三角函数 第3讲 三角恒等变换的综合应用 提高 讲义-2027届高三数学一轮复习

三角恒等变换的综合应用 角的配凑、弦化切与平方联动 角的配凑与给值求值 提高题的第一个变化是凑角变成两层。已知的量与要求的量本身都不是单角，而是一串复合角，它们之间可能既差一个倍数，又差一个常数角。这时要先把两个角都改写成围绕同一个复合角的形式，先对齐倍数，再看剩下的偏差是多少，用特殊角补上。做这类题最好在草稿上把「已知角」与「所求角」并排写出来，差值一眼可见，比在脑子里转要可靠。 第二个变化是范围判断从「看一眼」变成「要论证」。基础题的区间往往足够窄，符号可以直接读出；提高题给的区间常常跨过 或 ，同一个函数值对应两个可能的角。这时除了区间本身，还能用函数值的大小来缩小范围 —— 例如把已知值与 、 这类特殊值比大小，就能判断这个角究竟落在哪个单调区间里。这一步写不写，直接决定答案是一个还是两个。 第三个变化是题面里出现具体的角度数。 与 是同一个数，遇到度数要立刻检查它们之间的互余、互补或二倍关系，把不同的角统一到同一个角上再运算。把两个角的平方和与乘积放在一起时，平方和可以直接合并为 ，乘积则用二倍角正弦的逆用处理，这是特殊角求值题最常见的两步。 最后提醒一句关于多选题：选项之间往往是不同角度的结论，有的考充要条件、有的考范围、有的考最值，不能用一个统一的式子一起判。逐个选项独立处理，每个选项都从条件重新出发，该求导的求导、该用单调性的用单调性、该展开的展开，这样才不会因为前一个选项的判断影响后面的思路。 例1（单选·★★★☆☆） 若 ，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】条件是两个余弦相加，要求的是 的余弦。把 展开，与后面的 合并，看能否整理成一个余弦函数。 【关键】，代入条件得 ，提取 ：，即 ，所以 。所求 。故选 A。 【易错】提取 这一步是本题的关节点 —— 括号里必须恰好凑成 的形状，系数才可能同时对上。另外注意所求角与刚求出的角是二倍关系：，看不出这一点就接不下去。 【答案】A 变式1-1（单选·★★★☆☆） = A. B. C. D. 【切入点】 与 是互余的两个角，先把它们统一成同一个角，式子就只剩 与 。 【关键】，所以原式等于 。故选 C。 【易错】，系数 是二倍角正弦逆用带出来的，写成 会得到 倍的结果。另外两项平方和合并为 用到了平方关系，这是本题化简的起点。 【答案】C 例2（单选·★★★☆☆） 已知，且，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】已知 ，要求 。两个角既差系数又差常数，先把已知角记作 ，则 —— 所求角是 与一个特殊角的组合。 【关键】由 得 ，而 ，故 ，。于是 ，。所求 。故选 D。 【易错】最后一步的符号最容易错：，被它减去相当于加上，写成减号就会漏掉 这一项。另外 的具体范围要先定出来，否则 的正负无从判断， 的符号也跟着不确定。 【答案】D 变式2-1（单选·★★★☆☆） 已知，则＝（ ） A. B. C. D. 【切入点】要求的 是平方，先降幂把它变成一次式。降幂后出现的角是 ，与已知角 相差 ，用诱导就能接上。 【关键】。而 。所以原式等于 。故选 A。 【易错】余弦减去 变成正弦，且不带负号（），这里若记成 就会得到完全不同的结果。另外降幂公式里的分母是 ，别漏。 【答案】A 变式2-2（填空·★★★☆☆） 若，且，则 = _____. 【切入点】条件左边 是二次式，先降幂；右边 展开后含 。两边整理后会出现公因式。 【关键】，条件化为 。又 ，代入得 。 时 ，两边约去，得 。平方：，所以 。 【易错】约分前必须说明 ，依据是 在第二象限（正弦为正、余弦为负）。另外把 拆成两个一次式之积时， 里的顺序可以调整，但要保证与另一边的 差一个符号 —— 这个符号决定后面的正负。 【答案】 例3（单选·★★★☆☆） 若，，则 = （ ） A. B. C. D. 或 【切入点】已知 ，要求 。把 写成 ，用差角余弦展开 —— 为此需要 的余弦值，而它的符号要由范围来定。 【关键】 时 。又 ，而在这个区间的前半段 上正弦恒大于 ，所以 只能落在 内，。于是 。故选 B。 【易错】范围判断是本题唯一的分水岭。若只写 就取 为正，会得到 ；两个值都留着，就落进选项 D。把已知函数值与 比大小，是把区间压窄到唯一一段的依据，这一步必须写出来。 【答案】B 变式3-1（多选·★★★☆☆） 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 的取值范围为 C. 若，则的最大值为 D. 的最大值为 【切入点】条件给的是两个和式 、。四个选项问的不是同一个量，要逐个独立处理：判充要条件用单调性，判范围用辅助角，判最值用平方展开。 【关键】A 选项： 即 ，移项得 。令 ， 时 ， 严格递增，所以 与 等价。A 正确。B 选项：。 时 ，两个正弦都落在 内，所以 。B 正确。C 选项：若 ，则 、，于是 、，，取不到 。C 错误。D 选项：。D 正确。故选 ABD。 【易错】A 选项要把「两个函数值相等」翻译成「两个自变量相等」，依据是函数在给定区间上的单调性 —— 这一步不写，结论就没有支撑。D 选项展开后交叉项正好凑成 ，若把 、 分开算再相加，容易漏掉交叉项而得不到上界 。 【答案】ABD 弦化切与齐次式 提高题的第一步往往是结构识别：看到 这样的分式，要立刻认出它是 ；看到 ，要认出它等于 。识别出来之后不必再解出正切值，直接代关系式即可，步骤能省下三分之一。 第二个变化是出现四次式。 这类量不能直接化切，要先降次：用 把它化成 的式子，再对 化切。 同理 —— 先用一次二倍角把它降到 ，这样分母分子就都是同一个角的函数，可以整体处理。 第三个变化是条件给的是分式方程。形如 的分式，分母上出现了两个正切之差 —— 它正是差角正切公式分母的分子部分。把它往 上靠，就能把条件转化成只含一个未知量的方程，解出正切后再回代。这一步的关键是敢于把式子看成一个整体，而不是急着把 展开成 。 最后是由正切值相等反推角的关系。若两个正切值相等，则两个角相差 的整数倍；若两个角分别由不同的式子给出，就能得到一个关于角的一次方程。解这类题时还要留意：分式形式的条件本身有定义域限制，两边相等的分式往往还藏着「互为倒数」或「恒等」这类关系，把它找出来常常比硬算更快。 最后提醒一句：化切之后的式子若含高次的正切，往往能整体约简；若条件解出的正切有两个可能的值，要检查到底是一个值对应两种情形还是两个值各自成立 —— 有些题里两个值代进去得到同一个结果，那就不必取舍，而有些题必须把范围拿出来筛掉一个。 例4（单选·★★★☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】条件是一个含 、 的分式。分母 正是差角正切公式里分子位置上的东西，把它与 联系起来，就能把两个正切合成一个。 【关键】记 、。由 得 。代入条件：，即 ，整理得 。又 ，代入得 ，化为 ，解得 或 。两种情形下 都等于 。于是 。故选 C。 【易错】第一步把分母与 挂钩是关键，符号容易漏：。另外 这条恒等式是处理四次式的唯一入口，再配合 把次数降到二次。 【答案】C 变式4-1（单选·★★★☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】条件分式的分子分母都是齐次一次式，除以 就得到关于 的方程；求出正切后，目标式用和角公式与倍角化切求解。 【关键】，整理得 ，所以 。于是 ，，所求 。故选 B。 【易错】目标角里带 ，用 最省事，拆成两项分别算再合并就绕远了。另外 与 都要算出来 —— 只算一个无法得到结果。 【答案】B 变式4-2（单选·★★★☆☆） 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件里同时出现 与 ，把它们都用 表示，分式会大幅化简。 【关键】记 ，则 ，。原式等于 。由 得 ，所以 。于是 。故选 B。 【易错】两个分式通分后各自的分子、分母都恰好是常数 ，这是题目特意设计的 —— 化简时不要急着展开成多项式。另外 与 是同一个量，看出这一点可以少算一步。 【答案】B 变式4-3（单选·★★★☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】已知 ，先由差角正切公式解出 ，再用倍角余弦的化切形式求值。 【关键】由 （）得 ，所以 。于是 。故选 B。 【易错】解方程时的移项： 移项得 ，而不是 取正。另外 的符号由 决定 —— 时分子 ，结果为负，与直觉（正切为负）无关。 【答案】B 例5（多选·★★★☆☆） 已知，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件是 ，四个选项都是关于 、 的式子 —— 标准的弦化切题。逐个选项独立化切，不要试图找一个统一的方法。 【关键】A 选项：，正确。B 选项：，错误。C 选项：，正确。D 选项：，正确。故选 ACD。 【易错】B 选项的符号是陷阱 —— 是正数，但 与 同号，所以应当为正，凭「正切为正、正弦倍角也为正」就能排除 B，不必细算。C 选项里的两项都除以 ： 得 ， 得 ，分母的 同样要补成平方和。 【答案】ACD 例6（单选·★★★☆☆） 已知锐角，满足，，则下列结论不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件里有两个含 的分式，右边分别是 与 。先看两个分式本身的关系 —— 把它们相乘会发现结果恒为 ，也就是说两者相等。 【关键】 … 更直接地：两者相等，因为 ，交叉相乘即得。于是 ，所以 ，即 ，得 。又 ，所以 。两式联立消去 ，可得 ，即 ，逐一代入 的表达式可得 ，这些值里不包含 。故选 C。 【易错】本题的题眼是「两个分式相等」这一步 —— 它把两个条件合并成一个正切等式，否则要同时处理两个方程。另外得到 的通式后要看出它的取值间隔， 与 相差 ，不是 的整数倍，所以取不到。 【答案】C 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知，则下列结论不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】两个分式的左边都只含 ，右边分别是 与 。先判断两个分式的关系：交叉相乘会发现 ，两者恒相等。 【关键】因为 （两边交叉相乘都等于 ），所以 ，得 ，即 ，。 的可能值里含 （）、不含 ，故 不可能成立。故选 C。 【易错】两个分式恒相等这一步必须验证，不能凭「长得像」就认定。另外正切相等只能推出两角相差 的整数倍，不是相等 —— 漏掉 会把 的取值范围算窄。 【答案】C 平方联动与方程组 提高题的第一种形态是「平方相加」。当题目给出两个含 、 的线性条件，而两式的交叉项符号恰好相反时，把它们各自平方再相加，会产生两个平方和（合并为常数）与一个和差角（由交叉项合成）。这样就把两个未知量 、 化为一个整体，条件立刻可用。判断能否这样做的标志是：两式展开后的交叉项是否能凑成 或 。 第二种形态是两个和式之比。若题目给的是 与 ，把 、 写成 与 的一半之和、之差，两个和式分别化为两对乘积。相除时含 的因子约掉，只剩下半角和的正切 —— 再由二倍角公式得到 的正切。这条路上的两个「和化积」都可以由和差角展开式相加现场推出。 第三种形态是两个差式相除，目标却是半角和的正切。把 与 分别写成 半角和、半角差的形式，两式相除后同样能约掉含半角差的因子，直接得到半角和的正切。这类题的提示词是目标角里出现 —— 看到它就该想到把条件往半角上凑。 第四种形态是把两个条件当成方程组，解出四个乘积。例如已知 与 ，展开后者即可求出 。有了这两个乘积，、 都能算。所以「把条件化成乘积」是这一类题的统一入口。 判定该用哪一种形态，看条件给的是什么：给和式就用比值，给差式就用相除，给两个线性条件就用平方相加 —— 三者各对应一类题，不会混。真正需要练的，是见到条件后能立刻把它归到其中一类。 例7（填空·★★★☆☆） 已知，那么的值为_____________. 【切入点】条件是两个和式，要求 。把 、 改写成 与 的一半之和、之差，两个和式就变成了乘积形式；相除即可得到半角和的正切。 【关键】记 、，则 、。由两个和差角展开式相加可得（，），。两式相除（ 时 ）：。于是 。 【易错】这一步的关键是想到把 、 拆成半角和与半角差 —— 看到目标角是 而条件是两个和式，就该往这个方向试。另外相除时要说明 ；最后一步用二倍角正切时，别忘了分母是 。 【答案】 变式7-1（单选·★★★☆☆） 已知，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】条件是两个「差的式子」，目标角里出现 —— 把 、 拆成半角和与半角差，两式相除即可。 【关键】记 、，则 、。由和差角展开式相减可得（，），。两式相除：，所以 。故选 B。 【易错】相除时含 的因子约掉，剩下的正是半角正切 —— 这一步的符号要跟着走：两个式子里的 系数分别是 与 ，相除后留下的是 。若把第二个式子的负号漏掉，就会得到 那类结果。 【答案】B 变式7-2（单选·★★★☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】条件里三个正弦的角度都含 ，把它们统一展开到「 与 的线性组合」，再合并同类项，就得到一个关于 的方程。 【关键】，。条件化为 ，所以 。把 写成 ：，代入得 。故选 D。 【易错】前两个正弦能合并成 ，靠的是和差角展开式相加；这一步不合并，后面就凑不出 的搭配。最后 一正一负恰好相消，是本题设计好的地方 —— 若提前约简，会看不出消项。 【答案】D 例8（单选·★★★☆☆） 若，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】两个条件都是关于 、 的一次式，要求的却是 的函数值。把两式各自平方后相加 —— 交叉项的符号相反，相加后会合成一个 ，于是 、 的关系立刻明确。 【关键】两式平方相加：，左边整理得 ，所以 ，。由 得 ，即 。代入 ：，即 。两边除以 ：，即 。故选 A。 【易错】平方相加之所以有效，是因为两式交叉项是 与 ，相加后恰好是 —— 符号相反是关键。第二段把式子凑成 时，要与 逐项对照，系数对不上就不成余弦。 【答案】A 例9（多选·★★★☆☆） 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件给了一个乘积 与一个和角正弦，把它们看成方程组，先解出另一个乘积 ，四个选项就都能算了。 【关键】由 ，代入 得 。A 正确。。B 正确。。C 错误。。D 正确。故选 ABD。 【易错】D 选项的化简是本题的技术点： 展开成四个因子后，重新配对成 ，正好是两个已知乘积。若按 、 分别求值再相乘，既要求出各自的正弦余弦，还要讨论符号，得不偿失。 【答案】ABD 变式9-1（多选·★★★☆☆） 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】与例 3 同型：给一个乘积与一个差角正弦，先把另一个乘积解出来，再逐个选项核对。 【关键】由 ，代入 得 。A 选项说它等于 ，符号错，A 错误。，B 正确。，即 ，C 正确。，D 选项给的是 ，D 错误。故选 BC。 【易错】解出 时是「（）」的结构：，把已知代入后移项，符号容易弄反。另外 D 选项的化简与例 3 完全一致，两个乘积配对成一组是固定动作。 【答案】BC 变式9-2（多选·★★★☆☆） 已知，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】给的是 与 。把和角余弦展开即可解出 ，随后两个乘积都能组合出其余各项。 【关键】，代入 得 。A 选项说它等于 ，符号错，A 错误。，B 正确。，C 正确。，D 选项给的是正数，D 错误。故选 BC。 【易错】本题的两个已知量都是余弦型，所以配对的乘积是 与 ；D 选项把 展开后正好是这两者的四倍。四个选项中 A 与 B 只差一个符号、C 与 D 都涉及负号，先把两个乘积的符号定准，就不会来回改。 【答案】BC 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角恒等变换的综合应用 角的配凑、弦化切与平方联动 角的配凑与给值求值 提高题的第一个变化是凑角变成两层。已知的量与要求的量本身都不是单角，而是一串复合角，它们之间可能既差一个倍数，又差一个常数角。这时要先把两个角都改写成围绕同一个复合角的形式，先对齐倍数，再看剩下的偏差是多少，用特殊角补上。做这类题最好在草稿上把「已知角」与「所求角」并排写出来，差值一眼可见，比在脑子里转要可靠。 第二个变化是范围判断从「看一眼」变成「要论证」。基础题的区间往往足够窄，符号可以直接读出；提高题给的区间常常跨过 或 ，同一个函数值对应两个可能的角。这时除了区间本身，还能用函数值的大小来缩小范围 —— 例如把已知值与 、 这类特殊值比大小，就能判断这个角究竟落在哪个单调区间里。这一步写不写，直接决定答案是一个还是两个。 第三个变化是题面里出现具体的角度数。 与 是同一个数，遇到度数要立刻检查它们之间的互余、互补或二倍关系，把不同的角统一到同一个角上再运算。把两个角的平方和与乘积放在一起时，平方和可以直接合并为 ，乘积则用二倍角正弦的逆用处理，这是特殊角求值题最常见的两步。 最后提醒一句关于多选题：选项之间往往是不同角度的结论，有的考充要条件、有的考范围、有的考最值，不能用一个统一的式子一起判。逐个选项独立处理，每个选项都从条件重新出发，该求导的求导、该用单调性的用单调性、该展开的展开，这样才不会因为前一个选项的判断影响后面的思路。 例1（单选·★★★☆☆） 若 ，则 = （ ） A. B. C. D. 变式1-1（单选·★★★☆☆） = A. B. C. D. 例2（单选·★★★☆☆） 已知，且，则 = （ ） A. B. C. D. 变式2-1（单选·★★★☆☆） 已知，则＝（ ） A. B. C. D. 变式2-2（填空·★★★☆☆） 若，且，则 = _____. 例3（单选·★★★☆☆） 若，，则 = （ ） A. B. C. D. 或 变式3-1（多选·★★★☆☆） 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 的取值范围为 C. 若，则的最大值为 D. 的最大值为 弦化切与齐次式 提高题的第一步往往是结构识别：看到 这样的分式，要立刻认出它是 ；看到 ，要认出它等于 。识别出来之后不必再解出正切值，直接代关系式即可，步骤能省下三分之一。 第二个变化是出现四次式。 这类量不能直接化切，要先降次：用 把它化成 的式子，再对 化切。 同理 —— 先用一次二倍角把它降到 ，这样分母分子就都是同一个角的函数，可以整体处理。 第三个变化是条件给的是分式方程。形如 的分式，分母上出现了两个正切之差 —— 它正是差角正切公式分母的分子部分。把它往 上靠，就能把条件转化成只含一个未知量的方程，解出正切后再回代。这一步的关键是敢于把式子看成一个整体，而不是急着把 展开成 。 最后是由正切值相等反推角的关系。若两个正切值相等，则两个角相差 的整数倍；若两个角分别由不同的式子给出，就能得到一个关于角的一次方程。解这类题时还要留意：分式形式的条件本身有定义域限制，两边相等的分式往往还藏着「互为倒数」或「恒等」这类关系，把它找出来常常比硬算更快。 最后提醒一句：化切之后的式子若含高次的正切，往往能整体约简；若条件解出的正切有两个可能的值，要检查到底是一个值对应两种情形还是两个值各自成立 —— 有些题里两个值代进去得到同一个结果，那就不必取舍，而有些题必须把范围拿出来筛掉一个。 例4（单选·★★★☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 变式4-1（单选·★★★☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 变式4-2（单选·★★★☆☆） 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 变式4-3（单选·★★★☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 例5（多选·★★★☆☆） 已知，则（ ） A. B. C. D. 例6（单选·★★★☆☆） 已知锐角，满足，，则下列结论不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知，则下列结论不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 平方联动与方程组 提高题的第一种形态是「平方相加」。当题目给出两个含 、 的线性条件，而两式的交叉项符号恰好相反时，把它们各自平方再相加，会产生两个平方和（合并为常数）与一个和差角（由交叉项合成）。这样就把两个未知量 、 化为一个整体，条件立刻可用。判断能否这样做的标志是：两式展开后的交叉项是否能凑成 或 。 第二种形态是两个和式之比。若题目给的是 与 ，把 、 写成 与 的一半之和、之差，两个和式分别化为两对乘积。相除时含 的因子约掉，只剩下半角和的正切 —— 再由二倍角公式得到 的正切。这条路上的两个「和化积」都可以由和差角展开式相加现场推出。 第三种形态是两个差式相除，目标却是半角和的正切。把 与 分别写成 半角和、半角差的形式，两式相除后同样能约掉含半角差的因子，直接得到半角和的正切。这类题的提示词是目标角里出现 —— 看到它就该想到把条件往半角上凑。 第四种形态是把两个条件当成方程组，解出四个乘积。例如已知 与 ，展开后者即可求出 。有了这两个乘积，、 都能算。所以「把条件化成乘积」是这一类题的统一入口。 判定该用哪一种形态，看条件给的是什么：给和式就用比值，给差式就用相除，给两个线性条件就用平方相加 —— 三者各对应一类题，不会混。真正需要练的，是见到条件后能立刻把它归到其中一类。 例7（填空·★★★☆☆） 已知，那么的值为_____________. 变式7-1（单选·★★★☆☆） 已知，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式7-2（单选·★★★☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 例8（单选·★★★☆☆） 若，则 = （ ） A. B. C. D. 例9（多选·★★★☆☆） 已知，，则（ ） A. B. C. D. 变式9-1（多选·★★★☆☆） 已知，，则（ ） A. B. C. D. 变式9-2（多选·★★★☆☆） 已知，则（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $