度就是要测量的的长度，请说明理由． 【答案】 证明：连接，，如图， 点分别是、的中点， ，， 在和中， ， ． ． 所以需要测量的长度，即为工件内槽宽． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等．根据测量两点之间的距离，根据全等的条件之一证得，即可得到，进而得出答案． 【详解】略 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点． （1）在图中作出关于直线对称的； （2）的面积为______；（直接写答案） （3）用直尺在直线上找一点，使的长最短． 【答案】（1） （2）7 （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）利用“割补法”将的面积转化为一个长方形面积减去3个直角三角形的面积求解即可； （3）根据对称性将转化为，得知的长度为的长度最短． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：连接交于点，点即为所求作， 图略， 由图可知，点与点关于直线对称， ∴， 则， ∴最短为． 21. 王晓想测量一棵树的高度，如图，树干上的处开始有分枝长出，王晓在地面上的点处测得，他操控一架无人机，使无人机停留在空中点处时，恰好测得，，且、、三点在一条直线上，、、三点在一条直线上，点在的延长线上，若米，米，于点，请你求出这棵树的高度． 【答案】11米 【解析】 【分析】先根据和判定为等腰直角三角形，得到；再利用对顶角相等结合已知边相等，用证明，推出；最后由线段和差关系得到，代入线段长度计算出树高． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∵米，米， ∴（米）， ∴米， 答：这棵树的高度为米． 22. 在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． （1）已知点的坐标为． ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； （2）若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 【答案】（1）①；②或 （2）4 【解析】 【分析】（1）①根据“等距点”的定义作答即可；②根据“等距点”的定义列出方程及的取值范围，再计算即可； （2）根据“等距点”的定义求出，或，，根据面积法列方程计算即可． 【小问1详解】 ①解：点到x，y轴的距离中的最大值为4， 到x，y轴的距离中的最大值为，不是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 综上，与点为“等距点”的是； ②解：∵A，M两点为“等距点” ∴或且， 解得：或或且 ∴或， ∴点的坐标为或； 【小问2详解】 解：∵点与点两点为“等距点”， ∴或， 解得：， ∴，或，（舍去）或，或，（舍去）， ∴，或，， 当，时，如图所示： ∴，即的值为； 当，时， 同理，得， 即的值为． 23. 如图，在中，，平分，于点M，交于点G，平分，交于点，交于点． （1）判断直线与直线之间的位置关系，并说明理由； （2）若，找出图中的等边三角形，并说明理由； （3）在（2）的一个等边三角形中有_____条对称轴，正六边形又有_____条对称轴？ 【答案】（1） 解：垂直平分，理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴垂直平分； （2） 解：、是等边三角形．理由： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ∵在中，， 在中，， ∴， ∴是等边三角形； （3）3，6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据余角的性质即可得到；由角平分线的定义，得到，根据三角形的外角的性质得到，推出是等腰三角形，于是得到结论； （2）根据，，可得，，进而得到，，依据，可得是等边三角形；根据，即可得到是等边三角形； （3）根据轴对称图形的概念，正三角形有三条对称轴，正六边形有6条对称轴． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据轴对称图形的概念，正三角形有三条对称轴，正六边形有6条对称轴． 故答案为：3，6． 24. 【综合与实践】数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究动点线段之间的关系．已知在中，，，，点D从点C出发在直线上速度运动，连接，在直线的右侧作，且，连接，设运动时间为． （1）【思考尝试】如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系：______，______． （2）【深入探究】如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； （3）“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点D运动的过程中，如果，请直接写出线段的长为______； （4）【拓展应用】当t为何值时，的面积为． 【答案】（1）， （2） 解：成立．理由如下： ∵， ， ， 在和中， ， ， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴，即， ∴； （3）3或13 （4）当t为1或7时，的面积为． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的全等的判定与性质，一元一次方程的应用． （1）由证明可得出的数量和位置关系； （2）同（1）方法证明，可得出结论； （3）分两种情况：①当点在上时，②当点在延长线上时，逐个分析求解即可； （4）作于点，利用三角形面积公式求得，再分两种情况：①当点在上时，②当点在延长线上时，逐个分析求解即可． 【小问1详解】 解：，． 证明：，， ，， 在与中， ， ， ，， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当点在上时，如图， 由（1）可知， ， ； ②当点在延长线上时，如图， 由（2）可知，， ， ， 故答案为：3或13； 【小问4详解】 解：作于点， ∵中，，，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得， ∵点D从点C出发在直线上速度运动， 设运动时间为， ∴， ①当点在上时，， ∴； ②当点在延长线上时，， ∴； 综上，当t为1或7时，的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋八年级上学期第一阶段学情调查 （数学） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题只有一个选项符合题目要求． 1. 传统建筑中的窗格样式丰富，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．小红设计了下列窗格图案，其中可以看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，边的对角是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在三边长为3，a，7的三角形，则a的整数解有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 如图所示的“画图仪”由两根有轨道槽的木条，组成，两根木条在点Q处相连并可绕点Q转动，另有长度与相等的两根木条，，其中木条的一端S固定在木条上的相应位置，木条可绕点S转动，分别调整点M和点T在相应轨道槽中的位置可改变的大小．若小华同学借助“画图仪”画图，摆出的位置恰好满足时，下列判断正确的是（　　） A. B. 平分 C. D. 5. 如图，在中，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果正好经过的重心，那么等于（ ） A. 4 B. 1 C. D. 6. 观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（ ） A. B. C. 是的中点 D. 点在点的北偏东方向上 7. 如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A. 3 B. C. D. 1 8. 下列命题是假命题的是（　　） A. 对顶角相等 B. 全等三角形的面积相等 C. 如果，那么 D. 三角形三个内角的和等于 9. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，速度为V，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，若存在某一时刻使与全等，则V为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 10. 如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则是（ ） A. B. C. D. 11. 将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 已知：如图，点C为线段上一点，、是等边三角形．下列说法：①；②；③平分；④；⑤，正确的有几个？（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．将答案填写在答题卡相应的横线上． 13. 在三角形中，①中线、②内角平分线、③高，一定在三角形内部的线段是_________．（填序号） 14. 如图，已知两个三角形全等，则_______． 15. 若一个多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形是 ___________边形． 16. 如图，，则的度数为_________． 17. 如图，在等腰中，，，点E以每秒1个单位从点A移到点B，点F以每秒1个单位从点D移到点A，则四边形面积的最小值为______． 18. 如图，在中，，．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交，于点F，G．以G为圆心，长为半径画弧，交于点H，连接，．则__________． 三、解答题：本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 如图，把两根长度不相等钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），测量出的长度就是要测量的的长度，请说明理由． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点． （1）在图中作出关于直线对称的； （2）的面积为______；（直接写答案） （3）用直尺在直线上找一点，使的长最短． 21. 王晓想测量一棵树的高度，如图，树干上的处开始有分枝长出，王晓在地面上的点处测得，他操控一架无人机，使无人机停留在空中点处时，恰好测得，，且、、三点在一条直线上，、、三点在一条直线上，点在的延长线上，若米，米，于点，请你求出这棵树的高度． 22. 在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． （1）已知点的坐标为． ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； （2）若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 23. 如图，在中，，平分，于点M，交于点G，平分，交于点，交于点． （1）判断直线与直线之间的位置关系，并说明理由； （2）若，找出图中的等边三角形，并说明理由； （3）在（2）的一个等边三角形中有_____条对称轴，正六边形又有_____条对称轴？ 24. 【综合与实践】数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究动点线段之间的关系．已知在中，，，，点D从点C出发在直线上速度运动，连接，在直线的右侧作，且，连接，设运动时间为． （1）【思考尝试】如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系：______，______． （2）【深入探究】如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； （3）“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点D运动的过程中，如果，请直接写出线段的长为______； （4）【拓展应用】当t为何值时，的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $