三角恒等变换讲义-2027届高三数学一轮复习

三角恒等变换 一、知识点梳理 （一）两角和与差公式 ，。 ，要求各角的正切都存在。 余弦公式是和差角公式的源头，正弦公式由 推出。 （二）二倍角公式及其变形 ，，。 降幂：，；升幂：，。 "二倍"是相对的： 是 的二倍， 是 的二倍。 （三）辅助角公式 ，其中 、。 降幂 + 辅助角是"化一角一函数"的标准两步，合并前必须保证两项是同一个角。 化到 后，周期、最值、单调区间、对称轴都能直接读出。 （四）恒等变换的三条路径 统一角：凑角、拆角，把已知角与所求角通过加减挂上。 统一名：弦切互化，二次齐次式同除 化为 。 统一次：降幂或升幂，缺次数时把常数 换成 补成齐次。 二、方法导语 三角恒等变换的题几乎都能归到一句：把式子化到"一个角、一个名、一次"。动笔前先看这三点里哪一点不统一，缺口就是突破口。 求值题优先凑角，化简题优先统一；两条路都走不通，再考虑积化和差。 做完一题自查三件事：凑出的角与已知角是否真的能对上（差是不是特殊角）；切化弦或弦化切时， 的情形有没有单独讨论；用辅助角公式时， 有没有算错、 的象限有没有按 定反。 三、典型例题 例1　两角和差：凑角求值 已知 ，，且 ，求 的值。 变式1　两角和差：凑角求角 已知 ，，且 ，，求 的值。 例2　二倍角：给值求二倍角 已知 为锐角，，求 与 的值。 变式2　二倍角：由和差求倍角 已知 ，，求 的值。 例3　齐次化：切弦互化 已知 ，求 的值。 变式3　齐次化：添常数项凑齐次 已知 ，求 的值。 例4　辅助角：化一角一函数 已知函数 ，求 的最小正周期与最小值。 变式4　辅助角：求单调递增区间 已知 ，求 的单调递增区间。 例5　恒等变换：非特殊角求值 求 的值。 变式5　恒等变换：和差化积配对 求 的值。 四、巩固练习 1．已知 ，求 的值。 2．已知角 的终边在第四象限，且 ，求 的值。 3．已知函数 ，求 在 上的值域。 4．已知 ，且 ，求 的值。 5．已知 、 均为锐角，，，求 的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角恒等变换 一、知识点梳理 （一）两角和与差公式 ，。 ，要求各角的正切都存在。 余弦公式是和差角公式的源头，正弦公式由 推出。 （二）二倍角公式及其变形 ，，。 降幂：，；升幂：，。 "二倍"是相对的： 是 的二倍， 是 的二倍。 （三）辅助角公式 ，其中 、。 降幂 + 辅助角是"化一角一函数"的标准两步，合并前必须保证两项是同一个角。 化到 后，周期、最值、单调区间、对称轴都能直接读出。 （四）恒等变换的三条路径 统一角：凑角、拆角，把已知角与所求角通过加减挂上。 统一名：弦切互化，二次齐次式同除 化为 。 统一次：降幂或升幂，缺次数时把常数 换成 补成齐次。 二、方法导语 三角恒等变换的题几乎都能归到一句：把式子化到"一个角、一个名、一次"。动笔前先看这三点里哪一点不统一，缺口就是突破口。 求值题优先凑角，化简题优先统一；两条路都走不通，再考虑积化和差。 做完一题自查三件事：凑出的角与已知角是否真的能对上（差是不是特殊角）；切化弦或弦化切时， 的情形有没有单独讨论；用辅助角公式时， 有没有算错、 的象限有没有按 定反。 三、典型例题 例1　两角和差：凑角求值 已知 ，，且 ，求 的值。 ①拆角　把所求的 写成已知角的差：。 ②求补角的正弦　由范围判断 、 都在 ，正弦都取正，用平方关系求出 与 。 ③套差角余弦公式　 展开后代入。 注：这类题的关键是"用已知角表示所求角"， 是本题唯一自然的拆法；求 、 时正负号由范围定，不能想当然取正。 【答案】。 因为 ，所以 。 由 得。 由 得。 由于 ，故 。 变式1　两角和差：凑角求角 已知 ，，且 ，，求 的值。 ①用和角正切求值　先算 ，用 。 ②由范围定象限　由 、 的范围估计 落在哪一段，再结合正切值的符号缩小到唯一的角。 ③写出结果　在该区间内找出正切等于所求值的唯一角。 【答案】。 。 因为 、，所以 。 又 ，所以 在第二象限， 即 ， 在此区间内正切为 的角只有 ，故 。 例2　二倍角：给值求二倍角 已知 为锐角，，求 与 的值。 ①求同角的正弦　由 为锐角知 ，用平方关系求出 。 ②用二倍角公式　，。 ③套和角余弦公式　。 注：给值求二倍角是基本功，第（2）问严格按"先算 的正余弦、再套和角公式"两步走。注意 的三种写法中，已知余弦时用 最省事。 【答案】，。 因为 为锐角，所以 。 由 得。 于是 。 又 。 由和角余弦公式， 。 变式2　二倍角：由和差求倍角 已知 ，，求 的值。 ①凑角　把 写成两个已知角的和：。 ②套和角正切公式　直接代入和角正切公式求值。 ③化简　分子分母合并同类项后约分。 【答案】。 因为 ，所以 。 例3　齐次化：切弦互化 已知 ，求 的值。 ①观察齐次结构　分子分母都是关于 、 的二次齐次式。 ②同除 　分子分母同除以 ，把整个式子化为只含 的式子。 ③代入求值　把 代入计算。 注：二次齐次式化正切的通用手法是"同除 "，做题时若分母出现 而分子只有一次，就把常数项看成 补成二次再除。 【答案】原式的值为 。 因为 存在，所以 。 分子分母同除以 ，得 原式 。 将 代入，得 。 故原式的值为 。 变式3　齐次化：添常数项凑齐次 已知 ，求 的值。 ①补成齐次式　把 看成 ，使整式变成二次齐次。 ②同除 　分子各项同除以 ，全部化为 的表达式。 ③代入求值　代入 计算。 【答案】。 因为 存在，所以 。 把常数 改写成 ，其中 ， 故原式 。 将前三项同除以 再乘回： ， 而 。 代入 ：。 所以原式 。 例4　辅助角：化一角一函数 已知函数 ，求 的最小正周期与最小值。 ①降幂　用 把二次项降成一次，式子中只留下 的正余弦。 ②辅助角合并　把 用辅助角公式合并成。 ③读性质　由 型函数的最小正周期与值域读出答案。 注：降幂 + 辅助角是"化一角一函数"的标准两步，做完这两步三角函数的所有性质（周期、单调、最值、对称轴）都能直接读出来。合并前必须保证所剩两项是"同一个角"。 【答案】最小正周期为 ，最小值为 。 。 对 用辅助角公式，， 取 、，即 ， 故 。 所以最小正周期 。 当 时 取最小值，最小值为 。 变式4　辅助角：求单调递增区间 已知 ，求 的单调递增区间。 ①辅助角合并　把 合并为 。 ②套正弦的单调区间　由 解出 的范围。 ③写成区间　整理成 的形式。 【答案】单调递增区间为 ，。 。 取 、，得 ， 故 。 由正弦函数的单调性，需 ，。 各式加 ，得 。 故单调递增区间为 ，。 例5　恒等变换：非特殊角求值 求 的值。 ①补因子造二倍角　把式子乘以 ，让 凑成 。 ②连用二倍角　依次用 ，角从 一路翻到 。 ③用诱导公式收尾　，与分母约掉，得出结论。 注：三个角成等比 的余弦连乘，固定套路是乘 后连用二倍角；若角是 这类等差数列，则改用积化和差两两配对。 【答案】。 。 分子中 ，于是 原式 。 继续用二倍角：。 因为 ， 所以原式 。 变式5　恒等变换：和差化积配对 求 的值。 ①两两积化和差　每一对乘积都用 展开。 ②合并同频余弦　把展开后的六个余弦按角分组，注意 、、 这些角的余弦可直接算。 ③用和差化积收回　剩下的 再两两配对求和。 【答案】原式的值为 。 。 。 。 三式相加得 原式 。 又 ，且 ， 所以 。 故原式 。 四、巩固练习 1．已知 ，求 的值。 【答案】。 因为 ，所以 ， 即 。 展开所求式子： 。 2．已知角 的终边在第四象限，且 ，求 的值。 【答案】。 因为 是第四象限角，所以 。 由 得， 从而 。 由二倍角正切公式， 。 3．已知函数 ，求 在 上的值域。 【答案】 的值域为 。 。 当 时，。 在 上， 先增到 再减到 ， 又左端 ，故最小值在左端取到，为 。 所以 的值域为 。 4．已知 ，且 ，求 的值。 【答案】。 由 两边平方，得 ，所以 。 因为 ，，由 得 ，故 是第二象限角。 于是 。 又 ， 所以 。 5．已知 、 均为锐角，，，求 的值。 【答案】。 由 为锐角、，得 ，从而 。 由二倍角正切公式，。 于是 。 由 、 均为锐角且 ，知 ，结合 得 或 ； 而 、，故 ，所以 。 学科网（北京）股份有限公司 $