三角函数 第3讲 三角恒等变换的综合应用讲义-2027届高三数学一轮复习

三角恒等变换的综合应用 角的配凑、弦化切与平方联动 角的配凑与给值求值 这一讲处理三角恒等变换的综合题。它和前两讲的差别在于：前两讲的题目往往一条公式就能做完，而综合题给出的信息与要求的量之间隔着几步变形，每一步用哪条公式、往哪个方向走，都要自己判断。判断的起点是先看清楚两件事：题目给的是什么形式的量，要求的是什么形式的量，两者之间差着什么。 最常见的一类是「给值求值」：已知某个角的函数值，求另一个角的函数值。这里的角常常不是 本身，而是 、 这样的复合角。处理的办法叫凑角 —— 把要求的角写成已知角的和、差、二倍。例如要求 而已知 时，就让 ；已知 时，就让 。拆法不唯一，选哪一条只看一件事：拆开以后能不能直接用上已知值。 凑角的另一种写法是整体换元：把那个复合角记作 ，所有变形都在 上做，最后再换回原角。换元的好处是式子短、不易漏项，而且降幂、二倍角这些动作在 上看起来更清楚；代价是最后要提醒自己目标量是哪个角。两种写法没有优劣，题目简单时直接拆，层次多时先换元。 不管用哪种写法，动手之前都要先把范围定下来。复合角的范围决定了它的函数值取正还是取负，也决定了凑完之后答案是不是唯一。同一个正弦值在 上往往对应两个角，题目给的区间、或者与某个特殊角函数值的大小关系，才是排除另一个的依据。综合题丢分最多的地方就在这里 —— 不是公式用错，而是范围没论。 过程中常用的手段有三样：诱导公式把角统一到同一个象限；二倍角公式把角翻倍或减半；平方关系把不同的函数值互相转换。先做哪一样，看已知量与所求量之间差的是什么 —— 差一个常数角就用诱导或凑角，差一个倍数就用二倍角，差的是函数种类就用平方关系。 例1（单选·★★☆☆☆） 若，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】已知 ，要求 。两个角之间隔着 ，先把已知条件按和角余弦展开，会剩下 ；把它平方，中间项恰好是 。 【关键】，所以 。两边平方：，即 ，得 。故选 C。 【易错】平方后中间的交叉项是 ，它等于 而不是 ，符号丢掉就会得到选项 D。另外本题不需要求出 或 的具体值，目标式由平方这一步直接得到。 【答案】C 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】条件是一个分式等于 。观察分子 ，它正是 ；再看分母 ，展开后也含 —— 约分就在眼前。 【关键】，。所以原式等于 ，即 。两边平方得 ，所以 。故选 C。 【易错】约分的前提是 ，这一步要在解析里交代清楚。另外 平方得 ，而不是 —— 系数上的平方别算漏。 【答案】C 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. 2 D. 3 【切入点】两个复合角的正弦之比是一个常数，把两个正弦都按和差角展开，同类项合并后会出现两个乘积。而要求的正切之比，恰好就是这两个乘积之比。 【关键】，。由比值为 得 ，移项得 ，即 。而 。故选 C。 【易错】不要先把 写成 之外的复杂形式 —— 它本身就是两个乘积之比，而展开式里出现的正是这两个乘积，直接代入最快。 【答案】C 例2（填空·★★☆☆☆） 已知，则 = ____________. 【切入点】已知 ，要求 。注意所求角与已知角的关系：，而正弦里的 正好可以换成余弦。 【关键】记 ，则 。 【易错】两步都值得留意：一是 这条诱导不带负号；二是选定余弦二倍角之后要挑对变形 —— 已知的是正弦，所以用 最省事，用 就得先求出 ，多绕一步。 【答案】 变式2-1（填空·★★☆☆☆） 已知，则 = ________． 【切入点】已知 ，要求 。括号里多了一个 ，先用诱导公式把它去掉。 【关键】。 【易错】诱导这一步的符号要确认：，不带负号，与 区分开。另外已知余弦就用 这条变形，不必先求正弦。 【答案】 变式2-2（单选·★★☆☆☆） 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】由终边上一点的坐标先求出 ，再用诱导把 化为 。 【关键】点 到原点的距离为 ，所以 。。故选 B。 【易错】本题只用到 ，所以横坐标的符号不影响结果；但换一个问法（比如求 ）就要用到一次方的正弦，那时符号必须由点所在的象限决定。养成「先把函数值的正负写清楚」的习惯，比临时判断可靠。 【答案】B 例3（单选·★★☆☆☆） 已知，，则 = （ ） A. B. C. D. 2 【切入点】已知 与 的范围，要求 —— 方向与例 1、例 2 相反，是由倍角值反推单角。两者之间由齐次关系联系：。 【关键】设 ，，整理得 ，所以 。，所以 ，舍去 ，取 。故选 A。 【易错】两个根必须都用范围检验： 约等于 ，超过 ，不合题意。另外把 化成 的形式时，分母上的 是用 换来的，不补这一步就凑不出齐次式。 【答案】A 弦化切与齐次式 当条件里给了 的值，而要求的量由 、 组成时，最朴素的想法是先把 、 分别求出来。但这样既要求开方、又要判象限，一不留神就多出两个解。更省事的办法是放弃求值，直接把整个式子化成只含 的形式 —— 这一步叫弦化切。 弦化切能成立，靠的是一条恒等式：。它的作用是把常数 换成一个二次齐次式。这样任何关于正弦、余弦的齐次式，只要分子分母同除以 的相应次幂， 就变成 ，整个式子随之变成 的有理式。一次式除以 ，二次式除以 ，分子分母的次数必须一致，这是化切能进行下去的前提。 最常用的两条结论是 与 。它们都来自二倍角公式与上面那条恒等式，把倍角值与正切值直接对应起来。遇到「给正切求倍角」的题，代这两条最快，既不用求 、，也不必讨论象限。 判断该不该用弦化切，看的是式子的结构：分子分母次数相同的分式，化切后往往能整体约简；若式子里混着孤立的常数项，先用 把它补成二次，再化切。还有一种情形是正切藏在方程里 —— 题目给的是一个含 、 的方程，这时先把两边整理成 的方程，解出正切值，再回到上面两条结论。 动手之前还要先看式子的次数是否整齐。分子是二次、分母也是二次，才是齐次式，可以整体除以 ；若次数不齐，直接除就会出错。补救的办法是给次数低的那一边乘上一个 ，把它补齐。次数不齐是弦化切最常见的失败原因，而判断次数只需要数一数每一项里正弦余弦的总个数。 例4（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】给了 ，要求 。把 写成分式，分母补上 ，整个式子就成了二次齐次式，除以 后全部变成正切。 【关键】。故选 C。 【易错】分母上的 是用 换来的，这个动作不能省 —— 不补它， 只有分子，化切就无从下手。另外最后一步是分数除法，，乘倒数这一步容易写反。 【答案】C 变式4-1（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. 4 B. 2 C. D. 【切入点】条件 给的是正弦与余弦的比例，也就是正切值；要求的式子先用降幂公式写成平方之比。 【关键】由 得 。又 。故选 A。 【易错】降幂公式的对应关系要记准：（配正弦），（配余弦）。分子分母写反就会得到 ，而它恰好在选项里。 【答案】A 变式4-2（填空·★★☆☆☆） 已知，则 = ________． 【切入点】式子 里， 与 都是二次的，把它整体除以 后化切。 【关键】。 【易错】本题的常数项是 （本身就含平方），所以不必额外补 ；但分母上的 仍然要用 替换。判断「哪些项要补」只看次数：一次项要乘一次式才补齐，二次项直接参与。 【答案】 变式4-3（填空·★★☆☆☆） 已知，则 = ______. 【切入点】条件是一个含 、 与 的方程。把正切写成 ，两边相乘后整理成只含 的方程。 【关键】由 得 ，交叉相乘并整理：，即 ，解得 （另一根 不合，舍去）。所以 。 【易错】交叉相乘前要确认 —— 否则 没有意义，题目也不会这样给。解出两个根后必须用 检验： 越界，舍去。 【答案】 例5（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】同样是给正切求倍角，这次要的是余弦。把 化成齐次分式，分母补上平方和，再除以 。 【关键】。故选 C。 【易错】分子上是减号，来自 ，写成加号会得到 这种明显偏大的结果。另外这条结论值得直接记住 —— 它与例 1 的正弦版本一起，构成了「给正切求倍角」的标准工具。 【答案】C 例6（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】分式 的分子分母都是二次的，可以整体化切。也可以先观察分子：，与分母凑成约分。 【关键】把分子配成完全平方：；分母 。约去公因式，原式等于 。故选 A。 【易错】分子配完全平方后能约分，是本题能算得干净的原因；若直接整体化切，得到 ，结果一样但代数更长。约分时要确认 —— 本题 的正切为 ，该式不为零。 【答案】A 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 已知 ，则 = （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【切入点】分式的分子分母都是二次齐次式（ 要补成平方和），整体除以 即可。 【关键】。故选 B。 【易错】分母上的 除以 得常数 ，容易误写成 。分子上的 必须先补成 才能除，否则次数不齐。 【答案】B 平方联动与方程组 同角关系里有一条常被低估的联动：把 平方，得到 ；把 平方，得到 。这说明「两个函数值的和（差）」与「两个函数值的积」互相确定 —— 知道其中一个，另一个（连同它的正负）就能求出来。这一讲的基础题型，几乎都是围绕这个联动展开的。 除了平方和与乘积，还有一类量常与它们一起出现：两个函数值的平方和。它与乘积之间由 联系，也与二倍角正弦由 联系。把这几条放在一起看，就会发现和、差、积、倍角其实是同一组信息的不同写法。 高次式则要先降次。四次式用完全平方处理：，而 ，于是四次式最终化成了倍角的一次式。立方和差同理： 分解后中间项里出现的仍是 —— 又是「积」。 还要意识到一点：这类题的信息量往往比表面看起来大。条件只给了一个和式，但和式的平方、和式与差式的乘积、平方与乘积之间的换算，都能由它推出来。做题时不妨先问自己一句：从已知的这条关系出发，我还能造出哪些式子？要的那个量常常就在这些造出来的式子里。把已知量看成一个可以反复加工的整体，而不是一个必须解开的方程，是处理这类题的基本态度。 最后一步永远是定符号。开方时取正还是取负，只看角的范围：角在第二象限时 ，于是 、。把「角在第几象限」「和差的正负」「积的正负」这三件事在草稿上写清楚，就不会在开方这一步丢分。 例7（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】已知 ，要求 。平方先取出 ，再回到单个函数值；有了 、 就能算 ，最后由二倍角得到正切。 【关键】平方得 ，所以 ，。 且乘积为负，故 ，于是 。由 得 。与 联立解出 、，所以 。于是 。故选 B。 【易错】符号判断有三处：乘积为负说明 在第二象限；第二象限里 为正，所以开方取正号；正切为负，代进二倍角公式时分子分母都是负数，约分后为正。任何一处取错符号，都得不到选项里的值。 【答案】B 变式7-1（单选·★★☆☆☆） 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件与例 1 相同（和式已知），要求的却是立方差。立方差分解后中间项含 ，所以还是先由平方联动取出「积」。 【关键】由平方关系得 ，且 （推导同例 1）。。故选 C。 【易错】立方差公式的中间项是 ，系数为 ，不要写成 （那是完全平方的中间项）。另外 ，减号不能写成加号。 【答案】C 变式7-2（单选·★★☆☆☆） 已知，且，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】已知 ，要求 —— 差的平方里会出现乘积项，直接得到答案。 【关键】，即 ，所以 。故选 D。 【易错】 平方后交叉项是 ；若是「和」，交叉项则为正。本题 在第一象限，条件本身已经自洽，不需要额外讨论符号。 【答案】D 例8（单选·★★☆☆☆） 已知，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】条件是四次式，要求的是两个一次式的和。先把四次式用完全平方降到二次，取出 ，再由范围决定 的符号。 【关键】，所以 ，。 时 ，故 。于是 。又 说明 ，此时 ，所以 。故选 D。 【易错】最后一步的正负判断是本题最容易漏的地方：仅由 为负还不能确定 的符号，要用到 ，把 写成 后就能看出它为正。另外四次降次时中间项系数是 ，写成 会解错。 【答案】D 变式8-1（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】条件是一个分式。分母 展开后含 ，而分子 恰好能拆成两个一次式之积 —— 约分就在眼前。 【关键】，。所以原式等于 ，得 。平方：，所以 。故选 D。 【易错】约分前要确认 —— 否则分母为零，原式无意义。另外 这一步：分母的系数是 ，移过去要乘它的倒数 ，结果才得到 而不是 。 【答案】D 变式8-2（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. 2 D. 3 【切入点】条件里出现根号 ，而 正是 —— 开出根号后整个条件就简单了。 【关键】 时 ，所以 。条件化为 。记 ，则 ，右边等于 ，故 。两边同乘 ，约去公因式 （由 在第一象限知 ，故 ）：，所以 。故选 A。 【易错】根号开出时符号为正，依据是 在第一象限。两边化简时约去 需要 ，本题 自然满足。最后一步用二倍角正切，分母 也要成立 —— 时显然满足。 【答案】A 例9（单选·★★☆☆☆） 已知，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】与例 2 同型，只是要求的换成了 ，而平方后正负号的判断依据也相应改变。 【关键】，所以 ，。 时 ，故 。。又 、，所以 ，于是 。故选 B。 【易错】这道题与例 2 的差别全在符号上：要求的是「差」，而 直接说明差为负，不必再借助区间的宽度。反过来，如果把范围误看成 ，答案就会取成正的 。 【答案】B 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角恒等变换的综合应用 角的配凑、弦化切与平方联动 角的配凑与给值求值 这一讲处理三角恒等变换的综合题。它和前两讲的差别在于：前两讲的题目往往一条公式就能做完，而综合题给出的信息与要求的量之间隔着几步变形，每一步用哪条公式、往哪个方向走，都要自己判断。判断的起点是先看清楚两件事：题目给的是什么形式的量，要求的是什么形式的量，两者之间差着什么。 最常见的一类是「给值求值」：已知某个角的函数值，求另一个角的函数值。这里的角常常不是 本身，而是 、 这样的复合角。处理的办法叫凑角 —— 把要求的角写成已知角的和、差、二倍。例如要求 而已知 时，就让 ；已知 时，就让 。拆法不唯一，选哪一条只看一件事：拆开以后能不能直接用上已知值。 凑角的另一种写法是整体换元：把那个复合角记作 ，所有变形都在 上做，最后再换回原角。换元的好处是式子短、不易漏项，而且降幂、二倍角这些动作在 上看起来更清楚；代价是最后要提醒自己目标量是哪个角。两种写法没有优劣，题目简单时直接拆，层次多时先换元。 不管用哪种写法，动手之前都要先把范围定下来。复合角的范围决定了它的函数值取正还是取负，也决定了凑完之后答案是不是唯一。同一个正弦值在 上往往对应两个角，题目给的区间、或者与某个特殊角函数值的大小关系，才是排除另一个的依据。综合题丢分最多的地方就在这里 —— 不是公式用错，而是范围没论。 过程中常用的手段有三样：诱导公式把角统一到同一个象限；二倍角公式把角翻倍或减半；平方关系把不同的函数值互相转换。先做哪一样，看已知量与所求量之间差的是什么 —— 差一个常数角就用诱导或凑角，差一个倍数就用二倍角，差的是函数种类就用平方关系。 例1（单选·★★☆☆☆） 若，则 = （ ） A. B. C. D. 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. 2 D. 3 例2（填空·★★☆☆☆） 已知，则 = ____________. 变式2-1（填空·★★☆☆☆） 已知，则 = ________． 变式2-2（单选·★★☆☆☆） 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则 = （ ） A. B. C. D. 例3（单选·★★☆☆☆） 已知，，则 = （ ） A. B. C. D. 2 弦化切与齐次式 当条件里给了 的值，而要求的量由 、 组成时，最朴素的想法是先把 、 分别求出来。但这样既要求开方、又要判象限，一不留神就多出两个解。更省事的办法是放弃求值，直接把整个式子化成只含 的形式 —— 这一步叫弦化切。 弦化切能成立，靠的是一条恒等式：。它的作用是把常数 换成一个二次齐次式。这样任何关于正弦、余弦的齐次式，只要分子分母同除以 的相应次幂， 就变成 ，整个式子随之变成 的有理式。一次式除以 ，二次式除以 ，分子分母的次数必须一致，这是化切能进行下去的前提。 最常用的两条结论是 与 。它们都来自二倍角公式与上面那条恒等式，把倍角值与正切值直接对应起来。遇到「给正切求倍角」的题，代这两条最快，既不用求 、，也不必讨论象限。 判断该不该用弦化切，看的是式子的结构：分子分母次数相同的分式，化切后往往能整体约简；若式子里混着孤立的常数项，先用 把它补成二次，再化切。还有一种情形是正切藏在方程里 —— 题目给的是一个含 、 的方程，这时先把两边整理成 的方程，解出正切值，再回到上面两条结论。 动手之前还要先看式子的次数是否整齐。分子是二次、分母也是二次，才是齐次式，可以整体除以 ；若次数不齐，直接除就会出错。补救的办法是给次数低的那一边乘上一个 ，把它补齐。次数不齐是弦化切最常见的失败原因，而判断次数只需要数一数每一项里正弦余弦的总个数。 例4（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 变式4-1（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. 4 B. 2 C. D. 变式4-2（填空·★★☆☆☆） 已知，则 = ________． 变式4-3（填空·★★☆☆☆） 已知，则 = ______. 例5（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 例6（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 已知 ，则 = （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 平方联动与方程组 同角关系里有一条常被低估的联动：把 平方，得到 ；把 平方，得到 。这说明「两个函数值的和（差）」与「两个函数值的积」互相确定 —— 知道其中一个，另一个（连同它的正负）就能求出来。这一讲的基础题型，几乎都是围绕这个联动展开的。 除了平方和与乘积，还有一类量常与它们一起出现：两个函数值的平方和。它与乘积之间由 联系，也与二倍角正弦由 联系。把这几条放在一起看，就会发现和、差、积、倍角其实是同一组信息的不同写法。 高次式则要先降次。四次式用完全平方处理：，而 ，于是四次式最终化成了倍角的一次式。立方和差同理： 分解后中间项里出现的仍是 —— 又是「积」。 还要意识到一点：这类题的信息量往往比表面看起来大。条件只给了一个和式，但和式的平方、和式与差式的乘积、平方与乘积之间的换算，都能由它推出来。做题时不妨先问自己一句：从已知的这条关系出发，我还能造出哪些式子？要的那个量常常就在这些造出来的式子里。把已知量看成一个可以反复加工的整体，而不是一个必须解开的方程，是处理这类题的基本态度。 最后一步永远是定符号。开方时取正还是取负，只看角的范围：角在第二象限时 ，于是 、。把「角在第几象限」「和差的正负」「积的正负」这三件事在草稿上写清楚，就不会在开方这一步丢分。 例7（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 变式7-1（单选·★★☆☆☆） 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 变式7-2（单选·★★☆☆☆） 已知，且，则 = （ ） A. B. C. D. 例8（单选·★★☆☆☆） 已知，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式8-1（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 变式8-2（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. 2 D. 3 例9（单选·★★☆☆☆） 已知，，则 = （ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $