三角函数的图像和性质讲义-2027届高三数学一轮复习

三角函数的图像和性质 一、知识点梳理 （一）三个基本函数的图像与性质 在 上， 的五个关键点是、、、、。 在 上， 的五个关键点是、、、、。 与 的周期都是 、值域都是 ，前者为奇函数、后者为偶函数。 的周期为 ，值域为 ，定义域为 ；它在整个定义域上不单调。 （二）周期性 的最小正周期为； 的为。 的周期是原来的一半； 是偶函数，但它不是周期函数。 求周期的通法是把式子化为"一个角的一个三角函数"，再读 。 （三）单调性与对称性 令 整体落在正弦的单调区间内解出 ；若 ，先用 的诱导公式把系数化为正。 对称轴：令 ；对称中心：令 ，中心为 。 相邻两对称轴、相邻两对称中心之间的距离都是半个周期，对称轴与相邻对称中心的距离是四分之一周期。 为奇函数要 ，为偶函数要 （两类函数互换）。 （四）图像变换与解析式 平移： 遵循"左加右减"，平移 个单位。 伸缩：横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）时， 变为原来的 倍；纵向振幅为 。 先平移后伸缩与先伸缩后平移的平移量不同，先伸缩时平移量要乘上 。 由图像求解析式： 取振幅， 由相邻零点或极值点距离定， 把最高点（或最低点）坐标代入求。 二、方法导语 这一节的核心只有一个对象：。把要求的式子化到这一步，周期、单调区间、对称轴、对称中心、最值就都是解不等式或代值的事。 化到目标形式常用两条路：降幂后用辅助角公式合并；或用诱导公式把 调成正的再整体代换。 做完一题自查三件事：整体代换时是"令 落在哪一段"而不是直接套 的区间； 有没有先化成正；求单调区间时 有没有写、区间端点用闭还是开来有没有和题意对上。 三、典型例题 例1　五点法与定义域 用五点法作出 在一个周期内的简图，并写出它的值域。 变式1　五点法：写单调区间 求函数 的单调递增区间。 例2　周期性 求函数 的最小正周期，并指出它的最大值。 变式2　周期性：降幂后求周期 求函数 的最小正周期。 例3　奇偶性与对称性 已知函数 的图像关于 轴对称，求 的值，并写出它的一条对称轴方程。 变式3　对称性：求对称中心 求函数 的对称中心坐标。 例4　图像变换 把函数 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再把所得图像向左平移 个单位，求得到的函数解析式。 变式4　图像变换：先平移后伸缩 把函数 的图像向左平移 个单位，再把横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），求所得函数的解析式。 例5　由图像求解析式 已知函数 的图像上相邻的一个最高点为 、一个最低点为 ，求 的解析式。 变式5　由图像求解析式：给零点 已知函数 的图像经过点 ，且相邻两条对称轴为 与 ，求 的解析式。 四、巩固练习 1．求函数 的定义域及最小正周期。 2．求函数 在区间 上的值域。 3．求函数 的单调递减区间。 4．已知函数 的图像关于直线 对称，求 的值，并写出 的对称中心。 5．已知函数 （，，）的图像上相邻的一个最高点与一个最低点的横坐标之差为 ，图像关于点 对称，且最大值为 ，求 的解析式。 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数的图像和性质 一、知识点梳理 （一）三个基本函数的图像与性质 在 上， 的五个关键点是、、、、。 在 上， 的五个关键点是、、、、。 与 的周期都是 、值域都是 ，前者为奇函数、后者为偶函数。 的周期为 ，值域为 ，定义域为 ；它在整个定义域上不单调。 （二）周期性 的最小正周期为； 的为。 的周期是原来的一半； 是偶函数，但它不是周期函数。 求周期的通法是把式子化为"一个角的一个三角函数"，再读 。 （三）单调性与对称性 令 整体落在正弦的单调区间内解出 ；若 ，先用 的诱导公式把系数化为正。 对称轴：令 ；对称中心：令 ，中心为 。 相邻两对称轴、相邻两对称中心之间的距离都是半个周期，对称轴与相邻对称中心的距离是四分之一周期。 为奇函数要 ，为偶函数要 （两类函数互换）。 （四）图像变换与解析式 平移： 遵循"左加右减"，平移 个单位。 伸缩：横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）时， 变为原来的 倍；纵向振幅为 。 先平移后伸缩与先伸缩后平移的平移量不同，先伸缩时平移量要乘上 。 由图像求解析式： 取振幅， 由相邻零点或极值点距离定， 把最高点（或最低点）坐标代入求。 二、方法导语 这一节的核心只有一个对象：。把要求的式子化到这一步，周期、单调区间、对称轴、对称中心、最值就都是解不等式或代值的事。 化到目标形式常用两条路：降幂后用辅助角公式合并；或用诱导公式把 调成正的再整体代换。 做完一题自查三件事：整体代换时是"令 落在哪一段"而不是直接套 的区间； 有没有先化成正；求单调区间时 有没有写、区间端点用闭还是开来有没有和题意对上。 三、典型例题 例1　五点法与定义域 用五点法作出 在一个周期内的简图，并写出它的值域。 ①找五点　令 依次取 、、、、，解出对应的 。 ②算纵坐标　把每个 代入原式，得到五点的纵坐标。 ③读值域　由振幅 直接写出值域为 。 注：五点法的关键是把 当成整体依次取五个特殊值，这样得到的 才是图像上真正的关键点；直接对 取 、、 是常见错误。 【答案】五点为 、、、、；值域为 。 令 ，依次取 、、、、。 由 得 ，； 由 得 ，； 由 得 ，； 由 得 ，； 由 得 ，。 所以五个关键点为 、、、、。 因为 ，所以值域为 ，最小正周期 。 变式1　五点法：写单调区间 求函数 的单调递增区间。 ①整体代换　把 整体放进正弦的递增区间。 ②解不等式　各边同时减 、再除以 。 ③写成区间　整理成 的区间形式。 【答案】单调递增区间为 ，。 令 ，。 各边减 得， 再除以 得。 故单调递增区间为，。 例2　周期性 求函数 的最小正周期，并指出它的最大值。 ①合并　用辅助角公式把两项合并成一个正弦型函数。 ②确定 、　由合并结果读出振幅 与角频率 ，它们是求周期与最值的两个关键量。 ③读周期与振幅　由 求周期，由振幅求最大值。 注：求周期的前提是先化成"一个角的一个三角函数"；若原式含平方项，要先降幂再合并。 【答案】最小正周期 ，最大值为 。 。 取 、，得 ， 故 。 所以最小正周期 ，最大值为 。 变式2　周期性：降幂后求周期 求函数 的最小正周期。 ①降幂　用 把二次项降成一次。 ②合并　对 用辅助角公式。 ③读周期　由 得出结果。 【答案】最小正周期 。 。 对 用辅助角公式，， 取 、，得 ， 故 。 所以最小正周期 。 例3　奇偶性与对称性 已知函数 的图像关于 轴对称，求 的值，并写出它的一条对称轴方程。 ①由偶函数定 　图像关于 轴对称即 为偶函数，由 结合范围定 。 ②写出函数式　代入 后得 。 ③求对称轴　令 求出对称轴方程。 注： 为偶函数等价于；为奇函数等价于 。这个结论的符号容易记反，可以用 这一特例核对。 【答案】，对称轴方程为 ，。 因为 的图像关于 轴对称，所以 是偶函数。 由 为偶函数的条件得 ，。 又 ，取 得 。 此时 。 令 ，得 ，，即对称轴方程为 ，。 （也可令 得同样结果。） 变式3　对称性：求对称中心 求函数 的对称中心坐标。 ①令相位等于 　正弦的对称中心处于零点，令 。 ②解出横坐标　解出 。 ③写出中心　纵坐标取 ，写成 。 【答案】对称中心为 ，。 令 ，， 解得 ，即 。 此时 ，所以对称中心坐标为 ，。 例4　图像变换 把函数 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再把所得图像向左平移 个单位，求得到的函数解析式。 ①先伸缩　横坐标变为原来的 倍，得到 。 ②再平移　对 左移 ，得 ，注意平移量加在 上。 ③化简　展开相位得 。 注：先伸缩后平移时，平移量必须"加在 上"而不是加在整个相位上： 左移 后是，不是 。 【答案】所得函数为 。 把 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得 。 再把 的图像向左平移 个单位，得 。 所以所得函数的解析式为 。 变式4　图像变换：先平移后伸缩 把函数 的图像向左平移 个单位，再把横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），求所得函数的解析式。 ①先平移　左移 得 。 ②再伸缩　横坐标变为原来的 倍，把 换成 。 ③比较两种顺序　本例与"先伸缩后平移"结果相同，是因为平移量恰为 ；一般顺序不同则平移量要乘 。 【答案】所得函数为 。 把 的图像向左平移 个单位，得 。 再把横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），即把 换成 ，得 。 所以所得函数的解析式为 。 例5　由图像求解析式 已知函数 的图像上相邻的一个最高点为 、一个最低点为 ，求 的解析式。 ①定振幅　由最高点纵坐标得 。 ②由极值点间距定周期　相邻最高点与最低点的横坐标之差是半个周期，由此求 。 ③代点定 　把最高点坐标代入，结合 定出 。 注：相邻最高点与最低点的横坐标之差是半个周期（不是四分之一），相邻零点之差才是半个周期；代入点的优先顺序是最高点 > 最低点 > 零点，因为极值点的相位是确定的。 【答案】。 由最高点 的纵坐标得 。 最高点与最低点的横坐标之差为， 它等于半个周期，所以 ，即 。 由 得 。 把最高点 代入： ，即 。 所以 ，，。 又 ，取 得 。 故 。 变式5　由图像求解析式：给零点 已知函数 的图像经过点 ，且相邻两条对称轴为 与 ，求 的解析式。 ①由对称轴间距定周期　相邻两条对称轴之间的距离是半个周期。 ②定 　由 求出 。 ③代点定 　把 代入，结合范围求 ，并反求 。 【答案】。 相邻两条对称轴之间的距离为，它等于半个周期， 所以 ，，。 由对称轴 知， 即 ；又 ，取 。 于是 。 把 代入：，即 ，解得 。 故 。 四、巩固练习 1．求函数 的定义域及最小正周期。 【答案】定义域为 ，最小正周期为 。 要使函数有意义，需 ，。 解得 ，即 。 所以定义域为 。 由 ，得最小正周期为 。 2．求函数 在区间 上的值域。 【答案】值域为 。 ，其中 、，且 。 当 时，，因为 ，所以 在 处取最大值 ，即 。 最小值在两端取得：，。 比较 ，故最小值 ，即 。 所以值域为 。 3．求函数 的单调递减区间。 【答案】单调递减区间为 ，。 。 要求 递减，即求 递增，需 ，。 各边加 得 ， 再除以 得 。 故单调递减区间为 ，。 4．已知函数 的图像关于直线 对称，求 的值，并写出 的对称中心。 【答案】；对称中心为 ，。 因为 是对称轴，所以 ，， 即 。又 ，取 得 。 此时 。 令 得对称中心横坐标 ，。 所以对称中心为 ，。 5．已知函数 （，，）的图像上相邻的一个最高点与一个最低点的横坐标之差为 ，图像关于点 对称，且最大值为 ，求 的解析式。 【答案】。 由最大值为 得 。 相邻的一个最高点与一个最低点的横坐标之差为半个周期， 即 ，所以 ，。 图像关于点 对称，即该点是零点， 所以 ，， 即 。又 ，取 得 。 所以 。 学科网（北京）股份有限公司 $