精品解析：江苏省建湖高级中学2026-2027学年高一上学期学情检测（一）数学试题（1-3班）

2026级高一年级学情检测（一） 数 学 试 卷（1-3班） 命题人：刘友明 审题人：路长育 总分：150分 时间：120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.25 0.375 0.4375 0.3125 0.34375 0.32813 -1 3 0.625 -0.23438 0.17773 0.39624 -0.03198 0.07187 0.01972 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（ ） A. B. C. D. 6. 某观光种植园开设草莓自摘活动，使用一架两臂不等长的天平称重．一顾客欲购买2的草莓，服务员先将1的砝码放在天平左盘中，在天平右盘中放置草莓A使天平平衡；再将1的砝码放在天平右盘中，在天平左盘中放置草莓B使天平平衡；最后将两次称得的草莓交给顾客．你认为顾客购得的草莓是（ ） A. 等于2 B. 小于2 C. 大于2 D. 不确定 7. 定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（ ） A. B. 1 C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 半径为2，圆心角为1弧度的扇形面积为1 B. 若是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角 C. 若角的终边过点，则 D. 命题：，的否定是：， 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 图象关于点对称 B. 图象关于直线对称 C. 若，则的最小值为 D. 若，则或 11. 已知实数a，b，c，满足，则下列关系式中能成立的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象经过点，那么________. 13. 如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心距离水面米.以圆心为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间.点距离水面的高度米，表示为时间秒的函数解析式为__________. 14. 已知函数，若函数有四个零点，则的取值范围为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 求解下列问题： （1）求值：； （2）已知，求的值． 16. 已知函数的最小值为1，最小正周期为，且的图象关于直线对称． （1）求的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，求函数的单调递减区间． 17. 命题：关于的方程有两个相异负根．命题：关于 的不等式对恒成立． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若这两个命题中，有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 18. 已知函数. （1）求证：为偶函数； （2）①存在，使得成立，求实数的取值范围； ②若方程在上有两个不等的实数根，求的取值范围. 19. 已知函数的最小正周期为. （1）求函数在区间上的单调递增区间； （2）若关于的方程，，在区间上有三个不同解，求及的值； （3）已知函数的最小值为1； ①求的值； ②若，，，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级高一年级学情检测（一） 数 学 试 卷（1-3班） 命题人：刘友明 审题人：路长育 总分：150分 时间：120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的知识求得正确答案. 【详解】依题意. 故选：C 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分，必要条件的定义判定即可. 【详解】因为，即充分性成立， 当，可知，此时不成立，即必要性不成立， 故“”是“”的是充分不必要条件. 故选：B 3. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角的范围，确定的符号.然后根据正余弦的关系，即可求出答案. 【详解】因为，所以. 又，所以. 故选：D. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数单调性可得，分析可得，再结合特殊角的三角函数值比较大小. 【详解】因为，，， 所以. 故选：B. 5. 已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.25 0.375 0.4375 0.3125 0.34375 0.32813 -1 3 0.625 -0.23438 0.17773 0.39624 -0.03198 0.07187 0.01972 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果 【详解】由题意可知，对区间内，设零点为， 因为，，，所以，此时区间长度为， 又，，所以，此时区间长度为， 又，，所以，此时区间长度为 又，，所以，此时区间长度为， 所以满足条件的零点的一个近似值可取为，共计算4次. 故选：C 6. 某观光种植园开设草莓自摘活动，使用一架两臂不等长的天平称重．一顾客欲购买2的草莓，服务员先将1的砝码放在天平左盘中，在天平右盘中放置草莓A使天平平衡；再将1的砝码放在天平右盘中，在天平左盘中放置草莓B使天平平衡；最后将两次称得的草莓交给顾客．你认为顾客购得的草莓是（ ） A. 等于2 B. 小于2 C. 大于2 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，结合基本不等式求得正确答案. 【详解】设天平左臂长，右臂长，且， 设草莓有，草莓有千克， 所以， 所以. 故选：C 7. 定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题由奇函数及导数求函数是单调递增的函数，可直接转换为，由单调递增直接转变为，通过换元解一元二次不等式即可. 【详解】因为函数在上满足， 所以函数在上为奇函数， 当时，， ， 因为，所以， 所以， 函数在上为奇函数， 所以函数在上单调递增， 等价于， 所以，即， 所以，令， 即，解得， 所以，即. 8. 已知函数，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令 ，把条件转化为相位区间内不含使 的点 ，由此求出 的可取范围，再判断各选项． 【详解】令 ． 当 时，． 因为 当且仅当 ，所以题设要求上述开区间内不含任何 ． 因此存在 ，使 ，且 ． 化简得 ． 结合 可知只有 或 时有解． 当 时，； 当 时，． 故 ． 又 ，所以 ； 而 ． 因此 均可能取到，只有 不可能取到． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 半径为2，圆心角为1弧度的扇形面积为1 B. 若是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角 C. 若角的终边过点，则 D. 命题：，的否定是：， 【答案】BD 【解析】 【详解】 选项A：扇形的面积为，A错误； 选项B：若是第二象限角，则满足， 所以，所以是第一象限角或第三象限角，B正确； 选项C，，C错误； 选项D，命题：，的否定是：，，D正确。 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 图象关于点对称 B. 图象关于直线对称 C. 若，则的最小值为 D. 若，则或 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A，将代入函数得， 因此图象不关于点对称，A错误； 选项B：是的最大值，因此图象关于直线对称，B正确； 选项C：的最小正周期， 说明是最大值点，说明是最小值点， 相邻最大值点和最小值点的水平距离最小为，即的最小值为，C正确； 选项D：由得或， 分别解得或，D正确. 11. 已知实数a，b，c，满足，则下列关系式中能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】应用指数对数转换，再结合指数函数及对数函数的图象数形结合求解. 【详解】设，则， 比较即可，画出函数图象，设，， 当时，，所以，A选项正确； 当时，，所以，B选项正确； 当时，，所以，C选项正确； 当时，，所以，D选项不正确； 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象经过点，那么________. 【答案】 【解析】 【分析】先将点代入函数求出，进而可得. 【详解】将点代入得， 所以. 所以. 故答案为：. 13. 如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心距离水面米.以圆心为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间.点距离水面的高度米，表示为时间秒的函数解析式为__________. 【答案】 【解析】 【详解】设点距离水面的高度与时间的函数关系式为， 水轮每分钟逆时针转动5圈，即周期, 所以角速度, 水轮的半径为1米， 所以点相对于圆心的垂直距离最大为1米，故振幅； 因为点 恰好从水中浮现，此时点距离水面的高度为， 又因为圆心距离水面米，所以，点 的初始纵坐标为， 由题意可知，点在第四象限，且， 为了满足点接下来向上运动（即逆时针旋转），初相， 所以. 14. 已知函数，若函数有四个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，由可得，令，数形结合可知函数在上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】令，由可得，令， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，直线与函数图象的交点个数为； 当时，直线与函数图象的交点个数为. 因为函数有四个零点， 则函数有两个不等的零点、，且、， 由二次函数的零点分布可得，解得. 故实数的取值范围是. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 求解下列问题： （1）求值：； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂、根式和对数的运算性质化简； （2）利用诱导公式及 求值． 【小问1详解】 因为 ，所以 ； 又 ， ． 所以原式= ． 【小问2详解】 由诱导公式，，，且． 因此原式= ． 代入 ，得原式= ． 16. 已知函数的最小值为1，最小正周期为，且的图象关于直线对称． （1）求的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，求函数的单调递减区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)先利用三角函数的最值、周期、对称轴性质求解的解析式； (2)再根据图像平移规则得到的表达式，最后用整体代入法求的单调递减区间. 【小问1详解】 由，的取值范围为，可知的最小值为， 结合题意最小值为1，得，解得； 由最小正周期，得，解得，此时； 因的图象关于直线对称，需满足， 解得， 又，取，得，因此. 【小问2详解】 将向左平移个单位长度，得， 由正弦函数的单调递增区间为， 令，得 ，解得。 因此的单调递减区间为. 17. 命题：关于的方程有两个相异负根．命题：关于 的不等式对恒成立． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若这两个命题中，有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用二次函数的性质求命题为真命题时实数的取值范围； （2）先确定命题成立时实数的取值范围，再分类讨论求解得结果. 【小问1详解】 命题：关于的方程有两个相异负根． 则，解得：. 若命题为真命题，则实数的取值范围为. 【小问2详解】 命题：关于的不等式对恒成立, ，解得：. 若这两个命题中，有且仅有一个是真命题， 若真假，，解得：， 若真假，，解得：， 综上：实数的取值范围为：. 18. 已知函数. （1）求证：为偶函数； （2）①存在，使得成立，求实数的取值范围； ②若方程在上有两个不等的实数根，求的取值范围. 【答案】（1）由得，即函数的定义域为. 又. 所以函数为偶函数. （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）先确定函数的定义域，再结合偶函数的概念进行证明. （2）①结合复合函数的单调性，求函数在的值域可得的取值范围. ②分情况讨论，去掉绝对值符号，再根据零点个数求的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因为. 所以. 则. 当时，，因为“双勾函数”：在上单调递增，所以. 又因为函数在上单调递增，所以， 所以. 即时，方程在内有解. 故. ②因为，所以. 所以方程. 下面讨论该方程在上实数根的情况： 设，则，则为奇函数； 且在上单调递增，. 所以当时，，方程可化为，即， 因为，所以至多有1解，此时； 当时，方程可化为，此时方程最多只有1解，且； 当时，，方程可化为， 因为函数在上单调递增，所以方程在上最多只有1解. 由. 综上，方程在上有两个不等的实数根，则. 19. 已知函数的最小正周期为. （1）求函数在区间上的单调递增区间； （2）若关于的方程，，在区间上有三个不同解，求及的值； （3）已知函数的最小值为1； ①求的值； ②若，，，求实数m的取值范围. 【答案】（1）， （2）， （3）①；②. 【解析】 【分析】（1）先根据函数的周期确定函数的解析式，再结合正弦函数的性质求其单调区间. （2）先确定的取值范围，再根据方程在给定区间上解的个数分析关于的方程的解的情况，结合正弦函数的性质，可求解. （3）①把问题转化成根据二次函数在给定区间上的最小值求的值； ②问题转化成，的最大值小于，的最大值，进而求实数m的取值范围. 【小问1详解】 由，所以. 由，，. 当时，；当时，. 所以函数在区间上的单调递增区间为，. 【小问2详解】 当时，，所以. 要使关于的方程在区间上有三个不同解， 因为只有1个解，有2个解. 所以是方程的解，所以， . 此时或， 方程的两个根关于直线对称，所以. 【小问3详解】 ①设，则函数，的最小值为1. 若，则为开口向下的抛物线， 在上的最小值为或. 由（不满足，故舍去）； 由， 此时，故不合题意，舍去. 若，则，与的最小值为1矛盾，故不合题意. 若，则. 当即时，或（舍去）. 当即时，（舍去）. 综上可得：. ②时，，，则. ，，， 所以，的最大值小于. 当时，，所以. 若，则，由； 若，则； 若，则，由. 综上可得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $